勉強しようNTTのBlog - 2009

算数の問題と解答とを考えていきます。




2009年05月23日(Sat)▲ページの先頭へ
2次関数のグラフの平行移動
第2講「2次関数とそのグラフ」(1)
y=axのグラフと平行移動
「(佐藤の)数学教科書[2次関数編]」(東進ブックス)の学習

リンク:方べきの定理
リンク:高校数学の内容一覧

y=xのグラフは以下のグラフであらわされます。

y=axのグラフを考えるとき、
y=xの形の式に変形してからグラフを考えます。
すなわち、
y=axのグラフは
(y/a)=xのグラフです。
例えばa=2の場合を考えます。
y=2xのグラフを考えるとき、
x軸と(y/2)軸(赤い字で示す)に関するグラフと考えれば、
このグラフは、(y/2)軸に関しては、
下の図のように、
y=xのグラフと形が同じになります。
  このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した(y/a)軸を、y軸に換算して考えればわかりやすくなります。

同じように、
y=(x/b)のグラフを考えるとき、
y=xの形の式に変形してからグラフを考えます。
すなわち、
y=(x/b)のグラフは、
b=3のとき、
下のグラフに赤字で示した(x/3)軸とy軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、(x/3)軸に関しては、
下のグラフのように、
y=xのグラフと形が同じになります。
  このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した(x/b)軸を、x軸に換算して考えればわかりやすくなります。

同じように、
y−c=xのグラフを考えるとき、
(y−c)=xの形の式に変形してからグラフを考えます。
例えば、c=1のとき、
x軸と、下のグラフに赤字で示した(y−1)軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、(y−1)軸に関しては、
下の図のように、
y=xのグラフと形が同じになります。
  このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した(y−c)軸を、y軸に換算して考えればわかりやすくなります。

同じように、
y=(x−d)のグラフを考えるとき、
y=xの形の式に変形してからグラフを考えます。
例えば、d=4のとき、
y=(x−4)のグラフは、
下のグラフに赤字で示した(x−4)軸とy軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、(x−4)軸に関しては、
下の図のように、
y=xのグラフと形が同じになります。
  このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した(x−d)軸を、x軸に換算して考えればわかりやすくなります。

リンク:
2次関数のグラフの頂点に関する話
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
高校数学(グラフと数式)一覧
高校数学の目次



2009年05月17日(Sun)▲ページの先頭へ
高校数学について一言
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

 高校数学は、中学とはうって変わって急に教わる項目が増えるので、
ついていくのがやっとだと思います。
これは大問題だとおもいます。

その大変な高校数学をなんとかこなして得意にするには、、
良い先生をみつけて、
難しい公式などもおぼえかた、コツなどを1つ1つ教わるのがコツ
と思います。
苦労した後で、なんだ、これを知っていれば、もっと楽に数学がわかったのに、、、
という経験をしたことがある良い先生に、そのコツを教えてもらうのが良いと思います。

ちなみに、私が数学が得意になったのは、自習によるところが大きかったです。
授業中にも、自分の問題を解いたりして
いつの間にか自習していたりしていたことも多かったです。
数学は、とにかく問題を自分で解くことが第1に大切です。

数学を学ぶ上で一番大切なこころがまえを言います。
「数学を勉強する目的は、楽な方法を教わるため」です。
数学は楽に解く方法を求めた集大成です。
少しでも楽に、楽に、数学を学ぶようにこころがけるのが数学の「心」だと思います。

どこかで、数学がわからなくなった場合、それ以降は、わからなくなります。
楽ではなくなります。
そいうときは、わからなくなった数学の話は一切聞く必要は無いと私は思います。
(わからなくても授業を聞いていれば、後で役立つ一片の言葉でも得られるかもしれない、
という甘い期待はいだかない方が良いです。
数学では、後で役立つ一片の知識は、自分自身で問題を解いて納得した知識です。
それが役に立つ宝だからです。)

(ただ、数学をきらいにならないで欲しいです。
わからない数学の授業時間は無駄なので、わからない授業は無視して、
自分のわからなくなったところから、参考書で自分の数学の勉強を自習するのが良いです。)

もし、数学の授業中には、そのように授業とはちがう自習をするのが困難なら、
わからない数学の授業中には英語の勉強でもして、後で落ち着いて自分の数学の勉強をするのも一つの方法と思います。

数学というのは、楽をするコツを自分で習得するものですので、自習の効果が
分からなくなった授業を聞くことに比べ100倍ぐらい効果があります。
(分かる授業の効果は自習の2倍くらい効果があるとは思いますが、、)

それで、数学を得意になろうと思ったら、
分からなくなったところから、ていねいに教えてくれる先生をみつけて、
自分がわかるところから、次にわかることまで、教わりながら(自習の2倍から4倍の効果)
マイペースで勉強するのが良いです。

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月16日(Sat)▲ページの先頭へ
チェバの定理
第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(3/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

定理17 チェバの定理
上の図で
(a1/a2)(b1/b2)(c1/c2)=1
これがチェバの定理です。

以下、この定理を証明します。
【証明】
上図の赤線のように補助線を引きます。
すると、
△RAX∽△RBYから
u=(c2/c1)m ・・・(1)
△QAX∽△QCZから
t=(b1/b2)m ・・・(2)
△XBY∽△XZCから
t=(a2/a1)u ・・・(3)

式(1)と式(2)からmを消去する。
(u/t)=(c2/c1)(b2/b1) ・・・(4)

以下で、式(4)と式(3)からu/tを消去する。
先ず、式(3)から
(t/u)=(a2/a1)
これを式(4)に代入する。
(a1/a2)=(c2/c1)(b2/b1)

(a1/a2)(c1/c2)(b1/b2)=1
(証明おわり)

【究極の証明方法】 
補助線を引いてチェバの定理を証明するのが面倒くさいので、以下の様に3次元空間を使って証明します。
この平面図形を3次元空間に配置し、
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。

上図のように直線BXQの高さを(0)にし、点Aの高さを(b2)にし、点Cの高さを(−b1)にします。

次に、この図の点Pの高さを求めます。
AX:XPが求められました。

この式を見ると、式にc1とc2がありません。
図形の左右を入れ替えるとbとcが置き換わりますので、
この式をcであらわすこともできることがわかります。

そのため、同様にして、AX:XPをcであらわした式を求めます。


AX:XPをあわらした以上の2つの式を連立します。
(証明おわり)

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月10日(Sun)▲ページの先頭へ
第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(2/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

以下の問14をもう1度解きます。
【問14】△ABCの辺AB,ACをそれぞれ1:2、2:3に内分する点をD,Eとし,BEとCDの交点をFとするとき、
(1)DF:FCを求めよ。

【解答】
メネラウスの定理を証明するための補助線は、他の位置に引いても、
線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られます。
そのため、図形のどこにその補助線を引けば良いか、
もう1つの補助線の位置もおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のAGであり、DCに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
(メネラウスの定理を経由せずに)
直接にこの問14を解きます。

線分AGの長さをmとします。
DF=(DB/AB)m=(2/3)m
FC=(EC/AE)m=(3/2)m

DF/FC=((2/3)m)/((3/2)m)
=4/9

DF:FC=4:9

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月09日(Sat)▲ページの先頭へ
第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(1/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問14】△ABCの辺AB,ACをそれぞれ1:2、2:3に内分する点をD,Eとし,BEとCDの交点をFとするとき、
(1)DF:FCを求めよ。



【解答】
メネラウスの定理は、
補助線を良い位置に引けば、線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られる
という定理です。
そのため、図形のどこに補助線を引けば良いか、
図形が回転した位置にあってもわかるようにおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のDGであり、BEに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
(メネラウスの定理を経由せずに)
直接にこの問14を解きます。

GE=(DB/AB)・AE=(2/3)AE
DF/FC=GE/EC
=(2/3)AE/EC
=(2/3)・(2/3)
=4/9

DF:FC=4:9

【究極の方法】
 上の解き方では、補助線を引いて問題を解きましたが、その補助線を考えるのも面倒くさいと思います。
 以下の様に考えると、問題をもっと楽に解けます。
 問題の平面図形を3次元空間に配置します。
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。
上図のように直線BFEの高さを(0)にし、点Aの高さを(6)にします。 

3次元空間における直線ADBにおいて、
AD:DB=1:2
の関係があることから、
点Dの高さは(4)になる。

直線AECにおいて、

AE:EC=2:3
の関係があることから、
点Cの高さは(−9)になる。

直線DFCの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
DF:FC=4:9
(解答おわり)


リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月06日(Wed)▲ページの先頭へ
方べきの定理の証明
第6講「円の性質」(1)円周角(2/2) 「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【定理15】円の弦ABの延長と円周上の点Tにおける接線が点Pで交わるとき、次のことが成り立つ。
PA・PB=PT
(これを「方べきの定理」と呼ぶ)
【証明】
上図のように書くと、
接弦定理により〇=∠PTA=∠PBT
∠Pは共通だから、
2角相当で、
△PAT∽△PTB

したがって、
PA/PT=PT/PB
すなわち、
PA・PB=PT
(証明おわり)

リンク:
方べきの定理(の逆)の応用問題1
方べきの定理
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
高校数学の目次



2009年05月05日(Tue)▲ページの先頭へ
やさしい円周角の定理の覚え方
第6講「円の性質」(1)円周角(1/2)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

先ず、中学で習った円周角の性質を復習します。


上図のように、円を書いて補助線を引いて、同じ長さと分かる長さをことごとく記録し、
同じ角度とわかる角度をことごとく書きます。

すると、中学で習った円の角度に関する定理がほとんど思いだせると思います。
(例えば、円周角の◎と、円の接線とその接点を通る弦の作る角◎が等しい「接弦定理」など)

以下で、はじめから順に、これを書いてみます。











方べきの定理
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月04日(Mon)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(7)三角形の垂心
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

三角形の底辺を垂線で分割した線分の長さの積は垂心の高さに比例する、という垂心の性質があります。

【定理9】△ABCの3頂点A,B,Cからそれぞれ直線BC,CA,ABに引いた3本の垂線は1点Hで交わる。

【証明】以下でおぼえやすいと思われる自然な流れの思考パターンでこの定理を証明してみましょう。

上図のように、垂線ADと頂点Bから引いた垂線BEとの交点をHとします。
この図に、同じ角度だとわかる角度と、長さが分かる線の長さをことごとく書き込むと答えが見えてきます。

上図の各線分の長さをa1,a2,h,h1と名づけます。
すると、
交点Hの高さすなわちDHの長さh1=(a2・a1)/h
になります。
(△BDHは△ADCに相似であるから、この長さh1がこのようにあらわされます。)

この式は、垂線ADと線分BCとの関係だけであらわされています。
同様にして、
頂点Cから線分ABに垂直に引いた垂線と垂線ADとの交点の高さh1’も、
交点の高さh1’=(a2・a1)/h
になります。

そのため、その交点はHと同じ位置になります。
よって、
△ABCの3頂点A,B,Cからそれぞれ直線BC,CA,ABに引いた3本の垂線は1点Hで交わります。
(証明おわり)

リンク:
方べきの定理
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の外心
三角形の内心
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年05月03日(Sun)▲ページの先頭へ
微妙な合同の条件
三角形の合同の条件は、中学で以下の3つを教わったと思います。

三辺が等しい場合


二角とその間の辺が等しい場合


二辺とその間の角度が等しい場合

【合同の条件(微妙なもの)】以下で、合同の条件で微妙なものを考えます。

2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合、
はどうでしょうか。

この条件が成り立つ場合、2つの三角形が合同になる場合もありますが、

上の図のように、合同にならない場合もあります。

上の条件だけでは、必ずしも合同にならない場合もあるのです。

そのため、この条件を以下のように微妙に修正することで、合同の条件が得られます。


上図のように、
(1)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの90°以上の角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合は、
三角形は合同になります。
(学校で教わる条件としては、角度βが直角の場合を、合同の条件として教わっています。)

もう1つの合同の条件もあります。
(2)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、c<bの場合は、
三角形は合同になります。

(3)更に、下図のように、

角度θを90度以下であるものとして角度を制限すると、 これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以下の場合は、
三角形は合同になります。

(4)同様に、
下図のように、

その角度θを90度以上であるものに角度を制限する場合でも、
これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以上の場合は、
三角形は合同になります。

(注意)これらの合同の条件は、相似の条件にも利用できると考えます。

リンク:中学数学
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月02日(Sat)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(5)三角形の内心
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

三角形の3つの内角の2等分線は、1点で交わり、その点から3辺までの距離は等しい。
その1点を三角形の内心と呼ぶ。
そして、その内心を中心として3辺に接する円を三角形の内接円とよびます。
【例題】△ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=cとし、内接円の半径をrとするとき、△ABCの面積Sは次の式で表わされることを示せ。

S=r(a+b+c)/2
内接円の中心(内心)をIとすると、
△IBCは、底辺BCに対する高さはrです。
そのため、その面積は a・r/2 です。

同様に、
△ICAも、底辺CAに対する高さはrです。
そのため、その面積は b・r/2 です。

△IABも、底辺ABに対する高さはrです。
そのため、その面積は c・r/2 です。

以上から、△ABCの面積Sは、
S=△IBC+△ICA+△IAB
=r(a+b+c)/2
になります。

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の垂心
三角形の外心
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年05月01日(Fri)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(4)三角形の重心
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

三角形の重心の性質の証明は教科書に書いてある通りですが、それを習った上で、
三角形の重心の性質をより速く思いだせるようになるために、
以下の証明方法もおぼえておいてください。

三角形の重心の性質の簡単な証明方法はここをクリック

次に、三角形の重心にかかわる大切な性質を証明する以下の問題を解きます。

【問8】△ABCの重心をOとすると、△OAB、△OBC、△OCAの面積はすべて等しいことを示しなさい。

下の図のように、三角形の各辺の中点と三角形の頂点とを結んだ図を書きます。
重心の性質から、線分OKは線分AKの長さの3分の1ですから、
△OBCの高さは△ABCの高さの3分の1です。
△OBC=△ABC/3
同様に、
△OAB=△ABC/3
△OCA=△ABC/3
そのため、
△OAB、△OBC、△OCAの面積はすべて等しく、△ABC/3になります。

リンク:
三角形の重心の性質
三角錐の重心
三角形の垂心
三角形の外心
三角形の内心
高校数学[三角比・図形]一覧
高校数学の目次



2009年04月30日(Thu)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(3)三角形の辺と角の大小関係
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問6】三角形の3辺の長さがa,b,√(a+ab+b)であるとき、最大角の大きさを求めなさい。

ここで、a,b以外の辺が√(a+b)なら角θは90度ですが、その辺がそれより大きいことから、角θは90度以上ということがわかります。

三角形の内角の和は180度ですから、1つの角度が90度より大きければ、それ以外の角度はすべて90度以下です。

そのため、90度より大きい角θがこの三角形の最大角になります。

上の図のように辺aと辺bの間の頂点をCとする三角形を書きます。
そして、余弦定理でcos(∠C)=cos(θ)を求めます。

そのcos(θ)の値が−1/2になったので、
角θは120°です。

余弦定理
第1講「三角比の考え」(2)tam15度
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年04月29日(Wed)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(2)三角形の角の2等分線(その2)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習
上図のように、AEに平行な補助線QCを引くと
c:b=m:n
となることがわかります。

リンク:
三角形の内角の2等分線
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



第5講「三角形の性質」(2)三角形の角の2等分線
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習
上図のように、ADに平行な補助線PCを引くと
c:b=m:n
となることがわかります。

リンク:
三角形の外角の2等分線
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



2009年04月27日(Mon)▲ページの先頭へ
三角錐の重心(四面体の重心)
「三角錐の重心Oの位置は、その高さの4分の1になります。」

以下に、三角錐の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角錐の重心を3次元座標の原点Oにして考えます。

三角錐ABCDの頂点の座標の平均
(A+B+C+D)/4
が三角錐の重心です。

図のように、A+B+C+D=(0,0,0)となるように座標を定めます。

ここで、三角錐の底面の三角形BCDの重心Gを定めると、
Gの座標は、
G((b+c+d)/3,(e+f+g)/3,(h+k+m)/3)=−A/3
になり、
OGは0Aに平行で長さが3分の1
の関係があることがわかります。

すなわち、AGは重心O点を通ることがわかり、
線分AGが点Oで3:1に分割されることもわかります。

すなわち、
三角錐の重心Oの位置は、その高さの4分の1になる
ことがわかります。

リンク:
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
三角形の重心
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



三角形の重心の性質
以下に、三角形の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角形の重心を座標の原点Oにして考えます。

三角形ABCの頂点の座標の平均
(A+B+C)/3
が三角形の重心です。

図のように、A+B+C=(0,0)となるように座標を定めます。

B(b,d)、
C(c,e)、
A(−b−c,−d−e)と座標を定めれば

A+B+C=0になります。

ここで、BCの中点Kを定めると、
Kの座標は、
K((b+c)/2,(d+e)/2)=−A/2
になり、
OKは0Aに平行で長さが2分の1
の関係があることがわかります。

すなわち、AKは重心O点を通ることがわかり、
線分AKが点Oで2:1に分割されることもわかります。

同様な証明のしかたで、三角錐の重心の性質もわかります。

リンク:
三角形の重心の性質の別解
三角錐の重心
三角形の垂心
三角形の外心
三角形の内心
2次関数のグラフの頂点に関する話
リンク:中学数学
リンク:高校数学(図形)一覧
高校数学の目次



2009年04月26日(Sun)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(1)線分の長さと比
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問2】次の図において、辺の長さx,yを求めなさい。
(3)AD//EF//BC



平行線間の線分の長さの比が同じ。



リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年04月25日(Sat)▲ページの先頭へ
正四面体に内接する球
第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その3/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(3)この正四面体に内接する球の半径rを求めなさい。
教科書の解き方が一番良いと思いますが、それとは異なる解き方をしてみます。

正四面体に内接する球の中心は4つの面それぞれから半径rの距離の位置にあります。
それで、Oを頂点として1つの面を底面(面積S)とする三角錐が正四面体の4面の数だけできます。その4つの三角錐の形は合同です。その三角錐の高さはrになります。

そのため、
その三角錐の体積×正四面体の面の数=正四面体の体積(V)になり、
三角錐の体積に関して以下の関係が成り立ちます。
S・r/3=V/4=(S・(正四面体の高さ)/3)/4

この式を変形します。
r=(正四面体の高さ)/4
=((√6)/3)a/4
=((√6)/12)a

(参考)正四面体の重心位置は高さの4分の1

リンク:
三角錐の重心(四面体の重心)
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体の面が交差する角度
リンク:高校数学の一覧
リンク:高校数学の目次



正四面体に外接する球
第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その2/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(2)この正四面体に外接する球の半径Rを求めなさい。

図に球の中心Oを書き加えます。

正四面体の重心は、正四面体の高さの4分の1の位置にあります
正四面体はどの面を底面としても、その高さが同じ図形です。

そのため、正四面体の重心から正四面体の頂点までの長さは、頂点がABCDのどの点であっても同じ長さです。
そのため、重心を中心にする球は正四面体の頂点ABCD全てに接します。
よって、重心を中心とする球は正四面体に外接します。

ゆえに、正四面体に外接する球の半径Rの長さは、正四面体の重心から頂点までの長さであり、
それは、正四面体の高さの3/4です。

そして、正四面体の高さは、(√6/3)aです
∴R=(3/4)×(√6/3)a
=(√6/4)a

リンク:
三角錐の重心(四面体の重心)
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
リンク:高校数学の一覧
リンク:高校数学の目次



正四面体の高さと表面積と体積
第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その1/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(1)この正四面体の表面積Sと体積Vを求めなさい。

この問題を解くためには、下図のように正四面体を書いて、わかる角度と長さをことごとく、(記号と数式で)図に書き込みます。すると答えが見えてきます。

図のAで〇印で書いた線分EGの長さのEDに対する3分の1の比は、以下のようにしてわかります。

頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をGとすると、Gを頂点とする3つの三角形、△GBCと△GCDと△GDBは合同になります。

そのため、Gを頂点とする△GBCの面積は、底面BCDの面積の1/3です。
(三角形BCDが正三角形で無くても、Gが重心ならば、△GBCの面積は、三角形BCDの面積の1/3です。)

その面積の比から、△GBCの高さGEは、底面DBCの高さDEの1/3になります。
∴〇印で書いた線分の長さの比が1/3になることがわかりました。

図のBに計算式を記述した正四面体の高さを計算しておきます。
この式の(計算用紙での)計算は、計算のリズムを乱す(自分にとって)難しい変形はしないで、少しづつ式を変形していきます。


図から、正四面体の1つの面(三角形)の面積S/4は、
∴表面積S=(√3)a

体積V=底面積×高さ/3

リンク;
三角錐の体積の公式
三角錐の重心(四面体の重心)
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
リンク:高校数学の一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月22日(Wed)▲ページの先頭へ
三角形の面積を外接円の半径を使って求める
第4講「図形の計量」(3)空間図形への応用
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問43】凾`BCの3辺をa,b,c,面積をS,・・・外接円の半径をRとすると、次の関係が成立することを示しなさい。

(1)S=(abc)/(4R)
この問題は、上の式のように、正弦定理を使って計算できます。
この結果の答えが面白いのでおぼえておいても良いですが、
答えをおぼえるよりは、この解き方の方がおぼえやすいと思います。

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
リンク:正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月21日(Tue)▲ページの先頭へ
余弦定理の2番目にやさしい覚え方
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)を確実におぼえられない人のために、素早く余弦定理を計算する方法を考えてみました。
上の図のような三角形を考えて、
三角形の左右の斜辺の二乗どうしの引き算をすると、
点Dで分割された底辺の長さの二乗どうしの引き算になります。

二乗どうしの引き算はすぐ因数分解でき、
《つまり、公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使い、》
因数分解するとすぐXの一次式になり、
上式のようにX=c・cos(θ)=c・cosBを代入してXを消して、
更に、
−b=2c・a・cosB−a
+a−b=2c・a・cosB

と計算でき、第2余弦定理が出てきます。

この計算は二乗の式を展開しないので、計算が速くできます。

この計算過程をおぼえておけば、
すぐ余弦定理を導くことができる(余弦定理が確実に出てくる)ようになります。

リンク:
第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)
三角形の辺と角の等式の証明
余弦定理の活用例(1)
余弦定理の活用例(2)
(高校)三平方の定理
高校数学(三角比・図形)一覧
高校数学の目次



2009年04月20日(Mon)▲ページの先頭へ
第4講「図形の計量」(2)空間図形の計量
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問39】下図のような1辺の長さが10の正四面体ABCDについて、
(1)辺BCの中点をM、∠AMD=θとするとき、cos(θ)の値を求める。

(解答)
上図のように、図中にわかる長さをことごとく書き込む。
θを持つ三角形の3辺の長さ全てがわかっているので、
cos(θ)は、以下のようにして余弦定理から求められます。

リンク:
正四面体の重心
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積Sと体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月19日(Sun)▲ページの先頭へ
三角形の面積(二辺侠角から残りの辺を求める)
第4講「図形の計量」(1)三角形の面積(その2)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題19】の一部:下図の長さxを求める。

二辺侠角がわかっている三角形の残りの辺の長さは、余弦定理から求められます。
上図で、長さxは、余弦定理から求められます。

x=√{c+a−2ca・cos(θ)}

です。
余弦定理は、上図のように三平方の定理を使って三角形の残りの辺の長さを求める式を導いた答えの式です。
余弦定理を確実におぼえにくい人は、
上図の式ですばやく余弦定理が計算できるように練習してください。
そうすれば、余弦定理が確実に身につきます。

リンク:
第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積(三辺と外接円の半径)
三角形の面積を三辺から求める公式
(高校)三平方の定理
高校数学[三角比・平面図形編]一覧
高校数学の目次



三角形の面積(二辺侠角)
第4講「図形の計量」(1)三角形の面積
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

上図のように、正弦(sin)を使うと二辺侠角から平行四辺形の面積が得られます。

平行四辺形の面積=ac・sin(θ)

であらわせます。
平行四辺形の面積を半分にすると三角形の面積が得られます。

リンク:
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



2009年04月18日(Sat)▲ページの先頭へ
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習



【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)-b・cos(A))=a2-b2

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題の解答用紙には書かない、計算用紙に書く計算(自分が納得して計算する)の細部を書きます。
(計算にはリズムがあります。計算用紙に書く自分の計算では、計算のリズムを乱す難しい式の変換はしないで、少しづつ式を変形するのが計算のコツです。)

ここでcos(B)を(第2)余弦定理で変換します。
《cosBに着目して置き換える事が重要。(ca・cosB)のまとめ置きかえは変換の自由度が低いので覚える価値低》
ここでcos(A)を(第2)余弦定理で変換します。
《以下の計算は、以下の2行は暗算により省略可能》
《以下の2〜3行は暗算により省略することも可能》
(証明おわり)

以上の計算で、式を変形するとき、カッコをたくさん使って計算するのがコツです。カッコをつけ忘れないよう注意して計算してください。

【別解】
以上とは異なる発想で、この等式を以下のようにして解くこともできます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0
この式から、変数cを減らします。
それは、以下の、第1余弦定理を利用します。
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線で辺cを分割した各線分の長さは、
a・cos(B)とb・cos(A)です。
そのため、以下の式がなりたちます(第1余弦定理)。
c=a・cos(B)+b・cos(A)
この式を先の式に代入して変数cを減らします。
(a・cos(B)+b・cos(A))(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0
この式を変形します。
(a・cos(B))2-(b・cos(A))2-{a2-b2}=0
-a2(1-cos2(B))+b2(1-cos2(A))=0
-a2(sin2(B))+b2(sin2(A))=0
-(a・sin(B))2+(b・sin(A))2=0
ここで、a・sin(B)も、b・sin(A)も、ともに、
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです(正弦定理)。
a・sin(B)=b・sin(A)
そのため、
-(a・sin(B))2+(b・sin(A))2=0
がなりたります。
(証明おわり)

【更に別解】
c(a・cosB-b・cosA)-{a2-b2}=0
を証明する。
この式の左辺をabcで割り算した式をFとする。
以下の2つの一番覚え易い形の第2余弦定理を代入する。
これをFに代入すると、


2009年04月17日(Fri)▲ページの先頭へ
第3講「三角形の辺と角」(2)余弦定理の覚え方
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習


上図から、三角形の辺に関して以下の関係が成り立ちます。
{c2 − X2}={b2 − (a − X)2}
c2 − X2=b2 − (a − X)2
c2− X2=b2−a2+2aX−X2
c2+a2−b2=2aX

ここで、
X=c・cos(∠B)
であることを代入する。
c2+a2−b2=2ac・cos(∠B)
これを第2余弦定理と呼びます。

ここで、この計算には
a=c・cos(∠B)+b・cos(∠C)
X=c・cos(∠B)
という式(第1余弦定理)を使いました。

ココをクリックすると、もっとおぼえやすい余弦定理の導き方(余弦定理の2番目にやさしい覚え方)があります

【余弦定理の一番やさしい覚え方】
上の図で、
c=b・cosA+a・cosB  (第1余弦定理)
です。
この式をa・bで割り算すると、
同様にして、
が得られます。
式1+式2−式3を計算すると、
となり、(第2)余弦定理が得られました。
この式4の形の余弦定理を覚えることが、多分、余弦定理を一番やさしく覚えられます。

【数式を見るコツ】
上の第2余弦定理の式、
これは複雑な式に見えますが、以下のように考えると、この式が簡単な式に見えてきます。

三角形の辺の長さをあらわすa,b,cは長さ(mとかcm)の単位を持ちます。
一方、cosBは、単位が1です。これは、無次元量とも呼びます。
長さの単位を累乗した累乗の程度は、式の左右で必ず同じになります。
このことを、「式の左右では単位の次元が同じになる」と言います。

式4の右辺は1/bがありますから、1/[長さ]の次元を持ちます。
式4の左辺は、c等を、(abc)で割り算しますので、
[長さ]/[長さ]=1/[長さ]
の次元になり、式の右辺と長さの次元が同じになります。
式4の左辺は右辺と長さの次元が一致するためにはc等だけでは不足していて、(abc)で割り算する必要がありました。

式の左右で単位の次元が必ず同じにならなければならないことを意識すると、式4は、こうでなければならないと納得できる式に見えてきます。

リンク:
余弦定理の2番目にやさしい覚え方
正弦定理
三角形の辺と角の等式の証明
余弦定理の活用例(1)二辺侠角から残りの辺を求める
余弦定理の活用例(2)三角形の辺の長さを角から計算
余弦定理の活用(3)三角形の面積を三辺から求める公式
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
(高校)tanθを使った三平方の定理
高校数学(図形)一覧
高校数学の目次



2009年04月16日(Thu)▲ページの先頭へ
第3講「三角形の辺と角」(1)正弦定理の覚え方
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

下図のように三角形の周りに、その外接円とその円の中心(外心)とを描きます。
上の図で、三角形の頂点の角度∠A=θが外接円の円周角であり、それは中心角∠BOCの2分の1であることに注目すると、
三角形の外接円の半径Rと、三角形の頂点の角度∠A=θとその頂点Aへの対辺の長さaとの間に、以下の関係式が成り立つことがわかります。
すなわち、∠A=θの対辺の長さをaとすると、
この式を変形すると、
です。
同様に、
∠Bの対辺の長さをbとし、
∠Cの対辺の長さをcとすると、
が成り立ちます。
これらをまとめて正弦定理と呼びます。
正弦定理は、上の図の様に、円周角の定理と密接に結びついた定理です。

 円周角に関係が深い問題は正弦定理を使って解きましょう。

(後に学ぶ余弦定理は円周角に関する問題を解くのが苦手で、高校2年で学ぶベクトル方程式も円周角に関する問題を解くのが苦手です。それらの問題に正弦定理を使って解いてください。)

正弦定理は、三角形の辺と角度の間の以下の関係式も正弦定理です。
【正弦定理のやさしい覚え方】
上の図で、a・sin(B)も、b・sin(A)も、ともに、
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです。
a・sin(B)=b・sin(A) (正弦定理)
この式のように、外接円の半径を省いた形の正弦定理でも、十分に応用できます。

リンク:
余弦定理
正弦定理の応用(三角形の面積)
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の垂心
三角形の内心
高校数学(三角比・図形)一覧
高校数学の目次



2009年04月15日(Wed)▲ページの先頭へ
第2講「三角比の拡張と相互関係」(4)三角比の応用
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題13】θが鋭角のとき、次の等式が成り立つことを示しなさい。
(1)sin(90°+θ)=cos(θ)

以下で、この等式を計算で導きます。
(この式を新しくおぼえるかわりに、以下のように素早く計算できるようになればおぼえないでも良くなります。
そのため、素早く計算する方をおぼえた方が良いです。)

sin(90°+θ)
=sin(90°−(−θ))
=cos((−θ))・・・このsinとcosの変換の公式だけはおぼえておいて使います
=cos(θ)・・・このcosの中の符号の変換の公式もおぼえておいて使います。

この計算手順だけをおぼえておけば、余分な公式はおぼえないでも、すぐ使えます。

なお、これから、式の計算をたくさんこなさなければならないと思いますが、
式の計算には、リズムがあります。
それは、易しい計算を繰り返すというリズムであって、
「難しい式の変換を行ったりはしない」
のが計算のリズムです。
このリズムをくずさないで計算すれば、
楽に答えを計算できます。

例えば、
sin(90°+θ)=cos(θ)
という、変換はしないで、
いつも、
sin(90°−θ)=cos(θ)

cos(−θ)=cos(θ)
だけを使って計算する
やさしい変換のみをするのが
式の計算のリズムを守るということです。

リンク:
三角比の相互関係(応用問題)(1)
リンク:三角比の拡張の応用
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:(高校)三平方の定理 1/cosθ=tanθ+1
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月14日(Tue)▲ページの先頭へ
第2講「三角比の拡張と相互関係」(3)三角方程式
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

sin(θ)=√3/2
を解いてθを求めるには、
下のような図を書いて、高さが√3/2の水平線と交わる円の交点を求める。

サインは、円周上の点を垂直線(Y軸)に投影した高さです。
交わった円の位置の角度θが求めるθである。
上図から、この解は、
θ=60°,120°
ということがわかる。
この解を全て書くと、以下の式であらわせる。
θ=(π/2)+2nπ±(π/6)
ただし、nは整数。また、π=180度。

cos(θ)=1/2
を解いてθを求めるには、
下のような図を書いて、水平位置が1/2の垂直線(点線)と交わる円の交点を求める。

コサインは、円周上の点を水平線(X軸)に投影した水平長さです。
交わった円の位置の角度θが求めるθである。
上図から、この解は、
θ=60°,300°
ということがわかる。
この解を全て書くと、以下の式であらわせる。
θ=2nπ±(π/3)
ただし、nは整数。また、π=180度。

リンク:(高校)三平方の定理
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



1 2    全56件




新着トラックバック/コメント


カレンダ
2009年5月
         
           

アーカイブ
2009年 (56)
2月 (1)
3月 (14)
4月 (30)
5月 (11)
2010年 (31)
7月 (1)
8月 (17)
9月 (4)
10月 (7)
11月 (1)
12月 (1)
2011年 (105)
1月 (10)
2月 (11)
3月 (16)
4月 (31)
5月 (4)
7月 (12)
8月 (12)
9月 (5)
11月 (3)
12月 (1)
2012年 (28)
1月 (3)
2月 (8)
3月 (6)
4月 (8)
5月 (1)
7月 (2)
2013年 (149)
1月 (12)
2月 (36)
7月 (5)
8月 (7)
9月 (22)
10月 (26)
11月 (25)
12月 (16)
2014年 (27)
1月 (13)
2月 (12)
3月 (2)
2015年 (47)
1月 (1)
2月 (6)
3月 (8)
4月 (16)
5月 (11)
6月 (4)
12月 (1)
2016年 (55)
4月 (4)
8月 (4)
9月 (6)
10月 (6)
11月 (22)
12月 (13)
2017年 (85)
1月 (10)
2月 (2)
3月 (5)
4月 (5)
5月 (10)
6月 (13)
7月 (15)
8月 (12)
9月 (13)

アクセスカウンタ
今日:1,938
昨日:3,509
累計:1,818,833