勉強しようNTTのBlog - 2009/04

算数の問題と解答とを考えていきます。




2009年04月30日(Thu)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(3)三角形の辺と角の大小関係
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問6】三角形の3辺の長さがa,b,√(a+ab+b)であるとき、最大角の大きさを求めなさい。

ここで、a,b以外の辺が√(a+b)なら角θは90度ですが、その辺がそれより大きいことから、角θは90度以上ということがわかります。

三角形の内角の和は180度ですから、1つの角度が90度より大きければ、それ以外の角度はすべて90度以下です。

そのため、90度より大きい角θがこの三角形の最大角になります。

上の図のように辺aと辺bの間の頂点をCとする三角形を書きます。
そして、余弦定理でcos(∠C)=cos(θ)を求めます。

そのcos(θ)の値が−1/2になったので、
角θは120°です。

余弦定理
第1講「三角比の考え」(2)tam15度
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年04月29日(Wed)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(2)三角形の角の2等分線(その2)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習
上図のように、AEに平行な補助線QCを引くと
c:b=m:n
となることがわかります。

リンク:
三角形の内角の2等分線
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



第5講「三角形の性質」(2)三角形の角の2等分線
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習
上図のように、ADに平行な補助線PCを引くと
c:b=m:n
となることがわかります。

リンク:
三角形の外角の2等分線
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



2009年04月27日(Mon)▲ページの先頭へ
三角錐の重心(四面体の重心)
「三角錐の重心Oの位置は、その高さの4分の1になります。」

以下に、三角錐の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角錐の重心を3次元座標の原点Oにして考えます。

三角錐ABCDの頂点の座標の平均
(A+B+C+D)/4
が三角錐の重心です。

図のように、A+B+C+D=(0,0,0)となるように座標を定めます。

ここで、三角錐の底面の三角形BCDの重心Gを定めると、
Gの座標は、
G((b+c+d)/3,(e+f+g)/3,(h+k+m)/3)=−A/3
になり、
OGは0Aに平行で長さが3分の1
の関係があることがわかります。

すなわち、AGは重心O点を通ることがわかり、
線分AGが点Oで3:1に分割されることもわかります。

すなわち、
三角錐の重心Oの位置は、その高さの4分の1になる
ことがわかります。

リンク:
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
三角形の重心
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



三角形の重心の性質
以下に、三角形の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角形の重心を座標の原点Oにして考えます。

三角形ABCの頂点の座標の平均
(A+B+C)/3
が三角形の重心です。

図のように、A+B+C=(0,0)となるように座標を定めます。

B(b,d)、
C(c,e)、
A(−b−c,−d−e)と座標を定めれば

A+B+C=0になります。

ここで、BCの中点Kを定めると、
Kの座標は、
K((b+c)/2,(d+e)/2)=−A/2
になり、
OKは0Aに平行で長さが2分の1
の関係があることがわかります。

すなわち、AKは重心O点を通ることがわかり、
線分AKが点Oで2:1に分割されることもわかります。

同様な証明のしかたで、三角錐の重心の性質もわかります。

リンク:
三角形の重心の性質の別解
三角錐の重心
三角形の垂心
三角形の外心
三角形の内心
2次関数のグラフの頂点に関する話
リンク:中学数学
リンク:高校数学(図形)一覧
高校数学の目次



2009年04月26日(Sun)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(1)線分の長さと比
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問2】次の図において、辺の長さx,yを求めなさい。
(3)AD//EF//BC



平行線間の線分の長さの比が同じ。



リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年04月25日(Sat)▲ページの先頭へ
正四面体に内接する球
第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その3/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(3)この正四面体に内接する球の半径rを求めなさい。
教科書の解き方が一番良いと思いますが、それとは異なる解き方をしてみます。

正四面体に内接する球の中心は4つの面それぞれから半径rの距離の位置にあります。
それで、Oを頂点として1つの面を底面(面積S)とする三角錐が正四面体の4面の数だけできます。その4つの三角錐の形は合同です。その三角錐の高さはrになります。

そのため、
その三角錐の体積×正四面体の面の数=正四面体の体積(V)になり、
三角錐の体積に関して以下の関係が成り立ちます。
S・r/3=V/4=(S・(正四面体の高さ)/3)/4

この式を変形します。
r=(正四面体の高さ)/4
=((√6)/3)a/4
=((√6)/12)a

(参考)正四面体の重心位置は高さの4分の1

リンク:
三角錐の重心(四面体の重心)
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体の面が交差する角度
リンク:高校数学の一覧
リンク:高校数学の目次



正四面体に外接する球
第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その2/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(2)この正四面体に外接する球の半径Rを求めなさい。

図に球の中心Oを書き加えます。

正四面体の重心は、正四面体の高さの4分の1の位置にあります
正四面体はどの面を底面としても、その高さが同じ図形です。

そのため、正四面体の重心から正四面体の頂点までの長さは、頂点がABCDのどの点であっても同じ長さです。
そのため、重心を中心にする球は正四面体の頂点ABCD全てに接します。
よって、重心を中心とする球は正四面体に外接します。

ゆえに、正四面体に外接する球の半径Rの長さは、正四面体の重心から頂点までの長さであり、
それは、正四面体の高さの3/4です。

そして、正四面体の高さは、(√6/3)aです
∴R=(3/4)×(√6/3)a
=(√6/4)a

リンク:
三角錐の重心(四面体の重心)
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
リンク:高校数学の一覧
リンク:高校数学の目次



正四面体の高さと表面積と体積
第4講「図形の計量」(4)球の体積と表面積(その1/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題23】1辺の長さがaである正四面体について、次の問に答えなさい。
(1)この正四面体の表面積Sと体積Vを求めなさい。

この問題を解くためには、下図のように正四面体を書いて、わかる角度と長さをことごとく、(記号と数式で)図に書き込みます。すると答えが見えてきます。

図のAで〇印で書いた線分EGの長さのEDに対する3分の1の比は、以下のようにしてわかります。

頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をGとすると、Gを頂点とする3つの三角形、△GBCと△GCDと△GDBは合同になります。

そのため、Gを頂点とする△GBCの面積は、底面BCDの面積の1/3です。
(三角形BCDが正三角形で無くても、Gが重心ならば、△GBCの面積は、三角形BCDの面積の1/3です。)

その面積の比から、△GBCの高さGEは、底面DBCの高さDEの1/3になります。
∴〇印で書いた線分の長さの比が1/3になることがわかりました。

図のBに計算式を記述した正四面体の高さを計算しておきます。
この式の(計算用紙での)計算は、計算のリズムを乱す(自分にとって)難しい変形はしないで、少しづつ式を変形していきます。


図から、正四面体の1つの面(三角形)の面積S/4は、
∴表面積S=(√3)a

体積V=底面積×高さ/3

リンク;
三角錐の体積の公式
三角錐の重心(四面体の重心)
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
リンク:高校数学の一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月22日(Wed)▲ページの先頭へ
三角形の面積を外接円の半径を使って求める
第4講「図形の計量」(3)空間図形への応用
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問43】凾`BCの3辺をa,b,c,面積をS,・・・外接円の半径をRとすると、次の関係が成立することを示しなさい。

(1)S=(abc)/(4R)
この問題は、上の式のように、正弦定理を使って計算できます。
この結果の答えが面白いのでおぼえておいても良いですが、
答えをおぼえるよりは、この解き方の方がおぼえやすいと思います。

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
リンク:正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月21日(Tue)▲ページの先頭へ
余弦定理の2番目にやさしい覚え方
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)を確実におぼえられない人のために、素早く余弦定理を計算する方法を考えてみました。
上の図のような三角形を考えて、
三角形の左右の斜辺の二乗どうしの引き算をすると、
点Dで分割された底辺の長さの二乗どうしの引き算になります。

二乗どうしの引き算はすぐ因数分解でき、
《つまり、公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使い、》
因数分解するとすぐXの一次式になり、
上式のようにX=c・cos(θ)=c・cosBを代入してXを消して、
更に、
−b=2c・a・cosB−a
+a−b=2c・a・cosB

と計算でき、第2余弦定理が出てきます。

この計算は二乗の式を展開しないので、計算が速くできます。

この計算過程をおぼえておけば、
すぐ余弦定理を導くことができる(余弦定理が確実に出てくる)ようになります。

リンク:
第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)
三角形の辺と角の等式の証明
余弦定理の活用例(1)
余弦定理の活用例(2)
(高校)三平方の定理
高校数学(三角比・図形)一覧
高校数学の目次



2009年04月20日(Mon)▲ページの先頭へ
第4講「図形の計量」(2)空間図形の計量
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問39】下図のような1辺の長さが10の正四面体ABCDについて、
(1)辺BCの中点をM、∠AMD=θとするとき、cos(θ)の値を求める。

(解答)
上図のように、図中にわかる長さをことごとく書き込む。
θを持つ三角形の3辺の長さ全てがわかっているので、
cos(θ)は、以下のようにして余弦定理から求められます。

リンク:
正四面体の重心
三角錐の体積の公式
正四面体の高さと表面積Sと体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月19日(Sun)▲ページの先頭へ
三角形の面積(二辺侠角から残りの辺を求める)
第4講「図形の計量」(1)三角形の面積(その2)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題19】の一部:下図の長さxを求める。

二辺侠角がわかっている三角形の残りの辺の長さは、余弦定理から求められます。
上図で、長さxは、余弦定理から求められます。

x=√{c+a−2ca・cos(θ)}

です。
余弦定理は、上図のように三平方の定理を使って三角形の残りの辺の長さを求める式を導いた答えの式です。
余弦定理を確実におぼえにくい人は、
上図の式ですばやく余弦定理が計算できるように練習してください。
そうすれば、余弦定理が確実に身につきます。

リンク:
第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積(三辺と外接円の半径)
三角形の面積を三辺から求める公式
(高校)三平方の定理
高校数学[三角比・平面図形編]一覧
高校数学の目次



三角形の面積(二辺侠角)
第4講「図形の計量」(1)三角形の面積
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

上図のように、正弦(sin)を使うと二辺侠角から平行四辺形の面積が得られます。

平行四辺形の面積=ac・sin(θ)

であらわせます。
平行四辺形の面積を半分にすると三角形の面積が得られます。

リンク:
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



2009年04月18日(Sat)▲ページの先頭へ
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習



【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)-b・cos(A))=a2-b2

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題の解答用紙には書かない、計算用紙に書く計算(自分が納得して計算する)の細部を書きます。
(計算にはリズムがあります。計算用紙に書く自分の計算では、計算のリズムを乱す難しい式の変換はしないで、少しづつ式を変形するのが計算のコツです。)

ここでcos(B)を(第2)余弦定理で変換します。
《cosBに着目して置き換える事が重要。(ca・cosB)のまとめ置きかえは変換の自由度が低いので覚える価値低》
ここでcos(A)を(第2)余弦定理で変換します。
《以下の計算は、以下の2行は暗算により省略可能》
《以下の2〜3行は暗算により省略することも可能》
(証明おわり)

以上の計算で、式を変形するとき、カッコをたくさん使って計算するのがコツです。カッコをつけ忘れないよう注意して計算してください。

【別解】
以上とは異なる発想で、この等式を以下のようにして解くこともできます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0
この式から、変数cを減らします。
それは、以下の、第1余弦定理を利用します。
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線で辺cを分割した各線分の長さは、
a・cos(B)とb・cos(A)です。
そのため、以下の式がなりたちます(第1余弦定理)。
c=a・cos(B)+b・cos(A)
この式を先の式に代入して変数cを減らします。
(a・cos(B)+b・cos(A))(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0
この式を変形します。
(a・cos(B))2-(b・cos(A))2-{a2-b2}=0
-a2(1-cos2(B))+b2(1-cos2(A))=0
-a2(sin2(B))+b2(sin2(A))=0
-(a・sin(B))2+(b・sin(A))2=0
ここで、a・sin(B)も、b・sin(A)も、ともに、
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです(正弦定理)。
a・sin(B)=b・sin(A)
そのため、
-(a・sin(B))2+(b・sin(A))2=0
がなりたります。
(証明おわり)

【更に別解】
c(a・cosB-b・cosA)-{a2-b2}=0
を証明する。
この式の左辺をabcで割り算した式をFとする。
以下の2つの一番覚え易い形の第2余弦定理を代入する。
これをFに代入すると、


2009年04月17日(Fri)▲ページの先頭へ
第3講「三角形の辺と角」(2)余弦定理の覚え方
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習


上図から、三角形の辺に関して以下の関係が成り立ちます。
{c2 − X2}={b2 − (a − X)2}
c2 − X2=b2 − (a − X)2
c2− X2=b2−a2+2aX−X2
c2+a2−b2=2aX

ここで、
X=c・cos(∠B)
であることを代入する。
c2+a2−b2=2ac・cos(∠B)
これを第2余弦定理と呼びます。

ここで、この計算には
a=c・cos(∠B)+b・cos(∠C)
X=c・cos(∠B)
という式(第1余弦定理)を使いました。

ココをクリックすると、もっとおぼえやすい余弦定理の導き方(余弦定理の2番目にやさしい覚え方)があります

【余弦定理の一番やさしい覚え方】
上の図で、
c=b・cosA+a・cosB  (第1余弦定理)
です。
この式をa・bで割り算すると、
同様にして、
が得られます。
式1+式2−式3を計算すると、
となり、(第2)余弦定理が得られました。
この式4の形の余弦定理を覚えることが、多分、余弦定理を一番やさしく覚えられます。

【数式を見るコツ】
上の第2余弦定理の式、
これは複雑な式に見えますが、以下のように考えると、この式が簡単な式に見えてきます。

三角形の辺の長さをあらわすa,b,cは長さ(mとかcm)の単位を持ちます。
一方、cosBは、単位が1です。これは、無次元量とも呼びます。
長さの単位を累乗した累乗の程度は、式の左右で必ず同じになります。
このことを、「式の左右では単位の次元が同じになる」と言います。

式4の右辺は1/bがありますから、1/[長さ]の次元を持ちます。
式4の左辺は、c等を、(abc)で割り算しますので、
[長さ]/[長さ]=1/[長さ]
の次元になり、式の右辺と長さの次元が同じになります。
式4の左辺は右辺と長さの次元が一致するためにはc等だけでは不足していて、(abc)で割り算する必要がありました。

式の左右で単位の次元が必ず同じにならなければならないことを意識すると、式4は、こうでなければならないと納得できる式に見えてきます。

リンク:
余弦定理の2番目にやさしい覚え方
正弦定理
三角形の辺と角の等式の証明
余弦定理の活用例(1)二辺侠角から残りの辺を求める
余弦定理の活用例(2)三角形の辺の長さを角から計算
余弦定理の活用(3)三角形の面積を三辺から求める公式
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
(高校)tanθを使った三平方の定理
高校数学(図形)一覧
高校数学の目次



2009年04月16日(Thu)▲ページの先頭へ
第3講「三角形の辺と角」(1)正弦定理の覚え方
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

下図のように三角形の周りに、その外接円とその円の中心(外心)とを描きます。
上の図で、三角形の頂点の角度∠A=θが外接円の円周角であり、それは中心角∠BOCの2分の1であることに注目すると、
三角形の外接円の半径Rと、三角形の頂点の角度∠A=θとその頂点Aへの対辺の長さaとの間に、以下の関係式が成り立つことがわかります。
すなわち、∠A=θの対辺の長さをaとすると、
この式を変形すると、
です。
同様に、
∠Bの対辺の長さをbとし、
∠Cの対辺の長さをcとすると、
が成り立ちます。
これらをまとめて正弦定理と呼びます。
正弦定理は、上の図の様に、円周角の定理と密接に結びついた定理です。

 円周角に関係が深い問題は正弦定理を使って解きましょう。

(後に学ぶ余弦定理は円周角に関する問題を解くのが苦手で、高校2年で学ぶベクトル方程式も円周角に関する問題を解くのが苦手です。それらの問題に正弦定理を使って解いてください。)

正弦定理は、三角形の辺と角度の間の以下の関係式も正弦定理です。
【正弦定理のやさしい覚え方】
上の図で、a・sin(B)も、b・sin(A)も、ともに、
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです。
a・sin(B)=b・sin(A) (正弦定理)
この式のように、外接円の半径を省いた形の正弦定理でも、十分に応用できます。

リンク:
余弦定理
正弦定理の応用(三角形の面積)
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の垂心
三角形の内心
高校数学(三角比・図形)一覧
高校数学の目次



2009年04月15日(Wed)▲ページの先頭へ
第2講「三角比の拡張と相互関係」(4)三角比の応用
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【練習問題13】θが鋭角のとき、次の等式が成り立つことを示しなさい。
(1)sin(90°+θ)=cos(θ)

以下で、この等式を計算で導きます。
(この式を新しくおぼえるかわりに、以下のように素早く計算できるようになればおぼえないでも良くなります。
そのため、素早く計算する方をおぼえた方が良いです。)

sin(90°+θ)
=sin(90°−(−θ))
=cos((−θ))・・・このsinとcosの変換の公式だけはおぼえておいて使います
=cos(θ)・・・このcosの中の符号の変換の公式もおぼえておいて使います。

この計算手順だけをおぼえておけば、余分な公式はおぼえないでも、すぐ使えます。

なお、これから、式の計算をたくさんこなさなければならないと思いますが、
式の計算には、リズムがあります。
それは、易しい計算を繰り返すというリズムであって、
「難しい式の変換を行ったりはしない」
のが計算のリズムです。
このリズムをくずさないで計算すれば、
楽に答えを計算できます。

例えば、
sin(90°+θ)=cos(θ)
という、変換はしないで、
いつも、
sin(90°−θ)=cos(θ)

cos(−θ)=cos(θ)
だけを使って計算する
やさしい変換のみをするのが
式の計算のリズムを守るということです。

リンク:
三角比の相互関係(応用問題)(1)
リンク:三角比の拡張の応用
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:(高校)三平方の定理 1/cosθ=tanθ+1
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月14日(Tue)▲ページの先頭へ
第2講「三角比の拡張と相互関係」(3)三角方程式
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

sin(θ)=√3/2
を解いてθを求めるには、
下のような図を書いて、高さが√3/2の水平線と交わる円の交点を求める。

サインは、円周上の点を垂直線(Y軸)に投影した高さです。
交わった円の位置の角度θが求めるθである。
上図から、この解は、
θ=60°,120°
ということがわかる。
この解を全て書くと、以下の式であらわせる。
θ=(π/2)+2nπ±(π/6)
ただし、nは整数。また、π=180度。

cos(θ)=1/2
を解いてθを求めるには、
下のような図を書いて、水平位置が1/2の垂直線(点線)と交わる円の交点を求める。

コサインは、円周上の点を水平線(X軸)に投影した水平長さです。
交わった円の位置の角度θが求めるθである。
上図から、この解は、
θ=60°,300°
ということがわかる。
この解を全て書くと、以下の式であらわせる。
θ=2nπ±(π/3)
ただし、nは整数。また、π=180度。

リンク:(高校)三平方の定理
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年04月13日(Mon)▲ページの先頭へ
第2講「三角比の拡張と相互関係」(2)三角比の拡張
「佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

以下の図のようにcos(θ)=−1/3の場合に、sin(θ)とtan(θ)は図を書いて求めると確実に解ける。



リンク:(高校)三平方の定理 1/cosθ=tanθ+1
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年04月12日(Sun)▲ページの先頭へ
tanθとcosであらわした三平方の定理
第2講「三角比の拡張と相互関係」(1)三角比の相互関係
「佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

以下の図のように、三平方の定理(ピタゴラスの定理)をtan(θ)とcos(θ)であらわすことができます。
これはtanとcosを変換する重要な公式ですので、よくおぼえておくようにしましょう。

なお、(cos(θ))2をcos2(θ)と書くと、カッコ()を1組省略できるので、カッコがたくさん重なる計算をするとき、式が見やすくなるので便利です。

【この公式のやさしい覚え方】
以下の導出手順を覚えると公式がやさしく覚えられます。
1/cosθ
《1=sinθ+cosθを使う》
=(sinθ+cosθ)/cosθ
=sinθ/cosθ+1
=tanθ+1

リンク:
三平方の定理の応用問題
やさしいピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
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2009年04月11日(Sat)▲ページの先頭へ
三角錐(四面体)の体積の公式
下の図によって三角錐の体積の求め方を考えます。



上の図のように縦横高さが等しい立方体を半分に切った三角柱を考えると、
この三角柱は、上図のように、体積が等しい(底面積が等しく高さが元の立方体の辺の長さの)3つの三角錐に切り分けることができます。
それで、三角錐の体積は三角柱の3分の1であることがわかります。
すなわち、

三角錐の体積=底面積×高さ/3

です。

底面の形が円の円錐でも、底面を小さな三角形の総和であると考えれば、
三角錐の公式が使えるので、

円錐の体積=底面積×高さ/3

になることがわかります。

(別の例)

 上図のように、立方体を考えます。
立方体の中心の点を頂点とし、立方体の1つの面を底面とする図形は
高さが立方体の辺の長さの半分の四角錐です。

立方体の体積は、(その面が6つありますので)この四角錐6つに分解できます。
そのため、この四角錐の体積は

四角錐の体積=底面積×高さ/3

です。

リンク:
三角錐の体積と行列式
三角錐の重心(四面体の重心)
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
三角形の内角の和が180のやさしい証明
やさしい三平方の定理の証明
リンク:中学数学
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第1講「三角比の考え」(6)サイン,コサインについての問題演習
「佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

ここで、問題がいくつか出題されていますが、一番基本的な問題は、
以下の図のように2辺とその侠角のsin(θ)がわかれば、
三角形の面積がわかるということです。



リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
(高校)三平方の定理
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



2009年04月09日(Thu)▲ページの先頭へ
二重根号の外し方
第1講「三角比の考え」(5)サイン,コサインの応用
「佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の51ページ
が得られました。
しかし、この数は二重根号で複雑な形です。

この二重根号の解き方は、通常の検定教科書には記載されていないそうですが、
佐藤の数学教科書の51ページにその解き方が書いてありました。

ここでは、その解き方を、その説明よりも詳しく解説します。

【二重根号の外し方(方法1)】
先ず、
と変形し、その右側の項の形にします。右側の項を、
と仮定した数xとaを求めます。

(以下の計算方針では、√3という数を含んでいない数(x)と(a)を使って表わせる場合の解だけを求める計算をします。
√3を(x)か(a)が含まざるを得なかったら、そこで計算を終わりにする覚悟をして、以下の計算をします)

この式の両辺を二乗します。
 
(x)と(a)とが√3を含んでいない数であらわされるならば、
4=a・(1+3x)   (1)
と、
がなりたつと考えることができます。
2つ目の式を更に簡単にすると、

1=ax   (2)
になります。

(2)より、
(3)を(1)に代入します。
この式から、
この式4を因数分解して解くと:
(a−1)(a−3)=0
a=1 or 3

a=1の場合を(3)に代入すると、
x=1
よって、
です。
(a=3の場合も:x=1/9になって、それを代入すると同じ答えになります) 

そのため、
になりました。

よって、
です。

【二重根号の外し方(方法2)】
二重根号を外すもう1つの方法を説明します。
という形をしている2重根号は、以下の条件が成り立つ場合に外すことができます。
二重根号は外せない場合もありますので、このやり方で外せなかった場合は、それは、二重根号が外せない場合だと思っても良いです。
a=x+y   (5)
b=x・y   (6)
となるxとyを探します。
そのxとyがあれば、
です。
となるからです。
式5と6の解のx、yを求めるということは、
−a・x+b=0   (7)
の解x、yを求めることと同じです。この式7は、式4と同じ式になります。

具体的な今回の以下の問題の場合は、以下のようにして解きます。
の場合は、
と変形します。
この様に、ルートの中の式は、ルートの2倍の項を含む式に変形して、答えを求めます。
を解く場合は、
(x−4・x+3=0 (式4)を解くのと同じですが)
x+y= a=4=3+1
xy=   b=3=3・1
がなりたちますので
x=3
y=1
が見つかりました。
です。
そのため、
です。

  二重根号が外れない問題
リンク:二重根号の外し方
リンク:(高校)三平方の定理
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
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2009年04月08日(Wed)▲ページの先頭へ
第1講「三角比の考え」(4)サインとコサイン
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の40ページから

サインとコサインの定義は下の絵のように書いておぼえればおぼえやすい。

サインは垂直線の長さ、コサインは水平線の長さです。

ここで、先におぼえたtanθはsinθとcosθを使って、以下の式であらわせます。
tanθ=sinθ/cosθ
これは良くおぼえておくこと。

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
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2009年04月07日(Tue)▲ページの先頭へ
第1講「三角比の考え」(2)tam15度
「佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)25ページに、
15度の角度のタンジェントの求め方が書いてありました。



上の図を書いて、2つの等しい角度が15度の二等辺三角形を考えて、tan(15°)を求めます。

ここで、tan15°と教科書に書いてありますが、tan(15°)と書いた方が正確です。

図から、
分子と分母に(2−√3)をかけ算するのがコツ

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2009年04月05日(Sun)▲ページの先頭へ
第1講「三角比の考え」(2)tan30度
「佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)
22ページに、

以下の図のような特殊な三角形の tanθの値が書いてありました。
正三角形を半分にしたり、正方形を斜辺で半分にしたりして直角三角形を作れば理解できます。



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2009年04月04日(Sat)▲ページの先頭へ
第1講「三角比の考え」(2)タンジェントの覚え方
「佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)
21ページに、

tanθのおぼえ方が、下の図のような絵で書いてありました。
このような絵でおぼえれば、すぐおぼえられますね。



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第1講「三角比の考え」(1)相似と直角三角形
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)
を教科書にして、高校の数学を勉強していきます。
(参考)水野先生による、佐藤の数学教科書の紹介

教科書16ページのチェック2
「三角形は、対応する□つの角がそれぞれ等しければ、相似である。・・・」

この答えを見ると、□の中に埋める言葉の答えが「2」と書いてあります。
その答えは、「3」でも良いと思いますが、
2とおぼえた方が良いです。

三角形は、対応する2つの角がそれぞれ等しければ、相似です。
(2つの角度AとBが等しければ、3つ目の角度も、180度−A−Bになり、等しくなるからです。)

あと、
2つの三角形は、2辺の比が等しく、その2辺が挟む1つの角が等しければ、
相似です。

もう1つ、
2つの三角形は、3辺の比が等しければ、相似です。

微妙な合同の条件
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
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2009年04月03日(Fri)▲ページの先頭へ
かけ算九九のおぼえかた(6)
(9)最後におぼえる表
7×1= 7
7×2=14 →4・・・3つへる
7×3=21 →1・・・3つへる
7×4=28 7をたす
7×5=35 →5・・・3つへる
7×6=42 →2・・・3つへる
7×7=49 7をたす
7×8=56 →6・・・3つへる
7×9=63 →3・・・3つへる

算数もくじ



   




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カレンダ
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