勉強しようNTTのBlog - 2009/05

算数の問題と解答とを考えていきます。




2009年05月23日(Sat)▲ページの先頭へ
2次関数のグラフの平行移動
第2講「2次関数とそのグラフ」(1)
y=axのグラフと平行移動
「(佐藤の)数学教科書[2次関数編]」(東進ブックス)の学習

リンク:方べきの定理
リンク:高校数学の内容一覧

y=xのグラフは以下のグラフであらわされます。

y=axのグラフを考えるとき、
y=xの形の式に変形してからグラフを考えます。
すなわち、
y=axのグラフは
(y/a)=xのグラフです。
例えばa=2の場合を考えます。
y=2xのグラフを考えるとき、
x軸と(y/2)軸(赤い字で示す)に関するグラフと考えれば、
このグラフは、(y/2)軸に関しては、
下の図のように、
y=xのグラフと形が同じになります。
  このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した(y/a)軸を、y軸に換算して考えればわかりやすくなります。

同じように、
y=(x/b)のグラフを考えるとき、
y=xの形の式に変形してからグラフを考えます。
すなわち、
y=(x/b)のグラフは、
b=3のとき、
下のグラフに赤字で示した(x/3)軸とy軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、(x/3)軸に関しては、
下のグラフのように、
y=xのグラフと形が同じになります。
  このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した(x/b)軸を、x軸に換算して考えればわかりやすくなります。

同じように、
y−c=xのグラフを考えるとき、
(y−c)=xの形の式に変形してからグラフを考えます。
例えば、c=1のとき、
x軸と、下のグラフに赤字で示した(y−1)軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、(y−1)軸に関しては、
下の図のように、
y=xのグラフと形が同じになります。
  このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した(y−c)軸を、y軸に換算して考えればわかりやすくなります。

同じように、
y=(x−d)のグラフを考えるとき、
y=xの形の式に変形してからグラフを考えます。
例えば、d=4のとき、
y=(x−4)のグラフは、
下のグラフに赤字で示した(x−4)軸とy軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、(x−4)軸に関しては、
下の図のように、
y=xのグラフと形が同じになります。
  このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した(x−d)軸を、x軸に換算して考えればわかりやすくなります。

リンク:
2次関数のグラフの頂点に関する話
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
高校数学(グラフと数式)一覧
高校数学の目次



2009年05月17日(Sun)▲ページの先頭へ
高校数学について一言
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

 高校数学は、中学とはうって変わって急に教わる項目が増えるので、
ついていくのがやっとだと思います。
これは大問題だとおもいます。

その大変な高校数学をなんとかこなして得意にするには、、
良い先生をみつけて、
難しい公式などもおぼえかた、コツなどを1つ1つ教わるのがコツ
と思います。
苦労した後で、なんだ、これを知っていれば、もっと楽に数学がわかったのに、、、
という経験をしたことがある良い先生に、そのコツを教えてもらうのが良いと思います。

ちなみに、私が数学が得意になったのは、自習によるところが大きかったです。
授業中にも、自分の問題を解いたりして
いつの間にか自習していたりしていたことも多かったです。
数学は、とにかく問題を自分で解くことが第1に大切です。

数学を学ぶ上で一番大切なこころがまえを言います。
「数学を勉強する目的は、楽な方法を教わるため」です。
数学は楽に解く方法を求めた集大成です。
少しでも楽に、楽に、数学を学ぶようにこころがけるのが数学の「心」だと思います。

どこかで、数学がわからなくなった場合、それ以降は、わからなくなります。
楽ではなくなります。
そいうときは、わからなくなった数学の話は一切聞く必要は無いと私は思います。
(わからなくても授業を聞いていれば、後で役立つ一片の言葉でも得られるかもしれない、
という甘い期待はいだかない方が良いです。
数学では、後で役立つ一片の知識は、自分自身で問題を解いて納得した知識です。
それが役に立つ宝だからです。)

(ただ、数学をきらいにならないで欲しいです。
わからない数学の授業時間は無駄なので、わからない授業は無視して、
自分のわからなくなったところから、参考書で自分の数学の勉強を自習するのが良いです。)

もし、数学の授業中には、そのように授業とはちがう自習をするのが困難なら、
わからない数学の授業中には英語の勉強でもして、後で落ち着いて自分の数学の勉強をするのも一つの方法と思います。

数学というのは、楽をするコツを自分で習得するものですので、自習の効果が
分からなくなった授業を聞くことに比べ100倍ぐらい効果があります。
(分かる授業の効果は自習の2倍くらい効果があるとは思いますが、、)

それで、数学を得意になろうと思ったら、
分からなくなったところから、ていねいに教えてくれる先生をみつけて、
自分がわかるところから、次にわかることまで、教わりながら(自習の2倍から4倍の効果)
マイペースで勉強するのが良いです。

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月16日(Sat)▲ページの先頭へ
チェバの定理
第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(3/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

定理17 チェバの定理
上の図で
(a1/a2)(b1/b2)(c1/c2)=1
これがチェバの定理です。

以下、この定理を証明します。
【証明】
上図の赤線のように補助線を引きます。
すると、
△RAX∽△RBYから
u=(c2/c1)m ・・・(1)
△QAX∽△QCZから
t=(b1/b2)m ・・・(2)
△XBY∽△XZCから
t=(a2/a1)u ・・・(3)

式(1)と式(2)からmを消去する。
(u/t)=(c2/c1)(b2/b1) ・・・(4)

以下で、式(4)と式(3)からu/tを消去する。
先ず、式(3)から
(t/u)=(a2/a1)
これを式(4)に代入する。
(a1/a2)=(c2/c1)(b2/b1)

(a1/a2)(c1/c2)(b1/b2)=1
(証明おわり)

【究極の証明方法】 
補助線を引いてチェバの定理を証明するのが面倒くさいので、以下の様に3次元空間を使って証明します。
この平面図形を3次元空間に配置し、
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。

上図のように直線BXQの高さを(0)にし、点Aの高さを(b2)にし、点Cの高さを(−b1)にします。

次に、この図の点Pの高さを求めます。
AX:XPが求められました。

この式を見ると、式にc1とc2がありません。
図形の左右を入れ替えるとbとcが置き換わりますので、
この式をcであらわすこともできることがわかります。

そのため、同様にして、AX:XPをcであらわした式を求めます。


AX:XPをあわらした以上の2つの式を連立します。
(証明おわり)

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
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2009年05月10日(Sun)▲ページの先頭へ
第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(2/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

以下の問14をもう1度解きます。
【問14】△ABCの辺AB,ACをそれぞれ1:2、2:3に内分する点をD,Eとし,BEとCDの交点をFとするとき、
(1)DF:FCを求めよ。

【解答】
メネラウスの定理を証明するための補助線は、他の位置に引いても、
線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られます。
そのため、図形のどこにその補助線を引けば良いか、
もう1つの補助線の位置もおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のAGであり、DCに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
(メネラウスの定理を経由せずに)
直接にこの問14を解きます。

線分AGの長さをmとします。
DF=(DB/AB)m=(2/3)m
FC=(EC/AE)m=(3/2)m

DF/FC=((2/3)m)/((3/2)m)
=4/9

DF:FC=4:9

リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
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2009年05月09日(Sat)▲ページの先頭へ
第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(1/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問14】△ABCの辺AB,ACをそれぞれ1:2、2:3に内分する点をD,Eとし,BEとCDの交点をFとするとき、
(1)DF:FCを求めよ。



【解答】
メネラウスの定理は、
補助線を良い位置に引けば、線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られる
という定理です。
そのため、図形のどこに補助線を引けば良いか、
図形が回転した位置にあってもわかるようにおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のDGであり、BEに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
(メネラウスの定理を経由せずに)
直接にこの問14を解きます。

GE=(DB/AB)・AE=(2/3)AE
DF/FC=GE/EC
=(2/3)AE/EC
=(2/3)・(2/3)
=4/9

DF:FC=4:9

【究極の方法】
 上の解き方では、補助線を引いて問題を解きましたが、その補助線を考えるのも面倒くさいと思います。
 以下の様に考えると、問題をもっと楽に解けます。
 問題の平面図形を3次元空間に配置します。
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。
上図のように直線BFEの高さを(0)にし、点Aの高さを(6)にします。 

3次元空間における直線ADBにおいて、
AD:DB=1:2
の関係があることから、
点Dの高さは(4)になる。

直線AECにおいて、

AE:EC=2:3
の関係があることから、
点Cの高さは(−9)になる。

直線DFCの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
DF:FC=4:9
(解答おわり)


リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月06日(Wed)▲ページの先頭へ
方べきの定理の証明
第6講「円の性質」(1)円周角(2/2) 「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【定理15】円の弦ABの延長と円周上の点Tにおける接線が点Pで交わるとき、次のことが成り立つ。
PA・PB=PT
(これを「方べきの定理」と呼ぶ)
【証明】
上図のように書くと、
接弦定理により〇=∠PTA=∠PBT
∠Pは共通だから、
2角相当で、
△PAT∽△PTB

したがって、
PA/PT=PT/PB
すなわち、
PA・PB=PT
(証明おわり)

リンク:
方べきの定理(の逆)の応用問題1
方べきの定理
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
高校数学の目次



2009年05月05日(Tue)▲ページの先頭へ
やさしい円周角の定理の覚え方
第6講「円の性質」(1)円周角(1/2)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

先ず、中学で習った円周角の性質を復習します。


上図のように、円を書いて補助線を引いて、同じ長さと分かる長さをことごとく記録し、
同じ角度とわかる角度をことごとく書きます。

すると、中学で習った円の角度に関する定理がほとんど思いだせると思います。
(例えば、円周角の◎と、円の接線とその接点を通る弦の作る角◎が等しい「接弦定理」など)

以下で、はじめから順に、これを書いてみます。











方べきの定理
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月04日(Mon)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(7)三角形の垂心
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

三角形の底辺を垂線で分割した線分の長さの積は垂心の高さに比例する、という垂心の性質があります。

【定理9】△ABCの3頂点A,B,Cからそれぞれ直線BC,CA,ABに引いた3本の垂線は1点Hで交わる。

【証明】以下でおぼえやすいと思われる自然な流れの思考パターンでこの定理を証明してみましょう。

上図のように、垂線ADと頂点Bから引いた垂線BEとの交点をHとします。
この図に、同じ角度だとわかる角度と、長さが分かる線の長さをことごとく書き込むと答えが見えてきます。

上図の各線分の長さをa1,a2,h,h1と名づけます。
すると、
交点Hの高さすなわちDHの長さh1=(a2・a1)/h
になります。
(△BDHは△ADCに相似であるから、この長さh1がこのようにあらわされます。)

この式は、垂線ADと線分BCとの関係だけであらわされています。
同様にして、
頂点Cから線分ABに垂直に引いた垂線と垂線ADとの交点の高さh1’も、
交点の高さh1’=(a2・a1)/h
になります。

そのため、その交点はHと同じ位置になります。
よって、
△ABCの3頂点A,B,Cからそれぞれ直線BC,CA,ABに引いた3本の垂線は1点Hで交わります。
(証明おわり)

リンク:
方べきの定理
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の外心
三角形の内心
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年05月03日(Sun)▲ページの先頭へ
微妙な合同の条件
三角形の合同の条件は、中学で以下の3つを教わったと思います。

三辺が等しい場合


二角とその間の辺が等しい場合


二辺とその間の角度が等しい場合

【合同の条件(微妙なもの)】以下で、合同の条件で微妙なものを考えます。

2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合、
はどうでしょうか。

この条件が成り立つ場合、2つの三角形が合同になる場合もありますが、

上の図のように、合同にならない場合もあります。

上の条件だけでは、必ずしも合同にならない場合もあるのです。

そのため、この条件を以下のように微妙に修正することで、合同の条件が得られます。


上図のように、
(1)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの90°以上の角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合は、
三角形は合同になります。
(学校で教わる条件としては、角度βが直角の場合を、合同の条件として教わっています。)

もう1つの合同の条件もあります。
(2)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、c<bの場合は、
三角形は合同になります。

(3)更に、下図のように、

角度θを90度以下であるものとして角度を制限すると、 これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以下の場合は、
三角形は合同になります。

(4)同様に、
下図のように、

その角度θを90度以上であるものに角度を制限する場合でも、
これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以上の場合は、
三角形は合同になります。

(注意)これらの合同の条件は、相似の条件にも利用できると考えます。

リンク:中学数学
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月02日(Sat)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(5)三角形の内心
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

三角形の3つの内角の2等分線は、1点で交わり、その点から3辺までの距離は等しい。
その1点を三角形の内心と呼ぶ。
そして、その内心を中心として3辺に接する円を三角形の内接円とよびます。
【例題】△ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=cとし、内接円の半径をrとするとき、△ABCの面積Sは次の式で表わされることを示せ。

S=r(a+b+c)/2
内接円の中心(内心)をIとすると、
△IBCは、底辺BCに対する高さはrです。
そのため、その面積は a・r/2 です。

同様に、
△ICAも、底辺CAに対する高さはrです。
そのため、その面積は b・r/2 です。

△IABも、底辺ABに対する高さはrです。
そのため、その面積は c・r/2 です。

以上から、△ABCの面積Sは、
S=△IBC+△ICA+△IAB
=r(a+b+c)/2
になります。

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の垂心
三角形の外心
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2009年05月01日(Fri)▲ページの先頭へ
第5講「三角形の性質」(4)三角形の重心
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

三角形の重心の性質の証明は教科書に書いてある通りですが、それを習った上で、
三角形の重心の性質をより速く思いだせるようになるために、
以下の証明方法もおぼえておいてください。

三角形の重心の性質の簡単な証明方法はここをクリック

次に、三角形の重心にかかわる大切な性質を証明する以下の問題を解きます。

【問8】△ABCの重心をOとすると、△OAB、△OBC、△OCAの面積はすべて等しいことを示しなさい。

下の図のように、三角形の各辺の中点と三角形の頂点とを結んだ図を書きます。
重心の性質から、線分OKは線分AKの長さの3分の1ですから、
△OBCの高さは△ABCの高さの3分の1です。
△OBC=△ABC/3
同様に、
△OAB=△ABC/3
△OCA=△ABC/3
そのため、
△OAB、△OBC、△OCAの面積はすべて等しく、△ABC/3になります。

リンク:
三角形の重心の性質
三角錐の重心
三角形の垂心
三角形の外心
三角形の内心
高校数学[三角比・図形]一覧
高校数学の目次



   




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