勉強しようNTTのBlog - 2010/09

算数の問題と解答とを考えていきます。




2010年09月24日(Fri)▲ページの先頭へ
やさしい2次方程式の解の公式を2次関数のグラフから求める
二次方程式の解の公式を2次関数のグラフから求めます。
以下の2次方程式を解くことを考えます。
+BX+C=0
変形して、
(X+(B/2))−(B/2)+C=0

−(B/2)≡m
−(B/2)+C≡−D
と定義したmとDを使って式を書き直すと、
(X−m)−D=0  (式1)
となります。

ここで、
y=(X−m)−D  (式2)
の2次関数のグラフは以下のグラフになります。


この2次関数のグラフは、y=Xのグラフを平行移動したグラフであり、y=Xのグラフと合同な形です。

(式2)の2次関数のグラフがx軸と交わる場合は
y=(X−m)−D=0
とあらわされます。
これは、(式1)の二次方程式です。
ゆえに、(式2)のグラフがX軸と交わる点のX座標は(式1)の解です。

(式2)の2次関数のグラフは、
その左右対称の中心線のX座標がmであり、x軸より下の深さがDです。
また、(式2)のグラフに合同なy=Xのグラフでは、その高さがDになる位置は、x=±(√D)の位置にあります。
ゆえに、(式2)のグラフのx軸との交点のX座標は、
X=m+(√D),
X=m−(√D)
です。
これは(式1)の解です。
このX座標が、やさしい2次方程式の解の公式をあらわしています。

リンク:
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
二次関数のグラフの平行移動
中学数学一覧
高校数学(グラフと数式、他)一覧
リンク:高校数学の目次



2010年09月23日(Thu)▲ページの先頭へ
2次方程式の解の公式の応用問題
やさしい解の公式は、以下の式です。
+2ax+b=0
を因数分解すると
[x+a+√D][x+a−√D]=0
になる。ただし、D≡a−b

【問1】
次の2次方程式を解の公式を利用して解け。
3x−5x−1=0

−2・(5/6)x−(1/3)=0
[x−(5/6)+(√D)]・[x−(5/6)−(√D)]=0

√D≡√{(5/6)+(1/3)}
=√{(25/36)+(12/36)}
=√{37/36}
=(√37)/6

[x−(5/6)+(√37)/6}]
・[x−(5/6)−(√37)/6}]=0
ゆえに、
x=(5/6)−(√37)/6,
x=(5/6)+(√37)/6

リンク:
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
2次関数のグラフの頂点に関する話
二次関数のグラフの平行移動
高校数学一覧



2010年09月18日(Sat)▲ページの先頭へ
二次関数のグラフ(放物線の焦点)
放物線の面白い性質を1つ書きます。
この話題は数学C(高校3年)で学びますが、数学TA段階でも、以下の話は理解できるのではないかと思います。

y=xのグラフは以下の放物線グラフです。


このグラフのA点(0,1/4)はこの放物線の焦点と呼ばれています。
その理由は、この点Aから放物線のB点(x,y)まで行って、そこから垂直に上に上がってC点(x,4)まで行く経路の長さは、いつも同じ長さになるからです。

以下で、このことを示します。
AB=√{x+(y−(1/4))
=√{x+(x−(1/4))
=√{(x+(1/4))
=x+(1/4)

一方、
BC=4−y
=4−x

よって、
AB+BC=x+(1/4)+4−x
=(1/4)+4

このように、AからCまでの経路の長さは、
いつも同じ長さになります。

【放物線による光線の反射】
 放物線上のB点でおり曲がる経路と、B点の近くのD点でおり曲がる経路の長さが同じだと、どういうことがおきるかを、以下の図で考えます。
以下に示すように、この図の経路は、光線が放物線の部分BDを鏡にした鏡で反射する経路になります。
先ず、B点でおり曲がる経路をABCとし、D点でおり曲がる経路をA1−D−C1とします。
経路ABCと経路A1−D−C1は平行で、しかも、その長さが同じです。

経路ABCと経路A1−D−C1の長さが同じであるため、
ED=BF
となります。

△OBFと△ODEを考えると、
辺BF=辺DEであって、
α=∠ODE=∠OBFであり、∠R=∠OFB=∠OEDです。
このように2角侠辺が等しいので、△OBFと△ODEとは合同です。
また、△OBFと△ODEの残りの角である∠Oは
∠O=∠R−α=βであらわします。

△OBFと△ODEとは合同なため、OB=ODです。
そのため、三角形OBDは二等辺三角形になります。
その二等辺三角形OBDの頂角∠O(=∠BOD)=βの2等分線OHは底辺BDに垂直に交わります。

線分BDはβ=∠EDHの二等分線になり、
β/2=∠BDE=∠GDC1 の関係があります。

経路A1−D−C1を光線の経路と考えると、
∠BDE=β/2は入射する光線が線分BDと成す角であって、
∠GDC1=β/2は反射する光線が線分BDと成す角です。
そして、それらの角度が等しいので、光線の鏡への入射と反射の関係がなりたっています。
そのため、経路A1−D−C1は、線分BDの鏡に入射して反射する光線の経路と同じです。

リンク:
2次関数のグラフの頂点に関する話
二次関数のグラフの平行移動
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
高校数学一覧



2010年09月11日(Sat)▲ページの先頭へ
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
aX+bX+c=0  @
この解の公式を導く。
以下のように変形すれば、この式を因数分解して、解の公式を導くことができます。
aX+bX+c=0
変形して
+(b/a)X+(c/a)=0

(b/a) ≡ B
(c/a) ≡ C
と定義したBとCを使って式を書き直す。
+BX+C=0  A

この式Aを少し変形した式:
+BX+G=0  B
を考えます。
ここで、Gはマイナスの数になることもできるもの(Gは虚数も可能)とします。


(補足)−−−−−−−−−−−−−−−−−
 ここで、Gの二乗を使うのは、
この式Bの全ての文字定数B,Gと変数Xに長さの「次元」を持たせて、式に、次元の色合いを付けるためです。
 式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
 その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

−−−−−−−(補足おわり)−−−−−−−

更に変形した式:
+2HX+G=0  C
を考えます。
2H ≡ B
です。


変形して、
(X+H)−H+G=0  D

次に、
−G ≡ D ≡ K  E
と定義したKを使って式を書き直す。

ここで、Kの二乗を使ったのは、
式の文字定数Kに長さの「次元」を持たせるためです。


(X+H)−K=0  F
これは、因数分解できる。
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
(X+H−K)(X+H+K)=0  G
よって、Xは、
X=−H+K, H
X=−H−K  I

定数HとKを元の係数を使ってあらわすと、

HとIを書きかえると、
これで、既に解の公式であるが、
これを良く知られた解の公式の形に変形してみれば、以下の式になる。

【二次方程式の解の公式を簡単にしておぼえる】
解の公式をすぐ応用できるようになるには、
以下のように簡単にした解の公式を覚えれば十分。
+2HX+G=0  C
変形して、
(X+H)−H+G=0

ーG ≡ D ≡ K  E
と定義したKを使って式を書き変える。
(X+H)−K=0
これは、因数分解できる。
【 P−Q=(P−Q)(P+Q)を覚えておくこと。】
このように因数分解できることをおぼえてください。
あとの式は、いつでも導き出せます。

この因数分解から、Xは、
X=−H−K,
X=−H+K

リンク:
2次関数のグラフの頂点に関する話
中学数学一覧
高校数学(グラフと数式、他)一覧
リンク:高校数学の目次



   




新着トラックバック/コメント


カレンダ
2010年9月
     
   

アーカイブ
2009年 (56)
2月 (1)
3月 (14)
4月 (30)
5月 (11)
2010年 (31)
7月 (1)
8月 (17)
9月 (4)
10月 (7)
11月 (1)
12月 (1)
2011年 (105)
1月 (10)
2月 (11)
3月 (16)
4月 (31)
5月 (4)
7月 (12)
8月 (12)
9月 (5)
11月 (3)
12月 (1)
2012年 (28)
1月 (3)
2月 (8)
3月 (6)
4月 (8)
5月 (1)
7月 (2)
2013年 (149)
1月 (12)
2月 (36)
7月 (5)
8月 (7)
9月 (22)
10月 (26)
11月 (25)
12月 (16)
2014年 (27)
1月 (13)
2月 (12)
3月 (2)
2015年 (47)
1月 (1)
2月 (6)
3月 (8)
4月 (16)
5月 (11)
6月 (4)
12月 (1)
2016年 (55)
4月 (4)
8月 (4)
9月 (6)
10月 (6)
11月 (22)
12月 (13)
2017年 (31)
1月 (10)
2月 (2)
3月 (5)
4月 (5)
5月 (9)

アクセスカウンタ
今日:2,019
昨日:2,597
累計:1,511,661