勉強しようNTTのBlog - 2010/10

算数の問題と解答とを考えていきます。




2010年10月23日(Sat)▲ページの先頭へ
小学さんすうのもくじ
以下は、「算数」のいちらんを書きます。

小学校の算数全般については、「算数の実践」が参考になると思います。
算数ランド」も参考になると思います。
以下では、このサイトで記載した算数のコツのリスト(リンク)を書きます。

小学2年生

かけ算九九ひょうのおぼえかた(1)
かけ算九九ひょうのおぼえかた(2)
かけ算九九ひょうのおぼえかた(3)
かけ算九九ひょうのおぼえかた(4)
かけ算九九ひょうのおぼえかた(5)
かけ算九九ひょうのおぼえかた(6)

小学5年生

○をうめる数をあてる

三角形の内角の和は180度
三角形の内角の和は180度(2)
三角形の内角の和は180度(3)
三角形の内角の和のおもいだしかた
三角形の内角の和はいつでも180度
角度のごうけい
角度のごうけい(2)
星がたの内角のごうけい

リンク集

学習君
算数・数学教育のホームページ
Javaで・算数・数学
算数・数学の思考過程をイメージ化する動画素材集
数学 Web 教材
中学受験・算数の森
「楽しく学ぶ算数・数学」プロジェクト
Hello School 算数・数学
受験数学かずスクール
学びの場
作図ツール
中学校教科書準拠コンテンツ(啓林館,2002〜)
中学から数学だいすき!
数学の小部屋
小学校算数
目指せ!教え上手
三角形の面積
三角形の性質
学ぶ 教える.com

【高校数学】

高校で学べない人のための数学Bハイパーテキスト
三角比の定義のおぼえかた



高校数学の目次
高校数学全般については、数学ナビゲーターが参考になると思います。
以下では、高校数学の一部の、このサイトのオリジナルな説明のみの一覧を書きます。

高校数学の目次の最新版

中学の復習

【図形】
 ピタゴラスの定理
 三角錐の体積の公式
 微妙な合同の条件
 中学で習う円周角のまとめ

高校数学について一言

数学T

【2次関数】
 二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
 2次方程式の解の公式の応用問題
 2重根号が外れない問題

佐藤の数学教科書[2次関数編]
第2講「2次関数とそのグラフ」
 (1)y=axのグラフと平行移動
 二次関数のグラフ(放物線の焦点)
 2次方程式の解の公式を2次関数のグラフから求める

【三角比】
佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]
第1講「三角比の考え」
 (1)相似と直角三角形
 (2)タンジェントの覚え方
  tan30度
  tan15度
 (4)サインとコサインの覚え方
 (5)サイン,コサインの応用(2重根号の外し方)
 (6)サイン,コサインについての問題演習
第2講「三角比の拡張と相互関係」
 (1)tanθとcosθの公式の覚え方
 (2)三角比の拡張
 (3)三角方程式
 (4)三角比の応用
  三角比の相互関係(応用問題)(1)
  三角比の相互関係(応用問題)(2)
  三角比の相互関係(応用問題)(3)
第3講「三角形の辺と角」
 (1)正弦定理の覚え方
 (2)余弦定理の覚え方
  余弦定理の2番目にやさしい覚え方
 (3)等式の証明

数学A

【場合の数】
 3色玉の順列の数
 円順列とじゅず順列(1) (2) (3)
 (4) (5) (6) (7) (8)  (9) (10)
 重複組合せ(1) (2) (3) (4)  (5)

【平面幾何】
佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]
第4講「図形の計量」
 (1)三角形の面積
  (その2)二辺侠角から残りの辺を求める
  三角形の面積を外接円の半径を使って求める
  三角形の面積を三辺から求める
  外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる
 (2)空間図形の計量
 (4)球の体積と表面積
  (1/3)正四面体の高さと表面積と体積
  (2/3)正四面体に外接する球
  (3/3)正四面体に内接する球
第5講「三角形の性質」
 (1)線分の長さと比
 (2)三角形の角の2等分線 (その2)
 (3)三角形の辺と角の大小関係
 (4)三角形の重心  三角形の重心
 三角錐の重心
 (5)三角形の内心
 外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる
 (7)三角形の垂心
第6講「円の性質」
 (1)円周角(1/2)
   円と直線の関係の問題1
  (2/2)方べきの定理の証明
   方べきの定理(の逆)の応用問題1
 (2)メネラウスの定理(1/3)
  (2/3)
  (3/3)チェバの定理

数学U

【式と証明・複素数】
第4講:2次方程式の解と複素数
 (1)虚数
 (2)2次方程式を複素数を使って因数分解
 (3)xの分数式を、xの一次式を分母にする分数の和であらわす
 (4)虚数の平方根
第6講:複素数平面
 (1)複素数平面
 (2)複素数を掛け算すると偏角が足し算される
第5講:高次方程式
 1の三乗根を複素数平面で求める
第6講:複素数平面(その2)
 (3)複素数の掛け算で三角関数の加法定理を導く
【図形と方程式】
第2講
 2節 2直線の関係(三角形の垂心の座標)
 4節 点と直線の距離(三角形の面積)
追加講
 三角形の面積と行列式
第4講
 軌跡(1) (2) (3)  (4) (5) (6) (7)
【三角関数】
 第4講1節:三角関数の加法定理

数学B

【ベクトル】
第2講:ベクトルの成分表示
 3節 ベクトルの成す角のcos
 3節 ベクトルの成す角のsin
第3講:ベクトルの内積
 ベクトルの内積
 直線の式
 点と直線の距離
第4講:分点の位置ベクトル
 三角形の重心の公式
 メネラウスの定理
 ベクトル方程式の落とし穴
追加講
 三角形の面積をベクトルで分解して計算する

ミラーサイト:勉強しよう数学


【高校数学リンク】

高校で学べない人のための数学Bハイパーテキスト
三角比の定義のおぼえかた
高校数学の基本問題
高校数学公式集
高校数学++【なんちな】++
数学(教科)
KIT数学ナビゲーション
数学情報館数学用語集
数学の部屋
私的数学塾
「パソコンで知る高校数学」

リンク集

算数の実践
算数ランド
学習君
算数・数学教育のホームページ
Javaで・算数・数学
  算数・数学の思考過程をイメージ化する動画素材集
  数学 Web 教材
数学教材の部屋
中学受験・算数の森
「楽しく学ぶ算数・数学」プロジェクト
Hello School 算数・数学
受験数学かずスクール
学びの場
作図ツール
中学校教科書準拠コンテンツ(啓林館,2002〜)
中学から数学だいすき!
数学の小部屋
小学校算数
目指せ!教え上手
三角形の面積
三角形の性質
学ぶ 教える.com



2010年10月09日(Sat)▲ページの先頭へ
三角形の面積を三辺から求める公式
三角形の面積を三辺から求める公式を導く

以下の図のように2辺とその侠角のsin(θ)がわかれば、
三角形の面積Sがわかります。

S=bc・sinA/2 (式1)
です。
sinA=√(1−cosA) (式2)
を利用してSをcosAであらわせます。
cosA=(b+c−a)/(2bc) (式3:余弦定理)
を利用して、cosAをa,b,cのみであらわせます。
そのため、三角形の面積Sはa,b,cのみであらわせます。

以下で、式1を2乗した式を簡単にします。
=(bc・sinA/2)
式2を代入する。
=(bc/2)・sin
=(bc/2)(1−cosA)
式3を代入する。
=(bc/2)
・(1−{(b+c−a)/2bc}
=(bc/2)・(1/2bc)
・((2bc)−(b+c−a
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
=(bc/2)・(1/2bc)
・(2bc−(b+c−a))
・(2bc+(b+c−a))
=(1/2)
・(2bc−b−c+a
・(2bc+b+c−a
=(1/2)
・(−(b−c)+a
・((b+c)−a
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
=(1/2)
・(−(b−c)+a)((b−c)+a)
・((b+c)−a)((b+c)+a)
=(1/2)
・(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)
よって、
S=(1/2)
・√{(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)}
この式はヘロンの公式と呼ばれています。

【別解】
この問題を以下の式の連立方程式として解きます。
S=bc・sinA/2 (式1)
cosA=(b+c−a)/(2bc) (式3:余弦定理)

この連立方程式から角度Aを消去するには、
sinA+cosA=1
に式1のsinAと式3のcosAを代入します。
sinA+cosA=1
(2S/(bc))+{(b+c−a)/(2bc)}=1
このように角度Aが消去された。

両辺に(2bc)を掛け算する。
4(2S)+(b+c−a=(2bc)
Sの項だけを左辺に出した式に変形する。
4(2S)=−(b+c−a+(2bc)
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
={−(b+c−a)+(2bc)}
{(b+c−a)+(2bc)}
={−b−c+a+(2bc)}
{b+c−a+(2bc)}
={−(b−c)+a
{(b+c)−a
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
={(−(b−c)+a)((b−c)+a)}
{((b+c)−a)((b+c)+a)}
=(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)
よって、
2(2S)=√{(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)}
S=(1/4)√{(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)}

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



三角比の勉強のはじめ
当サイトの三角比に関する主なページは、以下のリンクがあります。

第1講「三角比の考え」(2)タンジェントの覚え方
第1講「三角比の考え」(4)サインとコサインの覚え方
tanθとcosであらわした三平方の定理
三角比の応用問題(1)sinθ+cosθ=1
第2講「三角比の拡張と相互関係」(3)三角方程式
第3講「三角形の辺と角」(1)正弦定理の覚え方
第3講「三角形の辺と角」(2)余弦定理の覚え方
図形の計量:
第4講「図形の計量」(1)三角形の面積




角度を長さと結び付けて、角度を自由自在に使って長さを自由に計算するために、角度を代表するものとして、タンジェントとサインとコサインという三角比が考えられたと思います。それらは、1つの角度を3つの形で代表するものであって、源が1つの角度なので、互いに密接な関係があります。三角比を学ぶことで、それらの関係を学んでいきます。そして、それらの関係が分かればわかるほど、より自由に角度を長さと結びつけて、図形の面積をはじめとするあらゆる数値が自由に計算できるようになります。

高校数学(三角比・図形)一覧
高校数学の目次



2010年10月02日(Sat)▲ページの先頭へ
三角比の相互関係(応用問題)(3)


三角比の相互関係(応用問題)(2)
【問】次の式を簡単にせよ。
(cosθ)−(sinθ)

この式は以下のように変形して解きます。
(cosθ)−(sinθ)
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
=((cosθ)−(sinθ))((cosθ)+(sinθ)

この式に、(sinθ)+(cosθ)=1を代入して簡単にする。
=((cosθ)−(sinθ))・1
=(1−(sinθ))−(sinθ)
=1−2(sinθ)

あるいは、
=1−2(1−(cosθ)
=−1+2(cosθ)

【蛇足】
高校2年になると、更に公式を学び、この式は、以下の式になることを学びます。
ここでは、その公式の説明をしませんので、公式がどうしてそうなるかを知りたい人はそれを教えている高校2年の数学の参考書等を勉強してください。
(cosθ)−(sinθ)=cos(2θ)

リンク:
三角比の相互関係(応用問題)(1)
三角比の相互関係(応用問題)(3)
第2講「三角比の拡張と相互関係」(4)三角比の応用
リンク:三角比の拡張の応用
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:(高校)三平方の定理
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



三角比の相互関係(応用問題)(1)
【問】次の式の値を求めよ。
(sinθ+cosθ)+(sinθ−cosθ)

この式は以下のように変形して解きます。
(sinθ+cosθ)+(sinθ−cosθ)
=(sinθ)+(cosθ)+2(sinθ)(cosθ)
+(sinθ)+(cosθ)−2(sinθ)(cosθ)

この式に、(sinθ)+(cosθ)=1を代入して簡単にする。
=1+2(sinθ)(cosθ)+1−2(sinθ)(cosθ)
=2

リンク:
三角比の相互関係(応用問題)(2)
第2講「三角比の拡張と相互関係」(4)三角比の応用
リンク:三角比の拡張の応用
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:(高校)三平方の定理
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



   




新着トラックバック/コメント


カレンダ
2010年10月
         
           

アーカイブ
2009年 (56)
2月 (1)
3月 (14)
4月 (30)
5月 (11)
2010年 (31)
7月 (1)
8月 (17)
9月 (4)
10月 (7)
11月 (1)
12月 (1)
2011年 (105)
1月 (10)
2月 (11)
3月 (16)
4月 (31)
5月 (4)
7月 (12)
8月 (12)
9月 (5)
11月 (3)
12月 (1)
2012年 (28)
1月 (3)
2月 (8)
3月 (6)
4月 (8)
5月 (1)
7月 (2)
2013年 (149)
1月 (12)
2月 (36)
7月 (5)
8月 (7)
9月 (22)
10月 (26)
11月 (25)
12月 (16)
2014年 (27)
1月 (13)
2月 (12)
3月 (2)
2015年 (47)
1月 (1)
2月 (6)
3月 (8)
4月 (16)
5月 (11)
6月 (4)
12月 (1)
2016年 (55)
4月 (4)
8月 (4)
9月 (6)
10月 (6)
11月 (22)
12月 (13)
2017年 (85)
1月 (10)
2月 (2)
3月 (5)
4月 (5)
5月 (10)
6月 (13)
7月 (15)
8月 (12)
9月 (13)

アクセスカウンタ
今日:1,922
昨日:3,509
累計:1,818,817