勉強しようNTTのBlog - 2011

算数の問題と解答とを考えていきます。




2011年12月18日(Sun)▲ページの先頭へ
複素数平面(6)複素数平面での等角写像



佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第6講 複素数平面

【問】

複素数平面上の点Aのあらわす複素数をZと定義する。
その点Aを、
複素数w≡1/Z  (1)
であらわされる複素数平面上の点Cに写像する写像変換について考える。
特に、A点の位置が、
=1+i  (2)
のとき、
 (3)
である。
下図のようにA点から微小量移動した位置の点に関する以下の問に答えよ。

【問1】
A点から微小量移動する点の虚数座標がiのままで、実座標がA点から微小量Δ・u変化した点(Δは微小な実数、uは実数とする)について、その微小な変化量を
Δ(Z)≡Δ・u
とあらわすことにする。
そのようにA点から微小量ずれた点を式1で写像される点はC点から微小量ずれる。そのずれた点の複素数座標が複素数wから変化する微小な変化量を
Δ(w)
とあらわすことにする。
その微小量の近似式(微小量の極限では等式になる)を計算せよ。


(解答)


【問2】
Δ(w)のあらわす複素数平面上のベクトルの方向が虚軸方向を向いていることを示せ。

(解答)
この複素数のあらわすベクトルは、虚軸方向を向いている。

【問3】
実数座標が1のままで、虚数座標がA点から微小量Δ・(i・t)変化した点(tは実数とする)について、その微小な変化量を
Δ(Z)≡Δ・(i・t)
とあらわすことにする。
そのようにA点から微小量ずれた点を式1で写像される点はC点から微小量ずれる。そのずれた点の複素数座標が複素数wから変化する微小な変化量を
Δ(w)
とあらわすことにする。
その微小量の近似式(微小量の極限では等式になる)を計算せよ。

(解答)



【問4】
Δ(w)のあらわす複素数平面上のベクトルの方向が実軸方向を向いていることを示せ。

(解答)
この複素数のあらわすベクトルは、実軸方向を向いている。

【問5】
写像された複素数Δ(w)の表す複素数平面上のベクトルが複素数Δ(w)の表す複素数平面上のベクトルに対して成す角度は、
写像する前の複素数Δ(Z)の表す複素数平面上のベクトルが複素数Δ(Z)の表す複素数平面上のベクトルに対して成す角度と等しいことを証明せよ。(先の問題の結果から、その成す角度は90度であることがわかっているが、もう少し一般的に使える証明方法で証明して欲しい)


(解答)
複素数同士を割り算して複素数を得れば、その複素数の偏角が複素数のあらわすベクトル同士の成す角度をあらわす。
そのため、複素数同士を割り算する。
写像された複素数Δ(w)を複素数Δ(w)で割り算した結果は、
写像する前の複素数Δ(Z)を複素数Δ(Z)で割り算した結果と等しい。
そのため、
写像された複素数Δ(w)と複素数Δ(w)の成す角度は、
写像する前の複素数Δ(Z)と複素数Δ(Z)の成す角度と等しい。
(証明おわり)


(追加コメント)
(証明方法は省略するが)一般に、複素数平面上で交差する任意の2曲線を式1で写像変換して新しい2曲線を得る場合に、その新しい2曲線が交差する角度は、写像する前の2曲線の成す角度と等しいことも証明できる。ただし、交点がZ=0の場合は除く。


このように、写像によって曲線の交差する角度が変わらない写像は、等角写像と呼ばれている。




(追加コメントその2)
また、(次の証明方法も省略するが)以下のことがいえる。
(条件)
複素数平面上での点をZであらわす。
Zをwに写像変換する以下の式を考える。
w=f(Z) (式4)
ここで、f(Z)はZの有理関数か、有理関数の和に展開できる式とする。
そして、有理関数は微分できるから、f(Z)の微分を考える。
−∞<df(Z)/dZ<∞ (式5)
この微分値が有限値になる点で交差する2曲線(Zで座標を表す)の座標を式4によりwに写像変換するものとする。
(結果)
すると、複素数平面上でwが描く2曲線(wで座標を表す)が交差する角度は、写像する前の2曲線(Zで座標を表す)の成す角度と等しい(等角写像になる)。

(注意)
なお、複素数Z=x+i・yを、w=g(x,y)+i・h(x,y)であらわされる式で写像変換して新しい2曲線を得る場合には、その場合は、等角写像になるとは限らない。
このような変換も、
w=f(Z) (式6)
と表現されるので、注意すること。


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2011年11月23日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数平面(5)複素数平面での軌跡



佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第6講 複素数平面

【問1】実数の媒介変数tを−∞から∞まで変化させたとき、
z=1+i・t (式1)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

【問2】実数の媒介変数tを−∞から∞まで変化させたとき、
z=1/(1+i・t) (式2)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

(解答)

【問1の解】
式1の複素数zは、上図のように、z=1の点を通り、実軸に垂直な直線上にある。

【問2の解】
式2の複素数zは、上図のように、z=0とz=1とを直径の両端とする円の上にある。
ただし、z=0の点は通らない。

それを以下で証明する。
(証明開始)
zは、 zをあらわす複素数平面での点Cに関して、
|z|=線分OC=1/|(1+i・t)|=1/線分OA
であるから、
OC/OB=OB/OA
であり、
△BOCの2辺OCとOBの辺の長さが△AOBの2辺OBとOAから同じ比で縮小されている。
また、
arg(z)=−∠BOC=−arg(1+i・t)=−∠AOB
であるから、
△BOCの2辺OCとOBの間の角が、△AOBの2辺OBとOAの間の角と等しい。
∴ △BOC∽△AOB
そのため、
∠OCB=∠OBA=∠R=90度
∠OCBは常に90度なので、
C点は、OBを直径とする円周上にある。
ただし、式2のzは0では無いので、z=0の点は通らない。
(証明おわり)

(別解)
以下のようにして証明することもできる。
(注意)上のようにtの値にかかわらず|分子/分母|=1となる式、(1−i・t)/(1+i・t)を作ることがポイント。
よって、

よって、
|z−(1/2)|=1/2
よって、zは、値(1/2)を中心にする、半径(1/2)の円上にある。
ただし、zは0では無いので、値0にはならない。
(証明おわり)

【一番簡単な方法】
 ここをクリックした先に、(it)単体をzの式であらわして、そのzの式に(it)単体の満たす条件をあてはめて計算する方法を示します。
 
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2011年11月20日(Sun)▲ページの先頭へ
第5講:高次方程式(2)1のn乗根を複素数平面で求める



佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第5講 高次方程式

【問1】X=1の解を求めよ。
−1=0

この方程式の4つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、
=1,X=i,=−1,X=−iが、
−1=0
の4つの解です。
は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに90度(π/2ラジアン)回転した位置にあり、更に、順次に90度回転した位置が、この方程式の解です。

と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角90度を4倍すれば360度になり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角180度を4倍 すれば360度×2になり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角270度を4倍 すれば360度×3になり、実軸に戻ります。

複素数を4乗するということは同じ複素数を4回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を4乗すれば、その複素数の偏角が4回足し算されて4倍になりました。
すなわち、
=1の複素数の解は、1の偏角を360度、360度×2、360度×3と考えて、その偏角を4分の1の90度、180度、270度にし、その偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。

【問2】X=1の解を求めよ。
−1=0

この方程式の5つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、X−1=0
の5つの解です。
は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに2π/5ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に2π/5rラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角2π/5ラジアンを5倍すれば2πになり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角2π×(2/5)ラジアンを5倍すれば2π×2になり、実軸に戻ります。
以下、同様に、XとXは、2π×3、2π×4になり、実軸に戻ります。

結局、
=1の複素数の解は、2π/5ラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。

同様に考えることで、
=1の複素数の解は、2π/nラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。
すなわち、値1の点を頂点の1つにする正n角形の各頂点が、その方程式の解になります。 

【問2(b)】=1の解を、三角関数の値も計算して求めること。

この解の求め方を次のページで解説します。

 しかし、次のページを直ぐには見ないで、
しばらくここに留まって、この解を自力で求める努力をしてください。
 

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2011年11月17日(Thu)▲ページの先頭へ
第6講:複素数平面(4)正5角形の問題を複素数平面を用いて解く



「式と証明・複素数」の勉強

複素数平面において半径1の円に内接する正5角形を考える。


−1=0
の5つの解をX=1と、X、X、X、Xとする。


【問1】以下を証明せよ
|(1−X)(1−X)(1−X)(1−X)|=5
すなわち、
abab=5
を証明する。

【問2】以下を証明せよ
|(1−X)|+|(1−X)|+|(1−X)|+|(1−X)|=10
すなわち、
+b+b+a=10
を証明する。

【問3】図の長さsを計算せよ


この問題も自力で解くよう、努めてください。

(解答はここをクリックした先にあります。)

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2011年09月20日(Tue)▲ページの先頭へ
3次方程式が重根を持つ条件
「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【難問】三次の方程式
+ax+b=0 (式1)
の根が重根を持つ場合に、パラメータaとbの間に成り立つ関係を求めよ。
(注意:どの3次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる)


(解答の方針)
この問題は、
方程式
f(x)=0 (式2)
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式2の重根の解x=αにおいて、
f’(α)=0 (式3)
が成り立つ。
すなわち、方程式2を微分した方程式の解も、その重根の解x=αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
(証明開始)
f(x)=(x−α)g(x)
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
f’(x)=2(x−α)g(x)+(x−α)g’(x)
=(x−α){2g(x)+(x−α)g’(x)}
よって、
f’(α)=0 (式3)
が成り立つ。
(証明終わり)

そのため、
f(x)=x+ax+b=0 (式1)
の根が重根を持つ場合に、
f’(x)=3x+a=0 (式4)
の根の1つが、式1の根と等しい。
そのため、
式1と式4を連立させて、両式がともに成り立つxの値が、式1の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【解答1】
(1)
f(x)=x+ax+b=0 (式1)
の根が重根を持つ場合に、
f’(x)=3x+a=0 (式4)
の根の1つが、式1の根と等しい。
そのため、
式1と式4を連立させて、両式がともに成り立つxの値が、式1の重根である。
(2)
3(式1)−(式4)xを計算する。
3x+3ax+3b−(3x+ax)=0
3ax+3b−ax=0
2ax+3b=0 (式5)
(3)
a≠0の場合は、
x=−3b/(2a) (式6)
このxの値が重根である。
(4)
a=0の場合は、
式5より、
b=0
すなわち、a=b=0の場合に、式1も式4もx=0を解に持つ。
(5)
式6のxの値を式4に代入する。
3(−3b/(2a))+a=0
(27/4)(b/a)+a=0
27b+4a=0 (式7)
式7は、a=b=0の場合も含んでいる。
(6)
式6のxの値を式1に代入する。
(−3b/(2a))+a(−3b/(2a))+b=0
−(27/8)(b/a)−(3/2)b+b=0
−(27/8)(b/a)−(1/2)b=0 
−27(b/a)−4b=0
27(b/a)+4b=0
27b+4ba=0
b(27b+4a)=0
b=0
or
27b+4a=0 (式7)
再び式7を得た。
(7)
よって、パラメータaとbの間に成り立つ関係は、 
27b+4a=0 (式7)
である。おぼえ易い式に変形すると、
(b/2)+(a/3)=0 (式7’) 
これが、式1が重根(3重根も重根の一種として)を持つ条件である。
(解答おわり)

【解答2】 
 式1が重根を持つ場合は、式fと、それを微分した式f’≡gが共通因数を持つ。
 共通因数を持つ式fと式gをユークリッドの互除法で余りを計算すると、余りの式は割り切れる結果、余りの定数項が0になる。
そのため、以下のように、ユークリッドの互除法で余りの定数項を計算する。
(1)先ず、f’≡gを計算する。
このfをgで割り算した余りの式hを計算する。
 次にgをhで割り算した余りの定数項の式kを計算する。
(ただし、a≠0とする)

fとgが共通因数hを持つので、式gはhで割り切れ、余りの定数項kは0になる。
よって、以下の式が成り立つ。
解答1で求めた解の式7と同じ式a−5が得られた。
(a=0の場合)
 重根を持つ条件は、b=0である。
これは、式a−5に当てはまっている。
その場合にx=0で3重根を持つ。
(解答おわり)

(コメント)
ここで、3次方程式1の判別式Dは、
D≡−(b/2)−(a/3)
であり、
D=0の場合に式1は重根を持ち、
D>0の場合に式1は3つの実数根を持つ。

この判別式Dは、以下の様にすると思い出し易い。
式1をyとして、
yの微分に−1を掛けた式8を考える。
そして、その式8のxに、
式1が重根を持つ場合には重根の絶対値をあらわす
を代入して式9を計算する。
その式9:
yの微分に−1を掛けた式≧0
が、式1の根が全て実数になる条件式であると覚える
と、判別式Dを思い出し易い。

この式9を展開すると以下の式10になります。
この式10を以下の様に変形することで判別式Dが導き出せます。
 こうして、式11の判別式Dが導き出せた。
(参考)
「3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根」

リンク:
三次方程式の判別式
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2011年09月18日(Sun)▲ページの先頭へ
円と放物線の接線(4)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問1】放物線
y=2−2x (式1)
とX軸で囲まれる範囲(x軸より上の範囲)にある円の半径の最大値を求めよ。

(解答の方針)
この問題で求める円は、式1の放物線とX軸とに接する円です。
その円は放物線と同じくY軸に関して対称(すなわち、Y軸上に中心がある)と考えられます。

その理由は、
もし、その円の中心がY軸上になければ、Y軸に関して全図形を左右に反転すれば、円の中心位置が左右に移動します。

放物線に接する円が左右に移動してしまったら、上図のように、円は放物線に接する位置から離れて、放物線に交わったり放物線から離れてしまったりします。

そのため、Yに関して全図形を左右に反転しても円が放物線に左右で接する形であるためには、円の中心はY軸上になければなりません。

求める円の中心がY軸上にあると考えると問題が大分簡単になります。

次に、考えることは、円と放物線が接する条件を求めることです。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書きます。

(解答)
(1)
放物線の式は
y=2−2x (式1)
であり、
X軸の式は
y=0 (式2)
である。
(2)
式1の放物線とX軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円は、式1の放物線と左右で接して、円の下がX軸に接する円と考えられる。

全図形をY軸に関して左右に反転しても、その円は放物線に左右で接する形であるが、
もし、左右に反転すると円の中心が左右に移動すると考えると円が放物線から離れたり放物線に交わったりして、放物線とX軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円である条件から外れてしまい矛盾する。

よって、全図形を左右に反転しても円の中心は左右に移動しない。すなわち、円の中心はY軸上にある。
よって、x軸に接する半径rの円の式は以下の式であらわされる。
(y−r)+x=r (式3)
(注意)
半径のつもりで、rというパラメータを導入しましたが、rというパラメータは、x軸より上の円では正になり、x軸より下の円では負になる。x軸に接する円がx軸の上か下かどちら側にあるかをあらわすパラメータであるという意味を持っていることに注意すべき。


(3)
求める円は、式1の放物線と接する円と考えられるので、
先ずは、円と放物線が接し得る接点を全て求める。

(4)
放物線と円の接点をA(a,h)とする。
式1から、
放物線 h=2−2a  (式4)
式3から、
円 (h−r)+a=r (式5)

(5)
式1の放物線の接点(a,h)における接線の傾きは、式1の関数をxで微分して計算し、
−4a

式3の円の接点(a,h)における接線の傾きは、
円の法線の傾き(h−r)/aの逆数に(−1)を掛け算したものであって、
−a/(h−r) 

この2つの接線の傾きが等しいので、
−4a=−a/(h−r)
a{−4+(1/(h−r))}=0 (式6)
この式6(接点の座標の式)を解くと、
a=0 (式7)
or
h−r=1/4
h=r+1/4 (式8)

(6)
(式7(a=0)があらわす接点の座標を求める)
式7を放物線の式4に代入する。
h=2 (式9)
よって、1つの接点(a,h)=(0,2)が得られた。
この接点は式1があらわす放物線の頂点である。
この接点に接する円の半径r=1である。

(7)
(式8があらわす接点の座標を求める)
そのために、式8と式4と式5を連立して、接点の座標を導く。
(8) 

計算間違いを少なくするために、単純な式を早く作る。
そのために、先ず、式4と式5を整理して、aを消去して単純な式を得る。
式4から、
h−2+2a=0 (式4’)
式5から、
(h−r)+a−r=0 (式5’)
2×式5’−式4’を計算してaを消去する。
2(h−r)−2r−(h−2)=0
2h−4hr−h+2=0 (式9)
式9に代入すべき式8を変形する。
r=h−(1/4) (式8’)
式8’を式9に代入してrを消去する。
2h−4h(h−(1/4))−h+2=0
2h−4h+h−h+2=0
−2h+2=0
−1=0
(h−1)(h+1)=0
h=1
or
h=−1
h=−1は、x軸よりも下のy座標であるので、接点の座標として不適。
よって、
h=1 (式10) 

のみが有効。
式10を式8’に代入する。
r=1−(1/4)=3/4
また、式10を式4’に代入する。
1−2+2a=0
2a=1
=1/2
a=±(√2)/2 (式11)
よって、半径r=3/4の円について、
2つの接点(a,h)=A(√2/2,1)とB(−√2/2,1)が得られた。


(9)
以上で得た、円が放物線と接し得る点を全て列挙すると:
(9−1);
放物線の頂点(0,2)が接点になるとき、円の半径r=1
である。
(9−2);
A(√2/2,1)とB(−√2/2,1)が接点になるとき、
円の半径r=3/4
である。
(10)
しかし、半径r=3/4の円において既に放物線に接しているので、
(9−1)の場合の、円の半径が1になって放物線の頂点に円が接する場合には、円は、その他の点で放物線と交差していて、放物線の下には収まりきれていない。

 よって、(9−2)の場合のみが有効な解であり、放物線の下に収まりきれる最大の円の半径は、
r=3/4
である。
(解答おわり)

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2011年09月09日(Fri)▲ページの先頭へ
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2011年09月04日(Sun)▲ページの先頭へ
接線と放物線の交点
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【問1】放物線
y= x+1 (式1)
上の任意の点Pにおける接線が、放物線
y=x (式2)
と交わる点をQ,Rとするとき、次のことが成り立つことを示せ。
Pは線分QRの中点である。


(解答の方針)
式1の放物線上の点P(p,p+1)での接線の式をあらわし、
その接線点の式と式2とを連立させて、交点Q,Rの座標を計算する式を求めれば良い。
ただし、問題の解き方も工夫する。

(解答)
式1を微分して式1のグラフの傾きを求める。
y’= 2x
P(p,p+1)での傾きy’は、
y’= 2p (式3)
式1の放物線上の点P(p,p+1)での接線の式は以下の式になる。
y−(p+1)=y’(x−p)
y=y’(x−p)+(p+1)
この式に式3を代入して、y’を式3の右辺で置き換える。
y=2p(x−p)+(p+1) (式4)
式4と式2を連立して、接線と式2の放物線の交点Q,Rの座標を求める式を計算する。
=2p(x−p)+(p+1)
−2px+p−1=0 (式5)
ここで問題の解き方を工夫する。
根と係数の関係により、交点Q,Rのx座標をqとrとすると、式5のxの係数との間に以下の関係が成り立つ。
2p=q+r
p=(q+r)/2
これは、接線上の点Pのx座標が、点QとRの中点のx座標であることを意味する。
∴ Pは線分QRの中点である。
(解答おわり)

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2011年09月01日(Thu)▲ページの先頭へ
楕円と円の接点
「大学への数学VC」の勉強

【研究問題】
座標原点を中心にする楕円
と、円A
とが接する接点Pにおける接線を、 
接点Pから円Aの中心に向かう単位ベクトルC(x,y)に垂直な直線の式、
であらわされるものとした場合に、
(1)その接線と楕円の中心の距離mの値を求めよ。
(2)円Aの中心の座標A(x,y)の値をx,y,m,rであらわす式を求めよ。

(解答)
以下では、この問題を、単位ベクトルC(x,yの値が先に分かっている場合から始めて解く。

楕円
に接する直線は、単位ベクトルC(x,y)に垂直な直線であり、接点:
での接線の式は、楕円の接線の公式により、
である。
この接線の式が式3と等しいとして、以下の式4を導く。
式4の座標値を式3に代入して以下の計算をすることで式5が得られる。
式5により、楕円の中心と直線との距離mをxとyから計算することができる。
mの値は、正の値と負の値との2つです。
式3のmが、この式5で得られる。

円Aの中心の座標A(x,y)の値は以下の式であらわせる。
 
このように、最初に、楕円への接線に垂直な単位ベクトルC(x,y)がわかれば、他のパラメータが簡単に計算できる。

 しかし、他のパラメータから、,yを計算しようとすると簡単ではありません。
例えば、xを他のパラメータから計算する式を、以下で求めてみます。
式6aを変形する。

mに式5を代入してmを消去する。
単位ベクトルCの成分の関係式
を用いて、yをxであらわす。
この式はに関する4次方程式である。
すなわち、
を他のパラメータから計算しようとすると、4次方程式の解を求める問題に帰着する。
この4次方程式の解は簡単には解けない。その解を得るには、EXCEL等を利用して近似解を計算するしかない。
よって、
を他のパラメータから計算する問題は入学試験などの試験には出題されない。
(たまたま簡単に解ける4次方程式になる場合だけが試験に出題され得るだろう。)

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2011年08月31日(Wed)▲ページの先頭へ
楕円と直線の接点
「大学への数学VC」の勉強

【問1】座標原点を中心にする楕円
/a+y/b=1
と、直線
3x/√(3+2)+2y/√(3+2)=m
とが接する場合のその接線と楕円の中心の距離mの値を求めよ。

(以下では、この問題を解くための、覚え易い形に変形した公式を示す)
(難しい形の公式は、単純な形に置きかえて覚え易くするのが数学のコツです。)

この問題は、円の場合は、以下のようにして解けました。

この直線の式のxとyの係数は単位ベクトルであらわしています。
検算してみると、
(3/√(3+2))の二乗+(2/√(3+2))の二乗=1になるので、このベクトルが単位ベクトルであることがわかります。

その直線の式において、(単位ベクトル)と(ベクトル(x,y))との内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわします。
(その理由は単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積は、直線上の点のその単位ベクトル(直線に垂直)への正射影の長さになるからです。
また、直線に垂直な単位ベクトルへの、座標原点と点(x,y)を結ぶベクトルの正射影の長さは、直線と座標原点との距離だからです。)
すなわち、
単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積をあらわす左辺の式に等しい右辺の式のmが、直線の座標原点からの距離です。
その距離mが円の半径に等しい場合が、
単位ベクトルCに垂直な直線が円に接します。

【楕円の場合の、傾きが定まっている直線が楕円に接する条件】
楕円の場合を、円の場合に対応させて、結論だけを整理して書くと以下の図のようになります。

【上の図の式の意味の説明】
単位ベクトルC(g,h)に垂直な直線が楕円
/a+y/b=1
に接する場合の、楕円の中心と直線との距離mを計算しました。
その計算の結果、単位ベクトルC(g,h)のxの項gとyの項hに関して、
=(g・a)+(h・b)  (式1)
になりました。
mの値は、正の値と負の値との2つです。

その計算結果のmを使って、楕円に接する直線は以下の式になります。
g・x+h・y=m    (式2)
この式を(hが0でない場合に)変形した以下の式が参考書に公式として書いてありますが、
その公式を覚えにくい人は、上の式1と2を公式として覚えて使ってください。
(他の参考書の公式)
y+(g/h)x=m/h       (式3)
(m/h)=(a・g/h)+b   (式4)


なお、式2の直線が楕円に接する接点の座標は、
A(g・a/m,h・b/m)     (式5)
と、
A’(−g・a/m,−h・b/m)  (式6)
です。

【楕円の接線の良く知られた公式】
また、楕円上の点A(p,q)で楕円に接する直線の公式は、以下の式です。
p・x/a+q・y/b=1   (式7)
この公式は、円の接線の公式と同様に、
楕円の式のx又はyの2乗の項の一方のみx およびyを残した式です。

【式1を式7から導出する方法】
先ず、この式7を、単位ベクトルのxの項gとyの項hを用いた式2の形に変形します。
式7を、xとyの係数が単位ベクトルC(g,h)の要素であらわされる式(その式の右辺の定数項の値はmになる)に変形すると、そのgとhは以下の式になります。
g=(p/a)/√{(p/a+(q/b} (式8)
h=(q/b)/√{(p/a+(q/b} (式9)
すなわち、式2の左辺は式7の左辺を、
s=√{(p/a+(q/b}   (式10)
で割り算した形の式です。
そのため、式2の右辺のmは、式7の右辺の1を式10のsで割り算した以下の式になります。
m=1/√{(p/a+(q/b
=1/{(p/a+(q/b
={(p/a)+(q/b)}/{(p/a+(q/b
この式は、式8のgと式9のhを使ってあらわすと、以下の式になります。
=(g・a)+(h・b)  (式1)
この式は、求める式1です。
このように、式7から式1が導けました。

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2011年08月25日(Thu)▲ページの先頭へ
2つの放物線の共通接線
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【問1】2つの放物線
y= x (式1)
y=−(x−2) (式2)
の共通接線の方程式を求めよ。


(解答の方針)
式1の接点A(a,b)での接線の式をあらわし、
式2の接点C(c,d)での接線の式をあらわし、
それらの接線の式が等しいとする方程式を書いて、
その方程式を解けば良い。

ただし、その方程式を解く過程で計算間違いをすると正しい答えが出ない。
そのため、計算間違いを少なくする問題の解き方を工夫する。

(解答)
y= x (式1)
y=−(x−2) (式2)
(1)
式1を微分して式1のグラフの傾きを求める。
y’=2x (式3)
接点A(a,a)での式1の接線の式は
傾きy’=2a
だから、以下の式になる。
y−a=y’(x−a)
y−a=2a(x−a) (式4)

(2)
式2を微分して式2のグラフの傾きを求める。
y’=−2(x−2) (式5)
接点C(c,−(c−2))での式2の接線の式は
傾きy’=−2(c−2)
だから、以下の式になる。
y+(c−2)=y'(x−c)
y+(c−2)=−2(c−2)(x−c)
この式を、
c−2=e (式6)
とおいて、以下のように単純な式であらわす。
y+e=−2e(x−c) (式7)
このように単純な形に式をあらわすことで、計算が簡単になり、計算間違いを少なくすることができる。
式7に残っているcもeにおきかえる。
y+e=−2e(x−e−2) (式8)

(3)
接線の式8と4の傾きが等しい条件式を求める。
−2e=2a
e=−a (式9)
(4)
式4と式8のそれ以外の項も等しくなる条件式を求める。
+2e(−e−2)=−a+2a・a
−e−4e=a
式9を代入してeをaにおきかえる。
−a+4a=a
−2a+4a=0
a(a−2)=0
a=0 (式10)
or
a=2 (式11)

(5)式10の場合:
a=0 (式10)
式10を式4に代入。
y=0 (式12)

(6)式11の場合:
a=2 (式11)
式11を式4に代入。
y−4=4(x−2)
y=4x−4 (式13)

以上の結果、式1と2の放物線の共通接線の方程式は、
y=0 (式12)
と、
y=4x−4 (式13)
である。
(解答おわり)

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2011年08月24日(Wed)▲ページの先頭へ
3次関数の曲線の形
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【覚えておくべきこと】3次関数の曲線
y= x+ax+bx+c (式1)
の形は、中心点Aを中心にして点対象な形をしている。

その中心点Aのx座標は、式1を微分した式、
y= 3x+2ax+bx (式2)
の2次関数のグラフが左右対称になる対称軸の座標、
x=−a/3
である。

式1を微分した2次関数のグラフが、その対称軸の左右で対称であるので、
式1のあらわす3次関数のグラフは、中心点Aの左右で傾きが等しい。
そのため、式1のあらわす3次関数のグラフが、中心点Aを中心にして点対象な形になる。

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2011年08月22日(Mon)▲ページの先頭へ
放物線の極線
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】放物線
y= x (式1)
に、点P(a,b)を通る傾きm直線が交差する交点をQとRとするとき、
点Qでの放物線の接線と点Rでの放物線の接線との交点をSとするとき、
傾きmを変化させたとき、Sはある直線上にあることを示せ。


この問題は、以下の問題と同じ問題です。
【問題2】放物線
y= x (式1)
に、点P(a,b)を通る直線が交差する交点をQとRとするとき、
点Qでの放物線の接線と点Rでの放物線の接線との交点Sは、点Pから放物線に引いた2つの接線の接点を結んだ直線上にあることを示せ。

また、以下の問題とも同じです。
【問題3】放物線
y= x (式1)
に、点P(a,b)を通る傾きmの直線が交差する交点をQとRとするとき、
点Qでの放物線の接線と点Rでの放物線の接線との交点Sは、mの値に関係なく、ある直線上にあることを示せ。

(解答の方針)
この問題は、放物線外の一点Pから、放物線に弦を無数に引いたとき、弦の両端における2本の接線の交点を結んでできる直線(これは極線と呼ばれている。その極線を作る元になる点Pは「極」と呼ばれている)を求める、有名な問題です。
この問題は、何度でも解いて練習すべき問題として推薦します。

(解答)
(1)
点P(a,b)を通る傾きmの直線を以下の式で定義する。
y−b=m(x−a) (式2)
点Q(c,d)とR(e,f)との座標c及びeを求める式は、式1に式2を代入してyを消去することで求められる。
=m(x−a)+b
−mx+ma−b=0
−mx+ma−b=(x−c)(x−e) (式3)
(2)
点Q及び点Rでのx=t(t=c,e)の位置でも接線の傾きは式1を微分することで求められる。
y’=2x (式4)
式4から、x=tの位置での接線の傾きは2tである。
よって、x=tとなる放物線上の点の接線の式は、以下の式であらわせる。
y−t=2t(x−t)
この式をtについて整理する。
−2xt+y=0 (式5)
この式5は、
(x,y)が、点Qの接線とRの接線とで共通な値となるとき、
すなわち、両接線の交点S(x,y)の座標をあらわすとき、
tに、点Q(c,d)の座標値cを代入して成り立つ式であり、
かつ、R(e,f)の座標値eをtに代入して成り立つ式である。
よって、式5は、S(x,y)の座標に関する式で、t=c、t=eを根に持つ二次方程式である。
−2xt+y=(t−c)(t−e) (式6)
(3)
式3と式6を比べると、
−mx+ma−b=(x−c)(x−e) (式3)
−2xt+y=(t−c)(t−e) (式6)
式3と式6の根と係数の関係より、
−m=−(c+e)=−2x
m=2x (式7)
ma−b=ce=y
ma−b=y (式8)
式7と8よりmを消去すると、
2xa−b=y
y=2ax−b (式9)
点Sは、この直線9(極線)上にある。
(解答おわり)

【注意】
この問題を、点Sの軌跡を求める問題と考える場合は、点Sの軌跡は式9であらわされる直線のうち、式1の放物線で切り取られる弦の外側の部分を描くことに注意。

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2011年08月21日(Sun)▲ページの先頭へ
4次曲線の2点への接線
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】4次曲線
y= x−x+x (式1)
に、直線
y=ax+b (式2)
が相異なる2点で接するときa、bの値を求めよ。

(解答の方針)
問題の条件をあらわす方程式の形に従って、問題の解き方が決まってしまう。問題を解き易い形に問題の条件をあらわすには、問題の条件を可能な限り図形であらわして問題の条件をどういう図形であわらすかを工夫することが大切です。

この問題では、グラフを想像しながら方程式(のあらわすグラフ)を変形して問題を解くことが大切なポイントです。


4次曲線は、上の図のようにあらわせる。
式1に式2を代入すると、
−x+x=ax+b
−x+(1−a)x−b=0 (式3)
この式3が、接点のx座標x=αとx=βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根であることが、式2の直線が式1のグラフに2点で接する接線になる条件である。

ここで、そのような式3を求めるということは、
y=x−x+(1−a)x−b=0 (式4)
という4次曲線がx軸と2点で接する条件を求めることと同じである。

(1)4次曲線は、座標軸xを平行移動することで、3次の項が無い式になる(式1は既にそうなっている)。
(2)次に、その4次曲線はxの1次の項を無くせば、y軸に関して、x方向の左右で対称な形のグラフになる。そのグラフは、x軸に平行な直線に2点で接する。
  すなわち、式3のxの項の(1−a)=0にすれば、x軸に平行な線に接するグラフになる。
(3)そうすれば、y軸に関して、x軸方向で左右対称なグラフになるので、接点のx座標はαと−αとになる。
つまり、式4は、
y=((x−α)(x+α))+C
y=(x−α+C
というグラフになる。

このC=0とするように、値bを調整したグラフにすれば、そのグラフはx軸に2点で接する。
そのようにグラフを変形するように、aとbを定めれば良い。

【解答1】
(1)
式1に式2を代入すると、
−x+x=ax+b
−x+(1−a)x−b=0 (式3)
この式3が、接点のx座標x=αとx=βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式2の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、
y=x−x+(1−a)x−b=0 (式4)
という4次曲線がx軸と2点で接する条件を求めることと同じである。

(2)
先ず、
a=1 (式5)
とすると、
式4は、以下の式になる。
y=x−x−b=0 (式6)
この式6のグラフはx軸に平行な線に2点で接するグラフである。
この式6を変形する。
y=(x−(1/2))−(1/4)−b=0 (式7)
(3)
次に、
b=−1/4 (式8)
とすると、
式7は以下の式になる。
y=(x−(1/2))=0 (式9)
この式9はx軸と2点で接するグラフである。
その接点のx座標は、
−(1/2)=0
x=±√2/2

このように、式4で、a=1、b=−1/4としたら、x軸にx=±√2/2で接する式9のグラフになったので、求める直線のaとbは、
a=1 (式5)
b=−1/4 (式8)
である。
(解答おわり)

(補足)
 この問題は、図形を思い描かないで計算力だけで答えを得ようとすると落とし穴に落ちる難問です。
 なぜなら、この問題で、(重なることを許した)2点で接するという問題と考えて計算力だけで答えを計算しようとすると、答えは:
(1)下凸の異なる2点で接する。
(2)下凸の1点と上凸の1点との2点が1点に重なった点で接する。
という2種類の答えが出て来るからです。
その2種類の答えのうち、(1)の答えのみが、異なる2点で接しますので、計算力で求めた答えを選別してやっと答えにたどり着きますので、その回り道をする分だけ時間がかかってしまうという落とし穴に落ちます。
 その落とし穴に落ちないために、先ず、グラフの図形を思い描いて答えの条件を絞り込んだ上で答えを計算することが望ましいです。

【解答2】
 以下で、図形を思い描かないで計算力だけで行なった解答例を示します。

(1)
式1に式2を代入すると、
−x+x=ax+b
−x+(1−a)x−b=0 (式3)
この式3は、
y=x−x+(1−a)x−b=0 (式4)
という4次曲線がx軸と2点で接する条件を求めることと同じである。
この式3が、接点のx座標x=αとx=βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式2の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、式9であらわされる。
この式9の形をしている式 f を微分した式gを計算する。
この式 g と式 f の最大公約多項式 h が式12になる。
「グラフが直線に相異なる2点で接する」という条件を、上の式13であらわす。
(2)
 次に、ユークリッドの互除法を利用して式 f を式 g で割り算した余り h が式 f と g の最大公約多項式になる条件を導き出す。
ここで、この余りの式 h =式12に関する式13の条件は、以下の式15であらわせる。
余りの式 h が式 f と g の最大公約多項式になる条件は、この式 h で式 g を割り算した余り k が0になることである。
この式16であらわされる余りの多項式 k が0になる。
そのため、以下の式17と18が成り立つ。

(3)
この式17と18を連立して解を求め、その解のうち、式15を満足する解を選別する。
式18から式19が得られる。
この解は式15を満足した。
次に、b=1/12の場合の解を調べる。
この解は式15を満足しない。
よって、求める解は、
a=1,
b=−1/4,
である。
(解答おわり)

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2011年08月20日(Sat)▲ページの先頭へ
放物線の直交接線の交点の軌跡
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】放物線
y= x (式1)
について、互いに直交する2つの接線の交点は定直線上にあることを証明せよ。


(解答の方針)
放物線の接線の傾きy’は微分で求められる。
y’=2x (式2)
1つの接点をA(a,b)とすると、
接線の式は、
y−b=2a(x−a)
y−a=2a(x−a) (式3)
もう1つの接点をB(c、d)とすると、
接線の式は、
y−d=2c(x−c)
y−c=2c(x−c) (式4)
式3の接線と式4の接線が直交する条件は、
(2a)(2c)=−1 (式5)

また、式3の接線と式4の接線の交点をQ(x,y)とすると、
式3と式4の連立方程式が得られる。
y−a=2a(x−a) (式3)
y−c=2c(x−c) (式4)
この連立方程式と、接点の交差をあらわす式5とで全ての条件があらわされる。
(2a)(2c)=−1 (式5)

これらの式3〜5は3つの式であるから、未知数を2つ消去した1つの式を作ることができる。
未知数aとcを消去すれば、残るのはxとyだけにかかわる式であり、
その式は曲線か直線のグラフをあらわす。
その式は、aとcがどう変化してもいつも変わらず成りたつ、xとyの関係である。
そのため、式3の接線と式4の接線の交点(x,y)は、その式があらわすグラフ上の点である。

実際に、そのグラフの計算方法を考える。

【注意点】
式3はaに関する二次関数であり、式4もcに関する二次関数であり複雑な式である。このまま計算すれば、計算が複雑になると予測される。
そのため、工夫する必要がある。
【工夫点】
式3はaに関する式であるが、それは、cを求めるための式(解t=a,c)でもあると解釈する。
y−t=2t(x−t)
−2tx+y=0
−2tx+y=(t−a)(t−c)=0 (式6)
そして、式3のtの解のaとcとの間には、式5の関係があると考える。
すなわち、式6の2つの解aとcの積は、式5から
ac=−1/4
式6の根と係数の関係から、
y=ac=−1/4 (式7)

よって、式6は、
−2tx−1/4=0
−1/4=2tx
t−1/(4t)=2x
x=(1/4){2t−1/(2t)}
x=(1/4){2c−1/(2c)} (式8)

よって、式7から、直交接線の交点Q(x,y)は、式7であらわされる直線上にあり、そのx座標は式8であらわされる。
このように、解答の方針を考えているうちに解答が出来上がってしまった。
そのため、以上を、解答とする。
(解答おわり)

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2011年08月17日(Wed)▲ページの先頭へ
2つの放物線の接線が直交する
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】2つの放物線
y= x−2x+2 (式1)
y=−x+ax+b (式2)
は、それらの交点の1つPで、接線が互いに直交しているものとする。
 このとき、放物線(式2)は、a、bの値に無関係な一定の点Qを通ることを証明し、Qの座標を求めよ。


(解答の方針)
「一定の点Qを通る」というような耳慣れない性質を求める問題が出て来ても、あわてずに、
先ず、与えられた全ての条件を数式で表わす。
 そうする理由は、その数式の解き方のパターンは限られていて、
この問題は、どの解き方のパターンで解けば良いかが数式から分かるからです。

交点P(c,d)とする。
交点Pのdが式1と式2とであらわされるから、交点P(c,d)を代入した式1=式2が成り立つ
−2c+2=−c+ac+b (式3)

式1の放物線の接線の傾きは、
y’=2x−2 (式4)
式2の放物線の接線の傾きは、
y’=−2x+a (式5)
点Pでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
(2c−2)(−2c+a)=−1 (式6)
点Q(x,y)は放物線(式2)上にあるので、
y=−x+ax+b (式2)
である。

結局、以下の式の群が得られた。
−2c+2=−c+ac+b (式3)
(2c−2)(−2c+a)=−1 (式6)
y=−x+ax+b (式2)

これら3つの式を使って問題を解くのは、未知数を順次に減らす計算パターンしか無い。
未知数は、a、b、c、x、yである。
式が3つあるので、未知数を2つ消去できる。
そのように未知数を消去する計算をすると、未知数群(a,b,c)のうちで残った1つの未知数と(x,y)とを含む1つの式が得られる。
そのため、この問題は、その1つの式から(x,y)を求める問題であることがわかる。

すなわち、この問題は、
「1つの未知数に関する1つの式から、未知数の値に無関係な一定の点Q(x,y)の値を求める」
という問題である。
問題を言いかえると、
「(1つの)未知数の値が変化しても一定の値の(x,y)によって式が満足される、そういう値(x,y)を求める」
という問題である。
更に問題を言いかえると、
「(1つの)未知数の値がどのように変化しても式がいつも成り立つようにする(x,y)を求める」
という問題である。
ここまで言いかえると、この問題は、
「(1つの)未知数に関する式を恒等式にする条件を満足する(x,y)を求める」
という問題であることがわかる。
それで、この問題を解くめどが立った。

このように、数式を書けば、その数式の解き方のパターンの数が限られているので、どういう問題であるかの、問題の意味が見えて来る。

(解答)
(1)
交点P(c,d)とする。
交点Pのdが式1と式2とであらわされるから、交点P(c,d)を代入した式1=式2が成り立つ
−2c+2=−c+ac+b (式3)
2c−(2+a)c+2−b=0 (式7)
(2)
式1の放物線の接線の傾きは、
y’=2x−2 (式4)
式2の放物線の接線の傾きは、
y’=−2x+a (式5)
点Pでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
(2c−2)(−2c+a)=−1 (式6)
−4c+2ca+4c−2a=−1
−4c+2ca+4c−2a+1=0
4c−2ca−4c+2a−1=0
4c−(2a+4)c+2a−1=0 (式8)
(3)
点Q(x,y)は放物線(式2)上にあるので、
y=−x+ax+b (式2)
である。

(4)
これらの式を整理して並べると、
2c−(2+a)c+2−b=0 (式7)
4c−(2a+4)c+2a−1=0 (式8)
y=−x+ax+b (式2)

この3つの式から未知数a,b,cのうちの2つの未知数を消去し、残った未知数の式が恒等式になるように(x,y)の値を定める。
ここで、式7と式8から、複雑な式を成す未知数cが消去できることがわかる。
(式7)×2−(式8)を計算する。
4−2b−(2aー1)=0
4−2b−2a+1=0 (式9)

(5)
式2から、
b=y+x−ax (式2’)
この(式2’)を式9に代入してbを消去する。
4−2(y+x−ax)−2a+1=0
この式を未知数aに関して整理する。
a(2x−2)+4−2y−2x+1=0
この式が未知数aに関して恒等式になる条件は、
2x−2=0 (式10)
4−2y−2x+1=0 (式11)

(5−1)
式10から、
2x=2
x=1 (式12)
(5−2)
式12を式11に代入する。
4−2y−2+1=0
3=2y
y=3/2
よって、
Q(x,y)=(1,3/2)
(解答おわり)

【注意】この問題を解くのに、最初に未知数cを消去したが、他の未知数を消去して最後まで未知数cを残しても、同様に、解くことができる。

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2011年08月13日(Sat)▲ページの先頭へ
円の接線の公式を微分で導く
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(ある直線と曲線の交点を求める式が重根を持つときその直線が必ず接線であるとは言えない。下図の曲線にO点で交わる直線と曲線の交点を求める式は重根を持つ。しかし、ABを通る直線のような方向を向いた直線でもO点で重根を持って曲線と交わる。)

【研究問題】円の接線の公式は既に学習していると思いますが、
接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、
改めて、円の接線の公式を微分により導いてみます。

円 x+y=1 (式1)
この円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式
(f・g)’=f’・g+f・g’
を使います。

x’・x+x・x’+y’・y+y・y’=1’ 
x’=1で、1’=0だから、
2x+2y・y’=0 (式2)
接点(x,y)での接線の傾きy’は、
(yが0で無い場合は)
式2を変形した以下の式であらわせます。
接点を(x,y)とすると、式3は以下の式になります。
接線の式は、
点(x,y)は式1を満足するので、
+y=1
∴ yy+xx=1
この、円の接線の公式は既に学んでいる接線の式です。

【研究問題その2】
楕円の式は高校3年の数学VCで学びますが、高校2年でも、その式だけは覚えていても良いと思います。
楕円 x/a+y/b=1 (式1)
です。

この楕円の接線の公式は、微分により導けます。

この楕円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式 (f・g)’=f’・g+f・g’
を使います。
x’=1で、1’=0だから、
接点(x,y)での接線の傾きy’は、
(yが0で無い場合は)
式2を変形した以下の式であらわせます。
接点を(x,y)とすると、式3は以下の式になります。
接線の式は、
点(x,y)は式1を満足するので、 
こうして、楕円の接線の公式が得られました。

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微分の基本公式
「微分・積分」の勉強

関数f(x)であらわされるグラフの傾きは、以下のようにあらわされます。
この傾きは以下に説明する微分によって求めます。

---(定義2.1 「微分積分学入門」(横田 壽)67ページ---
関数f(x) がx0 を含むある区間で定義されているとき,極限値
が存在するならば,
関数f(x) は, x = x0 微分可能(differentiable) であるといいます.
また,この極限値A を点x0 における微分係数といい,

で表わします.
-----(定義おわり)--------------------------- 

関数f(x) が,ある区間 I の各点で微分可能のとき
f(x) は区間 I で微分可能(differentiable on I) であるといいます.
この場合,区間 I の各点にそこでの微分係数を対応させることにより定まる関数を
f(x) の導関数(derivative) といい,

であらわします。
微分を(df/dx)で表すことをライプニッツの記法と呼んでいます。

また、fの微分を、f’とも書くことができます。その記法はラグランジュの記法と呼ばれています。

  この微分の定義に従って、関数の微分を考えると、
以下の公式が導かれます。

(基本公式)
(f・g)’=f’・g+f・g’
(証明開始)
(証明おわり)

 この「関数の積の微分の公式」は、ライプニッツ則と呼ばれる微分法の重要な公式です。
ライプニッツが、1684年に「極大と極小にかんする新しい方法」を出版して、その中で微分法を発表し、
ついで1686年に「深遠な幾何学」を出版して積分法を発表しましたが、
その研究の中心核を成す重要な公式です。 


何と!この基本公式の証明は高校2年では教わらないことになっているそうです。
(この教育方針は1989年ころから続いているようです)
 この基本公式は、微分の定義を学んだなら、その定義の意味を知るためにも、直ぐ学ぶべき公式と考えます。
 この公式を教えないと言うのは、微分を教えないということに等しいと考えます。

 微分の本質が教えられていないと、その微分の応用を教えることができません。逆に、微分の応用が教えられない場合は、「微分の本質が教えられていないからである」と、微分の本質が教育できたか否かをチェックできます。
 この基本公式を教えられないというチェック結果から、微分の本質が教えられていないことが確認できます。

 そういうふうに教育されると、微分は全く理解できないことになると考えます。実際、その通りに、微分は高校生に全く理解されない結果が出ているようです。 

 このブログを読んでいる、数学を学ぶ後輩に、先輩から一言助言します。
 高校の微分積分の参考書は良くわからない。それに比べて、大学生向けの微分積分の参考書は分かりやすい。大学生向けの参考書は数学の本流にそって、ていねいに、公式は必ず証明した上で学生に使わせるようにしている。新しい知識は、必ず定義したり説明してから紹介している。
 ハッキリ言って、大学生向けの微分積分の参考書は、高校の微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれている。
 しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、やさしく分かり易い。
 高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
 とりあえず、大学生向けの参考書で無料でダウンロードできる、
「微分積分学入門」(横田 壽)
を読んでみることをお勧めします。 
(しかし、同じ著者の書いた高校生向けの参考書「確実に身につく微分積分(2012年)」の1版は、内容が劣化しているのでお勧めできません。大学生向けの本物の知識の参考書「微分積分学入門(2004年)」を読んでください。)

「微分積分学入門」(横田 壽)の読み方は、 66ページから始まる2章「微分法」の以前のページは斜め読みして、何が書いてあるらしいかを漠然と把握しておいて、2章「微分法」以降を精読することをお勧めします。読んでいるうちに知らない関数や概念が出てきたら、66ページ以前に書いてありますので、探して、その部分を読んで理解するように勉強してください。

(f・g)’=f’・g+f・g’
   この基本公式から、以下のことが言えます。

x’=1ですが、
(x)’=(x・x)’=x’・x+x・x’=2x
(x)’=(x・x・x)’=x’・(x・x)+x・x’・x+(x・x)・x’=3x
同様にして
(x)’=4x
(x)’=5x

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2011年08月11日(Thu)▲ページの先頭へ
円と放物線の接線(3)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【研究問題】以下の問題は高校の数学では解けません。入学試験にも出ない問題です。
しかし、研究のために、この問題を解いてみます。

【問1】
hの値を変えたとき、
放物線 y=(x+1)+h (式1)
と、円 x+y=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(a,b)の値を求めよ。

(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(a,b)において、
式1から、
放物線 b=(a+1)+h  (式3)
式2から、
円 a+b=1 (式4)

(2)
式1の放物線の接点(a,b)における接線の傾きは、式1の関数をxで微分して計算し、
2(a+1)
(3)
式2の円の接点(a,b)における接線の傾きは、
法線の傾きb/aの逆数に(−1)を掛け算したものであって、
−a/b

(4)
この2つの接線の傾きの値が等しいので、
2(a+1)=−a/b
b=−a/(2(a+1)) (式5)

(5)
この式5を式4に代入すると、
+(a/(2(a+1)))=1
(a−1)(a+1)+a/4=0
+2a+a/4−2aー1=0 (式6)
この式6の四次方程式の正確な解は見つかりません。
そのため、この式6の左辺の4次関数のグラフを、a=xとするxy座標に書いて、4次方程式の答えをグラフで求めます。

そのために、EXCELを使ってグラフを書きます。
この際、 そのグラフの描き方を勉強しておいてください。
その結果、以下のグラフが得られました。

グラフから、y=0となるx=aは、
a≒0.97 (式7)
or
a≒−0.61 (式8)

(5−1)
a≒0.97の場合、
式5を計算すると、
b≒−0.25
式3からhを計算すると、
h≒−4.13

(5−2)
a≒−0.61の場合、
式5を計算すると、
b≒0.78
式3からhを計算すると、
h≒0.63
(解答おわり)

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2011年08月10日(Wed)▲ページの先頭へ
円と放物線の接線(2)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問1】hの値を変えたとき、
放物線 y=x+h (式1)
と、円 x+(y−1)=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(x,y)の値を求めよ。

(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(x,y)において、 
式1から、
放物線 y=x+h  (式1’)
式2から、
円 x+(y−1)=1 (式2’) 


(2)
式1の放物線の接点(x,y)における接線の傾きy’は、式1の関数をxで微分して計算し、
y’=2x (式3)
である。
(3)
式2の円の接点(x,y)における接線の傾きy’は、
法線の傾き(y−1)/xの逆数に(−1)を掛け算したものであって、
y’=−x/(y−1) 
(式4)
である。

(4)
この2つの接線の傾きの値が等しいので、
式3=式4:
この式5を解くと、
x=0 (式6)
or
y−1=−1/2

y=1/2 (式7)
 

(5)
(式6の場合の接点を求める)
式6を式2に代入する。
(y−1)=1
(y−1)=±1
y=2
or
y=0
 

接点は、
(x,y)=(0,0) (式8)
or
(x,y)=(0,2) (式9)
 

(5−1)
式8の場合に、式8を式1に代入する。
h=0

(5−2)
式9の場合に、式9を式1に代入する。
h=2

(5−3)
よって
接点=(0,0)でh=0
or
接点=(0,2)でh=2

(以上が、第1の種類の接点)

(6)

(式7の場合の接点を求める)
式7(y=1/2)を式4に代入する。
式1より
接点は、
このとき、
(以上が第2の種類の接点)
(解答おわり)


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2011年08月09日(Tue)▲ページの先頭へ
円と放物線の接線(1)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問1】hの値を変えたとき、
放物線 y=x/4+h (式1)
と、円 x+(y−1)=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(x,y)の値を求めよ。

(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(x,y)において、 
式1から、
放物線 y=(x/4)+h  (式1’)
式2から、
円 x+(y−1)=1 (式2’) 


(2)
式1の放物線の接点(x,y)における接線の傾きy’は、式1の関数をxで微分して計算し、
y’=2x/4=x/2 (式3)
(3)
式2の円の接点(x,y)における接線の傾きは、
法線の傾き(y−1)/xの逆数に(−1)を掛け算したものであって、
y’=−x/(y−1) (式4)

(4)
式3と式4の接線の傾きy’の値が等しいので、
この式5を解くと、
x=0 (式6)
or
y−1=−2 (式7)
 

式2から −1≦y−1≦1
であるので、式7は不適。
よって、式6のみが解である。
 

(5)
式6を式2に代入する。
(y−1)=1
(y−1)=±1
y=2
or
y=0
 

接点は、
(x,y)=(0,0) (式8)
or
(x,y)=(0,2) (式9)
 

式8の場合に、式8を式1に代入する。
h=0
式9の場合に、式9を式1に代入する。
h=2
よって
接点=(0,0)でh=0
or
接点=(0,2)でh=2
(解答おわり)


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2011年07月30日(Sat)▲ページの先頭へ
曲線の接線とは(接線は微分で定義される)
「微分・積分」の勉強

(1)なめらかな曲線の接線は、微分を使って見通し良く正しく定義できる。
(2)接点の座標の計算だけで2曲線の接触を判定する場合は、接点(x,y)が重解を持つか否かで判定する。接点(x,y)のx座標かy座標の一方の座標だけでの重解の有無で判定してはいけない。

【問1】放物線y=x/4と円x+(y−1)=1は接するか?

【問2】円x+(y+1)=1と円x+(y−1)=1は接するか?


以下で、この2つの問題を考えてみる。

【問1】放物線y=x/4と円x+(y−1)=1は接するか?
(方程式が重根を持つかで解析する方法)
放物線 y=x/4  (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
この2つの図形は、(0,0)で接することが図から明らかである。
そして、接線は、
接線 y=0 (式3)
であることが明らかである。
 

実際に、式1の放物線と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
0=x/4
xは0となる重根を持ち、式1の放物線は式3の接線と(0,0)で接する。
 

次に、式2の円と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
+(0−1)=1
=0
xは0となる重根を持ち、式2の円は式3の接線と(0,0)で接する。
 

【この問題で注意する点】
 以下では、式3の接線の式が分からないで、この問題1を解こうとする場合に、
接点(x,y)が重解を持つか否かで判定するべきであり、接点(x,y)のx座標かy座標の一方の座標だけで重解の有無を判定してはいけないことを示す。
 

式1の放物線と式2の円の方程式を連立させる。
放物線 y=x/4  (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
式1から、
=4y (式4)
式4を式2に代入してxを消去する。
4y+(y−1)=1
+2y=0
y(y+2)=0 (式5)

ここで、『この式は重根を持たないので、式1の曲線と式2の曲線は接さない?』
と考えるのは、明らかに間違っている。


(問題を解くポイント)
 上の接線を求める計算においては、接線の式が多重根の解を持つという判定条件を、y座標の値の解だけで判断したため間違ったのです。
 接点(x,y)が多重の解を持つかどうかはx座標も確認しないといけないのです。
 上の計算で得た式5に式4を代入して、x座標であらわした以下の式6に書き直す。
(x/4)/4+2)=0 (式6)
(x)(x+8)=0 (式7)
(x+8)≠0 なので、
=0 (式8)
が得られる。
式8から、xの値が重根の値0を持つことがわかり、
「多重根ができるから接する」と判定することができる。

 すなわち、接点(0,0) の x 座標が重根になるのであって、重解の2点のy座標は同じになるため、 x 座標が重根になる事を確認しなければならない。

(注意)
 ここで、この問題のグラフの x 座標を、
t ≡ x
で定義されるt座標を使い、 t,y 座標系での曲線の接点を求める問題と考えたらどうなるか。
t ≧ 0,
(式1)→ y=t/4  (式1b)
(式2)→ t+(y−1)=1 (式2b)
 この場合は、式2bに式1bを代入すると、
t+((t/4)−1)=1,
16t+((t−4)=16,
+8=0,
t(t+8)=0,
t=0
このように、t座標の解も重根を持たない。
 それでは、2つのグラフが接しないという解になってしまう。
 一方、与えられた2つのグラフの t,y 座標系に写像した2つのグラフは、下図のようになり、この2つのグラフは接しない。
よって、 t,y 座標系では、この2つの曲線は接しないという結論は正しい。

 2つのグラフが接するという事は、 x,y 座標系でのみ成り立つ現象である。変数変換をしたら、グラフが接するかどうかは不明になる。

(結論)
 曲線の式と曲線の式を連立させて方程式を解く場合には、
曲線が接する判定条件は、(x,y)の座標点が重解になるかどうかで判定するべきである。


(補足)
 以上の計算における曲線の接触の判定の計算は、「この式8が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか?」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
 この不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、このページの後のページの例題で例示する。


【問2】円x+(y+1)=1と円x+(y−1)=1は接するか?


(方程式が重根を持つかで解析する方法)
円 x+(y+1)=1 (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
式1の円と式2の円の方程式を連立させる。
式1から式2を引き算する。
4y=0
y=0 (式3)
この式3はまだ接線とは限らない。

この式3も重根を持っていないことに注意すること。

--(接点(x,y)が重解を持つ判定の注意)--
 座標xの解を求める式は、式3を式1又は式2に代入することで得られ、その式は以下の式になる。
=0 
この式は、xが重解の値0になることを示す。
そのため、接点(x,y)が重解を持つことが言える。
----------------------------------------------

この式3の直線と式1の円が接すれば、この式3の直線は式2の円とも接し、
式1の円と式2の円が同じ式3の直線との接点で接することになる。

式1の円と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
+(0+1)=1
=0
xは0となる重根を持ち、式1の円は式3の直線と(0,0)で接する。

同様にして、式2の円も式3の直線と(0,0)で接する。
(解答おわり)


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三次関数の曲線の接線の残りの交点
「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問2】三次関数の曲線y=xの(x=1)となる点の接線が再びその曲線に交わる残りの交点を求めよ。

(解答の方針)
f(x)を微分可能な関数として、曲線y=f(x)のx=aにおける接線の方程式は、
y=f’(a)(x−a)+f(a)
である。

この公式を用いて、接線の方程式を求めて、それから、その接線と曲線の交点を求める解答方法が、
最初に勉強すべき解答方法です。

(解答開始)
f(x)=x
微分の公式により
f’(x)=3・x
f(1)=1=1
f’(1)=3・1=3
接線の方程式は、
y=3(x−1)+1
この接線と曲線の方程式の交点のx座標を求める方程式は、以下の式になる。
=3(x−1)+1
−3x+2=0
(x−1)(x+2)=0
接線のx=1に関する式(x−1)が二乗になって重根になり、それ以外の交点に関する式(x+2)が1つできて、それらの積に方程式が因数分解できる。
接線が再び曲線に交差する残りの交点は、
x=−2
y=(−2)=−8
よって、残りの交点の座標は、
(−2,−8)
(解答おわり)

【別解】
この問題を上の解き方で解いた結果、もう少し楽に解答を得る方法がわかってきます。
その楽な解答方法とは、以下のようにしてわかります。

接線の方程式をy=mx+nとだけ書いて、その接線と曲線の式y=xとの残りの交点(a,b)を与える式を書くと、以下の式で与えられます。
=mx+n
−mx−n=0
この式は、
(x−1)(x−a)=0
になります。
すなわち、
−mx−n=(x−1)(x−a)
の係数だけを書くと、
0=−2−a
∴ a=−2
接線の式のmとnの値がわからなくても、交点のx座標a=−2がわかりました。
b=(−2)=−8
よって、残りの交点の座標は、
(−2,−8)
(解答おわり)
このように、楽に答えが解けました。

この楽な解き方は、どの三次関数の曲線の接線の残りの交点を求めるときでも、使えます。

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曲線の接線(基本公式)
「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問1】y=xの曲線の(x=1)となる点の接線を求めよ。

(解答の方針)
f(x)を微分可能な関数として、曲線y=f(x)のx=aにおける接線の方程式は、
y=f’(a)(x−a)+f(a)
である。
この式で、f’(a)とは、関数f(x)を微分した結果の関数f’(x)のx=aにおける値である。

この公式が成り立つ理由は、関数f(x)を微分した結果の関数f’(x)は曲線の傾きをあらわすからです。

(解答開始)
f(x)=x
微分の公式により
f’(x)=2・x
f(1)=1=1
f’(1)=2・1=2
接線の方程式は、
y=2(x−1)+1
(解答おわり)

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2011年07月19日(Tue)▲ページの先頭へ
指数関数と対数関数 第5講3節 log(3)4とlog(4)6
佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問2】log4とlog6の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
対数関数の大小は、以下の公式を(以下の数の範囲で)利用することで必ず解くことができる。
底について  1<a≦A
真数について 1<b≦B
である場合は、
0<logb≦log
が成り立つ。
この数値範囲では、等号が成り立つのは、a=Aかつb=Bの場合のみ。

この公式を、以下のように利用することで、大小関係を必ず解くことができる。
(1)底を1より大きくし真数も1より大きくした式に変換した上で、
(2)小さい方(と思われる)対数関数の底を、他の対数関数の底よりも大きくする。
(3)大きい方(と思われる)の対数関数がlogC≡Hであり、
小さい方(と思われる)の対数関数がlogD≡Lである場合、
対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。
それを、対数関数Lの真数Dと底Aを使って同じ形に作った真数D/Aと比べる。
このように真数を変換することは、
元の対数関数をm倍にした値からnを引き算することを意味する。
mH−n=log(C/a
mL−n=log(D/A

対数関数HがLより大きければ、
mとnを十分大きくして、1より大きな真数で、なるべく1に近い真数を作れば、
対数関数Hから作った真数は必ず、対数関数Lから(同様にして)作った真数よりも大きくなり、先の公式にあてはまるようになる。

(その理由は、大きなmで対数関数の大小関係が拡大されているので、対数関数HとLの真数の値は、対数の底の違い以上に大きさが異なるようになるためである。
なお、nを引き算する理由は、対数関数の値が同じなら、底が異なっても真数を同じにするためである。)

そのため、この方法を使えば、必ず、対数関数の大小関係を求めることができる。

(解答開始)
L≡log
H≡log
(1)この2つの対数関数の大小関係は、多分H>Lである。
そのため、対数関数Hの底を、Lの底=3より小さくする。
H≡log6=(1/2)log
2H=log
2L=2log4=log16

(2)真数を1に近づける(ただし1より大きくする)ために、対数関数から2を引き算する。
2H−2=log(6/4)=log(3/2)
2L−2=log(16/9)

(3−1)対数関数を更に2倍にする。
4H−4=log(9/4)
4L−4=log(256/81)

(3−2)真数を1に近付ける(ただし1より大きくする)ために、更に1を引く。
4H−5=log(9/8)
4L−5=log(256/243)
(4H−5)の真数B=9/8=1.1・・・
(4L−5)の真数b=254/243=1.05・・・
よって、B>b
一方、
(4H−5)の底a=2
(4L−5)の底A=3
すなわち、A>a
よって
(4H−5)=logB>logb=(4L−5)
∴ H>L
log6>log
(解答おわり)

【別解】
(解答の方針)
対数関数の逆数は、底と真数が入れ替わった式になることを利用する。
1/L=log
1/H=log

この関係を利用することで、先の計算方針の:
「(3)・・・対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。」
を補う以下の計算方針によって、対数の大小関係を求めることができます。
(3)’・・・対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のa/Cを作る。
(すなわち、 1より小さい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。)

(解答開始)
(1)この2つの対数関数の大小関係は、多分H>Lである。それは、(1/H)<(1/L)ということを意味する。
対数関数の大小関係を示す先の公式にあてはめるために、対数関数(1/L)の底=4は、(1/H)の底=6より小さくする必要があるが、既に、底の関係は、この関係を満足している。

(2)次に、1/Lの真数3のm乗を底4のn乗で割り算して、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数を作る。
/4=81/64が手ごろだと思う。
すなわち、
(4/L)−3=log(3/4)=log(81/64)=log(1.2・・・)
(4/H)−3=log(4/6)=log(2/(2×3)
=log(2/3)=log(32/27)=log(1.1・・・)

対数関数(4/L)−3の底は4で真数は1.2・・・であり、
対数関数(4/H)−3の底は6で真数は1.1・・・であるので、
公式にあてはまって、
対数関数(4/L)−3>(4/H)−3
よって、(1/L)>(1/H)
0<L, 0<H であるので、
∴ L<H
log4<log
(解答おわり)

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2011年07月17日(Sun)▲ページの先頭へ
指数関数と対数関数 第5講3節 log(3)4とlog(4)5
佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問1】log4とlog5の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
(1)対数関数の問題を考える場合は、対数の底をそろえて比較する。
(2)更に、対数の真数をそろえて比較する。
(3)主に、{(対数の真数)/(対数の底)}を比較の対象にする。

L≡log
H≡log
この2つの対数関数を比較するため、先ずLの対数の底(=3)をHの対数の底(=4)にそろえることを考える。
L≡log
=log(3・(4/3))
=log3+log(4/3)
=1+log(4/3)
L>M≡1+log(4/3)
(上の結論は、対数関数の真数をそろえて、底を変えて比較した結論です)
M≡1+log(4/3)
M>N≡1+log(5/4)
(上の結論は、対数関数の底をそろえて、真数を変えて比較した結論です)
N≡1+log(5/4)
=log4+log(5/4)
=log5=H

∴ log4>log
(解答おわり)

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相加平均と相乗平均の不等式
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2011年07月16日(Sat)▲ページの先頭へ
第2講4節 相加平均と相乗平均の不等式
佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

a≧0, b≧0のとき
(a+b)/2≧√(a・b)
ただし、a≠bのときは
(a+b)/2>√(a・b)

【問1】log4とlog5の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
対数関数の問題を考える場合は、対数の底をそろえる。
また、積が和に変わる対数関数の性質は、
相加平均(和)と相乗平均(積)の比較をする相加平均と相乗平均の不等式と似ていることに注目すること。

H≡(log5)/(log4)
=(log5)・(log3)
=(√{(log5)・(log3)})
(相乗平均(積)<相加平均(和)の関係を使う)
H<J≡({(log5)+(log3)}/2)
J={log(√(5・3))}
(相乗平均(積)<相加平均(和)の関係を使う)
J<K≡{log({(5+3)/2})}
K={log4}
=1
∴ H≡(log5)/(log4)<1
log5<log
(解答おわり)

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指数関数と対数関数 log(3)4とlog(4)5
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2011年07月11日(Mon)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(4)sinの和は−cos
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。

【問1】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。
(解答おわり)

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2011年07月10日(Sun)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(3)cosの和はsin
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。

【問1】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。

(解答おわり)

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2011年07月09日(Sat)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(2−2)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問2】1+2+3+・・・+n =G(n)とする公式を求めよ。

=kの和(k=1〜n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b−b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。
+a+a+a
=(b−b)+(b−b)+(b−b)+(b−b
=b−b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
=b−b(k+1)+f(k)
となって、f(k)という項が余っても、その項の和の公式がわかっていれば、それでも問題が解けます。

−(k−1)k+k(k+1)
を考える。
−(k−1)k+k(k+1)
=k{−(k−1)k+(k+1)
=k{3k+1}
となるから、
=(1/3){−(k−1)k+k(k+1)−k}
である。
つまり、
=kの場合において、
=b−b(k+1)−(k/3)
とあらわせる
=−(1/3)(k−1)k
という式が得られた。
−(k/3)という項が余っているが、この余った項の和を求める公式は既に知っている(kの和はn(n+1)/2)ので問題が解ける。

これを使って、以下の答えが得られる。
=kの和(k=1〜n)は、
−b(n+1)−(k/3)の和
=(1/3){−0×1}+(1/3){n(n+1)
−{n(n+1)/2}/3
=(1/3){n(n+1)−n(n+1)/2}
=(1/3)n(n+1){(n+1)−(1/2)}
=(1/3)n(n+1)(n+(1/2))
(解答おわり)

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