勉強しようNTTのBlog - 2011/03

算数の問題と解答とを考えていきます。




2011年03月31日(Thu)▲ページの先頭へ
第3講2節 円と直線(極と極線)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCを結ぶ直線の方程式をもとめよ。
(点Aあるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に、点の名前Aを引き継いだ記号に添え字を付けた座標記号を使ってください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです)

線分DAの長さをaとする。

接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。
一方、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

(予備知識)
円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(接点を結び直線BCと直線DAの交点Eを考える)

△ABDは△BEDに相似だから、
△BEDの辺DEの長さ=BD・(DB/AD)=1/a
一方、
ベクトルDAに平行な単位ベクトル
=ベクトルDA/a

単位ベクトル(=ベクトルDA/a)に垂直で原点からの距離が(1/a)の直線の式は、以下のベクトルの内積の式であらわせる。
よって求める直線(極線)の式は、
X+aY=1 (式1)

極A(a,a)が円上にある場合、式1で与えられる極線は、点Aで円に接する接線の式になる。

なお、極A(a,a)が円の中に入ってしまうと、点Aから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式1は、点A(a,a)が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えAが円の中でも、式1であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。

リンク:
ベクトル方程式による極と極線
点Pを極とする円の極線の作図サイト
高校数学の目次
複素数平面での円の極と極線



2011年03月27日(Sun)▲ページの先頭へ
第3講2節 円と直線
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)と、直線3x+2y=kとが接する場合のkの値を求めよ。

(予備知識)
難しい形の図形は、その座標を単純な形の基本的な座標での図形に置きかえて考えます。
(難しい形の図形は、全て、単純な座標での図形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

(まず、問題を単純化する)
直線の式は以下の式で与えられました。
3x+2y=k (式1)
円の式は以下の式です。
+y=1 (式2)
ここで、この直線の式(式1)は、もっと基本的な形をした単純な意味を持つ式に書きかえられます。

式1のxとyの係数はベクトル(3,2)を成します。
このベクトルを、長さが1の単位ベクトルに変換します。
その変換は、ベクトル(3,2)を√(3+2)で割り算すれば、単位ベクトルに変わります。
検算してみると、(3/√(3+2))の二乗+(2/√(3+2))の二乗=1になるので、このベクトルが単位ベクトルであることがわかります。

直線をあらわす(式1)を√(3+2)で割り算すれば、xとyの係数が単位ベクトルであらわされた直線の式になります。
その直線の式において、(単位ベクトル)と(ベクトル(x,y))との内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわします。
(その理由は単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積は、直線上の点のその単位ベクトル(直線に垂直)への正射影の長さになるからです。また、直線に垂直な単位ベクトルへの、座標原点と点(x,y)を結ぶベクトルの正射影の長さは、直線と座標原点との距離だからです。)

すなわち、単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積をあらわす左辺の式に等しい右辺の式の、
k/√(3+2
が、直線の座標原点からの距離です。
この距離が式2の円の半径1になれば、この直線が円に接します。
よって、もとめるkの値は、
k/√(3+2)=±1
の場合に、直線が円に接します。
上の式を変形すると、
k=±√13
これが直線が円に接する場合のkの値です。

リンク:
ミラーサイトのページ
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第3講1節 円の方程式
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

以下で、点D(d,d)を中心とする半径Rの円の方程式を説明します。
(点Dの座標値を記号であらわすときは、上図のdの様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前Dを引き継いだ記号dであらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです)

(予備知識)
難しい形の図形は、その座標を単純な形の基本的な座標での図形に置きかえて考えます。
(難しい形の図形は、全て、単純な座標での図形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)


(まず、問題を単純化する)
上の座標軸(x,y)を、平行移動して、円の中心Dを座標軸の原点とする座標(X,Y)で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。

(単純化した図形で問題を考える)
この座標系X,Yでは、上図のように、円の中心点Dが原点にあります。
この座標X,Yで考えると、上の図のように半径Rの円の方程式は、
+Y=R (式3)
であらわせます。

(参考のため、別の視点で円の方程式を導いてみる)

上図のように、円の直径BCの両端と円の上の点A(X,Y)を結ぶ2つの、ベクトルABとベクトルACは直交します。
そのため、その2つのベクトルが直交するとしたベクトルの内積の式を展開します。
その展開の結果、やはり、式3と同じ円の方程式が得られました。
(以上で、単純化した図形で円の方程式が得られた)


(単純化した問題の解答を元の座標系x,yでの解答へ翻訳する)
式3のXとYを、式1と2を使って、x、yに置き換える。
これが、点D(d,d)を中心にする半径Rの円の方程式である。


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第2講2節 直線の関係(三角形の外心の座標)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問1】三角形ABCの外心(外接円の中心)の座標Dをもとめよ。ただし、頂点A,B,Cの座標は、点A(4,7)、点B(2,1)、点C(8,3)とする。

外接円の中心Dは、線分ABの垂直二等分線mと線分BCの垂直二等分線nとの交点を計算することで求める。

(予備知識)
複雑な図形の問題は、より単純な図形の問題に置きかえて考えます。
(難しい形の問題は、全て、単純な形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

(まず、問題を単純化する)
上の図形の座標軸(x,y)を、平行移動して、点Bを座標原点とする座標(X,Y)で考える。

 ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
X=x−2 (式1)
Y=y−1 (式2)

この座標系X,Yでは、上図のように、点Bが座標の原点にあります。

線分ABの垂直二等分線mは線分ABの中点Mを通る直線であり、
線分BCの垂直二等分線nは線分BCの中点Nを通る直線である。

線分ABの垂直二等分線mの式は、ベクトルMDとそれに垂直なベクトルMの内積が0であることをあらわす式である。

上の図のように、直線ABの垂直二等分線の式は、式3であらわされる。
(X−1)+3(Y−3)=0 (式3)

同様にして、直線BCの垂直二等分線nの式は、式4であらわされる。
3(X−3)+(Y−1)=0 (式4)
式3と式4を連立して解けば、垂直二等分線mとnの交点の座標Dが求められる。
式3を展開して式5を得る。
X+3Y=10 (式5)
式4を展開して式6を得る。
3X+Y=10 (式6)
Yを消去するために、(式5)−(式6)・3を計算する。
X+3Y=10 (式5)
−9X−3Y=−30 (式6’)
−8X=−20
X=5/2 (式7)
式7を式6に代入する。
3・(5/2)+Y=10
Y=5/2 (式8)
式7と式8でD点の座標(5/2,5/2)が得られた。

こうして得た解答を元の複雑な問題の解答に翻訳する。
(計算方針)式7と式8それぞれに、式1と式2を代入して座標X,Yを元の座標x,yに戻す。
式7に式1を代入する。
x−2=5/2
x=9/2 (式9)
式8に式2を代入する。
y−1=5/2
y=7/2 (式10)
これで、点Dの座標系x,yでの座標値(9/2,7/2)が得られた。
(解答おわり)

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2011年03月26日(Sat)▲ページの先頭へ
第2講2節 直線の関係(垂直二等分線の方程式)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

以下で、点A(a,a)と点B(b,b)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を導く方法を説明します。
(点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前AとBを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです) 
 
(予備知識)
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
(難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

(まず、問題を単純化する)
上の概念図の座標軸(x,y)を、平行移動して、線分ABの中点(その点を垂直二等分線が通る)を座標原点とする座標(X,Y)で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
この座標系X,Yでは、上図のように、点Aと点Bが原点に対して対称な位置にあります。点AのX座標=Aとし、Y座標=Aと書き直して単純化する。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
です。

(単純化した問題を解く)
上の図を見ると、点Aと原点を通る直線の式は、
であらわせることがわかる。そして、
この直線に垂直で原点を通る直線の式は、
 (以上で、単純化した問題の解答が得られた)

(単純化した問題の解答を元の問題の解答へ翻訳する)
式5のAとAを、式3と4を使って、a、a、b、bに置き換える。
上の式のXとYを、式1と2を使って、x、yに置き換える。
(解答おわり)

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第2講2節 直線の関係(垂直な直線の方程式)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


以下で、ある直線に垂直な直線の方程式を導く方法を説明します。
(予備知識)
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
(難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。)


(説明開始)
基本的な直線の式は、以下の式です。
ax+by=0
これは、座標原点(0,0)を通る直線です。


この直線に垂直な直線の式は、
−bx+ay=0
です。
xとyにかかる係数を入れ替えて、1つ目の係数の符号を正負逆にした式です。
この式の関係を、以下の図に示します。
これが、垂直な直線の導き方の基本的考え方です。

ここで、点Aの座標の記号は、下図のように、点Aの記号を引き継いだ記号に添え字を付けてあらわしてください。そうした方が計算の見通しが良くなるからです。

(基本的考え方の応用)
もっと複雑な問題の場合への応用方法は、以下のようにします。


(例1)
直線 2x+y+4=0 に垂直な直線の式は、以下のように導きます。
上の直線の式は、以下の式に書き直すと基本的な直線の式になります。
2(x+2)+y=0
x+2=X と置き変えて見ると、上の式は、
2X+y=0
になり、基本的な直線の式であらわせます。
この直線の式に垂直な直線の式は、
−X+2y=0
−(x+2)+2y=0
−x+2y−2=0
とあらわせます。


(例2)
直線 2x+y+4=0 に垂直で、かつ、点A(3,5)を通る直線の式は、以下のように導きます。
直線 2x+y+4=0 を平行移動して、点A(x,y)=(3,5)を通る直線にする。
座標(x,y)を、平行移動して、点A(3,5)を座標原点A(X,Y)=(0,0)とする座標(X,Y)で考える。
点A(X,Y)=(0,0)
X=x−3
Y=y−5
直線 2x+y+4=0 を平行移動して、点A(3,5)を通る直線は、
2X+Y=0
です。
この直線に垂直な直線は、
−X+2Y=0
この座標(X,Y)を(x,y)に置き換える。
−(x−3)+2(y−5)=0
−x+2y+3−10=0
−x+2y−7=0
(解答おわり)


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2011年03月21日(Mon)▲ページの先頭へ
第4講 軌跡(9)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】点K(k,k)と点P(X,Y)との間に、次の関係があるものとする。
(aとbは0で無い定数)点K(k,k)が直線x+y−1=0上を動くとき、点P(X,Y)はどんな図形を描くか。

(解き方の方針)
先ず、直線の式にK(k,k)を代入した式を書いておく。
+k−1=0 (式3)

この問題は、以下の方針で計算する。
(方針1)先ず、式1と式2が同じ形の分母Bを持っていることに注目する。
(方針2)式1と式2の分子はkの定数倍とkの定数倍の和のみであるので、式1と式2を加え合わせて、分子をkの定数倍にした式(式4)と、分子をkの定数倍にした式(式5)を計算することができる。そのため、その式5と式6を計算する。
(方針3)(式4)の2乗と(式5)の二乗を加え合わせた式(式6)を作る。式6は、分子が元の分母B=(k+k)の定数倍になるので、(式6)=B/B=1/Bの定数倍になる。
(方針4)式3の左辺のkの項に式4を代入し、kの項に式5を代入し、定数項に式6の定数倍を代入した(式7)を計算する。その(式7)は、式3の右辺が0であるので0になる。そのため、(式7)では、kとkの分数式であらわされた項が一気に消える。

(解答)
先ず、(方針2)を実行する。
分子からkを消去してkを残すために、a(式1)+b(式2)を計算する。
分子からkを消去してkを残すために、b(式1)−a(式2)を計算する。
(方針3)により、(式4)の二乗と(式5)の二乗を加え合わせる。
この式の左辺=(a+b)(X+Y
よって、
式を(a+b)で割り算する(aとbは0では無い)。
以上で得た式を整理すると、以下の式になる。
(方針4)により、(式3)に(式4)と(式5)と(式6)を代入する。
この式8は、下図のように、中心が((a+b)/2,(b−a)/2)にあり、(0,0)を通り、半径が√((a+b)/2)の円である。

ここで、式1と式2から、X=0,Y=0になるためには、
a+kb=0 → k=−kb/a
b−ka=0 → k=ka/b
=−k
となるので、k=k=0
しかし、k=k=0は、式3であらわす直線上の点では無い。そのため、P(X,Y)は(0,0)にはならない。

式1と式2を見ると、点Kが直線の左右の無限遠方に遠ざかれば、P(X,Y)は(0,0)に近づくが、P(X,Y)は決して(0,0)には到達しない。

リンク:
高校数学の目次



2011年03月20日(Sun)▲ページの先頭へ
第4講 軌跡(8)
勉強しようNTTのBlogのミラーサイト
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】点P(X,Y)が媒介変数kと0で無い定数a,b,cとを用いて次の式であらわされるものとする。
X=(ka+cb)/(k+c) (式1)
Y=(kb−ca)/(k+c) (式2)
(kは媒介変数)
媒介変数kの値が変化するとき、点P(X,Y)はどんな図形を描くか。

(解き方の方針)
この問題は、軌跡(7)で解答したような、媒介変数kを用いた2つの直線の交点Pの座標XとYを求めた後に、
それらの式からXとYの関係式を考える問題です。
以下では、そのような場合に、より素早く問題を解く計算技術を示す。

式1と式2のような式のグループから媒介変数kを消去する場合の計算技術として、以下の方針で計算する。
(方針1)先ず、式1と式2が同じ形の分母Bを持っていることに注目する。
(方針2)次に、式1の分子と式2の分子を足し算して分子に媒介変数kが無い式(1/B)を求める。
(方針3)分母の要素のkとcの成すベクトルC(k,c)に関して、式1の分子は、そのベクトルとベクトルA(a,b)の内積であり、一方、式2の分子は、そのベクトルC(k,c)と、ベクトルA(a,b)に垂直なベクトル(b,−a)の内積であることに注目する。
そのような場合には、ベクトルCとベクトルAの成す角度をθとすると、式1の分子=ベクトルCとベクトルAの内積は|ベクトルC|・cosθに比例し、式2の分子=ベクトルCと、ベクトルAに垂直なベクトルとの内積は|ベクトルC|・sinθに比例する。
そのため、式1の二乗と式2の二乗を加え合わせるとsinの二乗とcosの二乗の和は1になるので式の分子は、|ベクトルC|=Bに比例する。
それは元の分母Bの定数倍になり、式全体=定数・B/B=定数/Bになる。
(方針4)その式(1/B)から、(方針2)で求めた(1/B)と等しい式を引き算することで、媒介変数kを含んだ分数式を一気に消去する。

(解答)
先ず、(方針2)を実行する。
分子からkを消去するために、b(式1)ーa(式2)を計算する。
bX−aY=c(b+a)/(k+c) (式3)
ここでa,b,cは0では無いので、式3の右辺の分数式は0では無い。

(方針3)により、(式1)の二乗と(式2)の二乗を加え合わせる。
+Y
={(ka)+(cb)+(kb)+(ca)}/(k+c
=(k+c)(a+b)/(k+c
+Y=(a+b)/(k+c) (式4)

(方針4)により、(式4)−(式3)/cを計算する(cは0では無いことに注意)ことで、kを含む分数式を一気に消去する。
+Y−{(bX−aY)/c}=0
(X−(b/2c))+(Y+(a/2c))
=(b/2c)+(a/2c) (式5)
この式は、下図のように、中心が((b/2c),−(a/2c))にあり、(0,0)を通り、半径が√(a+b)/(2c)の円である。

ここで、式1と式2から、X=0,Y=0になるためには、
ka+cb=0 → k=−cb/a
kb−ca=0 → k=ca/b
=−c
となってしまい、cが0で無いので、X=0,Y=0になるための条件が成り立たないことがわかる。そのため、P(X,Y)は(0,0)にはならない。

式1と式2を見ると、媒介変数kが負の無限大か正の無限大になれば、P(X,Y)は(0,0)に近づくが、P(X,Y)は決して(0,0)には到達しない。

高校数学の目次


2011年03月18日(Fri)▲ページの先頭へ
第4講 軌跡(7)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】kの値が変化するとき、2直線
kx+3y−2k=0 (直線1)
−3x+ky+2k+3=0 (直線2)
の交点P(X,Y)の軌跡を求めよ。

 この問題を解く方針としては、Xのみをパラメータkであらわす式と、Yのみをパラメータkであらわす式を求めて、それからXとYの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
 大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
 そのため、以下では、その方針で問題を解く。

(式の形を単純にする)
この直線の式では、kがあちこちにあって複雑な式になっている。
先ずは、その複雑な式を、kに関するもっと単純な形の式に書き変える。
そのために、先ず、直線の式をkに関して整理する。
k(x−2)+3y=0 (式1)
k(y+2)−3x+3=0 (式2)
ここで、kのかかる式(x−2)および(y+2)をzとvに置き換える。
x−2=z (式3)
y+2=v (式4)
この置き換えは、zはx座標を定数の値で平行移動した値であり、vはy座標を定数の値で平行移動した値である。zとvをxとyに置き換えて考えると計算が楽になる。そのため、式1と式2を、zとvだけであらわす。
k(x−2)+3(y+2)−6=0 (式1)’
kz+3v−6=0 (式5)
k(y+2)−3(x−2)−6+3=0 (式2)’
kv−3z−3=0 (式6)

次に、式5と式6から、zのみをパラメータkであらわす式と、vのみをパラメータkであらわす式を求める。

vを消去して、zのみをパラメータkであらわす式を求めるために、k(式5)−3(式6)を計算する。
(k+9)z−6k+9=0
zを消去して、vのみをパラメータkであらわす式を求めるために、3(式5)+k(式6)を計算する。
(k+9)v−18−3k=0
式7と式8でzとvがkであらわせた。
このような式のグループからkを消去する場合の計算技術としては、
(S1)先ず、式7と式8が同じ形の分母Bを持っていることに注目する。
(S2:重要な方針)分母がkの二乗と定数から成る。この分母Bを持つ式で、(分子がKである式)の2乗と、(分子が定数3である式)の2乗を足し合わせる(方針S3)と分子が最初の分母Bと同じになる。その式は、B/B=1/Bになる。その式を、別に計算して得た、分子が定数の式と加え合わせる(方針S4)ことで、kの分数式を分母と分子ともども一気に消去する。

(計算の準備)
その計算をできるようにする準備として、kを分子にする式と、定数を分子にする式とを求める。
(S2−1)
定数を分子にする式を求めるために、(式7)−2(式8)を計算する。

(S2−2)
k(の定数倍)を分子にする式を求めるために、2(式7)+(式8)を計算する。

以上で、準備ができたので、
(S2:重要な方針)で目標にした(方針S3)と(方針S4)を以下のように実行する。
(方針S3)
式9の分子の二乗と式10の分子の二乗を加え合わせて、その分子を元の式の分母の定数倍にした式を作る。
すなわち、(式9)+(式10)を計算する。

(方針S4)
次に、式11の右辺の分数式を一気に消去するために、(式11)+5(式9)を計算する。
{(z−2v)+(2z+v)}+5(z−2v)=0
{z+4v+4z+v}+5(z−2v)=0
5{z+v}+5(z−2v)=0
{z+v}+(z−2v)=0
(z+(1/2))+(v−1)=(5/4) (式12)
これで計算の目標が達成できた。

(残りの計算)
次に、zとvをxとyに戻す残りの計算を行なう。
式12に式3と式4を代入する。
(x−2+(1/2))+(y+2−1)=(5/4) (x−(3/2))+(y+1)=(5/4) (式13)
これは、P(x,y)の軌跡が円になることをあらわしている。
この円は、点(3/2,−1)を中心にした、半径(√5)/2の円である。
ここで、この円は、下の図のようになる。

zとvをあらわした式7と式8を見ると、
パラメータkの値が負の無限大、あるいは正の無限大に大きくなると、
点P(x,y)は、(z,v)=(0,0)となる点、すなわち、点(x,y)=(2,−2)に近づく。
しかし、点Pは、決して(2,−2)に達することは無い。

【一部の別解】
以上の解き方で、気の短い人は、式6以降の、式12を求めるまでの計算がわずらわしい、道草を食っている、と思った方もいるかもしれません。そのため、以下で、その部分の別解を書きます。

(式7と式8は計算しましょう)
式6の後、すぐ式12を計算できますが、それでは、zとvの値がkとともにどう変化するかの傾向を見ることができなくなります。そのため、式7と式8は計算しておきましょう。この計算は、上に書いた計算と同じですので、記載を省略します。

(式5と式6から式12を導く)
式5から、以下の式が得られます。
(1)z≠0のとき
k=(6−3v)/z
この式を式6に代入する。
((6−3v)/z)v−3z−3=0
(6−3v)v−3(z+1)z=0
(v−2)v+(z+1)z=0
−2v+z+z=0
(v−1)+(z+(1/2))=1+(1/4)
(v−1)+(z+(1/2))=5/4 (式12)
(2)z=0の場合、
式5に、z=0を代入して、
6−3v=0
v=2 (式14)
式6に、z=0とv=2を代入して、
k・2−3=0
k=(3/2)
式12にz=0を代入して、
(v−1)+(1/2)=5/4
(v−1)=1
この式の解でv=0、2がありますが、vは(式14)で得られた2のみが有効で、v=0という解はありません。
そのため、軌跡は、式12であらわされる円のうち、点(z,v)=(0,0)は通りません。

式12以降の計算は、上に書いた計算と同じですので、記載を省略します。

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2011年03月13日(Sun)▲ページの先頭へ
第4講 軌跡(6)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】点P(a,b)と点Q(X,Y)の間に、次の関係があるものとする。
X=ka/(a+b) (式1)
Y=kb/(a+b) (式2)
(kは0でない定数)
点P(a,b)が直線12x−5y+1=0上を動くとき、点Q(X,Y)はどんな図形を描くか。

ここで、直線の式に点P(a,b)の座標を代入した式3を書いておく。
12a−5b+1=0 (式3)

(解き方の方針)
 この問題は、式3の直線上の点Pと原点を結ぶ半直線上の点Qに関して、OP・OQ=kとなる場合のQ(X,Y)の軌跡を、Xのみをパラメータa又はbであらわす式と、Yのみをパラメータa又はbであらわす式とを求めた後に、
それらの式からXとYの関係式を考える問題です。
 以下では、そのような場合に、素早く問題を解く計算技術を示す。

(解答)
式1と式2のような式のグループからパラメータa又はbを消去する場合の計算技術としては、
(1)先ず、式1と式2が同じ形の分母を持っていることに注目する。
(2)次に、式1の分子と式2の分子を足し算して式1及び2の分母ができるか、あるいは分子からパラメータa又はbを消せないかを考える。
(3)単なる足し算で式1及び式2の分母ができない場合は、次に、式1の分子の二乗と式2の分子の二乗を足し算して式1及び2の分母ができるかを考える。
 この問題の場合、式1の分子の二乗と式2の分子の二乗を足し算して式1及び2の分母ができることがわかるので、式1の二乗と式2の二乗を足し算する。
+Y=k{a+b}/(a+b
+Y=k/(a+b) (式4)
この式4により、分子にはパラメータaもbも含まれず定数のみであらわせた式が得られた。

この式4と、式1と式2を使って、分母が同じで、分子が式3であらわされる式を作る。
その式は、分子が式3を満足するので、値が0である。 12(X/k)−5(Y/k)+(X+Y)/k=0
12kX−5kY+(X+Y)=0 (式5)
(計算技術についての考察)
 ここまでの計算で、bは式3により、aであらわせる式であるが、分母が共通な式を利用して、分子だけで式3を満足する式を作った。この計算により、分母のbをaであらわす計算をせずに、分母を含めて、パラメータであらわされた項をまとめて消去することに成功した。このようにすることで、分母を計算する手間が省けた。

なお、ここで(0,0)を式5に代入すれば左辺が0になるので、点(0,0)は式5の円を通る。このことに注目して、おぼえておく。
次に、式5を変形する。
(X+6k)+(Y−(5k/2))=(6k)+(5k/2)
(X+6k)+(Y−(5k/2))=(13k/2)
この式は中心が(−6k,(5k/2))にあり、(0,0)を通り、半径が(13k/2)の円である。
この円と直線の関係をあらわす図を下の図のように書ける。

この図で、直線上の点P(a,b)が左右方向に無限遠方に遠ざかれば、Q(X,Y)は(0,0)に近づくが、Q(X,Y)は決して(0,0)には到達しない。
この図を書くことにより、そのことが明確にわかる。

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第4講 軌跡(5)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】円x+y=1と定点A(3,−2)がある。この円周上の動点Qにおける接線上に点P(X,Y)をとり、AP=2PQにするとき、点Pの軌跡の方程式を求めよ。

(目標の設定)
 この問題を解く方針の検討において、定石に従って、先ずは、P点のX座標のみを何かのパラメータであらわす第1の式と、Y座標のみを何かのパラメータであらわす第2の式を求めたかった。定石では、その次に、XとYの間に成り立つ関係式を求める。
 しかし、X座標又はY座標を何らかのパラメータを使ってあらわす式は、簡単には導けそうにない。そのX座標あるいはY座標をあらわす式を求めるためには、2次方程式を解かなければいけないように見える。
 そうするには、その式を求めるだけでも、ずいぶん手間がかかりそうだ。
 そのため、仕方ないので、定石である上記の方針を変更して、先ずは、点PのX座標とY座標の間になりたつ関係式を導くことにする。そして、その関係式をあらわすグラフを描いて、図を見ることで、求められた方程式があらわすグラフのどの部分を、点Pが動くかを調べることにする。

(解答)
接点QからPまでの線分の長さQPは、三角形OQPが直角三角形であることからQP=√(OP−OQ)である。そのため、以下の式が成り立つ。
QP=OP−OQ
QP=X+Y−1 (式1)

2PQ=APであるので、
(2PQ)=AP
4{X+Y−1}=(X−3)+(Y+2)
3X+3Y−4=−6X+9+4Y+4
3X+6X+3Y−4Y=17
+2X+Y−(4/3)Y=17/3
(X+1)+(Y−(2/3))=(17/3)+1+(2/3)
(X+1)+(Y−(2/3))=(51/9)+(9/9)+(4/9)
(X+1)+(Y−(2/3))=(8/3) (式2)
ここで、この円は、下の図のようになる。

P点がこの円上の全範囲を移動するかどうか、Q点の位置が移動する場合にP点がどこに来るかを図を見ながら検討する。
この図の場合は、点Qが円x+y=1の全円周上を移動する場合に、AP=2PQの関係を満足する点Pも(式2)の全円周上を動くことが図からわかる。

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2011年03月12日(Sat)▲ページの先頭へ
第4講 軌跡(4)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】直線y=mxと円(x−2)+y=3が2点PとQで交差する場合において、mの変化範囲が、交差点のP、Qが存在し、かつ、その2点が重ならない場合における、線分PQの中点Rの軌跡を求めよ。

 この問題を解く方針としては、Xのみをパラメータaであらわす式と、Yのみをパラメータaであらわす式を求めて、それからXとYの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
 大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
 そのため、以下では、その方針で問題を解きます。

計算する上で記号を間違えないために、P点の座標をP(a,b)とし、Q点の座標をQ(c,d)とあらわして計算する。
PQの中点R(X,Y)は以下の式であらわされる。
X=(a+c)/2 (式1)
Y=(b+d)/2 (式2)
交点PとQは以下の式で求められる。
y=mx (式3)
(x−2)+y=3 (式4)
式3を式4に代入してyを消去してxをmであらわす。
(x−2)+(mx)=3
(m+1)x−4x+1=0 (式5)
この式5は点Pのx座標aと点Qのx座標cに関しては以下の式であると考えられる。
(m+1)(x−a)(x−c)=0 (式6)
式5と式6が同一式であるので、以下の関係がなりたつ。
−4x=−(m+1)(a+c)x
この式を変形する。
(a+c)=4/(m+1) (式7)
この式7を式1に代入して以下の式を得る。
X=(a+c)/2=2/(m+1) (式8)
式3のx=aであるときy=b、x=cであるときy=dである関係を使って式2を変形する。
Y=(b+d)/2=m(a+b)/2
この式に式7を代入して以下の式を得る。
Y=m(a+c)/2=2m/(m+1) (式9)

式8と式9でXとYがmであらわせた。
このような式のグループからmを消去する場合の計算技術としては、
(1)先ず、式8と式9が同じ形の分母を持っていることに注目する。
(2)次に、式8の分子と式9の分子を足し算して式8及び9の分母ができるか、あるいは分子からパラメータmが消えないかを考える。
(式8の分子にはパラメータmが無いので、既に、この条件を満たす式8が得られている。この式8は後で用いる。)
(3)単純な足し算では、式8及び9の分母が出来ない場合は、、式8の分子の二乗と式9の分子の二乗を足し算して式8及び9の分母ができるかを考える。
 この式8の分子の二乗と式9の分子の二乗を足し算して式8及び9の分母ができることがわかります。
そのため、式8の二乗と式9の二乗を足し算します。
+Y={1+m}(2/(m+1))
+Y=2/(m+1) (式10)
式10と式8は、分母が同じで、その分子にはパラメータmが入っていないことに注目する。そのため、式10と式8に係数を掛け算して足し合わせることで、右辺の複雑な分数の式を消去できるので、以下でそうする。
−2・(式8)+(式10)を計算する。
−2X+X+Y=0
(x−1)+Y=1 (式11)
ここで、この円と直線は、下の図のようになる。

式5でmの範囲が負のある値から正のある値までの範囲内にあれば、直線y=mxと円とが交差する。その境界の値では両者が接して点PとQが重なってしまう。
そのため、異なるP点とQ点で直線と円とが交差するためには、直線が円に接する場合は除外しなければならない。

しかし、式8と式9では、直線y=mxが円に接しない場合でも存在しないP点とQ点の中点のRの座標が計算されてしまっている。
(これは、存在しない交点のP点とQ点の座標が複素数で与えられ、その中点のRが実在の点として存在していることをあらわしているが、そういう概念は高校数学の範囲を大きく超えるので、この問題を解くには、それは考えないことにする。)

P点とQ点が重なる場合、すなわち、直線y=mxと円とが接する場合のmの値を式5から計算する。
(以下の計算は「判別式」を急きょ導出する計算です:判別式を思い出しても、その記憶の確かさを確認するのが面倒と思っている人専用の解き方です)
そのmの値は、式5が重根を持つ、以下の式12に等しくなる場合のmの値である。
(m+1)(x−a)=0 (式12)
この式12を式5と比べる。
2(m+1)a=4 (式13)
(m+1)a=1 (式14)
(式13)を式14に代入してaを消去する。
(m+1)(2/(m+1))=1
4=(m+1)
3=m
m=±√3 (式15)
この式15を式8に代入する。
X=2/((±√3)+1)=2/4=1/2
式15を式9に代入する。
Y=2(±√3)/((±√3)+1)=(±√3)/2
よって、R(X,Y)の描く軌跡は、mが−√3近くから+√3近くまで変わるときに、
(1/2)<X≦2
の範囲の上図の円(式11)の範囲を、
(1/2,−√3)の近くから(2,0)を経由して(1/2,√3)の近くまで移動する。
このことは上の図を書くことにより、明確にわかる。

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第4講 軌跡(3)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】原点をOとする。直線x+y=5上をP点が動くとき、半直線OP上に、OP・OQ=20となる点Qを置く。そのQ点の軌跡を求めよ。

計算する上で記号を間違えないために、P点の座標をP(a,b)とあらわして計算する。
a+b=5 (式1)
X=t・a (式2)
Y=t・b (式3)
√{a+b}・t√{a+b}=20
∴ t{a+b}=20 (式4)

 この問題を解く方針としては、Xのみをパラメータaであらわす式と、Yのみをパラメータaであらわす式を求めて、それからXとYの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
 大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
 そのため、以下では、その方針で問題を解きます。

式1から、
b=5−a (式5)
式5を式4に代入して整理する。
t=20/{a+(5−a)} (式6)
式6を式2に代入する。
X=20a/{a+(5−a)} (式7)
式6と式5を式3に代入する。
Y=20(5−a)/{a+(5−a)} (式8)

式7と式8でXとYがaであらわせた。
このような式のグループからaを消去する場合の計算技術としては、
(1)先ず、式7と式8が同じ形の分母を持っていることに注目する。
(2)次に、式7の分子と式8の分子を足し算して式7及び8の分母ができるか、あるいは分子からパラメータaを消せないかを考える。
 この式7の分子と式8の分子を足し算すれば、分子から変数aが消去できることがわかります。
そのため、式7と式8を足し算する。
X+Y=20・5/{a+(5−a)} (式9)

(3)次に、式7の分子の二乗と式8の分子の二乗を足し算して式7及び8の分母ができるかを考えます。
 この式7の分子の二乗と式8の分子の二乗を足し算して式7及び8の分母ができることがわかります。
そのため、式7の二乗と式8の二乗を足し算します。
+Y
={a+(5−a)}(20/{a+(5−a)})
=20/{a+(5−a)} (式10)
式9と式10の分母が同じで、しかも、その分子にはパラメータaが入っていないことに注目する。そういう場合には、式9と式10に係数を掛け算して足し合わせることで、右辺の複雑な分数の式を消去できるので、以下でそのようにする。
−(式9)・4+(式10)を計算する。
−4(X+Y)+X+Y=0
(x−2)+(Y−2)=8
ここで、この円と直線は、下の図のようになる。

式7と式8でaが負の無限大か正の無限大に大きくなれば、X=0,Y=0に近づくが、Q(X,Y)は決して(0,0)には到達しない。
この図を書くことにより、そのことが明確にわかる。

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第4講 軌跡(2)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】mの値が変化するとき、2直線
mx−y+5m=0 (直線1)
x+my−5=0  (直線2)
の交点P(X,Y)の軌跡を求めよ。

交点P(X,Y)を与える式は、2直線を与える式をそのまま使うことができる。
mX−Y+5m=0 (式1)
X+mY−5=0  (式2)
ここで、この式を連立してmを消去すれば、XとYの式が得られるが、
その場合は、式からmが消えてしまうので、mの値の増減とともにP(X,Y)がどういうふうに移動して、どこまでがその移動範囲であるかどうかがわからなくなってしまうという欠点がある。
 そのため、この問題を解く方針としては、式1と式2から、Xのみをmで与える式と、Yのみをmで与える式を求めて、それからXとYの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
 大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
 そのため、以下では、その方針で問題を解きます。

(式1)・m+(式2)を計算してYを消去する。
{mX−mY+5m}+{X+mY−5}=0
(m+1)X+5(m−1)=0
X=−5(m−1)/(m+1) (式3)
(式1)−(式2)・mを計算してXを消去する。
{mX−Y+5m}−{mX+mY−5m}=0
−(1+m)Y+10m=0
Y=10m/(m+1) (式4)
式3と式4でXとYがmであらわせた。
このような式のグループからmを消去する場合の計算技術としては、
(1)先ず、式3と式4が同じ形の分母を持っていることに注目する。
(2)次に、式3の分子と式4の分子を足し算して式3及び4の分母にできないかを考える。
(3)単純な足し算では、式3及び4の分母が出来ない場合は、分子を二乗して足し算して式3及び4の分母ができないかを考える。
 この式3の分子の二乗と式4の分子二乗を足し算すれば、式3及び式4の分母の二乗が作れることがわかります。
そのため、式3の二乗と式4の二乗を足し算します。
+Y
={(m−1)+(2m)}・(5/(m+1))
={m+2m+1}・(5/(m+1))
={(m+1)}・(5/(m+1))
=5
∴ X+Y=5 (式5)
ここで、式5は円の式ですが、そのXは式3のようにmであらわせる。
式3は変形すると
X=−5+10/(m+1) (式6)
式6は、mが−∞<m<+∞の範囲内で変化するとき、Xが、以下の範囲内を変化することをあらわしている。
−5<X≦+5
すなわち、Xがー5になるには、1/(m+1)が0にならなければならないが、それは、mがどれだけ大きくても0にはならない。そのため、X=−5は式5があらわす円の一部であるが、その点は式6及び式3ではあらわされない。

式4を見ると、mが正であるか負であるかによってYも正や負になることをあらわしている。
この関係を以下のように図示する。

結局、mが0から負の無限大に向かうとき、P(X,Y)は、式5であらわされる円の(5,0)から負のYの値の円の下側の周を(−5,0)に向かって進む。
mが0から正の無限大に向かうとき、P(X,Y)は、式5であらわされる円の(5,0)から正のYの値の円の下側の周を(−5,0)に向かって進む。
しかし、P点は決して、(−5,0)には到着しない。

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2011年03月10日(Thu)▲ページの先頭へ
第4講 軌跡(1)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】下図のように点A(a,b)とB(c,d)と原点を中心とする半径rの円上を動く点P(e,f)とを頂点とする三角形の重心G(x,y)は、点Pがその円上を動くとき、どういう軌跡を動くか。その点G(x,y)の描く軌跡の方程式を導け。

先ず、動く点P(e,f)の円の方程式を書く
+f=r (式1)
次に、重心の座標の公式を使って、重心G(x,y)の座標を書く。
x=(a+c+e)/3 (式2)
y=(b+d+f)/3 (式3)
式1に式2と式3を代入してeとfを消去したい。
そのために、式2を以下の式に変形する。
3x=a+c+e
3x−a−c=e
e=3x−a−c (式4)
式2のx→y, a→b, c→d, e→f
と置きかえれば式3になるので、
式4の各数も、そのように置き換えれば、式3の変形結果になる。
よって
f=3y−b−d (式5)
この式4と式5を式1に代入してeとfを消去する。
(3x−a−c)+(3y−b−d)=r
両辺を3で割り算する。
(x−((a+c)/3))+(y−((b+d)/3))=(r/3)
この点G(x,y)は、中心点((a+c)/3,(b+d)/3)を中心とする、半径(r/3)の円周上にある。

【問2】次に、点Gがその円周上を完全に一周するかを調べよ。

完全に一周するかどうかを調べるには、偏角をあらわすパラメータθで点Pの位置をあらわす。
式1を満足する点Pの座標P(e,f)は、以下の式であらわされる。
e=r・cosθ (式6)
f=r・sinθ (式7)
θが0から2πラジアンまで変わるとP点は円周を一周する。
式6と式7を式2と式3に代入する。
x=(a+c+r・cosθ)/3 (式8)
y=(b+d+r・sinθ)/3 (式9)
式8と式9を変形する。
x=((a+c)/3)+(r/3)・cosθ (式10)
y=((b+d)/3)+(r/3)・sinθ (式11)
式10と式11から、
点G(x,y)は、
中心点((a+c)/3,(b+d)/3)を中心とする、
半径(r/3)の円周上の偏角θの位置にあり、
θが0から2πまで変化すれば、半径(r/3)の円周上を一回転する。

結局、点G(x,y)が円周上を一周するかどうかまで確かめなければならないので、問2を避けては通れない。
そのため、問1を解くのを省略して、問2を解いて、
点G(x,y)は、
中心点((a+c)/3,(b+d)/3)を中心とする、
半径(r/3)の円周上の偏角θの位置にある
という結論を得る方が効率的に全ての答えが得られる。
その円の方程式は、
(x−((a+c)/3))+(y−((b+d)/3))=(r/3)
とあらわせる。

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2011年03月03日(Thu)▲ページの先頭へ
追加講 三角形の面積と行列式
 

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

上図のように頂点の1つが原点Oにあり、他の2頂点が、A(a,a)とB(b,b)である三角形OABの面積を求めると以下の式になる。

△OAB=四角形OMPN−{△OMA+△OBN+△APB}
三角形の頂点Oを任意の座標位置にある頂点C(c,c)であるものとして、上の面積をあらわす公式を、3頂点A,B、Cの座標であらわすと、下の式になる。
この公式は、「クロス積」の形をしています。
「クロス積」は、正式な名前では、「行列式」と呼ばれています。
行列式は、その名前だけを高校3年の数学Cで学びます。
しかし、行列式が持つ以下の性質は、高校数学では教えないことになっているようです。

クロス積(行列式)は、Bの行にAの行の任意数(k)倍を足し算しても、値が変わらない。列も同様です。
(なお、クロス積は、行と列を入れ替えても値が変わりません)


例えば、下のようにBの行にAの行の(−1)倍を加えても、行列式の値は変わりません。 
このクロス積(行列式)は、下の形になります。
(式2)
さらに、一番上の行のみ(−1)を掛け算すれば、値が(−1)倍になります。その行列式全体に(−1)を掛け算したものは最初の行列式と値が同じ以下の形になります。
この行列式は、下図のように、点Aを中心として計算したクロス積(行列式)です。
このように、クロス積(行列式)は、値が同じ他の形のクロス積に容易に変換できるので、
クロス積(行列式)の形になった数式は「きれいな数式」です。
クロス積(行列式)の形の数式は、最も単純な形であらわせた数式と考えて良いです。

上の2つ前の(式2)の行列式に対して、一番上の行に、下の行を加えても、行列式の値は変わらず、以下の式になります。

結局、上の三角形の面積の公式のクロス積(行列式)の部分は、
(1)点Cを中心として計算したクロス積(行列式)
と、
(2)点Aを中心として計算したクロス積(行列式)
と、
(補足)この行列式全体に掛っている(−1)を無くすには、上の行と下の行を入れ替えて(−1)を取り除いた以下の行列式に置き換えてください。
行列式では2つの行を入れ替えれば符号が逆になるからです。(列の入れ替えでも同様)

(3)点Bを中心として計算したクロス式(行列式)
との、
値が同じ3種類のクロス積(行列式)であらわせますが、
そのどれもが、最も単純な式と考えてください。

そのクロス積(行列式)を展開した別の式を求めても、その式は単純では無い式になり、単純な形のクロス積(行列式)の形の表示から退化した形の式に変わってしまいます。




リンク:
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
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