勉強しようNTTのBlog - 2011/04

算数の問題と解答とを考えていきます。




2011年04月30日(Sat)▲ページの先頭へ
第5講3節 和と積の公式 練習問題(4)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】以下の式を簡単な式に変換せよ。
cosθ・cos(2θ)・cos(4θ)・cos(8θ)

【解答の心構え】この問題は、いきなり出されても解答を思いつく人はまれだと思う。
(そもそも、以下の答えが「単純」であるかどうかについての異論もあると思う。)
以下の解答を見て、解き方を覚えておくこと。

(解答のコツ)
三角関数を分数に変換する公式を使うことが解答のポイントです。
cosθ・cos(2θ)・cos(4θ)・cos(8θ)
=(sin(2θ)/(2sinθ))・cos(2θ)・cos(4θ)・cos(8θ)
=(1/(2sinθ))・sin(2θ)・cos(2θ)・cos(4θ)・cos(8θ)
=(1/(2sinθ))・(sin(4θ)/2)・cos(4θ)・cos(8θ)
=(1/(4sinθ))・sin(4θ)・cos(4θ)・cos(8θ)
=(1/(4sinθ))・(sin(8θ)/2)・cos(8θ)
=(1/(8sinθ))・sin(8θ)・cos(8θ)
=(1/(8sinθ))・(sin(16θ)/2)
=(1/(16sinθ))・sin(16θ)
=(1/16)・sin(16θ)/(sinθ)
(解答おわり)

なお、sin(16θ)=sinθとなるような特別な角度の場合には、この答え=(1/16)になる。
例えば、θ=π/17の場合などに、そうなる。

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第5講3節 和と積の公式 練習問題(3)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】頂角に以下の関係がある△ABCはどのような三角形か。
sinA=2cosBsinC

【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。

この問題は、上図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。

変数Aを消去することで問題をやさしくする。
sin(C+B)=2sinCcosB (式1)

三角関数の式を、式の2項を積の式同士に整合する(項の式の形を合わせる)。
そのために、式1の左辺を積の式に変換して右辺の式の形に合わせる。

sinCcosB+sinBcosC=2sinCcosB
sinBcosC=sinCcosB
tanB=tanC
よって、△ABCは、∠B=∠Cの二等辺三角形である。

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2011年04月29日(Fri)▲ページの先頭へ
第5講3節 和と積の公式 練習問題(2)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】頂角に以下の関係がある△ABCはどのような三角形か。
cosA−cosB=sinC

【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。
この問題は、以下の図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。

よって、△ABCは∠B=90度の直角三角形である。

この問題は、三角関数の和と積の公式の問題として出題されていました。その解き方の方は、遠回りになります。
しかし、どうしても解答方法を知りたい人のために、その遠回りな解き方を以下で説明します。
(解答)



よって、△ABCは∠B=90度の直角三角形である。

遠回りでしたが、かろうじて解答にたどりつけました。

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2011年04月28日(Thu)▲ページの先頭へ
第5講3節 和と積の公式 練習問題(1)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。

【問1】以下の三角関数の式を簡単にせよ。
f(θ)=cosθ+cos(2θ)+cos(3θ)+cos(4θ)+cos(5θ)

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。

分数式ですが項数が減ったので、式が簡単になった。
なお、ここで、sin(11θ/2)=0になるようなθの値であれば、この式は、定数(−1/2)になる。
例えば、θ=2π/11の場合などに、そうなる。


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第5講3節 和と積の公式
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数の和と積の公式は、加法定理の一種です。
先ず、積を和に変える公式は以下の公式です。

次は、和を積に変える公式です。
cosの和を積に変える公式は以下の公式です。

この公式を使う際には、この証明の最初の1行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。

sinの和を積に変える公式は以下の公式です。

この公式を使う際にも、この証明の最初の1行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。

教科書で教えている公式は以上ですが、
以下の公式も覚えておいた方が良いです。
三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)です。

この公式は、角度B=Aの場合には、以下の式になる。


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第5講1節 2倍角と半角の公式 練習問題(2)覚えておく計算方法
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】以下の公式を証明せよ
cosαcosβ−sinαsinβ=cosα−sinβ

(証明開始)
cosαcosβ−sinαsinβ
=cosαcosβ
+(cosαsinβ
−cosαsinβ)
−sinαsinβ
=cosα(cosβ+sinβ)
−(cosα+sinα)sinβ
=cosα−sinβ

【問2】以下の公式を証明せよ
sinαcosβ−cosαsinβ=sinα−sinβ

(証明開始)
sinαcosβ−cosαsinβ
=sinαcosβ
+(sinαsinβ
−sinαsinβ)
−cosαsinβ
=sinα(cosβ+sinβ)
−(sinα+cosα)sinβ
=sinα−sinβ

式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、以上の計算方法を覚えておいて、すぐ、このように式を変形できるようになっていてください。

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2011年04月27日(Wed)▲ページの先頭へ
第5講2節 a・sinθ+b・cosθの変形
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

の変形の公式は、加法定理の一種です。
とあらわせる。
そして、式1は以下の式に変形できる。
この式はsinの加法定理であるので、以下の式になる。
このように、a・sinθ+b・cosθは、1つのsinにまとめることができる。 

【問1】
xの関数f(x)の0≦x≦(2π)における最大値,最小値を求めよ。

【解答】
倍角の公式より
なお、
−π/4≦2x−(π/4)≦8π−(π/4)
−π/4≦2x−(π/4)≦7π+(3π/4)

この角度の範囲で、この三角関数が単位円を1回転以上回転できる。
∴ −2√2−1≦f(x)≦2√2−1

(解答おわり)

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2011年04月26日(Tue)▲ページの先頭へ
第5講1節 2倍角と半角の公式 練習問題(1)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて、
cosAcosBcosC≦(1/8) (式1)
を証明せよ。そして、△ABCが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。

この解答は、解答のページを参照。

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2011年04月25日(Mon)▲ページの先頭へ
第5講1節 2倍角と半角の公式
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

2倍角の公式は、加法定理の2つの角度が等しい場合の公式です。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
α=βの場合は
sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα
sin(2α)=2sinαcosα
これが、sinの2倍角の公式です。

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
α=βの場合は
cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα
cos(2α)=cosα−sinα
=cosα−sinα+cosα+sinα−1
=2cosα−1
=cosα−sinα−cosα−sinα+1
=1−2sinα
すなわち、
cos(2α)=cosα−sinα
=2cosα−1
=1−2sinα
これがcosの2倍角の公式です。

tan(2α)=2sinαcosα/(cosα−sinα)
分母と分子ともにcosαで割り算すると
tan(2α)=2tanα/(1−tanα)
これがtanの2倍角の公式です。

半角の公式は、以下の公式です。
cos(2α)=2cosα−1
この式を変形する
2cosα=1+cos(2α)
cosα=(1+cos(2α))/2
cos(γ/2)=(1+cos(γ))/2
これがcosの半角の公式です。

cos(2α)=1−2sinα
この式を変形する
2sinα=1−cos(2α)
sinα=(1−cos(2α))/2
sin(γ/2)=(1−cosγ)/2
これがsinの半角の公式です。

tan(γ/2)=(1−cosγ)/(1+cosγ)
これがtanの半角の公式です。

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2011年04月24日(Sun)▲ページの先頭へ
第4講2節 加法定理(等式の証明(4))正弦定理と余弦定理
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【蛇足問題】∠Aと∠Bと∠Cの間に、
∠A+∠B+∠C=π (式1)
の関係があり、
ある長さa,b,c,dとの間に、
sinA/a=sinB/b=sinC/c=1/d (式2)
の関係が成り立つ時、
+c−a=2bc・cosA (式3)
が成り立つことを証明せよ。ただし、余弦定理は証明に利用しないこと。

(注意1)数学の証明に「ある定理を使うな」というように、自由に思考させずに、思考過程に制限を加えるというのは、数学する心(自由に解く)に反する思想であるので、
こういう限定をして出題するというのは、問題がある。
そのため、この問題は、蛇足の問題です。

こういう問題が出題されたら、思考制限規定を無視して、解いても良いと思います。

(証明開始)
この問題の式2は三角形の正弦定理にあてはまります。そのような辺a,b,cと頂点の∠A,∠B,∠Cを持ち、直径dの円に内接する三角形が存在し、その三角形に対して式2の正弦定理が成り立ちます。
そして、その三角形については、式3の余弦定理が成り立ちます。よって、式3は成り立つ。
(証明おわり)
 と解答して良いと思います。

この問題は蛇足問題ではありますが、テストの出題というのでは無く、式の証明を研究するために、以下のように加法定理を利用して解いてみたいと思います。

(注意2)この問題は、たしかに解けますが、だからと言って、正弦定理と加法定理さえあれば余弦定理はいらないなどという誤解はしないで欲しい。
むしろ、その逆で、
加法定理を使って遠回りしてかろうじて問題を解く道があれば、必ず、「正弦定理と余弦定理を使って近道して問題を解く道がある」ということが示されていると解釈して欲しい。

それでは、遠回りした道を通る証明になりますが、
この問題を、出題の意図通りに、正弦定理と加法定理を使って、余弦定理を導く解答の道のりを以下で説明します。

(予備知識:問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
+c−a=2bc・cosA (式3)
を、式2を変換して式3を導出しようとはせずに、
先ずは、この式3を、わかる限り、問題をかみくだいてやさしい問題に変換します。

(解答開始)
式3の左辺を、式2を使って変換する。
式1を使って∠Aを消去する。
加法定理を使ってsin(B+C)を展開する。
(cosの加法定理を使って、sinBsinC−cosCcosB=−cos(B+C)にまとめる)
(式2を使って変換する)
=2bc{cos(A)}
∴ b+c−a=2bc・cosA
(証明おわり)

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第4講1節 加法定理の練習問題6
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のように、3つの平行線の上にそれぞれ点A,B,Cをとる正三角形△ABCがあり、点Bを置いた平行線と線分ACの交点をDとする。
図のように平行線の間の距離をそれぞれp,qとし、△ABCの一辺の長さをaとする。
∠ABD=αとし、∠CBD=βとするとき、sin(α)をp,qであらわせ。

【解答の方針】
α+β=π/3 (式1)
であることを利用して、角度α+βのsinかcosかを加法定理で展開する。
そして、
sinα=p/a (式2)
sinβ=q/a (式3)
から、角αとβのcosを計算して、展開式に代入して未知数を消す。
これにより、未知数aのみが式に残るので、先ずaが求められる。
あとは、そのaの値を式2に代入すれば、求めるsinαが得られる。

(解答開始)
式1を利用した以下の加法定理の式を考える。
cos(π/3)=1/2で値が簡単なので、cosの加法定理を使う。
cos(π/3)=cos(α+β)
=cosα・cosβ−sinα・sinβ,
1/2=cosα・cosβ−sinα・sinβ (式4)

(cosαを式2から求める)
(cosβを式3から求める)
式2、3、5、6を式4に代入する。
両辺を二乗する。
両辺の平方根を計算する。

式7を式2に代入する。
(解答おわり)

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2011年04月23日(Sat)▲ページの先頭へ
第4講1節 加法定理の練習問題5
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のような図形ABCDにおいて、∠B=90°、AB=3、BC=4、CD=6、DA=7とする。
ABの延長線とDCの延長線の交点をPとするとき、線分PCの長さを求めよ。

【解答の方針】
下図のように考える。

@線分ACの長さをbとして図に書きこむ。
角度αとβとγを図に書きこむ。
A角度γについては、余弦定理から求められる。
B長さxについては、αがわかれば、4/x=cosαを利用して計算できる。
この順に計算を進める、解答の方針を立てる。

(解答開始)
図から、
sinβ=3/5
cosβ=4/5
式2から、
これらと式2を式4に代入する。
(解答おわり)

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第4講1節 加法定理の練習問題4
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】三角形ABCの面積をS、辺BCの長さをaとするとき、
であるという。このとき△ABCはどんな三角形か。
ただし、∠Bは0度では無くaも0では無いものとする。

【解答の方針】
 三角形の問題は、先ず三角形を描いて、それから考えます。
 この問題は、何をして欲しいのか何も指定されていない問題です。解答がわからないので、問題の解き方の方向性がわからない問題です。

そのため、自分で、何を答えとするか、ばくぜんと見当をつけておいて、その答えが得られるかどうかを調べます。

特徴的な三角形といえば、直角三角形や二等辺三角形があります。
 三角形を特徴付ける角度と辺の関係を、簡単な式であらわせば、三角形の何らかの特徴があらわれてくるだろうと考えます。
そのため、先ずは、簡単な計算で、式1を簡単な式に変形してみる、方針で計算します。

(解答開始)
この三角形の面積Sは、以下の式でもあらわせます。
式1と式2を面積Sで結ぶ式を求め、式を簡単にしていく。
ここで、a ≠0,sinB≠0であるので、
a ,sinBで式を割り算しても、(a =0,sinB=0という)解の一部が失われることが無い。
そのため、a ,sinB式を割り算して式の計算を進める。
これだけ単純な式が求められた。この式が、どのような三角形をあらわしているかを、図を書いて考える。
上図の様に、式3は∠Aが直角の直角三角形をあらわしていることがわかる。
(解答おわり)

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2011年04月21日(Thu)▲ページの先頭へ
第4講2節 加法定理(等式の証明(3))
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】定数A,B,Cと変数θであらわされる等式
Asinθ+Bcosθ+C=0 (式1)
がすべてのθに対して成り立つための条件は、
A=B=C=0 (式2)
であることを示せ。

【注意】
この問題は、A,B,Cが定数であって、変数θといっしょには変化しないことが問題のポイントです。
もし、A,B,Cがθともに変化する変数でも良いなら、
例えば、A=cosθ, B=−sinθ, C=0でも、式1が成り立つ。
A,B,Cがθとともに変わらない定数という条件が付いているからこそ、式1が成り立つようなAとBとCは、式2のように、すべて0にならなければならないのです。

定数A,B,Cについて変数θの全ての値で式1が成り立つということは、式1が、x=xや1+x=x+1という式と同じような恒等式であるということを意味します。
式1のcosθを何倍しても、どんな定数Cを加えても、sinθになることは無いので、これが恒等的に成り立つには0=0という式、すなわち、A=B=C=0しか無いということがわかります。
一度これを学んだ人は、次回からは、こういう答えでも良いと思います。
(入学試験では、こういう答えで良いだろうと考えます。)
高校生は、最初は、この基礎知識を自分で確認して学ぶために、1回は、これを証明してみせなければなりません。
Ax+Bx+C=0が全てのxに対して成り立つ条件も、
A=B=C=0です。
これも、最初に学んだときに、自分で証明してみたのではないかと思います。

(証明開始)
式1に、θ=0を代入する。
0+B+C=0 (式3)
式1に、θ=π/2を代入する。
A+0+C=0 (式4)
式1に、θ=πを代入する。
0−B+C=0 (式5)
式3+式4を計算する。
2C=0
C=0 (式6)
式6を式3に代入する。
B=0
式6を式4に代入する。
A=0
∴ A=B=C=0
(証明おわり)

【問2】定数A,B,Cと変数θであらわされる等式
Asinθ+Bsin(θ+2π/3)+Csin(θ+4π/3)=0 (式7)
がすべてのθに対して成り立つための条件を求めよ。

0=Asinθ+Bsin(θ+2π/3)+Csin(θ+4π/3)
0=Asinθ+B{sinθcos(2π/3)+cosθsin(2π/3)}
+C{sinθcos(4π/3)+cosθsin(4π/3)}
0=Asinθ+B{sinθ(−1/2)+cosθ(√3/2)}
+C{sinθ(−1/2)+cosθ(−√3/2)}
0={A−(B/2)−(C/2)}sinθ
+{(√3B/2)−(√3C/2)}cosθ (式8)

式8に、θ=0を代入する。
0+{(√3B/2)−(√3C/2)}=0
B−C=0
B=C (式9)
式8に、θ=π/2を代入する。
A−(B/2)−(C/2)=0
A−(1/2)(B+C)=0 (式10)
式10に式9を代入する。
A−C=0
A=C
∴ A=B=C (式11)
(検算)
式11を式8に代入すると、
0=0
たしかに、式11が求める条件である。

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2011年04月17日(Sun)▲ページの先頭へ
第4講2節 加法定理(等式の証明(2))
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】三角形ABCにおいて、次の式が成り立つことを証明せよ。
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 (式1)
【注意】cotAは1/tanAのことです。

【重要な注意】
三角関数の計算の自由度は低く、加法定理などで変換できる式は少ないです。

(この問題が加法定理で解ける問題であるかを調べる)
先ず、この問題は加法定理で解ける問題であるかを簡単に確認します。

cotAcotB=1/(tanAtanB) の式のtanAtanBの積の式がtanの加法定理で使われていたことを思い出す。
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1−tanAtanB) (式2)
この(式2)がこの問題の解答に使えないかどうかを、以下のように検討する。
三角形ABCであるので、A+B=π−Cを式2に代入して左辺をCであらわす。
左辺=tan(π−C)=tan(−C)=−tanC
この式を式2に代入する。
−tanC=(tanA+tanB)/(1−tanAtanB)
分母を両辺に掛け算して分母を分子に移す。
−tanC(1−tanAtanB)=tanA+tanB
tanCtanAtanB=tanA+tanB+tanC
右辺に1/(tanAtanB)があらわれるようにするために、式全体をtanCtanAtanBで割り算する。
1=1/(tanBtanC)+1/(tanCtanA)+1/(tanAtanB)
これは式1である。
加法定理が使えないかどうかを検討しているうちに、求める(式1)が得られてしまった。
加法定理で解ける問題というものは、問題が加法定理で解けるかどうかを検討中に解けてしまう問題が多い。

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2011年04月16日(Sat)▲ページの先頭へ
第4講1節 加法定理の練習問題3
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】三角形ABCにおいて、頂点A、Bに対する辺の長さをそれぞれa,bとする。
b=2a (式1)
∠B=∠A+60° (式2)
なるとき、角A,B,Cの大きさを求めよ。

(予備知識)
加法定理を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。
そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の定理(例えば正弦定理)が解答のポイントの問題を解きます。

(解答)
(求める答えを、より易しい答えにできないかを考える)
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

「角A,B,Cの大きさを求めよ」という問題で、三角形の長さも与えられているので、長さと角度の関係を与える方程式が先ず必要と考える。先ずは、正弦定理を直ぐに思いだすことが必要。

正弦定理を使って角度と長さを結びつけた方程式を書けば、角度が長さであらわせ、そうすれば全ての角度が与えられるという、解答の見通しを立てます。

(方程式を書く)
(正弦定理)
式3に式1と式2を代入する。60°=π/3ラジアンと書き直す。
∠A=π/6 または 7π/6
式2に代入して、
∠B=3π/6=π/2 または 9π/6=3π/2
3π/2はπより大きい角度なので不適。
よって、
∠A=π/6
∠B=π/2
∠C=π−∠A−∠B=π−(4π/6)=2π/6=π/3
(解答おわり)

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2011年04月15日(Fri)▲ページの先頭へ
第4講1節 加法定理の練習問題2
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】x−(√3)x−2=0の2つの解を、tanα,tanβとするとき、

の値を求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。


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第4講1節 加法定理の練習問題1
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】
tanα,tanβが方程式x−4x+3=0の2つの解であるとき、tan(α+β)の値を求めよ。


(注意)
 佐藤の数学教科書では、「加法定理」に直接かかわる練習問題は、この(1節)「三角関数とは」に掲載されています。

 (2節)「等式の証明問題」になると、
「加法定理」を学んだ人は、初めて三角関数に関する知識が完全になったと判断され、一人前の基礎知識を持つに至った人と認定されたように見える。

 つまり、それまでは、三角関数の正弦定理の問題にしろ、余弦定理の問題にしろ、問題が難しくならないように、かなりの手加減をして問題を出していたのを、
加法定理以降は、一人前扱いをし、手加減がなくなり、
三角関数を使った問題が一気に難しくなるように見える。

 そのため、これからの三角関数の問題は、正弦定理や余弦定理の問題の難問が多くなり、
以前と比べ難しい問題が多くなる事を覚悟しておいた方が良いと思う。

【解答】
(求める答えを、より易しい答えにできないかを考える)
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

tanの加法定理を思い出して、次の式を考える。
この式1を見ると、(tanα+tanβ)と、tanαtanβが求められれば、tan(α+β)が求められることが見通せる。

tanα,tanβが
方程式 x−4x+3=0 (式2)
の2つの解であるとき、
(xの係数): −4=−(tanα+tanβ) (式3)
定数項:     3=tanαtanβ  (式4)
となる関係を使う。

式3と式4を式1に代入する。
(解答おわり)

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第4講2節 加法定理(等式の証明(1))
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて
2cosA+cosB+cosC=2 (式1)
が成り立っていれば、
2sinA=sinB+sinC (式2)
が成り立つことを証明せよ。
 
(注意)この問題は、「加法定理」の例題として出されていましたが、
必ずしも加法定理を使って解くものとは限らない。
以下に説明する証明の計算でも加法定理は使わないで証明する。
そして、三角形の正弦定理sinA/a=1/(2R)・・・を使うことが、解答のために本質的に重要。

【重要な注意】
式1のcosの式を、加法定理その他の三角関数の変換定理で変換しても、式2に至りません。そのように、三角関数の計算の自由度は低いです(加法定理などで変換できる式も少しはありますが)。
そのため、三角関数(特に三角形の角度の三角関数)問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やxy座標の式に変えて計算する必要があります。

(予備知識)
受験問題のときは、三角形の角度のsin、cos(三角関数)の式の証明問題は、三角関数の式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。ベクトルを利用して図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
2sinA=sinB+sinC (式2)
を直接証明しようとする前に、この式を、図形の問題として、わかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

三角形の正弦定理sinA/a=1/(2R)・・・を使うと、
2sinA=sinB+sinC (式2)
は、以下の式に書き直せます。
2(a/(2R))=(b/(2R))+(c/(2R))
2a−b−c=0 (式3)
問題がここまで易しくなります。
三角形の辺の長さの関係の式3を証明すれば良いです。

(式1の変形の方針)
正弦定理を使って、証明するべき式2のsinを消去して易しくしたように、ベクトルの内積の式を使って、元の条件の、式1のcosを消去します。
 
この式を使って、式1を以下のように書き直します。
又は、ベクトルMとNの内積=bc

ベクトルMとNの内積=bcの場合は∠A=0の場合である。
∠A=0の場合には、式3が成り立つとは限らない。

 ∠A>0の場合には、式3が成り立つ。

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複素数平面を使った解答
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2011年04月13日(Wed)▲ページの先頭へ
第2講2節 直線の関係(交差する線の連立方程式の変換)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】2つの線の交点を与える連立方程式として、
(直線1) x+y=5 (式1)
(曲線2) xy=6  (式2)
がある。この2つの線の式の連立方程式の解は、2つの線の交点AとBの座標(x,y)を与える。
この式1と式2と同じ解を与える以下の形の連立方程式を作れ。
(直線1)   x+y=5       (式1)
(2直線3) (x−a)(x−b)=0 (式3)

(解答と解説)
この問題は、式1と式2の解を、別の方程式を使って求める問題です。

(計算方針)
(mx)(式1)+n(式2)を計算することで、(2直線3)の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にmを掛け算してm倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
(直線1)  x+y−5=0 (式1’)
(曲線2)  xy−6=0  (式2’)
(2直線3) x−(a+b)x+ab=0 (式3’)

(2直線3の式の計算)
(mx)(式1’)+n(式2’)を計算することで、直線3の式を求める。
(mx)(x+y−5)+n(xy−6)=0 (式4)
この式4を、式3’と等しくなるように、mとnの値を決める。
式4と式3’を比較し易いように、式4を変形する。
mx+(m+n)xy−5mx−6n=0 (式4’)
一方式3’は以下の式である。
−(a+b)x+ab=0 (式3’)
式4’が式3’と等しいためには、
       <式4’><式3’>
の項:      m=1     (式5)
xyの項:  (m+n)=0     (式6)
xの項:    −5m=−(a+b) (式7)
定数項:    −6n=ab    (式8)
これらの式5から式8までの式のうち式7と式8は、値が定められていない数aとbを定める式であるので、mとnの値を制限する式ではないので、無視して良い。
よって、以下の式でmとnを定める。
m=1     (式5)
(m+n)=0 (式6)
式5を式6に代入して、
n=−1
が得られる。
m=1と、n=−1とを式4’に代入する。
mx+(m+n)xy−5mx−6n=0 (式4’)
−5x+6=0
これが式3’の形の式である。
因数分解して
(X−2)(X−3)=0 (式3)
が得られる。

(注意)この式は、式1’と式2’を加えて得た式3であるので、式1と式2の線の交点AとBを通る。

以上の計算で得た以下の式の連立方程式は(式1)と(式2)の連立方程式を変形して求めたので、元の式1と式2の連立方程式と同じ解を与える。
(直線1)  x+y=5        (式1)
(2直線3) (X−2)(X−3)=0 (式3)
すなわち、上の式の直線1と(2直線3)との交点は、直線1と曲線2の交点A、Bと同じ点である。

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2011年04月12日(Tue)▲ページの先頭へ
第4講1節 加法定理とは(2)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数の加法定理の公式は、下図のようにベクトルの内積で考える。
(ただし、ベクトルTはベクトルWに垂直なベクトルである)
(点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前WとSを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです) 

tanの加法定理は、sinの加法定理とcosの加法定理から、以下のようにtanの加法定理が導ける。

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2011年04月10日(Sun)▲ページの先頭へ
第3講4節 円と円の関係(2円の交点を通る直線と円)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】2つの円、
(円1) (x−3)+(y−2)=3 (式1)
(円2) (x−1)+(y−1)=4 (式2)
がある。この2つの円の2つの交点AとBを通る(直線3)と、座標原点(0,0)を通る(円4)との式を求めよ。

この問題の円の(式1)と(式2)の連立方程式の解が交点AとBの座標になる。
この連立方程式と同じ解の交点AとBの座標を与える別の連立方程式(一方は直線の式で、もう一方は円の式)を求める問題です。

(解答と解説)
この問題は、式1と式2の解を、別の方程式を使って求める問題です。
その解を与える以下の形の連立方程式を作る問題です。
(直線3) ax+by=c (式3)
(円4) x+y+dx+ey=f (式4)
ただし、式4は座標原点(x,y)=(0,0)を通るので、それを代入して、
0+0+0+0=f の式を満足しなければならない。
そのため、f=0である。よって、式4は以下の式になる。
(円4) x+y+dx+ey=0 (式5)
よって、求める連立方程式は、以下の形の式です。
(直線3) ax+by=c (式3)
(円4) x+y+dx+ey=0 (式5)

(計算方針)
m(式1)+n(式2)を計算することで、直線3の式を求め、同様にして円4の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にmを掛け算してm倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
(円1) (x−3)+(y−2)−3=0 (式1’)
−6x+9+y−4y+4−3=0
+y−6x−4y+10=0 (式6)

(円2) (x−1)+(y−1)−4=0 (式2’)
−2x+1+y−2y+1−4=0
+y−2x−2y−2=0 (式7)

(直線3の式の計算)
先ず、m(式6)+n(式7)を計算することで、直線3の式を求める。
m(x+y−6x−4y+10)
+n(x+y−2x−2y−2)=0 (式8)
この式8を、式3と等しくなるように、mとnの値を決める。
式8と式3を比較し易いように、式8を変形する。
(m+n)x+(m+n)y
+(−6m−2n)x+(−4m−2n)y+(10m−2n)
=0 (式9)
一方の直線の式3には、xの項やyの項が無いので、上の式もそれらの項の係数が0でなければならない。

(詳しくは、以下のように考える)
式9が式3と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
         <式9> <式3>
の係数: (m+n)  =0 (式10)
の係数: (m+n)  =0 (式10と同じ)
xの係数: (−6m−2n)=a
yの係数: (−4m−2n)=b
定数項の係数: (10m−2n)=−c

式10以外の式は未知数a,b,cを定める式であって、mとnを限定する式ではないので、mとnを限定するのは式10のみ。

よって、
m+n=0 (式10)
この式10の条件を満たすmとnのどの組合せでも良い。
とりあえず、m=1、n=−1に決める。
その場合は、式9は、以下の式になる。
(−6+2)x+(−4+2)y+(10+2)=0
−4x−2y+12=0
(−2)で式全体を割り算する。
2x+y−6=0 (式11)
この式11が求める式3の形(を変形した形)の具体的式である。

(注意)この式は、式6と式7を加えて得た式9であるので、式1と式2の円の2つの交点AとBを通る。

(円4の式の計算)
(m+n)x+(m+n)y
+(−6m−2n)x+(−4m−2n)y+(10m−2n)
=0 (式9)
以下の計算では、式9のmとnを、円4を求めるために定め、先に直線3を求めるときに定めた値とは別の値のmとnを定める。
円4の式5は以下の式である。
(円4) x+y+dx+ey=0 (式5)
式9が式5と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
の係数: (m+n)=1 (式12)
の係数: (m+n)=1 (式13)
xの係数: (−6m−2n)=d (式14)
yの係数: (−4m−2n)=e (式15)
定数項の係数: (10m−2n)=0 (式16)
式14と式15は未知数dとeを定める式なので、mとnを限定する式では無いので無視して良い。
それ以外の式は、式12(式13と同じ)と式16だけである。
(m+n)=1 (式12)
(10m−2n)=0 (式16)
この式12と式16を連立してmとnを定める。
2(式12)+(式16)を計算することでnを消去した式を作る。
2m+10m=2
m=2/12=1/6 (式17)

10(式12)−(式16)を計算することでmを消去した式を作る。
10n+2n=10
n=10/12=5/6 (式18)

式17と式18を式9に代入する。
(m+n)x+(m+n)y
+(−6m−2n)x+(−4m−2n)y+(10m−2n)
=0 (式9)
((1/6)+(5/6))x+((1/6)+(5/6))y
+(−(6/6)−(10/6))x+(−(4/6)−(10/6))y+((10/6)−(10/6))=0
+y−(16/6)x−(14/6)y=0
+y−(8/3)x−(7/3)y=0 (式19)
この式が、求める円4の式5である。

(注意)この式は、式6と式7を加えて得た式9であるので、式1と式2の円の2つの交点AとBを通る。

以上の計算で得た以下の式の連立方程式は(式1)と(式2)の連立方程式を変形して求めたので、元の式1と式2の連立方程式と同じ解を与える。
(直線3) 2x+y−6=0 (式11)
(円4) x+y−(8/3)x−(7/3)y=0 (式19)
すなわち、上の式の直線3と円4の2つの交点は、円1と円2の交点AとBである。

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2011年04月09日(Sat)▲ページの先頭へ
第2講2節 直線の関係(交差する直線の連立方程式の変換)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】2つの直線の交点を与える連立方程式として、
(直線1) 3x−2y=3 (式1)
(直線2) x−4y=−4 (式2)
がある。この2つの直線の式の連立方程式の解は、直線の交点の座標K(x,y)を与える。
この式1と式2と同じ解を与える以下の形の連立方程式を作れ。
(直線3) x−y=a (式3)
(直線4) x+y=b (式4)

(解答と解説)
この問題は、式1と式2の解を、別の方程式を使って求める問題です。

(計算方針)
m(式1)+n(式2)を計算することで、直線3と直線4の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にmを掛け算してm倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
(直線1) 3x−2y−3=0 (式1’)
(直線2) x−4y+4=0 (式2’)
(直線3) x−y−a=0 (式3’)
(直線4) x+y−b=0 (式4’)
(直線3の式の計算)
先ず、m(式1’)+n(式2’)を計算することで、直線3の式を求める。
m(3x−2y−3)+n(x−4y+4)=0 (式5)
この式5を、式3’と等しくなるように、mとnの値を決める。
式5と式3’を比較し易いように、式5を変形する。
(3m+n)x+(−2m−4n)y+(−3m+4n)=0 (式5’)
一方式3’は以下の式である。
x−y−a=0 (式3’)
式5’が式3’と等しいためには、
3m+n=1    (式6)
−2m−4n=−1 (式7)
4(式6)+(式7)を計算してnを消去する。
12m−2m=4−1
10m=3
m=3/10 (式8)
2(式6)+3(式7)を計算してmを消去する。
2n−12n=2−3
−10n=−1
n=1/10 (式9)
式8と式9を式5’に代入する。
x−y+(−9+4)/10=0
x−y−5/10=0
x−y−1/2=0
この式が、求める直線3の式3’である。

(注意)この式は、式1’と式2’を加えて得た式5’であるので、式1と式2の直線の交点Kを通る。

(直線4の式の計算)
(3m+n)x+(−2m−4n)y+(−3m+4n)=0 (式5’)
以下の計算では、式5’のmとnを直線4を求めるために定め、先に直線3を求めるときに定めた値とは別の値のmとnを定める。
一方式4’は以下の式である。
x+y−b=0 (式4’)
式5’が式4’と等しいためには、
3m+n=1    (式10)
−2m−4n=1  (式11)
4(式10)+(式11)を計算してnを消去する。
12m−2m=4+1
10m=5
m=5/10=1/2 (式12)
2(式10)+3(式11)を計算してmを消去する。
2n−12n=2+3
−10n=5
n=−5/10=−1/2 (式13)
式12と式13を式5’に代入する。
x+y+(−3−4)/2=0
x+y−7/2=0
この式が、求める直線4の式4’である。

(注意)この式は、式1’と式2’を加えて得た式5’であるので、式1と式2の直線の交点Kを通る。

以上の計算で得た以下の式の連立方程式は(式1)と(式2)の連立方程式を変形して求めたので、元の式1と式2の連立方程式と同じ解を与える。
(直線3) x−y−1/2=0 (式3’)
(直線4) x+y−7/2=0 (式4’)
すなわち、上の式の直線3と直線4の交点は、直線1と直線2の交点Kと同じ点である。

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第3講2節 円と直線(円と直線の交点(1の2))

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径rの円(x+y=r)と直線ax+by=cとの交点の座標を求めよ。

(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

円の式は、
+y=r (式1)
直線の式は、
ax+by=c (式2)

(ベクトルで計算する)

上図のように、線分ABの中点をCとして、
点Aの座標は、ベクトルOCとベクトルCAの和で求める。
点Bの座標は、ベクトルOCとベクトルCB(=−ベクトルCA)の和で求める。

ベクトルOCは、単位ベクトルHに長さOC=sを掛け算して求める。
ベクトルCAは、ベクトルHに垂直な単位ベクトルJに長さCA=tを掛け算して求める。

先ず、上図のようにして、ベクトルOCを求める。

先ず、直線の(式2)ax+by=cを、式のxとyの係数を単位ベクトルHの値に整える。
式2’の左辺の、ベクトル(x,y)と単位ベクトルHの内積であらわした式は、ベクトル(x,y)の単位ベクトルHの方向への正射影OCの長さをあらわす。
よって、式2’から、
線分OCの長さsは、

である。
よって、ベクトルOCは、
である。

次に、上図のようにして、ベクトルCAを求める。
線分CAの長さtは、
こうして、sとtが求められ、
ベクトルOA=s(ベクトルH)+t(ベクトルJ)
ベクトルOB=s(ベクトルH)−t(ベクトルJ)
の形で求められ、点Aと点Bの座標が求められた。
この解は、以下の式で、更に具体的に書く。

(なお、複雑な式を新たな記号の式に置き換えるときは、用いる新たな記号は、その値の単位を最小単位にする方が良い。
例えば、記号aやbやrの単位である[長さ]は最小単位であり、一方、記号cの単位である[面積]は、[長さ]の2乗であり、最小単位ではない。
以下の式で、新たに使う記号は、R[長さ]を使うことが望ましい。)

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2011年04月05日(Tue)▲ページの先頭へ
第3講2節 円と直線(円と直線の交点(2))

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心とする円(x+y=5)と点A(3,1)を通る傾きmの直線m(x−3)−(y−1)=0との交点をBとCとすると、AB・ACの値を求めよ。

(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
AB・ACの計算をする前に、図形からわかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

図形の各長さを、とりあえず、r、s、t、u、eと記号化しておき、後でそれらの値を代入するつもりで、
先ずは、AB・ACをそれらの長さであらわして、問題を簡単にしておく。
すると、
AB・AC=(u−t)(u+t)=u−t
=(e−s)−(r−s
=e−r
問題がここまで易しくなります。
次に、この問題のパラメータeとrを代入します。
それらはすぐ分かって、
AB・AC=e−r=3+1−5=5

(注意)
もし、この問題を単純にしてから解こうとしなければ、r、s、t、u、eの値を1つ1つ具体的に解いて計算をするので、計算の手間がかかります。

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2011年04月03日(Sun)▲ページの先頭へ
第3講4節 円と円の関係(2円の交差)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】2つの円
+y−2ax−2y+1=0 (式1)
+y−2x−2ay+1=0 (式2)
の2つの円が交差する条件をもとめよ。


(予備知識)
受験問題のときは、2円の交差の条件の問題は、2円の2つの交点を通る直線の式を求めた後で、それを図形(図形の位置関係はベクトルで数値化)で考えて、2円の交差の条件を考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、図形(ベクトル)を利用して考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(式1)−(式2)を計算する。
−2ax−2y+1+2x+2ay−1=0
2(1−a)(x−y)=0 (式3)
この直線3と円が交差する条件が、2つの円が交差する条件である。

(図形をより明確に把握するため、円の式を変形する)
式1と式2を変形して、以下の式1’と式2’を得る。
(x−a)+(y−1)=a (式1’)
(x−1)+(y−a)=a (式2’)

(想像力を働かせること)
この図形の中心と半径の長さを元に、上のように図形を想像する。
更に、パラメータaが変化するとどうなるかの想像力を働かせて、下図のようなイメージを想像する。

このように、図形を想像して計算の見通しを良くしてから計算する。
上の図から、aが正のある値以上大きくなると、2円は交差する。逆に、aが負のある値以下になると、2円が交差することを想像する。

(計算の開始)
上の図で、円1と傾き1の直線3が交差する条件は、円1の中心と傾き1の直線との間の距離が円の半径|a|以下であることである。
座標原点を通る直線3と円1の中心の間の距離は、直線3に垂直な単位ベクトル(1,−1)/√2と、円1の中心の位置ベクトル(a,1)の内積を計算することで求められる。その値は(a−1)/√2になる。
(1/√2)|a−1|≦|a|
(1/2)(a−1)≦a
(a−1)≦2a
−2a+1≦2a
1≦a+2a
1+1≦(a+1)
2≦(a+1)
a+1≧√2 又は a+1≦−√2
a≧−1+√2 又は a≦−1−√2

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第3講4節 円と円の関係(2円の交点を通る直線)
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】2つの円
+y=1 (式1)
−ax+y−by=c (式2)
の2つの交点を通る直線mをもとめよ。


(予備知識)
受験問題のときは、2円の2つの交点を通る直線の問題は、直線の式を求めた後で、それをベクトルで解釈して、円の中心との距離を考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(式1)−(式2)を計算する。
ax+by=1−c (式3)
この式が、2円の2つの交点を通る直線mの式です。
この直線mの式は2円が交わらないときも得られる式です。
この直線mが円と交わる場合に限り2円が交わります。
そのため、次には、この直線mが円と交わるかどうかを調べます。

(ベクトルを利用した計算技術を使う)
直線mの式3は、下の図のように考えます。

直線mの(式3)の左辺は、ベクトルAと位置ベクトル(x,y)との内積です。
上図のように、この直線mの式を、ベクトルA(a,b)に平行な単位ベクトル(a,b)/√(a+b)との内積の式に変形する。
単位ベクトルと位置ベクトル(x,y)の内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわすという特別な意味を持つ。
直線mの原点からの距離=(1−c)/√(a+b
である。
この直線が式1の円と交わる条件は、
−1≦(1−c)/√(a+b)≦1
である。この条件を変形すると、
−√(a+b)≦(1−c)≦√(a+b
これが、直線mが円と交わる条件、すなわち、2円が交点を持つ条件である。

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2011年04月02日(Sat)▲ページの先頭へ
第3講2節 円と直線(円と直線の交点)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)と直線ax+by=1との交点の座標を求めよ。

(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

円の式は、x+y=1 (式1)
直線の式は、ax+by=1 (式2)
式1と式2を連立して交点B(x,y)とCの座標を求める。


(ベクトルを利用した計算技術を使う)
式2は、下の図のベクトルBとベクトルAの内積です。


上図のように、ベクトルA(a,b)に平行な単位ベクトルH(a,b)を考える。
単位ベクトルH

すなわち、
である。
式2をベクトルBと単位ベクトルHとの内積の式に書き直す。
単位ベクトルH(a,b)に垂直な単位ベクトル
を考える。ベクトルBをベクトルHとベクトルJの合成であらわす。

式1と式2を連立するのみでベクトルBの方向を定める場合は、ベクトルBの方向は、単位ベクトルJとベクトルBの内積が以下の式8のように負になる方向に向いている場合もありえる。
式6のx成分とy成分は以下の式になる。
x=s・a−t・b (式9)
y=s・b+t・a (式10)
よって、接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせます。

(点Bの座標)
式9と式10のaとbには、式3を代入してaとbであらわし、
sとtには、式5と式7を代入する。
(点Cの座標)
式9と式10のaとbには、式3を代入してaとbであらわし、
sとtには、式5と式8を代入する。

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(5)複素数平面での円と直線の交点


第3講2節 円と直線(円への接線(3))
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,b)から引いた2つの接線の円との接点BとCの座標をもとめよ。

上の図で線分DAの長さをmとする。

(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。
ただし、以下の計算では、ベクトルを利用して計算を楽にする計算技術を使います。

円の式は、
+y=1 (式1)
接点Bの座標をB(c,d)とする。
接点Bを通る、円の接線の式は、
cx+dy=1 (式2)
この接線が点A(a,b)を通るため、以下の式がなりたつ。
c・a+d・b=1 (式3)
接点B(c,d)の座標を円の式(式1)に代入する。
+d=1 (式4)
式3と式4を連立して接点B(c,d)の座標を求める。

(ベクトルを利用した計算技術を使う)
式3は、下の図のベクトルBとベクトルAの内積です。

上図のように、ベクトルAに平行な単位ベクトルH(e,f)を考える。
単位ベクトルH=ベクトルA/√(a+b
すなわち、
(e,f)=(a,b)/√(a+b) (式5)
式3をベクトルBと単位ベクトルHとの内積の式に書き直す。
c・e+d・f=s (式6)
s=1/√(a+b) (式7)
単位ベクトルH(e,f)に垂直な単位ベクトルJ(−f,e)を考える。
すると単位ベクトルJとベクトルBの内積の式は以下の式になる。
−c・f+d・e=t (式8)
t=√(1−s) (式9)
式3と式4を連立するのみでベクトルBの方向を定める場合は、ベクトルBの方向は、単位ベクトルJとベクトルBの内積が以下の式10のように負になる方向に向いている場合もありえる。
t=−√(1−s) (式10)

ベクトルB(c,d)=s・ベクトルH+t・ベクトルJ
c=s・e−t・f (式11)
d=s・f+t・e (式12)

よって、接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせます。
(点Bの座標)
式11と式12のeとfには、式5を代入してaとbであらわし、
sとtには、式7と式9を代入する。
c=(1/(a+b)){a−b√(a+b−1)}
d=(1/(a+b)){b+a√(a+b−1)}
(点Cの座標)
式11と式12のeとfには、式5を代入してaとbであらわし、
sとtには、式7と式10を代入する。
c=(1/(a+b)){a+b√(a+b−1)}
d=(1/(a+b)){b−a√(a+b−1)}

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第3講2節 円と直線(円への接線(2))
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,b)から引いた2つの接線の円との接点BとCの座標をもとめよ。

上の図で線分DAの長さをmとする。

(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。

(解答)
円の式は、
+y=1 (式1)
(1)
接点Bの座標をB(c,d)とする。
接点Bを通る、円の接線の式は、
cx+dy=1 (式2)
この接線が点A(a,b)を通るため、以下の式がなりたつ。
c・a+d・b=1 (式3)
(2)
接点B(c,d)の座標を円の式(式1)に代入する。
+d=1 (式4)
(3)
式3と式4を連立して接点B(c,d)の座標を求める。
式3から、
d・b=1−c・a (式5)
式5を式4に代入して未知数dを消去する。その代入をしやすくするために、式4にbを掛け算する。
+b=b (式4’)
これに式5を代入する。
+(1−c・a)=b
未知数cに関して、上の式を整理する。
(b+a)c−2c・a+1=b
(b+a)c−2c・a=b−1
ここで、計算間違いを少なくするため、
+a=u
と置き換えて、計算を楽にする。
u・c−2c・a=b−1
−2c・a/u
  =(b−1)/u
{c−a/u}
  =(b−1)/u+{a/u}
{c−a/u}
  =(b−1)u/u+{a/u}
{c−a/u}
  ={(b−1)u+a}/u
{c−a/u}
={b+(ab)−b−a+a}/u
{c−a/u}={b+(ab)−b}/u
{c−a/u}=b(b+a−1)/u
c−a/u=±√{b(b+a−1)}/u
c=[a±b√(b+a−1)]/(b+a
(4)
この式を式5に代入して未知数dを計算する。
d・b=1−a[a±b√(b+a−1)]/(b+a
d・b=(b+a−a)/(b+a
   −[±ab√(b+a−1)]/(b+a
d・b=b/(b+a
   −[±ab√(b+a−1)]/(b+a
d=b/(b+a)−[±a√(b+a−1)]/(b+a
d=[b−±a√(b+a−1)]/(b+a
よって、接点BとCの座標(x,y)は、以下の式であらわせます。
接点Bは
x=(1/(a+b)){a−b√(a+b−1)}
y=(1/(a+b)){b+a√(a+b−1)}
接点Cは
x=(1/(a+b)){a+b√(a+b−1)}
y=(1/(a+b)){b−a√(a+b−1)}

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