勉強しようNTTのBlog - 2011/07

算数の問題と解答とを考えていきます。




2011年07月30日(Sat)▲ページの先頭へ
曲線の接線とは(接線は微分で定義される)
「微分・積分」の勉強

(1)なめらかな曲線の接線は、微分を使って見通し良く正しく定義できる。
(2)接点の座標の計算だけで2曲線の接触を判定する場合は、接点(x,y)が重解を持つか否かで判定する。接点(x,y)のx座標かy座標の一方の座標だけでの重解の有無で判定してはいけない。

【問1】放物線y=x/4と円x+(y−1)=1は接するか?

【問2】円x+(y+1)=1と円x+(y−1)=1は接するか?


以下で、この2つの問題を考えてみる。

【問1】放物線y=x/4と円x+(y−1)=1は接するか?
(方程式が重根を持つかで解析する方法)
放物線 y=x/4  (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
この2つの図形は、(0,0)で接することが図から明らかである。
そして、接線は、
接線 y=0 (式3)
であることが明らかである。
 

実際に、式1の放物線と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
0=x/4
xは0となる重根を持ち、式1の放物線は式3の接線と(0,0)で接する。
 

次に、式2の円と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
+(0−1)=1
=0
xは0となる重根を持ち、式2の円は式3の接線と(0,0)で接する。
 

【この問題で注意する点】
 以下では、式3の接線の式が分からないで、この問題1を解こうとする場合に、
接点(x,y)が重解を持つか否かで判定するべきであり、接点(x,y)のx座標かy座標の一方の座標だけで重解の有無を判定してはいけないことを示す。
 

式1の放物線と式2の円の方程式を連立させる。
放物線 y=x/4  (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
式1から、
=4y (式4)
式4を式2に代入してxを消去する。
4y+(y−1)=1
+2y=0
y(y+2)=0 (式5)

ここで、『この式は重根を持たないので、式1の曲線と式2の曲線は接さない?』
と考えるのは、明らかに間違っている。


(問題を解くポイント)
 上の接線を求める計算においては、接線の式が多重根の解を持つという判定条件を、y座標の値の解だけで判断したため間違ったのです。
 接点(x,y)が多重の解を持つかどうかはx座標も確認しないといけないのです。
 上の計算で得た式5に式4を代入して、x座標であらわした以下の式6に書き直す。
(x/4)/4+2)=0 (式6)
(x)(x+8)=0 (式7)
(x+8)≠0 なので、
=0 (式8)
が得られる。
式8から、xの値が重根の値0を持つことがわかり、
「多重根ができるから接する」と判定することができる。

 すなわち、接点(0,0) の x 座標が重根になるのであって、重解の2点のy座標は同じになるため、 x 座標が重根になる事を確認しなければならない。

(注意)
 ここで、この問題のグラフの x 座標を、
t ≡ x
で定義されるt座標を使い、 t,y 座標系での曲線の接点を求める問題と考えたらどうなるか。
t ≧ 0,
(式1)→ y=t/4  (式1b)
(式2)→ t+(y−1)=1 (式2b)
 この場合は、式2bに式1bを代入すると、
t+((t/4)−1)=1,
16t+((t−4)=16,
+8=0,
t(t+8)=0,
t=0
このように、t座標の解も重根を持たない。
 それでは、2つのグラフが接しないという解になってしまう。
 一方、与えられた2つのグラフの t,y 座標系に写像した2つのグラフは、下図のようになり、この2つのグラフは接しない。
よって、 t,y 座標系では、この2つの曲線は接しないという結論は正しい。

 2つのグラフが接するという事は、 x,y 座標系でのみ成り立つ現象である。変数変換をしたら、グラフが接するかどうかは不明になる。

(結論)
 曲線の式と曲線の式を連立させて方程式を解く場合には、
曲線が接する判定条件は、(x,y)の座標点が重解になるかどうかで判定するべきである。


(補足)
 以上の計算における曲線の接触の判定の計算は、「この式8が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか?」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
 この不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、このページの後のページの例題で例示する。


【問2】円x+(y+1)=1と円x+(y−1)=1は接するか?


(方程式が重根を持つかで解析する方法)
円 x+(y+1)=1 (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
式1の円と式2の円の方程式を連立させる。
式1から式2を引き算する。
4y=0
y=0 (式3)
この式3はまだ接線とは限らない。

この式3も重根を持っていないことに注意すること。

--(接点(x,y)が重解を持つ判定の注意)--
 座標xの解を求める式は、式3を式1又は式2に代入することで得られ、その式は以下の式になる。
=0 
この式は、xが重解の値0になることを示す。
そのため、接点(x,y)が重解を持つことが言える。
----------------------------------------------

この式3の直線と式1の円が接すれば、この式3の直線は式2の円とも接し、
式1の円と式2の円が同じ式3の直線との接点で接することになる。

式1の円と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
+(0+1)=1
=0
xは0となる重根を持ち、式1の円は式3の直線と(0,0)で接する。

同様にして、式2の円も式3の直線と(0,0)で接する。
(解答おわり)


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三次関数の曲線の接線の残りの交点
「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問2】三次関数の曲線y=xの(x=1)となる点の接線が再びその曲線に交わる残りの交点を求めよ。

(解答の方針)
f(x)を微分可能な関数として、曲線y=f(x)のx=aにおける接線の方程式は、
y=f’(a)(x−a)+f(a)
である。

この公式を用いて、接線の方程式を求めて、それから、その接線と曲線の交点を求める解答方法が、
最初に勉強すべき解答方法です。

(解答開始)
f(x)=x
微分の公式により
f’(x)=3・x
f(1)=1=1
f’(1)=3・1=3
接線の方程式は、
y=3(x−1)+1
この接線と曲線の方程式の交点のx座標を求める方程式は、以下の式になる。
=3(x−1)+1
−3x+2=0
(x−1)(x+2)=0
接線のx=1に関する式(x−1)が二乗になって重根になり、それ以外の交点に関する式(x+2)が1つできて、それらの積に方程式が因数分解できる。
接線が再び曲線に交差する残りの交点は、
x=−2
y=(−2)=−8
よって、残りの交点の座標は、
(−2,−8)
(解答おわり)

【別解】
この問題を上の解き方で解いた結果、もう少し楽に解答を得る方法がわかってきます。
その楽な解答方法とは、以下のようにしてわかります。

接線の方程式をy=mx+nとだけ書いて、その接線と曲線の式y=xとの残りの交点(a,b)を与える式を書くと、以下の式で与えられます。
=mx+n
−mx−n=0
この式は、
(x−1)(x−a)=0
になります。
すなわち、
−mx−n=(x−1)(x−a)
の係数だけを書くと、
0=−2−a
∴ a=−2
接線の式のmとnの値がわからなくても、交点のx座標a=−2がわかりました。
b=(−2)=−8
よって、残りの交点の座標は、
(−2,−8)
(解答おわり)
このように、楽に答えが解けました。

この楽な解き方は、どの三次関数の曲線の接線の残りの交点を求めるときでも、使えます。

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曲線の接線(基本公式)
「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問1】y=xの曲線の(x=1)となる点の接線を求めよ。

(解答の方針)
f(x)を微分可能な関数として、曲線y=f(x)のx=aにおける接線の方程式は、
y=f’(a)(x−a)+f(a)
である。
この式で、f’(a)とは、関数f(x)を微分した結果の関数f’(x)のx=aにおける値である。

この公式が成り立つ理由は、関数f(x)を微分した結果の関数f’(x)は曲線の傾きをあらわすからです。

(解答開始)
f(x)=x
微分の公式により
f’(x)=2・x
f(1)=1=1
f’(1)=2・1=2
接線の方程式は、
y=2(x−1)+1
(解答おわり)

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2011年07月19日(Tue)▲ページの先頭へ
指数関数と対数関数 第5講3節 log(3)4とlog(4)6
佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問2】log4とlog6の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
対数関数の大小は、以下の公式を(以下の数の範囲で)利用することで必ず解くことができる。
底について  1<a≦A
真数について 1<b≦B
である場合は、
0<logb≦log
が成り立つ。
この数値範囲では、等号が成り立つのは、a=Aかつb=Bの場合のみ。

この公式を、以下のように利用することで、大小関係を必ず解くことができる。
(1)底を1より大きくし真数も1より大きくした式に変換した上で、
(2)小さい方(と思われる)対数関数の底を、他の対数関数の底よりも大きくする。
(3)大きい方(と思われる)の対数関数がlogC≡Hであり、
小さい方(と思われる)の対数関数がlogD≡Lである場合、
対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。
それを、対数関数Lの真数Dと底Aを使って同じ形に作った真数D/Aと比べる。
このように真数を変換することは、
元の対数関数をm倍にした値からnを引き算することを意味する。
mH−n=log(C/a
mL−n=log(D/A

対数関数HがLより大きければ、
mとnを十分大きくして、1より大きな真数で、なるべく1に近い真数を作れば、
対数関数Hから作った真数は必ず、対数関数Lから(同様にして)作った真数よりも大きくなり、先の公式にあてはまるようになる。

(その理由は、大きなmで対数関数の大小関係が拡大されているので、対数関数HとLの真数の値は、対数の底の違い以上に大きさが異なるようになるためである。
なお、nを引き算する理由は、対数関数の値が同じなら、底が異なっても真数を同じにするためである。)

そのため、この方法を使えば、必ず、対数関数の大小関係を求めることができる。

(解答開始)
L≡log
H≡log
(1)この2つの対数関数の大小関係は、多分H>Lである。
そのため、対数関数Hの底を、Lの底=3より小さくする。
H≡log6=(1/2)log
2H=log
2L=2log4=log16

(2)真数を1に近づける(ただし1より大きくする)ために、対数関数から2を引き算する。
2H−2=log(6/4)=log(3/2)
2L−2=log(16/9)

(3−1)対数関数を更に2倍にする。
4H−4=log(9/4)
4L−4=log(256/81)

(3−2)真数を1に近付ける(ただし1より大きくする)ために、更に1を引く。
4H−5=log(9/8)
4L−5=log(256/243)
(4H−5)の真数B=9/8=1.1・・・
(4L−5)の真数b=254/243=1.05・・・
よって、B>b
一方、
(4H−5)の底a=2
(4L−5)の底A=3
すなわち、A>a
よって
(4H−5)=logB>logb=(4L−5)
∴ H>L
log6>log
(解答おわり)

【別解】
(解答の方針)
対数関数の逆数は、底と真数が入れ替わった式になることを利用する。
1/L=log
1/H=log

この関係を利用することで、先の計算方針の:
「(3)・・・対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。」
を補う以下の計算方針によって、対数の大小関係を求めることができます。
(3)’・・・対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のa/Cを作る。
(すなわち、 1より小さい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。)

(解答開始)
(1)この2つの対数関数の大小関係は、多分H>Lである。それは、(1/H)<(1/L)ということを意味する。
対数関数の大小関係を示す先の公式にあてはめるために、対数関数(1/L)の底=4は、(1/H)の底=6より小さくする必要があるが、既に、底の関係は、この関係を満足している。

(2)次に、1/Lの真数3のm乗を底4のn乗で割り算して、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数を作る。
/4=81/64が手ごろだと思う。
すなわち、
(4/L)−3=log(3/4)=log(81/64)=log(1.2・・・)
(4/H)−3=log(4/6)=log(2/(2×3)
=log(2/3)=log(32/27)=log(1.1・・・)

対数関数(4/L)−3の底は4で真数は1.2・・・であり、
対数関数(4/H)−3の底は6で真数は1.1・・・であるので、
公式にあてはまって、
対数関数(4/L)−3>(4/H)−3
よって、(1/L)>(1/H)
0<L, 0<H であるので、
∴ L<H
log4<log
(解答おわり)

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2011年07月17日(Sun)▲ページの先頭へ
指数関数と対数関数 第5講3節 log(3)4とlog(4)5
佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問1】log4とlog5の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
(1)対数関数の問題を考える場合は、対数の底をそろえて比較する。
(2)更に、対数の真数をそろえて比較する。
(3)主に、{(対数の真数)/(対数の底)}を比較の対象にする。

L≡log
H≡log
この2つの対数関数を比較するため、先ずLの対数の底(=3)をHの対数の底(=4)にそろえることを考える。
L≡log
=log(3・(4/3))
=log3+log(4/3)
=1+log(4/3)
L>M≡1+log(4/3)
(上の結論は、対数関数の真数をそろえて、底を変えて比較した結論です)
M≡1+log(4/3)
M>N≡1+log(5/4)
(上の結論は、対数関数の底をそろえて、真数を変えて比較した結論です)
N≡1+log(5/4)
=log4+log(5/4)
=log5=H

∴ log4>log
(解答おわり)

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相加平均と相乗平均の不等式
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2011年07月16日(Sat)▲ページの先頭へ
第2講4節 相加平均と相乗平均の不等式
佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

a≧0, b≧0のとき
(a+b)/2≧√(a・b)
ただし、a≠bのときは
(a+b)/2>√(a・b)

【問1】log4とlog5の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
対数関数の問題を考える場合は、対数の底をそろえる。
また、積が和に変わる対数関数の性質は、
相加平均(和)と相乗平均(積)の比較をする相加平均と相乗平均の不等式と似ていることに注目すること。

H≡(log5)/(log4)
=(log5)・(log3)
=(√{(log5)・(log3)})
(相乗平均(積)<相加平均(和)の関係を使う)
H<J≡({(log5)+(log3)}/2)
J={log(√(5・3))}
(相乗平均(積)<相加平均(和)の関係を使う)
J<K≡{log({(5+3)/2})}
K={log4}
=1
∴ H≡(log5)/(log4)<1
log5<log
(解答おわり)

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指数関数と対数関数 log(3)4とlog(4)5
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2011年07月11日(Mon)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(4)sinの和は−cos
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。

【問1】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。
(解答おわり)

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2011年07月10日(Sun)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(3)cosの和はsin
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。

【問1】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。

(解答おわり)

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2011年07月09日(Sat)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(2−2)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問2】1+2+3+・・・+n =G(n)とする公式を求めよ。

=kの和(k=1〜n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b−b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。
+a+a+a
=(b−b)+(b−b)+(b−b)+(b−b
=b−b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
=b−b(k+1)+f(k)
となって、f(k)という項が余っても、その項の和の公式がわかっていれば、それでも問題が解けます。

−(k−1)k+k(k+1)
を考える。
−(k−1)k+k(k+1)
=k{−(k−1)k+(k+1)
=k{3k+1}
となるから、
=(1/3){−(k−1)k+k(k+1)−k}
である。
つまり、
=kの場合において、
=b−b(k+1)−(k/3)
とあらわせる
=−(1/3)(k−1)k
という式が得られた。
−(k/3)という項が余っているが、この余った項の和を求める公式は既に知っている(kの和はn(n+1)/2)ので問題が解ける。

これを使って、以下の答えが得られる。
=kの和(k=1〜n)は、
−b(n+1)−(k/3)の和
=(1/3){−0×1}+(1/3){n(n+1)
−{n(n+1)/2}/3
=(1/3){n(n+1)−n(n+1)/2}
=(1/3)n(n+1){(n+1)−(1/2)}
=(1/3)n(n+1)(n+(1/2))
(解答おわり)

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2011年07月07日(Thu)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(2−1)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問1】1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2を証明せよ。

=kの和(k=1〜n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b−b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。
+a+a+a
=(b−b)+(b−b)+(b−b)+(b−b
=b−b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

−(k−1)k+k(k+1)
を考える。
−(k−1)k+k(k+1)
=k{−(k−1)+(k+1)}
=k{2}
となるから、
k=(1/2){−(k−1)k+k(k+1)}
である。
つまり、
=kの場合において、
=b−b(k+1)
とあらわせる
=−(1/2)(k−1)k
という式が得られた。
これを使って、以下の答えが得られる。
=kの和(k=1〜n)は、
−b(n+1)
=(1/2){−0×1+n(n+1)}
=(1/2)n(n+1)
(証明おわり)

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第3講1節 いろいろな数列の和(1)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問1】(1×2)+(2×3)+(3×4)+・・・+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)を証明せよ。
【問2】(1×2×3)+(2×3×4)+(3×4×5)+・・・+n(n+1)(n+2)=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)を証明せよ。
【問3】(1×2×3×4)+(2×3×4×5)+(3×4×5×6)+・・・+n(n+1)(n+2)(n+3)=(1/5)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)を証明せよ。

(解答)【問1】
=k(k+1)の和(k=1〜n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b−b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。
+a+a+a
=(b−b)+(b−b)+(b−b)+(b−b
=b−b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

−(k−1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)
を考える。
−(k−1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)
=k(k+1){−(k−1)+(k+2)}
=k(k+1){3}
となるから、
k(k+1)=(1/3){−(k−1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)}
である。
つまり、
=k(k+1)の場合において、
=b−b(k+1)
とあらわせる
=−(k−1)k(k+1)
という式が得られた。
これを使って、以下の答えが得られる。
=k(k+1)の和(k=1〜n)は、
(1/3){b−b(n+1)
=(1/3){−0×1×2+n(n+1)(n+2)}
=(1/3)n(n+1)(n+2)
(証明おわり)

問2以降も同様に証明できる。

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2011年07月05日(Tue)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(2)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問1】1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2を証明せよ。

【問2】1+2+3+・・・+n=n(n+(1/2))(n+1)/3を証明せよ。
(この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります)

【問3】1+2+3+・・・+n=n(n+1)/4を証明せよ。

【問4】1+2+3+・・・+n 
=n(n+(1/2))(n+1)(n+n−(1/3))/5を証明せよ。

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