勉強しようNTTのBlog - 2011/11

算数の問題と解答とを考えていきます。




2011年11月23日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数平面(5)複素数平面での軌跡



佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第6講 複素数平面

【問1】実数の媒介変数tを−∞から∞まで変化させたとき、
z=1+i・t (式1)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

【問2】実数の媒介変数tを−∞から∞まで変化させたとき、
z=1/(1+i・t) (式2)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

(解答)

【問1の解】
式1の複素数zは、上図のように、z=1の点を通り、実軸に垂直な直線上にある。

【問2の解】
式2の複素数zは、上図のように、z=0とz=1とを直径の両端とする円の上にある。
ただし、z=0の点は通らない。

それを以下で証明する。
(証明開始)
zは、 zをあらわす複素数平面での点Cに関して、
|z|=線分OC=1/|(1+i・t)|=1/線分OA
であるから、
OC/OB=OB/OA
であり、
△BOCの2辺OCとOBの辺の長さが△AOBの2辺OBとOAから同じ比で縮小されている。
また、
arg(z)=−∠BOC=−arg(1+i・t)=−∠AOB
であるから、
△BOCの2辺OCとOBの間の角が、△AOBの2辺OBとOAの間の角と等しい。
∴ △BOC∽△AOB
そのため、
∠OCB=∠OBA=∠R=90度
∠OCBは常に90度なので、
C点は、OBを直径とする円周上にある。
ただし、式2のzは0では無いので、z=0の点は通らない。
(証明おわり)

(別解)
以下のようにして証明することもできる。
(注意)上のようにtの値にかかわらず|分子/分母|=1となる式、(1−i・t)/(1+i・t)を作ることがポイント。
よって、

よって、
|z−(1/2)|=1/2
よって、zは、値(1/2)を中心にする、半径(1/2)の円上にある。
ただし、zは0では無いので、値0にはならない。
(証明おわり)

【一番簡単な方法】
 ここをクリックした先に、(it)単体をzの式であらわして、そのzの式に(it)単体の満たす条件をあてはめて計算する方法を示します。
 
リンク:
高校数学の目次


2011年11月20日(Sun)▲ページの先頭へ
第5講:高次方程式(2)1のn乗根を複素数平面で求める



佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第5講 高次方程式

【問1】X=1の解を求めよ。
−1=0

この方程式の4つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、
=1,X=i,=−1,X=−iが、
−1=0
の4つの解です。
は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに90度(π/2ラジアン)回転した位置にあり、更に、順次に90度回転した位置が、この方程式の解です。

と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角90度を4倍すれば360度になり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角180度を4倍 すれば360度×2になり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角270度を4倍 すれば360度×3になり、実軸に戻ります。

複素数を4乗するということは同じ複素数を4回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を4乗すれば、その複素数の偏角が4回足し算されて4倍になりました。
すなわち、
=1の複素数の解は、1の偏角を360度、360度×2、360度×3と考えて、その偏角を4分の1の90度、180度、270度にし、その偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。

【問2】X=1の解を求めよ。
−1=0

この方程式の5つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、X−1=0
の5つの解です。
は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに2π/5ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に2π/5rラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角2π/5ラジアンを5倍すれば2πになり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角2π×(2/5)ラジアンを5倍すれば2π×2になり、実軸に戻ります。
以下、同様に、XとXは、2π×3、2π×4になり、実軸に戻ります。

結局、
=1の複素数の解は、2π/5ラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。

同様に考えることで、
=1の複素数の解は、2π/nラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。
すなわち、値1の点を頂点の1つにする正n角形の各頂点が、その方程式の解になります。 

【問2(b)】=1の解を、三角関数の値も計算して求めること。

この解の求め方を次のページで解説します。

 しかし、次のページを直ぐには見ないで、
しばらくここに留まって、この解を自力で求める努力をしてください。
 

リンク:
高校数学の目次


2011年11月17日(Thu)▲ページの先頭へ
第6講:複素数平面(4)正5角形の問題を複素数平面を用いて解く



「式と証明・複素数」の勉強

複素数平面において半径1の円に内接する正5角形を考える。


−1=0
の5つの解をX=1と、X、X、X、Xとする。


【問1】以下を証明せよ
|(1−X)(1−X)(1−X)(1−X)|=5
すなわち、
abab=5
を証明する。

【問2】以下を証明せよ
|(1−X)|+|(1−X)|+|(1−X)|+|(1−X)|=10
すなわち、
+b+b+a=10
を証明する。

【問3】図の長さsを計算せよ


この問題も自力で解くよう、努めてください。

(解答はここをクリックした先にあります。)

リンク:
高校数学の目次




   




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カレンダ
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