勉強しようNTTのBlog - 2012/04

算数の問題と解答とを考えていきます。




2012年04月29日(Sun)▲ページの先頭へ
2つの行列の2つの積から元の行列を逆算する


大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】
(1)対角行列Tと行列の積が交換可能な行列は対角行列です。
(2)行列Aと行列Bの積ABとBAとは、同じ固有値を共有する行列です。

(3)また、行列式が0では無い行列で、その固有値の値が重解を持たない行列Aは、その固有値毎に固有ベクトルを計算して、
 その固有ベクトルを並べた行列Ptkを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Cukに変換できます。
−1ussttk=Cuk   ←Asttk=Psuuk
また、行列Pを用いてそのようにお互いに変換できる行列同士は、同じ固有値を持ちます。
これらの原理を利用して、以下の問題を解くことができます。

【問題】
行列Aと行列Bがあるとき、
行列の積AB=CとBA=Dとが与えられた場合に、元の行列AとBを求める問題を考えます。
この問題では、行列は全て2行2列の行列であるものとします。

(条件1)この行列AとBは、その行列式が0では無く逆行列が存在するものとします。

 この行列の積AB=CとBA=Dは以下のように、行列A(あるいは行列B)を用いて互いに変換できます。
行列AB=Cと行列BA=Dは、行列Aを用いて互いに変換できるので、同じ固有値を持ちます。
 行列AB=Cと行列BA=Dは固有値が共通であるので、この行列AB=Cと行列BA=Dのバラエティを記述するパラメータの数は、行列Aの4つのパラメータと行列Bの4つのパラメータの合計の8よりも2つパラメータが減って、6つのパラメータでCとDとのあらゆる場合が記述できます。
 パラメータが減ってしまっているので、行列CとDだけでは情報が不足しているので、それだけでは、行列AとBを完全に再現することはできません。行列CとDのみからでは、行列AとBがパラメータの自由度2で不定になります。
 以下では、その不定性があっても良いものとして、行列AとBを可能な限り逆算してみます。


以下の行列式を計算することで、行列AB=Cと行列BA=Dとが共有する固有値と、その固有値を持つ対角行列Tを計算することができます。
そして、以下のように、その固有値を持つ対角行列Tを行列Cに変換する行列Pを計算、対角行列Tを行列Dに変換する行列Qを計算します。






以下で、式4から行列Aを与える式6を計算し、式5から行列Aを与える式7を計算し、式6と式7を連立して行列Aを消去する計算をします。
ここで、行列Q−1BP=Vとします。
この行列Vと対角行列Tとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Tと積が交換可能な行列Vは対角行列になります。
 上式8のように、行列Bが対角行列Vを用いてあらわせます。

同様にして、 式4から行列Bを与える式9を計算し、式5から行列Bを与える式10を計算し、式9と式10を連立して行列Bを消去する計算をします。
ここで、行列P−1AQ=Wとします。
この行列Wと対角行列Tとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Tと積が交換可能な行列Wは対角行列になります。
そして、以下の式11のように、行列Aが対角行列Wを用いてあらわせます。
 この式8と式11を用いて行列の積AB=Cを計算すると、以下の関係式12を得ます。
すなわち、式12のように、対角行列Tは対角行列WとVの積です。また、対角行列同士の積は交換可能です。
ここで、行列の積BA=Dを計算すると、式5の関係が満足されています。
 対角行列VとWには、それ以上の制限条件がありません。
すなわち、任意の対角行列Vを自由に定めて、式12を満足するように対角行列Wを定めれば、それだけで、AB=Cを与える式4と、BA=Dを与える式5が満足されます。

(解答)任意な対角行列Vと、式12を満足する対角行列Wを用いて、式11で行列Aが与えられ、式8で行列Bが与えられる。

【検算】
 任意の対角行列Vを用いて行列AとBが与えられるということが、本当に間違いなく成り立っているかを確かめるために、以下の検算をします。

検算のために、行列AとBが以下の場合を考える。
 この場合に、行列AB=CとBA=Dの固有値を以下の様に計算すると、行列CとDの固有値が同じであることが確認できます。
これで対角行列Tが定まりました。

次に、行列AB=Cを対角行列Tに変換する行列Pを計算します。
次に、行列BA=Dを対角行列Tに変換する行列Qを計算します。
次に、対角行列WとVを自由に変えて(ただし式12を満足させて)、それにより定まるAとBが、どれも同じ行列AB=CとBA=Dを与えるかどうかを確認します。

(第1の場合)
先ず、対角行列WとVを以下のように定めて行列AとBを計算します。
 この行列AとBは、元の行列AとBとは異なる。
次に、この行列AとBの積AB=CとBA=Dを計算する。
 行列AB=CとBA=Dは元どおりになった。


(第2の場合)
次に、対角行列WとVを以下のように定めて行列AとBを計算します。
 この行列AとBは元の行列と同じ行列が得られた。

(第3の場合)
次に、対角行列WとVを以下のように定めて行列AとBを計算します。
 この行列AとBは、元の行列AとBとは異なる。
次に、この行列AとBの積AB=CとBA=Dを計算する。
 行列AB=CとBA=Dは元どおりになった。

以上で、両者の積が対角行列Tになる任意の対角行列VとWを設定することで、異なる行列AとBの組が得られ、そのいずれの行列AとBの組も、同じ行列の積AB=CとBA=Dを与えることが確かめられた。




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2012年04月25日(Wed)▲ページの先頭へ
2つの対角行列とある行列の積の交換の定理
 
 
大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式


以下のように、1つ目の対角行列Bと、ある行列Aの積の行列と、積が交換された、その行列Aと2つ目の対角行列Cの積の行列が等しいという条件が与えられているとする。
この式を計算すると以下の式になる。
この場合に、これらの行列の要素が以下の様に特定の値に制限される。
この関係を、仮に、
「2つの対角行列とある行列の積の交換の定理」
と名づける。
 行列の問題を解く際に、この定理の条件を与える式が得られたら、その式の解は、以下のように解けることを覚えておくと便利だと思う。

(解の解説)
上の行列の方程式から、以下の関係が得られる。
この解1以外の解については、以下のように、式1から式4により変数が等しくされる関係を図に書いて考える。

(解8)行列Aが0行列であって、対角行列BとCは任意の行列であるという自明な解もある。

 この問題では、以上のように、8個の場合分けされた解が得られる。
 これらの解の特徴は、行列Aが自由に設定できる場合は(解1)の場合だけで、その条件は、行列B=C=単位行列の定数倍のときである。
 行列B=C=単位行列の定数倍という条件が無い場合には、行列Aの少なくとも2つの要素が0になる。

(補足)
この問題の一部として、以下の場合が重要です。
すなわち、以下のように、単位行列の定数倍以外の対角行列Tと交換可能な行列Aを考える。
TA=AT

この行列の解は、上の解7であって、次の式のように行列Aも対角行列になります。
 このように、単位行列の倍数以外の対角行列と積が交換可能な行列は、対角行列のみです。
 このことは、積が交換可能な行列は、その固有ベクトル(の方向)が同じであるという原理に結びついています。単位行列の倍数以外の対角行列の固有ベクトルは(1,0)と(0,1)だからです。
 ちなみに、2行2列の行列に限っては、行列Tと交換可能な行列は、単位行列Eを用いて、cT+dEであらわせます。Tが対角行列の場合、cT+dEは対角行列になるから、対角行列Tと交換可能な行列は対角行列であると言えます。しかし、その話は2行2列の行列に限って成り立つ話です。一方、交換可能な行列は固有ベクトルが同じという原理は、n行n列の行列全てで成り立ちます。

 
 



2012年04月22日(Sun)▲ページの先頭へ
対角行列と回転行列の積の交換の定理


大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

以下のように、対角行列と回転行列の積の行列と、積が交換された、回転行列と対角行列の積の行列が等しいという条件が与えられているとする。
この式を計算すると以下の式になる。
この場合に、これらの行列の要素が以下の様に特定の値に制限される。
この関係を、仮に、
「対角行列と回転行列の積の交換の定理」
と名づける。
 行列の問題を解く際に、この定理の条件を与える式が得られたら、その式の解は、以下のように解けることを覚えておくと便利だと思う。
 あるいは、この形の問題は以下の様に多くの解(選択肢)を持つという知識だけでも有用と思う。
 上の行列の方程式から、以下の関係が得られる。








(解7)回転行列以外の行列が0行列であって、回転行列は任意の行列であるという自明な解もある。
 この問題では、以上のように、13個の場合分けされた解が得られる。


(補足)
 この解のうちで、解1−1は、α=θであって、
(回転行列θ)(単位行列Eの定数倍)=(単位行列Eの定数倍)(回転行列θ)
の形をしています。

 実は、 回転行列と積が交換される行列Aについては、すなわち、
(回転行列θ)(行列A)=(行列A)(回転行列θ)
を満足する行列Aは、
(単位行列を含む)回転行列(の定数倍)だけです。
 後に学ぶことですが、積が交換可能な行列は、「固有ベクトル」を共有する行列のみであり、回転行列は共通する固有ベクトルを持つからです。




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2012年04月10日(Tue)▲ページの先頭へ
円は円に変換し特定の直線は無限遠に移動させる変換

大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】
双曲線を円に変換するのと同様にして、
円を円に変換し特定の直線は無限遠に移動させる変換を考える。
そして、その変換を利用して、下図で示す、
「点A(極)に対する極線PQ上の点Bを極にした極線RSは、点Aを通る。」
という定理を証明する。

(証明開始)
上の図の円は円のままに変換し、

直線 X=2 は、無限遠に移動させる変換を考える。
この円の式を以下のように、直線の式(X−2)=0の左辺を分母にする式に変形する。
 上の式のように、あるパラメータkとaを用いて式を変形し、
次に、その式の変形が恒等式になるようにパラメータkとaを定める。
 上の計算により、
パラメータ a=−1/2に定まり、
 パラメータ k=2/3に定まった。
このパラメータを代入して、式の変形を続ける。


上の計算で得られたX’とY’とに変換する場合は、
半径1の円は同じ半径1の円に変換される。
一方、
直線 X=2
の上の全ての点は、無限遠に移動させられる。
それ以外の直線は、以下の計算でわかるように、直線は、折り曲げられずに、直線に変換される。


その計算をする準備として、座標XおよびYを、X’とY’であらわす以下の式を計算する。
先ず、座標Xは以下のように計算する。

次に、座標Yは、以下のように計算する。

この座標XとYであらわした直線は、以下のように計算すると、
座標X’とY’でも、直線になる。

 上の結果が示すように座標X’と座標Y’でも直線になる。
すなわち、最初に示した円と直線とであらわされた図形は、以下の図形に変換される。

この図形で成り立つ円と直線の関係は、最初の図形でも成り立つ。
この図形では、直線mと直線nが無限遠点A’で交わる。
(「平行線は無限遠点で交差する」という、射影幾何学の公理系に従う)


すなわち、無限遠点A’を通り円に接する接線mとnは互いに平行な線である。

次に、直線R’S’も無限遠点A’を通ることを証明するために、
直線R’S’が接線m及びnと平行であることを証明する。
接線mと円との接点をP’とし、
接線nと円との接点をQ’とする。
その点P’とQ’とを結んだ直線は、円の中心点Oを通り、直線m及び直線nに垂直な直線である。
直線P’Q’上の点B’から円に2本の接線を引き、それぞれの接線と円との接点をR’とS’とする。
そうすると、
直角三角形△B’OR’と△B’OS’とでは、
斜辺B’Oが 共通であり、
1辺OR’=OS’であるので、
△B’OR’≡△B’OS’
∴ ∠B’OR’=∠B’OS’
つまり、直線P’Q’=直線OTは、
二等辺三角形△OR’S’の頂角∠Oを二等分する。
また、△OR’S’の
∠R’=∠S’
であり、
∠R’+∠S’+∠O=π
であるので、
△OR’Tの
∠T=π−∠R’−(∠O/2)
=π−∠R’−(π−2∠R’)/2
=π/2
∴直線OT=直線P’Q’は直線R’S’に垂直である。
そのため直線R’S’は直線m及び直線nに平行である。

そのため、直線R’S’は直線m及び直線nと無限遠点A’で交わる。
(ここで、「平行な直線の束は同じ無限遠点1つで交わる」という射影幾何学の公理系に従って考えた)


無限遠点A’は、最初の円の図形の点Aを移動した位置である。
よって、
最初の図形においても、
直線RSは、点Aを通る。
(証明おわり)

(補足)
なお、射影幾何学は、通常の点(X,Y)をあらわす射影座標(kX,kY,k)と、
無限遠点をあらわす射影座標(α,β,0)とを用いて、
それらの点の間の変換を研究する幾何学です。
射影幾何学では、上の計算で、方程式の分母に置いた式は射影座標の3番目の座標に置いて計算します。
そうすると、上の座標変換の式が以下の行列であらわせます。

詳しくは射影幾何学の専門書を参照してください。


射影幾何学と数学者の夢について良い記事のブログがあったので紹介します。
「算数オリンピックの長尾賞」(小島寛之先生)
 若き天才数学者の人生と、「その若者に射影幾何学を教えた回顧」の話が感動的です。 
癌に侵された死の宣告を受けつつ数学の世界に慰めを見出して充実した生を全うし31歳で亡くなった数学者の物語です。



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極と極線の関係の定理の証明
放物線における極と極線の関係
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2012年04月09日(Mon)▲ページの先頭へ
双曲線を円にする変換(その2)


大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】
双曲線は以下のようにして円に変換できます。
(これは、1次変換ではありませんが、便利な変換です。)

このように(X,Y)座標を(X’,Y’)座標に変換すると、双曲線が円に変換されて、(X’,Y’)は円を描きます。
この座標変換の性質を以下のように調べると、以下のように、この座標変換は、直線は曲げずに直線のままに変換することがわかります。
このように、この変換は双曲線を円に変換し、直線は直線のままにします。
また、この変換の逆変換は、円を双曲線に戻すとともに、直線は直線のままに変換します。
そのため、円で成り立っていた以下の図の定理が、
円が双曲線に変換されるので、
双曲線でも成り立つことがわかります。
上の図の定理とは、
「点A(極)に対する極線PQ上の点Bを極にした極線RBは、点Aを通る。」
という定理です。
点A(極)に対する極線とは、点Aから円に引いた2つの接線による接点を結ぶ直線のことを極線と呼びます。
(この定理の証明は、ここをクリックしてジャンプする)




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2012年04月08日(Sun)▲ページの先頭へ
変換するベクトルを指定した場合の変換行列


大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】
変換するベクトルを以下のように指定した場合を考える。
このように、任意の2つのベクトルを他の任意の2つのベクトルに変換する変換が定められた場合に、その変換をあらわす変換行列を計算する。
変換の元になるベクトルを一旦、基本的な単位ベクトルに変換する。
次に、その基本ベクトルを変換先のベクトルに変換する。
ここで、変換の元になるベクトルを基本ベクトルに変換する変換行列は、
その変換の元になるベクトルが基本ベクトルから変換されることをあらわす行列(その行列は以下のようにすぐわかる)の逆行f列を計算することで計算できる。
逆行列は余因子行列を計算することで計算できる。
こうして得た逆行列に、以下のように、基本ベクトルを変換先のベクトルに変換する行列を掛け算する。こうして、任意の変換元のベクトルを任意の変換先のベクトルに変換する場合の、その変換をあらわす変換行列が計算できる。






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2012年04月05日(Thu)▲ページの先頭へ
双曲線を円に1次変換する


大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】

−X=1 (1)
+(i・X)=1 (2)
すなわち、以下のように1次変換することで双曲線を円に変換できる。
Y’=Y (3)
X’=i・X (4)
Y’+X’=1 (5)
この変換により、直線
Y=2 (6)
は、同じ式に変換される。
Y’=2 (7)
その直線が双曲線と交わる2つの交点で双曲線に2つの接線を引いたとき、
その2つの接線同士が交わる点(極)

(0,1/2)
も同じ点に変換される。
しかし、式7の直線と式5の円とは交わらない。
式6の直線と式1の双曲線は交わったのに。


この矛盾は、以下のように考えれば解消する。
式7の直線と式5の円は、
複素数座標の点
(i・√3,2)
で、交わる。
式5の円は、X’の虚数座標(とY’の実数座標)では
双曲線の形をしている。




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2012年04月01日(Sun)▲ページの先頭へ
楕円を円に1次変換する(その2)


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行列と連立1次方程式


【解説】


上図のように、回転した楕円の位置座標(X,Y)を行列Aksにより(X’,Y’)に一次変換して楕円を円に変形する問題の続きを考える。

【総合解答の復習】
先の計算を復習する。
全ての Atmの解は以下のように計算できた。
bX+2dXY+cY=1 (1)

以下の形のX、Yに関する恒等式を組み立てる。
bX+2dXY+cY=(fX+gY)+(hX+kY) (2)
X’=fX+gY
Y’=hX+kY

上の恒等式2を組み立てると、最初の式1は以下の式3に書き換えることができる。
X’+Y’=1 (3)
以下では、先の式2が恒等式になるために必要なf,g,h,kの条件を求める。
+h=b (4)
+k=c (5)
2fg+2hk=2d (6)
必要な条件は以上の式4から6である。


式4から式6の連立方程式を解く。
f=(√b)cosα (7)
h=(√b)sinα (8)
g=(√c)sinβ (9)
k=(√c)cosβ (10)
上のように式7から式10でf,g,h,kを定めると、式4と式5が成り立つ。
式6に式7から式10を代入し、2で割ると以下の式を得る。
(√(bc)){cosα・sinβ+sinα・cosβ}=d
sin(α+β)=d/(√(bc)) (11)
ここで、
α+β=θ (12)
とおいて、式11を書き換えると、
sin(θ)=d/(√(bc)) (13)
この式13により、θが定まる。
任意のαと、固定した値のθとで、f,g,h,k全てがあらわされる。

式7から式10は以下の行列の式であらわされる。

また、その行列の余因子行列及び逆行列は以下の式になる。



【回転した楕円の軸ベクトルを計算する】
 このように、楕円を描くベクトルを変換行列で円に変換できることがわかった。その変換行列のうち、以下のような特別な変換行列を求めて、それにより楕円の軸ベクトルを計算する問題を考える。
 楕円を円に変換する変換行列の逆行列は、円を楕円に変換する。その円を楕円に変換する変換が、円を描くベクトルを、X軸方向とY軸方向で縮尺を変えて拡大・縮小して楕円を描かせ、そのベクトルを角度γで回転させる変換であるものとする。
 そうして描かれた楕円をその操作を逆にして元の円に戻す変換の行列を計算する。


 式7から式13で定められる、楕円を円に変換する行列のうち、そのような条件を満足する変換の行列を計算する問題です。


(基本的解析方法)
 この変換の逆変換によりを楕円に変換する式を計算して、その回転角度γに由来して楕円をあらわす方程式を計算して、その方程式の形とその楕円の回転角度との関係を計算する、のが一番良い解決方法と考える。


(別解その1)
 その基本的解析方法は既に解説した。そのため、ここでは、その基本的解析結果の楕円の式からの情報を得ずに、楕円の式を円に変換する式を計算するのみの操作によって、そのように回転した楕円の軸のベクトルを計算することを考える。
 その別解は、楕円の式から固有ベクトルを計算することが、良い解析方法と考える。

(別解その2)
 固有ベクトルを計算する方法も既に解説したので、ここでは、固有ベクトルという便利な概念を使わずに、 楕円の式を円に変換する式を計算するのみの操作によって、そのように回転した楕円の軸のベクトルを計算する。
 すなわち、楕円を円に変換する変換を逆にして、円を楕円に変換する変換が:
(1)円を描くベクトルを、X軸方向とY軸方向で縮尺を変えて拡大・縮小して楕円を描かせる。
(2)そのベクトルを角度γで回転させる変換。
という変換である特別な変換をあらわす行列を計算する。



 このアイデアは、一見すると、楕円の軸ベクトルを計算する方針が明確であり、軸ベクトルを計算するのに良い方法のように見えるかもしれない。
 しかし、正しく方程式を設定しても、それで問題を解き始めたら、解き方が難しい問題になった。
 そのため、以下では、この問題を解き易くする計算技術を解説します。

【問題の条件の変換をあらわす方程式を求める】

変換行列Aの逆行列A−1は余因子行列に比例する。
その逆行列A−1が、
(1)円を描くベクトルを、X軸方向とY軸方向で縮尺を変えて拡大・縮小して楕円を描かせる。
(2)そのベクトルを角度γで回転させる。
という変換であるための条件は以下のように計算できる。

 すなわち、その行列A−1の列ベクトル同士が直交して、内積が0になることが、求める条件である。
一方、先の計算の結果、 楕円を円に変換する行列の満たすべき条件が、式7から式13で得られている。
それらは以下の式であらわされる。


この式に、逆行列A−1の列ベクトル同士が直交して、内積が0になる条件を加えることで、問題を解くための連立方程式が完備し、以下の式になった。
しかし、これらの方程式を連立して解く問題は難しそうに思う。
そのため、少し遠回りになるかもしれないが、
未知数γとsとtを追加して、問題を以下のようにあらわす。 

 ここで、 γは、楕円の軸の回転角度をあらわす、問題が求める目的のパラメータを直接にあらわすものである。
なお、以上の式でパラメータk,h,g,fは、式を区別する記号として利用することにし、その値を計算する未知数としては扱わないことにする。

 以上の4つの式であらわすことで、ベクトルの内積が0になる条件式は既に組み込まれている。
そのため、問題が、上の4つの式に、sinθが定数になる式を加えた連立方程式を解く問題に変わった。すなわち、問題が、未知数γとsとtを求める問題に変換された。

これらの未知数の間の関係を以下のように計算する。




以上により角度γが求められた。

以上によりパラメータtとsが求められた。
蛇足だが、もう少しsとtを調べる。
式14と式15から、

この結果を用いて変換行列Aをあらわすと、以下のようになる。
(sとtについては、表示を見易くするために、その計算結果は代入しないで、そのままsとtであらわす)

 この変換行列の逆行列(それに比例する余因子行列)は以下のように計算できる。
その列ベクトルが求める楕円の軸ベクトルをあらわす。 

 以上の通り、楕円の軸ベクトルを計算できた。

(計算の反省)
以上のようにして楕円の軸ベクトルを計算できた。
しかし、その計算には煩雑な計算を必要とした。

 楕円の軸ベクトルを計算する方法は、やはり、固有ベクトルを計算する方法が、より簡単に計算できる優れた方法であると考える。

【別解その2の別解】
総合解答の結果を利用せずに、以下のように直接に計算することもできる。
すなわち、変換行列Aに関する式
を元にして、以下のように計算を行なう。
以上で、変換行列を定めるパラメータsとtとγが求められた。
この計算の形は、固有値を求めて固有ベクトルを求める計算のパターンと良く似ていると思う。



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