勉強しようNTTのBlog - 2013

算数の問題と解答とを考えていきます。




2013年12月31日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(56)平行シフト視線チェック



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

上の計算では、視線がイコール記号の左右のパラメータaの係数を同じ値だけシフト(増減)してチェックします。これが平行シフト視線チェックです。
 平行シフト視線チェックは、イコール記号の左右の同じパラメータのペアの項に対して行ないます。
(それ以外にパラメータaの項があっても良いですが、その項が変化しない事が条件になります。)

 上の式は、不等号の式に平行シフト視線チェックを適用した場合を示しました。
 このように、移項と項の和の計算とを同時に行っても視線チェックできます。

 この平行シフト視線チェックは、チェックされる式を書く前に行うことができます。視線が平行シフトして計算した値で式を書きます。そして、式を書いた後に再度平行シフト視線チェックを行なって、最初の目標通りに式が書けたことを確認します。そうすることで、計算ミスを減らせます。

 上の計算は、平行シフト視線チェックと類似しています。式の全部の項に同時に同じパラメータを掛け算してチェックします。
 この視線チェック方法も平行シフト視線チェックの一種です。

 上式のように、不等号を使った式の場合も同様にチェックします。
不等号の場合は、正の値を掛け算します。


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2013年12月30日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(55)イコール交差チェック



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 上の計算では、視線がイコール記号をまたいで移項した項の正負を入れ替えます。その様に項の正負が入れ替わっていることをイコール交差チェックで確認します。

 このイコール交差チェックができるように数式を展開します。
そのために、以下のような計算はしないことにします。

この計算では、項の符号を間違え易い問題があります。そのため、このような計算はしない方が良い。必要があれば、最後の計算の後にイコール記号の左右を入れ替えても十分間に合います。

 上式のように、不等号を使った式の場合も同様にチェックします。
 このようなルールで計算する場合に、視線でイコール交差チェックをすることで、移項した項の符号の間違いを発見できます。


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計算ミス対策(54)視線かき集めチェック



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


しつこく計算ミスを減らす方法
というサイトに、計算ミスを少なくするために以下のように式を書くのが良いという助言がありました

 上の計算では、上式のように展開して、先ず、視線ブーメランチェックを行ないます。
 次に、以下のように展開して、3行目の式に関して視線かき集めチェックを行ないます。
 視線かき集めチェックのやり方は、3行目の式を1行書いたら、視線で「3行目の式の未知数の項と同じ未知数の項の値を2行目から視線でかき集めて、合計を3行目の項の値と照合する、視線かき集めチェック」を高速に行う。

 この3行目の式についての視線かき集めチェックと、2行目の式についての視線ブーメランチェックで高速に式が見直しできます。
 しかし、もし、2行目の式を書かないで、いきなり1行目と3行目を比較しようとしても、両者を比較する単純で超高速な視線チェック方法がありません。そのため、スッキリ視線チェックを行うために、2行目の式を書いておくようにします。


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2013年12月29日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(53)概算ブーメランチェック



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


 上の計算のように、式を1行書く毎に、視線で「@書いた式の項の概算と同じ項を探し、A探した元の式の他の項と同じ項を後の式に探しに戻って来る概算ブーメランチェック」を高速に行う。
 このブーメランチェックは概算なので、「思い込み」とは異なる計算になるので、「思い込み」によるミスも発見できるので、なるべく行うようにしてください。
 このブーメランチェックで後の式に不足している項を発見したので、以下のように修正する。

 このように、概算ブーメランを行なった結果、後の式の誤った項を修正して(この場合は項を追加して)、式を完成させる。
 そして、この修正された1行の式全体に対して再度概算ブーメランチェックを行う。

 ここで、計算ミスをした根本原因は、数値の因数分解と式の暗黙の括弧の枠の変更とを同時に行ったことに根本原因がある
 そのため、今後の計算では、以下のように、数値を因数に分解する際に、それ以外の式の形は変えずに、暗黙の括弧の枠を変更しないようにして計算しましょう。 

 また、以下の式のように括弧()を使うことで、暗黙の括弧の枠(項の数)を変えない計算をしても良いと考えます。
 この式を、上の場合のように、(概算を加えない)通常の(超高速の)ブーメランチェックを行うと、項の数が変わらないのでチェック結果がとりあえず合格になります。
最初の式は、通常の(超高速の)ブーメランチェックでも不合格で、計算ミスに気付くことができます。


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2013年12月28日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(52)式を1行1行ブーメランチェック



計算ミスを無くす方法
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って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
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これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


 上の計算のように、式を1行書く毎に、視線で「書いた式の項と同じ項を探し@A、Aで探した元の式の他の項と同じ項をB、後の1行の式に探しに戻って来る視線ブーメランチェック」を高速に行う。
 このブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
 このブーメランチェックで後の1行の式に不足している項を発見したので、以下のように修正する。

 このように、視線ブーメランを行なった結果、後の1行の式の誤った項を修正して(この場合は項を追加して)、式を完成させる。
 そして、この修正された1行の式全体に対して再度ブーメランチェックを行う。
 ブーメランチェックを何度行っても計算時間に負担にならないように高速にチェックする。

 この視線ブーメランチェックは、計算式にくっつけた、関連する式と結ぶ霊的オーラのようなものと考え、式の項をその霊的オーラで常に関係する式と結んでください。そしてオーラを生かすために視線を何度でも他の式との間で往復させることを苦にしないようにしましょう。


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2013年12月27日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(51)式を1行1行視線ブーメランチェックする


計算ミスを無くす方法
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計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


 上の計算のように、式を1行書く毎に、視線で「書いた式にマイナス記号を持つ項があったら、元の式のマイナス記号を視線で探して、括弧()があったら、もう1つのマイナス記号を調べに戻って来るブーメランチェック」を高速に行う。
 このブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
 このブーメランチェックでマイナス符号の誤りを発見したので、以下のように修正する。

 このように、視線チェックを行ない易いように、少なくとも項の単位で修正する。次の視線チェックの際に視線が誤り部分を横切らなくても良いように式の上側に修正項を記載する。
 そして、この修正された1行の式全体に対して再度ブーメランチェックを行う。
 ブーメランチェックを何度行っても計算時間に負担にならないように高速にチェックする。

 なお、このブーメランチェックを、式を書いてしまう前に行うことができれば、書こうとする式の誤りを先に見つけて修正して、正しい式のみを書けるようになるとも思う。


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2013年12月26日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(50)式を1行1行視線チェックする


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

上の計算例では、
(1)視線チェックができるように、設問にある式を1行目に書き込んだ。

(2)式を1行書く毎に、視線で「書いた式に使った項と同じ項の源の式を視線で探す、探し物チェック」を高速に行う。
 この視線チェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。

(3)視線チェックで発見した誤りの訂正は再度の視線チェックがし易いために、まとまった単位で、少なくとも項の単位で置き換え修正をする。
(常識ではあるが、消しゴムを使った修正はしない)
 修正した式が仕上がった時点で、再度、その1行の式全体を視線チェックする。
(視線チェックは、何度行っても時間的に負担にならないように、高速に「同じ項を探す」だけに留める。)
 視線チェックは、以下のように視線を回して「同じもの探し」をする。同じか同じで無いかが第1優先で、計算の手順が合っているかは後回しにする。

式を展開した項の掛け算の順番は、視線が自然に移動する順に書く。以下の式のように展開して書いた方が良かった。



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2013年12月25日(Wed)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(25)因数分解の公式


【覚えよう】
 以下の式の因数分解の公式があります。この問題は、普通は2行目までしか教えられていないようです。

 この式は、3行目まで因数分解しなくて良いのでしょうか。
 この問いに対する答えは、
「3行目の式にまで因数分解しなければいけません」
です。
 この因数分解が難しいのでその計算が求められない場合が多いと思います。しかし、因数分解の精神としては、因数分解の結果で出てきた2次式も更に因数分解しないといけないという基本精神は歪めないで、しっかり心に刻んでおいてください。
 この因数分解は難しいですが、この因数分解もできるようにしましょう。
 この2次式の項を因数分解するために試験時間を浪費したり計算ミスする危険を防ぐために、
この答えを覚えて、その答えだけを書くようにして下さい。


この因数分解の覚え方は以下のようにします。
最初の式:
−y
のyを(ωy)に置き換えた式が、
−(ωy)
=x−y
となって、最初の式と同じ式になる。
一方、
yを(ωy)に置き換えた式で計算すると、
置き換え前の計算で、因数分解の1つの項の(x−y)を導き出したのと同様に、
置き換え後の計算でも、因数分解の1つの項の(x−ωy)が導き出される。
 このパラメータの置き換えをしても、最初の式は変わらないので、置き換えたパラメータを基礎にして得た因数分解の項(x−ωy)もまた、最初の式の因数分解の項である。
と考えて覚えてください。

 以下の式の因数分解の公式も、普通は2行目までしか教えられていないようです。

 この式も、同様に考えて、3行目までおぼえてください。

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2013年12月23日(Mon)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(24)因数分解の難問


【覚えよう】
 以下の式の因数分解の問題があります。この問題は、実は難問です。
 この問題が難問であることをあいまいにすると、因数分解はどこまで計算したら良いのか、やり方がわからなくなりますので、ここで、この問題の考え方をはっきりさせておきます。

この式の因数分解の計算の最初の段階では、この式がx,y,zを入れ替えても同じ式になる対称な形の式であることを利用して解きます。
 x,y,zの対称な形の式は、以下の要素s,t,uを使ってあらわすことができます。

つまり、以下のように、s,t,uの関数fであらわせます。
 既に、この式の因数の1つがsであることを予測していますので、この式を、s,t,uであらわすように変形すれば、因数分解もできるだろうと予測できます。 
そのため、以下の様にして、式をs,t,uであらわす変形を行ないます。
sで因数分解ができました。

ただし、変数x,y,zの式を変数s,t,uの式に変換する式の変形において、式の対称性を維持しつつ変形すると、以下のようになり、より優れた解答が得られます。
こうして、sで因数分解ができました。

 ここで、このsの右に掛かる項は因数分解しなくて良いのでしょうか。
 この問いに対する答えは、
「その項も因数分解しなければいけません」
です。
 この因数分解が難しいのでその計算は求められない場合が多いと思います。しかし、因数分解の精神としては、この式も因数分解しないといけないという基本精神は歪めないで、しっかり心に刻んでおいてください。
 この因数分解は難しいですが、2000年頃は高校で教えられていたようですので、この因数分解もできるようにしましょう。
 この項を因数分解するために多大な試験時間を浪費する危険を防ぐために、
以下に、この式の因数分解の答えを書きますので、答えを覚えて、その答えだけを書くようにして下さい。

この因数分解の覚え方は以下のようにします。
最初の式:
+y+z−3xyz
のyを(ωy)に置き換えて、zを(ωz)に置き変えた式が、
+(ωy)+(ωz)−3x(ωy)(ωz)
=x+y+z−3xyz
となって、最初の式と同じ式になる。
一方、
yを(ωy)に置き換えて、zを(ωz)に置き変えた式で計算すると、
置き換え前の計算で、因数分解の1つの項のs=(x+y+z)を導き出したのと同様に、
置き換え後の計算でも、因数分解の1つの項のs’=(x+ωy+ωz)が導き出される。
 このパラメータの置き換えをしても、最初の式は変わらないので、置き換えたパラメータを基礎にして得た因数分解の項s’=(x+ωy+ωz)もまた、最初の式の因数分解の項である。
と考えて覚えてください。

 因数分解したカッコの中の式では、xにだけωが掛からないので、式がx,y,zに関して対称な形で無いので気持ちが悪いという人は、以下のように式を変形してみましょう。


 この因数分解の結果を見ると、完全に因数分解された式は、s,t,uだけであらわすことはできませんでした。最初の式をs,t,uの関数fであらわす計算手法は、最初の因数分解の項sを導き出すときだけに通用しました。


(補足1) この完全な因数分解を解く計算は、以下の様に考えて解くのが良いと考えます。
【解】
この問題は難しいので、先ず、z=0の場合を以下の様にして解く。
ωは複素数平面(高校3年で学ぶ概念です)上で以下の様にあらわされます。
こうして、z=0の場合は、完全に因数分解できました。
zが0で無い場合は、zはこの式のどこに入ってくるでしょうか。
以下の式はどうでしょうか。
この左辺の式のx,y,zを以下の様に置き換えても式が変わりません。そして、この右辺の式も、置き換えによって変わりません。
そのため、この式が確からしいことがわかります。
左辺の式の因数の1つが、
 であることを以下で確認してみます。
それは、この因数が0になる以下の式を左辺に代入して左辺が0になることで確認できます。
左辺が0になったので、因数の1つが確認できた。
左辺の式の因数のもう1つが、
 であることも同様にして確認できます。

(直接因数分解する計算方法)
 なお、予測した因数分解の答えに合わせて、以下の様に式を展開することによって、式を直接に因数分解することができる。
(解答おわり)



(補足2)
 この因数分解を応用すると、
3次方程式の解を媒介する定数sとtの存在が示される。

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2013年12月19日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(49)変則正弦定理


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下の三角形ABCの余弦定理に対応した形の変則正弦定理も覚えておくと安心感の足しになると思います

三角形の辺の長さa,b,cであらわした変則正弦の定理は、余弦定理を使って、以下の計算をすれば導くことができます。
(証明おわり)

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計算ミス対策(48)図形をおぼえる


計算ミスを無くす方法
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 的確なアドバイスと思います。

 以下の三角形ABCと円との角度の関係は基本的な定理ですが、この図をよく覚えておきましょう。


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2013年12月18日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(47)図形を変形して定理をチェック


計算ミスを無くす方法
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とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 的確なアドバイスと思います。

 三角形ABCの正弦定理は基本的な定理ですがその定理の記憶も怪しくなりますので、チェックしてから使いましょう。


この問題で、三角形の外接円の半径Rに関する正弦定理は、外接円の直径(2R)を使ってあらわすことも可能ですので、そのバラエティも視野に入れて正弦定理を直径でもあらわせる定理と把握してしまうと、直径を使った式と半径を使った式では係数が異なりますので、どうしても定理の係数があいまいになってしまいます。

 それで、正弦定理の係数を覚えるよりは、問題に使う長さR(あるいはD=2R)に応じて、毎回、正弦定理の係数をチェックしてから使うようにします。 

 上の図のように∠Aが直角の特別な場合の正弦定理を考えて係数をチェックします。
 上の図から、この場合の式の係数は1/2であることがわかりました。

 毎回のチェックを簡略化するため、下図の左の正弦定理のシンボルマークを、正弦定理の式の左に併記すると良い。


 こうして確認した正しい定理を使って計算することで、誤った定理を使うことでおきる計算ミスが減らせます。


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2013年12月17日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(46)図形を変形して定理をチェック


計算ミスを無くす方法
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とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、放物線に接する三角形ABPの外心(外接円の中心)位置のy座標(−b)を計算する問題を考えます。


この問題で、三角形の外接円の中心の高さ(b)を求める定理の式の記憶が怪しくなった場合の対処方法を教えます。
 定理の式が怪しくなったなら、その定理は怪しいままでは使ってはいけません。
定理で怪しい点は、係数が1なのか、1/2なのか、1/3なのか、1/4なのかの記憶が怪しいのです。
このように、自分の記憶を疑うことはよくおきます。
  計算を正確に行うためには、少しでも怪しい点があったなら、それが明確に分からない限りは定理を使わない覚悟が必要です。
 定理を明確にするため、以下のように、図形を変形して、特殊な図形を定理にあてはめて、定理の係数を求めます。


 上の図で定理の係数が1/2だと確認できたので、安心してこの定理を使って問題を解くことにします。


 こうして確認した正しい定理を使って計算することで、誤った定理を使うことでおきる計算ミスが減らせます。


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2013年12月03日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(45)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、放物線と直線の交点を計算する問題を考えます。


この問題では二次方程式を解くので計算ミスをし易いです。
 ここで、放物線Cと直線mの交点のX座標は、直線mと同じ傾きの放物線の点のX座標を中点に持つ知識を使うと、以下のように解き方がやさしくなります。

@: 直線mと同じ傾きの放物線上の点AのX座標を計算した。
A: その点のX座標(原点とのX座標の差)を2倍にした点が、直線mの放物線との交点Bです。

 この計算では二次方程式を解く計算をしないので、計算ミスが減らせます。



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2013年12月02日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(44)グラフが単純になる座標系で計算



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・グラフが単純な式であらわされる座標系に変換して計算する

数UBの【大問2】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
新しい座標系XとYで見ると、グラフが単純に見えるので、この座標系を使って問題を解きます。
座標系XとYで見ると、グラフの極大と極小の座標が単純に見えます。その(X,Y)座標を(x,y)座標に変換して問題の解答を書きます。
極大点と極小点と原点を通る放物線の式を(X,Y)座標で求めた。
その放物線の式を(x,y)座標の式に変換して問題に解答する。


以下では、接線lの式を(X,Y)座標系で求め、その式を(x,y)座標系の式に変換する。
次に、(x,y)座標系で、接線lに垂直な直線mの式を求める。



(X,Y)座標系で、放物線Dと直線lで囲まれる領域の面積を求め、
その面積を、(x,y)座標系での面積に変換する。

ここで、放物線と直線で囲まれるグラフの面積はその全体を囲む斜交矩形の面積の2/3である知識を使うことで計算を省く。
 その知識を使って、以下のように計算する。
@: 直線lと同じ傾きの放物線の点のX座標を計算した。
A: グラフにそのX座標を書き込む。Y座標は0です。
B: その点のX座標(原点とのX座標の差)を2倍にした点が、直線lのもう1つの交点Bです。
C: その交点BのY座標もわかる。
D: 直線lと同じ傾きの放物線の点と同じX座標の直線lの高さを求める。

こうして、(X,Y)座標系で、放物線Dと直線lで囲まれる領域の面積SXYを求め、
その面積を、(x,y)座標系での面積Sに変換した。


直線mと放物線Cの交点の計算については、(x,y)座標系で、以下のように計算する。



(解答おわり)

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2013年12月01日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(43)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下の図のように、点Pから放物線に2つの接線を引いた接点Aと接点Bとのグラフの長さや面積の関係を覚えてしまいましょう。


(1)点PのX座標と接点AのX座標の差Xは、点Pと点BのX座標の差に等しい。その値Xは、下側の図の放物線の高さhが、上側の図の放物線の点P上の高さhと等しい場合のX座標と等しい。

(2)放物線と接線で囲まれる部分の面積Sは、点Pの右側と左側とが等しい。その面積は、矩形Xhの面積の1/3に等しい。

 これらの関係は覚えてしまって、放物線の部分の面積の計算の際に、この関係を使って素早く面積を計算できるようにしましょう。

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2013年11月30日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(42)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、放物線のグラフの長さや面積の関係を覚えてしまいましょう。

(1)放物線の端の傾いた扇形の高さ(厚さ)hは、放物線の中央での扇形の高さ(厚さ)hと同じです。

(2)放物線の部分の面積SとSは、矩形Xhの面積を1:2に分割した面積です。その面積は、放物線の端の扇形が傾いた形の図形でも、放物線の中央の図形でも変わりません。

 これらの関係は覚えてしまって、放物線の部分の面積の計算の際に、この関係を使って素早く面積を計算できるようにしましょう。

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2013年11月29日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(41)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、放物線のグラフをあらわす式を間違えないように、放物線の形と2次関数の式との対応をしっかり覚えておきましょう。

(1)x軸に関して放物線@と対称な放物線はAです
Y座標のプラスマイナスを置き換えた式になることをしっかり覚えましょう。

(2)y軸に関して放物線@と対称な放物線はBです
X座標のプラスマイナスを置き換えた式になることをしっかり覚えましょう。

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2013年11月28日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(40)分数は必ず文字に置き換えて計算



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・分数係数等の複雑な数値は文字に置き換えて計算する

数UBの【大問2】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
放物線Dの接線の式を求めます。

放物線が(0,b)を通る場合を考える。
分数1/3はwに置き換えて単純化して計算すること。
(分数は、必ず、単純な文字に置き換えて計算してください)


放物線Dがx軸に接する場合を考える。
ここで、分数(1/3)は、必ず、文字wに置き換えて単純化してください。
分数を係数にした式の計算を続けると計算ミスをしますので、
その計算ミスを避けるために、(1/3)≡wとするパラメータwに分数を置き換えて以降の計算をします
こうすれば計算ミスを少なくできます。


(解答おわり)

 ここで、この設問の解答欄も、この文字wで分数をあらわした解答のままの解答を書くことを求めていました。
 この問題のパターンから、この問題の出題者は、明らかに、分数(1/3)を文字wに置き換えて問題を解く事を求めていることがわかります。

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2013年11月27日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(39)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、放物線のグラフをあらわす式を間違えないように、放物線の形と2次関数の式との対応をしっかり覚えておきましょう。

(1)放物線がx軸に接する場合のグラフは以下の形の式になります。
y=X
の形になることをしっかり覚えましょう。


(2)放物線が原点(0,0)を通る場合のグラフは以下の形の式になります。
y=x(x+p)
の形になることをしっかり覚えましょう。



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2013年11月25日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(38)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、3次関数のグラフと2次関数(放物線)のグラフが接する場合の図を覚えておくと、迷わず図が書け、計算が楽になり計算ミスが少なくなります。


 3次関数のグラフに接する2次関数(放物線)のグラフの図を書くには、先ず、上の2番目の図の、グラフの差のグラフを考えます。
 差のグラフも3次関数ですので、このような図が書けます。
 その差のグラフから、上の1番目の図が書けます。


 3次関数のグラフに接する2次関数(放物線)のグラフの図は、上の図のように接する場合の図も書けます。


 3次関数のグラフに接する2次関数(放物線)のグラフの図は、更に、上の図のように接する場合の図も書けます。


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2013年11月23日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(37)文字の塊を一つの文字に置き換え



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・平方完成の分数係数(1/4)は記号で単純化して計算する
・ややこしい文字式の文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする

(文字の塊を一つの文字に置き換えことで図の数値の記載の表現が簡単になる。
置き換えた文字で自由に解答を表現でき、式の見直しがし易くなる)

数TAの【大問2】の解答を、以下のように、更に改善しました。


この問題で平方完成用いて解く際に出てくる分数係数(1/4)を記号uに置き換えて計算式を単純化します。










(解答おわり)

 この問題の計算では、1/4を置き換えた記号uをたくさん使いました。これらの記号uを全て元の係数(1/4)で書くとしたら、ゾットします

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2013年11月22日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策ルール(36)


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
です。
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


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計算ミス対策(35)複雑な式は記号で単純化


<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・(a+2)程度の複雑さの式も記号で単純化する
・記号で単純化した式で計算を楽に速くミスなく行なう


数TAの【大問2】です。



この程度の複雑さの式(a+2)も記号pで単純化する。
図も、この記号pを使って見やすく描きます。






(大小記号<等の向きを変えないで式を変形する方がミスが少ない)

グラフがx軸の正と負とで交わる場合は、x=0でのyの値>0となる場合である。










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2013年11月20日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(34)平方完成の分数係数は記号で単純化



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・平方完成の分数係数(1/4)は記号で単純化して計算する

数TAの【大問2】です。


この問題で平方完成用いて解く際に出てくる分数係数(1/4)を記号uに置き換えて計算式を単純化します。










(解答おわり)

 この問題の計算では、1/4を置き換えた記号uをたくさん使いました。これらの記号uを全て元の係数(1/4)で書くとしたら、ゾットします

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計算ミス対策(33)前後式の各項対応を視線でチェック



<計算の仕方を工夫>
・変形した前後の式の各項が対応し欠けが無いか視線でチェック。
・設問に書いてある式も、視線で照合するために、自分の手で書く。

以下の問題を解くとき、以下のようにチェックします。




 式への代入の前後の式で、各項が全て対応していて欠けが無いかを視線でチェックする。
 このチェックをするために、先の1行(y=−4x−1)を自分の手で書くこと。
(視線は自動的に設問を無視し、自分の手が書いた式のみを視線がチェックするため)


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2013年11月19日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(32)平方完成の分数係数を記号で単純化



<計算の仕方を工夫>
・平方完成の分数係数を記号で単純化して計算する

以下のように、平方完成の際に出てくる分数1/4を記号uで単純化する。


以下の式の平方完成でも分数1/4がでてくるので、分数をuに置き換えて単純化する。

以下の式でも、分数をuに置き換えて単純化する。

 このように、分数1/4を記号uで置き換えて式をあらわすと、式の形が単純になり計算ミスが減ります。
 式の形が単純になると計算ミスが減る理由は、式同士を視線が容易に対比させて、式同士の対応部分を視線が把握しやすくなるからです。


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2013年11月18日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(31)分数係数を記号で単純化



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・分数係数等の複雑な数値は記号で単純化して計算する

数UBの【大問4】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
ベクトルを分解した道を視線でたどって、ベクトルの和を求めます。
直線が交差することをベクトル方程式を立てて計算する問題です。
ここでは、別解として、水平面FMLに垂直な法線ベクトルへの射影(水平面上の高さ)を利用して計算します。


これで、S=2/3の点で直線が交差することがわかりました。
次に、ベクトルOPを計算します。




ここで、ベクトルの係数に分数(1/3)が掛かった複雑な式が出てきました。
分数を係数にした式の計算を続けると計算ミスをしますので、
その計算ミスを避けるために、(1/3)≡uとするパラメータuに分数を置き換えて以降の計算をします
こうすれば計算ミスを少なくできます。


新しい点Hを図に書き加えます。 





(解答おわり)

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2013年11月16日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(30)ベクトルを分解する道を視線でたどる



<図形問題の計算の仕方の工夫>
・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
・設問中に書いてある式であっても自分の手で書く。


数UBの【大問4】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
その図を見てベクトルをあらわす式を書きますが、以下のようにベクトルAEを分解する道AOEを視線でたどります。

 そして、道AOの向きがベクトルaと逆方向に進むことを確認してベクトルaにはマイナスを付けて式を書くようにします。
 こうすることで、思い込みによりベクトルaの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

 ベクトルDBも同様に、ベクトルを分解する道DABを視線でたどります。
 そして道DAの向きがベクトルaと同じ方向に進むことを確認してベクトルaにはプラスを付けて式を書くようにします。

こうして、以下の式を書きます。 

ここで、ベクトルAEの式は設問中に記載されていますが、同じ式であっても自分の手でこの式を書いておきます。
 自分の手で書く理由は、視線が計算をたどる際に、視線は自動的に自分で書いた式をたどり、設問に記載された式は無視します。そのため、視線が無視しないために、必要な式は自分の手で書いておく必要があります。 




先ずθの範囲を計算する前に、先行検算として、下図のように図を描いて、
@: θの下限を概算して、
θ≧π/3
くらいに、θの下限の値の見当をつけます。θの計算結果はこの値に近くなければなりません。

次に、上図のように図を描いて、
A: θの上限を概算して、
θ≦2π/3
くらいに、θの上限の値の見当をつけます。θの計算結果はこの値に近くなければなりません。




問題が新しくなりましたので、新たな図を書き加えます。
ここで、
というふうに、「ベクトルOFが云々」と書いてありますが、このベクトルOFは直ぐ分かるわけでは無く、
これは、(お待ちかねの)ベクトル方程式を解いてベクトルOFを求めよ、という問題です。

そういう問題であることが分かったので、ここでは、ベクトル方程式の別解として、
水平線DBに垂直なベクトルへの射影の長さ(高さ)を利用して、
EF:FAを先に求めて、
その結果を使ってベクトルOFを計算することにします。

先ずは、t=1/2と求まった結果を反映した新しい図を描きます。



(解答おわり)

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2013年11月15日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(29)数値は記号で単純化



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・図の数値は記号で単純化する
・記号で単純化した式で計算を楽に速くミスなく行なう


数TAの【大問3】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
図を描く際に、複雑な数値の√7や√3を、記号cとaを単位にしてあらわすことで図の書き込みをきれいにします。

先ずxを計算する前に、先行検算として
@: xを概算して、
x≒2c
くらいに、xの値の見当をつけます。xの計算結果はこの値に近くなければなりません。

図の数値の記載を記号で単純化した事を式にも反映して、式も記号で単純化した式を書きます。
単純化記号は計算を楽にし、計算が速くミスなく行なえるようになります。

問題に解答するために、自分の楽な計算から少し脱線して答えを計算しますが、再び自分の楽な計算に戻るようにします。

(解答おわり)

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