勉強しようNTTのBlog - 2013/01

算数の問題と解答とを考えていきます。




2013年01月29日(Tue)▲ページの先頭へ
高校物理:回転するパイプを通る物体に加わる力
「高校物理の発想の基本」
「運動ベクトルに、そのベクトルの方向に垂直なベクトルを加え続けると、
運動ベクトルの方向が変わるが、運動ベクトルの大きさは変わらない」という定理があります。

そして「運動ベクトルの方向に垂直なベクトルを加え続ける」ということは、運動方向に垂直な力を加えるということです。

この定理は、物理の問題で出題されます。

 この定理の1つの観点は、遠心力です。遠心力は高校物理で教わります。
 この定理のもう1つの観点はコリオリの力です。コリオリの力は高校物理で教えません。しかし、遠心力の背後にこの定理がある事を知ってもらいたいので物理の問題で出題されることがあります。

 コリオリの力の計算は間違えやすい問題ですコリオリの力を計算する例として、以下問題を解きます

【問題】
 上図のように、角速度ωで回転するパイプの中で、圧縮空気で質量Mの物体を加速して、そのパイプの回転の中心点の位置を速度vで通過させます。物体はパイプの内径とほぼ同じ太さの弾丸とします。また、パイプの内壁面には摩擦が無いものとします。そのとき、物体Mが、回転の中心点の位置にある際に、パイプの内壁面から受ける力Fを計算しなさい。

【解答】
 上図のように、物体Mは摩擦の無い壁面からは、その壁面に垂直な方向にしか力が加わりません。
(また、上図で注意する点は、パイプの中を進む物体の速度ベクトルは、回転の中止から遠ざかる方向の成分のほかに、それに垂直な方向に、回転するパイプの各位置が進む回転の速度と同じ大きさの速度の成分を持つことです)


(回転座標系で観察しても、速度ベクトルに垂直な壁からの力の方向は静止座標系の場合と同じ方向を向きます)
 回転座標系で物体の面に垂直方向に加わる力は、静止座標系でも同じ方向に同じ力が加わります。ただし、速度については、回転座標系で観察すると、静止座標系とは速度が異なります。
 回転座標系で見る場合は、壁面に垂直方向に力が加わるということは、物体Mに、速度ベクトルに垂直方向に力が加わることです。それにより、物体の速度ベクトルの方向が変わり得ますが、パイプの中を進む限り、回転座標系で観察する場合は、速度ベクトルの方向は変わりません。この現象を解釈すると、別のところから物体の速度ベクトルの方向を変えようとする力(コリオリの力)が物体Mに加わっていて、その力を壁面から垂直方向に加えた力が打ち消していると解釈できます。

(物体の速度ベクトルに垂直方向に力が加わる場合に速度の大きさが変わらない理由)
 速度ベクトルに垂直方向に力を加えて、微少時間dsあたりに速度ベクトルvの方向が微少な角度ω・ds=θのオーダーで変わる場合に、速度ベクトルの変化量は、多くてもθ程度の微少量しか変わりません。
 微少な角度θを小さくし、その影響を1/θ倍すれば、速度ベクトルの方向の変化は微小でなくなります。しかし、その場合でも、速度ベクトルの大きさはθ程度の微少量しか変わり得ません。
 そのため、結局、角度θを微少にした極限で考えると、速度ベクトルの大きさは変わらないことがわかります。

(回転の中心部分において速度ベクトルの方向を変える力の計算)
 速度ベクトルは、
(1)回転によるパイプの方向転換による速度の変化と、
(2)物体が運動して回転中心から離れた位置に移動することにより、回転座標系の座標点の回転速度が加わることによる速度の変化、
とで、速度が変わります。


 それにより速度が変わる物体の加速度は、2vωです。
そのため、力F=2Mvωが、速度ベクトルvに垂直方向に加わります。
 こうして、物体Mが、壁面から、その進行方向に垂直な方向の力(2Mvω)を受けて、速度ベクトルの方向を変え続けます。
 その力Fは、上式のように2Mvωで与えられ、速度ベクトルの方向を変化させ続けます。

 なお、回転の中心点の近くでは、物体Mは、回転の中心に向かう方向に対して垂直な方向の速度の成分が0ですので、遠心力は働きません。

(物体を更に加速する力はどこから来るか)
 物体Mは、パイプの中を運動しながら、パイプの中心のまわりに回転させられますから、回転座標系で観察すると、遠心力が加わり、速度を増します。
 この現象を静止座標系で観察すると、物体Mは、パイプの軸方向とは異なる方向の速度ベクトルを持っています。その速度ベクトルに対して、パイプの軸に垂直方向に力を加えます。その加えた力は速度ベクトルに垂直では無いので、速度ベクトルを大きくし、物体が加速します。

(コリオリの力)
 ここで、コリオリの力を説明します。パイプ及び物体Mと一緒に回転する観察者から見ると、物体Mはパイプの中で、パイプの方向に向けて真っ直ぐに運動させたのに、その物体Mがその真っ直ぐな軌道からずれようとするので、パイプ中を真っ直ぐに進ませるためには、絶えずパイプの壁面から力を加えてやらなければならないのです。
 これは、物体Mに真っ直ぐな方向から外れさせる力(コリオリの力)が働いている、と解釈できます。

 なお、コリオリの力と遠心力は、物体の運動速度の方向に垂直な方向に(みかけ上)加わる力の、別のあらわれです。
 遠心力は、回転座標系で観察すると静止して見える物体に加わるみかけ上の力です。
 コリオリの力は、回転座標系で観察すると運動しているように見える物体に、遠心力以外に加わるみかけ上の力です。
コリオリの力は、運動方向に垂直な方向に加わるみかけの力で、それは、速度と回転の角速度に比例する、遠心力の2倍の大きさで、また、どの方向の運動に対しても同じ大きさの力が加わります。

(遠心力の大きさの式のMvωにおける記号vは、回転中心のまわりを回転して(遠心力を求める)所定の物体が静止しているように見える回転座標系の、座標点の回転速度。コリオリの力の大きさの式の2Mvωにおける記号vは、座標点ではなく、その回転座標系で見て、運動しているように見える物体の運動速度です。)

 静止座標系で同じ大きさの速度でも、速度の方向が異なれば、回転座標系で観察すれば、速度の大きさが異なって見えます。
 例えば、回転座標系の座標点の回転速度と同じ速度で進む物体は、回転座標系では、静止していると観察されます。
 また、静止座標系では静止している物体は、回転座標系では、回転座標系のその物体の位置の座標点の回転速度と逆方向にその回転速度で運動する物体であると観察されます。そして、その物体には、遠心力と、その(みかけの)速度に応じたコリオリの力が働き、コリオリの力が遠心力の2倍で遠心力と逆な方向に加わるので、その合計は求心力になります。
 回転座標系で、座標点の回転速度と逆方向にその回転速度で運動する物体には、回転中心に向かう(みかけの)向心力が働くように見えるので、その物体(静止座標系で静止している物体)は、回転座標系では、絶えず運動速度の方向を変えて、回転座標系の回転の中心を中心とする等速円運動をします。

 コリオリの力と遠心力を加えて考えれば、回転座標系でも、静止座標系と同じように、力と運動の関係を考えられるようになります。コリオリの力まで考えることで、回転座標系の力と運動の関係が矛盾なく完全に理解できるようになります。

【リンク】
「高校物理の目次」



2013年01月28日(Mon)▲ページの先頭へ
高校物理:球の頂上からすべり下りる問題
「高校物理の発想の基本」
「運動ベクトルに、そのベクトルの方向に垂直なベクトルを加え続けると、
運動ベクトルの方向が変わるが、運動ベクトルの大きさは変わらない」という定理があります。

この定理は、「遠心力の法則」とも呼ばれています。

そして「運動ベクトルの方向に垂直なベクトルを加え続ける」ということは、運動方向に垂直な力を加えるということです。

この定理は、物理の問題で活躍します。

この定理を証明するのは簡単ではありませんので、
この定理を使う必要がある問題が出たら、この定理を使う問題だと悟って、
遠心力の定理を使えるようになってください。

遠心力の定理を適用しないでその問題を解こうとすると、結局は遠心力の定理の証明をする作業が必要になって、多くの時間を使うことになってしまいますから、、、

 この定理の練習問題を以下に示します。

【問題】
 上図のように、質量Mの物体を、半径がrで摩擦力が0の球面の頂上A点の近くから下にすべり落とす場合を考えます。
 その際に、その質量Mの物体が球面に接する位置と球の中心を結ぶ線が鉛直線から角度θを成す位置まで下りて来た位置で球面から受ける抗力の大きさ f を計算しなさい。

【解答】
 この物体Mに加わる力の総和の力(E)を計算します。
その力Eは、球の中心を向く成分Eを持つはずです。
 なぜなら、物体Mは球面に沿って運動しますので、球面の位置によって、球面に平行な運動の方向が異なるからです。
そのように運動方向が異なるのは、球面の中心に向かって物体を引っ張る遠心力(の逆の力:糸の張力等)が働くから運動方向が変わるのです。

 運動の方向が球面に沿って変わる問題ですので、この問題は遠心力の問題です。
くれぐれも、遠心力の公式を使い忘れることのないように注意して、この問題を解きます。

遠心力Eは、遠心力の法則で、上図の式のように、物体Mの速度と球の半径rとであらわせます。
一方、その遠心力は、物体Mの引力の、球の中心に向かう成分(cosθ)から、球面から物体を押す抗力fを引き算した力でもあります。

 これらから、球面から物体を押す抗力fが、遠心力と、物体Mの引力の球の中心に向かう成分(cosθ)であらわせました。
 この力を以下の式のように変形します。
物体の運動エネルギーが高さhの位置エネルギーであらわせることを利用して式を変形します。

こうして、上式で、求める抗力fが角度θの関数であらわせました。

 なお、この抗力fが0になる位置で、物体Mは球から離れて、そのまま空中を落下します。

【リンク】
「高校物理の目次」



2013年01月27日(Sun)▲ページの先頭へ
高校物理:曲面で曲げたひもの張力はどこでも同じ
「高校物理の発想の基本」
「ベクトルに、常にそのベクトルの方向に垂直な微少ベクトルを加え続けて積分すると、
ベクトルの方向が変わるが、ベクトルの大きさは変わらない」という定理があります。

 その定理の結果、ひもを押し当てる曲面がひもに摩擦力を加えないならば、
その曲面の形がどのような場合でも、その曲面で曲げられるひもは、どの部分でも張力が同じ値になります。

 この定理の証明は簡単ではありませんが、試験問題を解く場合の前提知識として知っておいた方が良いと思います。
 そのため、この定理を以下で導出します。


 例えば上図のように、ひもの左側の張力がFである場合に、このひもが曲面で角度2θだけ曲げられる場合を考える。

 このひもには、曲面からひもの張力の方向に垂直な方向に加わる抗力F、F、Fが加えられるものとします。この力は無限に細かく分解して各細部に加わりますが、無限に細かくするのが大変なので、力を3つだけに分解して図に示しました。

 そうすると、ひもが張力で左側に引っ張られる力F(力の絶対値をfとする)と、右側に引っ張られる力F(力の絶対値をfとする)と、曲面からひもに加わる力とが釣り合う条件が式1であらわせます。
 この式1で、曲面からひもに加わる力は、3つに分解して考えますが、そのように3つに分解した各力の絶対値はfで値が等しいものとします。ただし、その3つの力の方向は、場所により微妙に異なります。
 この各力は、以下の式であらわせます。

 この各力の式を式1に代入して以下のように計算すると式2が得られます。そして、その式2から式3と式4が得られます。

 この式4を以下のように変形すると式5が得られます。その式5を式3に代入して計算すると、以下の式6が得られます。

 この式6から、以下の式7のように、ひもの右側の張力Fが左側の張力Fと同じ大きさであるという結論が得られます。
 これで、定理が導かれました。

 なお、この式7を式5に代入すれば、曲面からひもの張力の方向に垂直な方向に加わる抗力F、F、Fの大きさをあらわす式8が得られます。

(補足)
 上の計算で、曲面からひもに加わる3つの力の絶対値がどれも等しい大きさfであると(物理問題研究者の都合で)仮定しました。そのように、わからない量については、とりあえず値を仮定してしまい、1つの結論が得られたら、その仮定が無くても同じ結論が得られるか調べていくのが、物理研究のやりかたです。この例の場合では、この3つの力の中央の力の大きさだけが残りの2つの力と大きさが異なるものとして計算しても、やはり、ひもの右側の張力Fが左側の張力Fと同じ大きさであるという結論が得られます。

(補足2)
 上の図を、θが十分小さい角度の場合とし、その場合を1/θ倍連続して行なうことで方向を変える場合を考えます。
 そして、θが十分小さい角度の1つの場合の、曲面からひもに加わる抗力のFとFの大きさがθの割合で異り、それを1/θ倍連続して行なうことで、曲面からひもに加わる力の大きさが場所によって異なる場合を考えます。
 その場合は、1つの図の場合で、fとfはθ程度の割合で異なります(このことを導出する説明は省略します)。しかし、それを1/θ倍連続して行なっても、ひもの左端の張力fと、1/θ個目の図のひもの右端の張力fとは、θ/θ=θ程度の微少量の割合でしか異なりません。
そのため、θを充分小さくした極限では、ひもの左端の張力fと、1/θ個目の図のひもの右端の張力fとは同じ値になります。


【リンク】
「高校物理の目次」



高校物理:単位の積が合っていることをいつも確認する
「高校物理の発想の基本」
式の各項毎の単位の積が全ての項で合っていることをいつも確認する

例えば上の問題の式を考える。この式で、gは重力加速度です。

 この問題の式は、質量mの玉の位置エネルギーと運動エネルギーの和がいつも一定という、エネルギー保存の法則をあらわしています。

(重要な注意。ここで、この玉は、回転しないで滑って進む場合は、上の式で正しいのですが、回転する玉の場合は、回転の運動エネルギーも合わせたエネルギーの保存の法則の式を用いなければなりません。回転運動のエネルギーの計算は大学で教わる範囲ですので、高校レベルでは解けません。玉が滑らない場合の回転の運動エネルギーは並進運動の運動エネルギーの40%ありますので、その補正が必要です。)

 物理で式を使って問題を考えるときは、
式の各項の単位の積が、全ての項で合っていることを、いつも確認します。

 式1の問題を易しくするために、上図の式2と式3のように、式を単位の積にして考える。
 そのように、いつも、式の一番易しい観点の単位の積を確認する。自分は、単位の積を合わせるように式を変形していくだけで良いのだと心をおおらかにする。

(問題を、いつも、一番やさしい観点から一貫して観察する(この例では、単位の積を式の計算と同時に確認する)のが、物理を研究する大切なポイントです)

 このように式1を単位の積に簡単化すると、位置エネルギーの式2の単位の積と、運動エネルギーの式3の単位の積が一致しているので、式1のエネルギー保存の式が正しいことがわかります。


【リンク】
「高校物理の目次」



2013年01月26日(Sat)▲ページの先頭へ
高校物理:問題を、分かりやすい問題に変換する
「高校物理の発想の基本」
問題を、分かりやすい問題に変換する

例えば上の問題を変換する例を考える。

この問題は、壁にあいた穴にひもを通して、壁の外から引っ張る問題です。

この問題と下の問題を同じ問題であると発想する。

更に、この問題と下の問題を同じ問題であると発想する。

ひもに壁からの摩擦が無いと仮定して問題を易しくする。そのために、上図のようひもを滑りやすくする滑車を壁の頂上に設置して考える。そのように自分に都合の良い仮定を加えて問題をやさしく変えてしまっても良いのだと心をおおらかにする。
(問題をやさしい問題に変えてしまうのが、物理を研究する大切なポイントです)

次に、上図のように、壁の頂上でひもと接する滑車だけを考え、壁の存在は無視する。
そうすると、問題は、滑車とひもの問題に簡単化される。
このように問題を簡単化すると、各部分の紐の張力Fが、式1のように、どこでも大きさが同じであることがわかる。


【リンク】
「高校物理の目次」



2013年01月22日(Tue)▲ページの先頭へ
三角形の辺と角の等式をベクトルで証明


「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題をベクトルを利用して解きます。
【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)−b・cos(A))=a2−b2

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos(B)−b・cos(A))−{a2−b2}=0

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題をベクトルを利用して証明します。
証明おわり。

 この問題はベクトルを利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
二重根号のはずし方
三角形の面積を求める種々の式
(高校)三平方の定理
高校数学[三角比・図形]一覧
リンク:高校数学の目次



2013年01月14日(Mon)▲ページの先頭へ
第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習4解答


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習4】 

式1を代入
この式は練習1の方法で0にできる。


リンク:
高校数学の目次



第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習3解答


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習3】 

式2を代入
式1を代入
 =−1+1
 =0




リンク:
高校数学の目次



第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習2解答


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習2】 

式2を代入
式1を代入
この式は練習1の方法で0にできる。
すなわち

式1を代入
式2を代入




リンク:
高校数学の目次



第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習1解答


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習1】 

式1を代入する
式2を代入する



リンク:
高校数学の目次



2013年01月13日(Sun)▲ページの先頭へ
第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習問題


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【練習問題】半径1の球の中心Oと球面上の点A,B,C,Dとを結ぶベクトルを

とする(それらのベクトルについて式1が成り立つ)。

 それらのベクトルについて式2の関係が成り立つ場合に、以下の関係が成り立つことを計算して確認してください。

これらの関係が成り立つことは、ベクトルの内積の和と積の公式を利用すると、わりと簡単な計算で確認できると思います。

以下の関係式を簡単に確認できたら、ベクトルの内積の和と積の公式を使いこなせるようになっていることが確認できると思います。

簡単に解けなかったら、ベクトルの内積の和と積の公式がまだ身についていないのだろうと思います。

【練習1】 


【練習2】

【練習3】

【練習4】



リンク:
高校数学の目次



第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

「ベクトルの内積の式の変形問題を解くのが気が重い」という人は、以下のベクトルの内積の公式をおぼえていないので、式の変形計算が不自由なところに原因があるように思います。

そのため以下の公式をおぼえましょう。

 ただし、以下の式は教科書では、特に公式として強調しては教えていないので、以下の式を使う場合は、その式を以下のように導き出して使うようにしてください。


(0)先ず、ピタゴラスの定理を拡張した公式です。以下の図のように、ベクトルaとbを、互いに直交する単位ベクトルxとyに平行な成分に分解した場合に、ベクトルの内積が以下の式の項に分解できます。
例えば、内積が以下の式の項に分解できます。

(1)次に、内積を数値の和に変える第1の公式は以下の公式です。
この公式は、この式だけで暗算で導き出せるようにおぼえて下さい。
この第1の公式は、上図の式1の公式です。これは、余弦定理(式2)をベクトルの内積の形であらわした公式です。
 余弦定理をまだ覚えていない人は、このベクトルの内積の公式をおぼえて、この公式を余弦定理の形に変換して使えるようになってください。
 また、余弦定理を使って証明する図形の問題は、ベクトルの内積を利用すれば簡単に証明できる場合が多いです。

(2)次に、内積を数値の和に変える第2の公式を以下のようにおぼえてください。


(3)次は、数値の和を内積に変える公式です。
この公式も、この式だけで暗算で導き出せるようにおぼえて下さい。



リンク: 
高校数学の目次



   




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カレンダ
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