勉強しようNTTのBlog - 2013/08

算数の問題と解答とを考えていきます。




2013年08月31日(Sat)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の垂心の位置ベクトルを求める
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。 

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】
 三角形OABCの垂心Dの位置ベクトルを、ベクトルOAと、それに垂直なベクトルhとであらわせ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、

点A(a,0)、点B(a,h)とする。
【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルbとqとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルbとqを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルbとqが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

しかし、以下では(1)の秘訣は使わずに問題を解いてみます。

【解答】
ベクトルOBを、ベクトルOA=aと、それに垂直なベクトルhとであらわす。

求める位置ベクトルODは、以下の式(2)であらわせ、更に、式(3)でベクトルaとhであらわせます。この式で係数kが未知数です。 
三角形の点AからDまでいたるベクトルqは、以下の式で計算できる。
三角形の一辺OBのベクトルbとそれに垂直なベクトルqの間には、以下の式(5)の関係がある。この式(5)に式(1)と(4)を代入して計算する。
式(6)を更に変形する。

式(7)で求めた未知数kを式(2)に代入して求める位置ベクトルdが得られた。
上の式(8)の形に留めた方が式がわかりやすい形に見えたが、式(9)の形にまで変形すると、垂心のベクトルa上の高さの公式が見えてきた。
 この式(9)の方が良い表わし方の式であることを理解するには、この問題を解く前に答えを予測する計算をする事が望ましい。
(解答おわり)


リンク:
高校数学の目次



2013年08月30日(Fri)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の外接円の中心の位置ベクトルを求める
大学への数学「ベクトル」編の勉強

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】三角形OABの外心(外接円の中心)Dの位置ベクトルをもとめよ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、点A(a,0)、点B(b,b)とする。

【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「2次元空間の全てのベクトルは、2つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、2つのベクトルを決めて、そのベクトルの係数を計算することで求める。


【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルbとqとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルbとqを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルbとqが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

しかし、以下では(1)の秘訣は使わずに問題を解いてみます。


【解答】
2つの独立なベクトルとして、ベクトルOAとベクトルOBを用いることにする。
そして、求めるベクトルODを以下の式(1)であらわす。

外接円の中心Dの位置ベクトルODは、線分ABの垂直二等分線と線分BCの垂直二等分線との交点であるので、以下の式(2)(3)(4)の関係がある。
式(3)に順次に式(2)と(1)を代入して計算する。
式(4)に順次に式(2)と(1)を代入して計算する。
式(5)と(6)を連立して係数sとtを計算する。
式(7)と(8)を式(1)に代入してベクトルODをあらわす。
(解答おわり)


【補足研究】
上の解答を、ベクトルaと、それに垂直なベクトルgとであらわしてみます。
ベクトルbは以下の式(10)であらわされます。式(10)を(9)に代入して計算します。

この式(11)のベクトルaとベクトルbの内積にベクトルの要素を代入して計算する。
式(12)で、ベクトルODが、ベクトルaと、それに垂直なベクトルgとであらわせました。

ベクトルgの係数が0になる場合は、三角形OABの∠Bが直角の場合です。
∠Bが90°より小さいと、ベクトルgの係数が0より大きくなり、
∠Bが90°より大きいと、ベクトルgの係数が0より小さくなります。

 上の研究の結果、式(12)であらわした方が、式(9)の解答よりも単純な式になりました。しかし、式(9)を変形して式(12)のように単純な式を得るには、ベクトル方程式の計算パターンだけではわかりません。
 式(12)を見出すには、ベクトルODをどのベクトルであらわそうとするかの、答えをどういう視点でとらえようとするかの、解答者の意思に依存します。
 以下の問題2では、そのような「意思」を定めた後の解き方を示します。

【問2】
 三角形OABの外心(外接円の中心)Dの位置ベクトルを、ベクトルOAと、それに垂直なベクトルgとであらわせ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、点A(a,0)、点B(b,b)とする。

求める位置ベクトルODは、以下の式(13)で、ベクトルaとgとであらわせます。この式で係数kが未知数です。 
三角形の一辺のベクトルOBは、以下の式(14)で、ベクトルaとgとであらわせる。
三角形の一辺OBの垂直二等分線でDまでいたるベクトルqは、以下の式で計算できる。
三角形の一辺OBのベクトルbとそれに垂直なベクトルqの間には、以下の式(16)の関係がある。この式(16)に式(15)と(14)を代入して計算する。
式(17)で求めた未知数kを更に変形する。
式(18)で求めた未知数kを式(13)に代入して求める位置ベクトルdが得られた。
(解答おわり)


リンク:
高校数学の目次



2013年08月28日(Wed)▲ページの先頭へ
極点から引いた円への接線の接点の位置ベクトル
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。 
 
「大学への数学」の勉強

【問2】座標原点Oを中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。
ただし、下図のベクトルOPは、べクトルOAに垂直で、その絶対値がベクトルOAと同じ値aであるものとする。

なお、接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。
また、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。
 そして、極線上の点Qと極Aのベクトルの間に、上図の式(4)が成り立つことがわかっているものとする。


【解答】
 以下の関係が成り立つ。

点Bが円の上にあることから、以下の関係が成り立つ。
式(7)に式(5)と(6)を代入する。
よって、接点BとCの位置ベクトルは以下の式であらわせる。
(解答おわり)


リンク:
点Pを極とする円の極線の作図サイト
高校数学の目次
複素数平面での円の極と極線



2013年08月26日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトルの直線と点との距離及び三角形の面積


「大学への数学」の勉強

【問】下図のように頂点の1つが原点Oにあり、他の2頂点が、A(a,a)とB(b,b)である三角形OABの点Bと辺OAとの距離hを求めよ。
上図から、点Bの距離hは、式(1)のように、ベクトルOAに垂直なベクトルOPとベクトルOBの内積から求めることができる。

そして、三角形OABの面積は、式(2)のように、ベクトルOPとベクトルOBの内積によって求められる。


△OAB=(a−a)/2 (式2’)
このクロス積の形をした式は、行列式とも呼ばれています。

リンク:
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
追加講 三角形の面積と行列式
高校数学の目次



2013年08月25日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式による極と極線


「大学への数学」の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCを結ぶ直線を、
その直線上の点Qをあらわすベクトルと点Aをあらわすベクトルを使ったベクトルの式であらわせ。

ここで、線分OAの長さをaとする。

なお、接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。

一方、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

【解答】



(予備知識)
平面ベクトルの問題では、
「平面上の全ての点が、2つの独立なベクトルを(係数を掛け算して)合成することであらわせる」
という原理を利用して問題を解きます。

この問題では、ベクトルOBとベクトルOCで直線BC上の任意の点Qの式を以下の式であらわします。

ベクトルであらわす直線の式はもう1つのあらわし方があり、
それは、直線の式(3)に、その直線に垂直なベクトルを(内積で)掛け算した式です。 そのため、試しに、多分BCに垂直と思われるベクトルOAを式(3)に掛け算して、どうなるかを調べてみます。

上の計算で、式(1)と(2)を代入して使いました。

式4は、任意の点Q(パラメータtの任意の値で)に対して成り立つ直線の式になりました。

式4を展開すると、以下の式4’になります。
そのため、この式4が求める直線をあらわすベクトルの式です。
(解答おわり)

なお、試しに掛け算したベクトルOAによって、直線の式(3)が、パラメータtがあらわれない直線の式(4)に変わったので、ベクトルOAがこの直線に垂直なベクトルであることも確かになりました。


【補足】
極A(a,a)が円上にある場合、式4で与えられる極線は、点Aで円に接する接線の式になる。


なお、極A(a,a)が円の中に入ってしまうと、点Aから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式4は、点A(a,b)が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えAが円の中でも、式1であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。


リンク:
点Pを極とする円の極線の作図サイト
高校数学の目次
複素数平面での円の極と極線



2013年08月22日(Thu)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式の直線の交点


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】
以下の図のようにベクトルであらわした2直線の交点のベクトルを求めよ。
ただし、単位ベクトルqに平行な直線1に垂直な単位ベクトルをqとし、単位ベクトルgに平行な直線2に垂直な単位ベクトルをgとする。



【解の方針】
 平面上の任意のベクトルは独立な2つのベクトルであらわせます。
この原理を利用して、
(1)先ず、求める交点をどの2つのベクトルであらわすかを決めて、
(2)次にその各ベクトルの係数をベクトル方程式で解くと
スムーズに解答を求めることができます。

【解答】
 以下の式(5)のように、直線1と直線2の交点を、2直線に平行な方向に係わる2つの独立な単位ベクトルqとgとであらわすことにする。


 この式(5)に、直線1に垂直な単位ベクトルqを掛け算した式をもとめる。

その結果、係数wが(6)であらわせた。

 式(5)に、直線2に垂直な単位ベクトルgを掛け算した式をもとめる。 

その結果、係数uが(7)であらわせた。
(6)(7)により、交点の位置ベクトルをあらわす式は、以下の式(8)になる。

(解答おわり)

この解の図形的な意味は、下の図のようにあらわせる。


リンク:

 高校数学の目次



2013年08月14日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数はベクトルの一種:3次方程式の解




大学への数学(旧B)「複素数」編の勉強

【問】
 x=1の複素数の解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、x=1,A,Bが、x=1の3つの解です。
全ての複素数yは、2次元べクトルと同様に、2つの独立な複素数AとBの合成で、
y=(s×A)+(t×B)   (1)
とあらわすことができます。
(ただし、sとtは実数とする)
そのようにして、
+py+q=0       (2)
(pとqは実数とします)
の形であらわされる3次方程式が実数でない複素数解を1つは持つ場合に、その1つの複素数を、式(1)であらわしてみます。

その場合に、この式(2)の3次方程式の残りの解を求めよ。

【解答】
実数係数の高次方程式の複素数解は、その解に共役な複素数も、その解である。
よって、複素数Aを共役な複素数Bに置き換え、BもAに置き換えた、式(1)の複素数に共役な複素数
y=(s×B)+(t×A)   (3)
もまた、式(2)の解である。
よって、式(2)は、第3の解をCとすると、以下の式であらわせる。
(y−(sA+tB))(y−(sB+tA))(y−C)=0  (4)
この式が、式(2)の形であって、yの2乗の項の係数が0になるためには、
式(4)のyの2乗の項の係数を0にする以下の式が成り立つ必要がある。
(sA+tB)+(sB+tA)+C=0
(s+t)(A+B)+C=0        (5)
ここで、A+B=−1であるので、式(5)は以下の式になる。
−(s+t)+C=0,
C=s+t,                (6)
よって式(2)の3つ目の解Cは、上の式(6)であらわせる。
以上をまとめると、式(2)の全ての解は、
sA+tB   (1)
sB+tA   (3)
s+t     (6)
の3つである、
(解答おわり)


【研究】
この問題の場合に、式(2)の方程式の各項の係数pとqと、解のパラメータsとtとの関係はどうなっているか調べてみよう。
式(2)と、式(4)を展開した式のyの項の係数と定数項を比較する。
yの1次の項は:
p=(sA+tB)(sB+tA)+C(sA+tB+sB+tA)
=sAB+st(A+B)+tAB+C(A+B)(s+t)
=s+st(B+A)+t−C(s+t)
=s−st+t−(s+t)(s+t)
=(s+t)(s+t)−3st−(s+t)(s+t)
=−3st         (7)
定数項は:
q=−(sA+tB)(sB+tA)C
=−(sAB+st(A+B)+tAB)C
=−(s+st(B+A)+t)(s+t)
=−(s−st+t)(s+t)
=−(s+t)      (8)
よって、pとqと、解のパラメータsとtとの関係は:
p=−3st         (7)
q=−(s+t)      (8)
の関係がある。
この(7)と(8)を使うと、pとqが与えられたら、sとtを計算でき、それから、sとtを計算できます。


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