勉強しようNTTのBlog - 2013/09

算数の問題と解答とを考えていきます。




2013年09月30日(Mon)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学の工夫(1)

 数学は、本来、難しい問題をやさしく解く方法の探求によって生み出されてきた学問です。
 数学で何か新しい手法を学んだら、「その手法でどの問題がやさしくなるのだろうか」という価値判断で新しい手法を評価するのが良いと思います。

 以下、本シリーズでは、個々の数学手法が、数学のどの問題をやさしくするかという観点で、学んだ数学手法の使い道を解説していきます。

【ベクトルの使い道】三角形の重心の計算が簡単になる。


【思い出してください】三角形の重心はベクトルで以下のように計算できたことを思い出してください。

 この問題は、パラメータsを使ってあらわした直線ADの(式1)と、パラメータtを使ってあらわした直線BEの(式2)をイコールで結んで計算するだけで、その2つの直線の交点Gが計算できます。
(ベクトルであらわした2つの平面の交線を求めるときは同じくそれぞれの面をパラメータを使ってあらわした式同士をイコールで結んで計算するだけで、交線の式が求まります。
ベクトルであらわした3つの平面の交点を求めるときは3つの面の式を互いにイコールで結んで計算すれば良い。)

(解答おわり)
 これで、直線ADと直線BEの交点Gをあらわす式が得られました。
 直線ADと直線CFの交点をあらわす式は、ベクトルbとベクトルcを交換してあらわすことで得られます。その式は上の式と同じになります。よって、直線ADと直線CFの交点が、同じ点Gで交わることが証明できました。

(むずかしい問題がやさしくなったか)
 三角形に描いた3直線が1点(重心)で交わる問題を図形の証明問題として解こうとするとけっこう難しい問題だったと思います。その難しい問題がベクトルを使うことでやさしくなりました。

【問】以下の図の面αと面βの交線を求めよ。


このような問題も、面をあらわす式同士をイコールで結ぶだけで、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけ(それが難しいので訓練が必要ですが)で答えが得られます。


このベクトル方程式のベクトルa、b、cが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な(他のベクトルの線形結合ではあらわせない)場合に限り、以下の式が成り立ちます。




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2013年09月29日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:判別式の使い方(13)


【再度強調】 判別式を使う問題を見たら、判別式を導出する式の変形を繰り返して(計算用紙に)記述した方が良いです。
 この方法は、判別式を思い出して使う場合より計算時間が増えるということはありません。それを示すため以下の例題とその解きかたの例を追加しますので、判別式を思い出して使う場合と比べてみてください。

【問題】以下の2次方程式が虚数解を持つ場合の定数kの範囲を求めよ。


【解答】

 この3行の計算だけで問題を判別式にあてはめられましたので、時間はかかりません。
(解答おわり)

(補足)
 解の公式や判別式に機械的に数値をあてはめて計算する計算は、同じ数を掛け算した後でまたその数で割り算するといった余分な計算が多く、計算ミスを招きやすい。
 それに対し、上記の計算例のように問題の式に合わせて判別式や解の公式を再導出すると、式が整理されているので余分な計算が避けられ、計算ミスが減る。


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計算ミス対策:判別式の使い方(12)


以下のような、判別式を使う問題を見たら、判別式の思い出しミスを無くし計算を正確にするため、以下のように計算した方が良い。

【問題】以下の2次方程式が異なる2つの解を持つように定数aの範囲を定めよ。


【解答の方針】以下のように判別式を導出する式の変形を繰り返して(計算用紙に)記述した方が良い。

【解答】

 このように計算すれば、式の流れの中で判別式(2)が再現できる。
 それだけで無く、この問題のもう1つのポイントである式(1)の条件も導き出されるので、式(1)の条件を解答に加え忘れるミスも無くなる。

(解答おわり)

(補足)
 解の公式や判別式に機械的に数値をあてはめて計算する計算は、同じ数を掛け算した後でまたその数で割り算するといった余分な計算が多く、計算ミスを招きやすい。
 それに対し、上記の計算例のように問題の式に合わせて判別式や解の公式を再導出すると、式が整理されているので余分な計算が避けられ、計算ミスが減る。


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2013年09月28日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:数学本能を覚える(11)


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 例えば、以下のような分数式を見たら、「先ずは、右辺のように数式を移し変えたい。」という数学本能を覚えると良い。
数式は、先ずはやさしい形に移し変えて、それから計算するようにしましょう。


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2013年09月26日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:図形を覚える(10)


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと良い。
(重要)この関係を知らないと解くのが難しい問題が出題されたことがあります。
そのため是非、覚えるようにしましょう。


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計算ミス対策:図形を覚える(9)


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと良い。
(重要)この関係を知らないと全く問題が解けない場合があります。
必ず覚えるようにしましょう。


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2013年09月25日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:図形を覚える(8)


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと計算が楽になり計算ミスが少なくなります。


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2013年09月23日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:グラフを覚える(7)


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のようなグラフの性質を覚えておくと計算が楽になり計算ミスが少なくなります。







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ベクトル方程式で空間図形の面と直線の交点を求める


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】以下の空間図形の線分OBと、三角形DEFが張る面βとの交点Gの位置ベクトルをもとめよ。
 なお、ベクトルOAをベクトルaとし、ベクトルOBをベクトルbとし、ベクトルOCをベクトルcとする。
 そして、点Dは線分OAを2:3に内分する点、点Eは線分ACを2:1に内分する点、点Fは線分BCを1;2に内分する点である。

【解答方針】
 ベクトル方程式の問題は、
「3次元空間の全てのベクトルは、3つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、3つの基本ベクトルを決めて、その3つのベクトルで全てのベクトルをあらわす。
 位置ベクトルの問題は、その基本ベクトルの係数を計算することに帰着させる。



【解答】
3点D、E、Fの位置ベクトルを以下の式1から3であらわす。

線分OBと面の交点Gの位置ベクトルは、以下のベクトル方程式であらわせる。
このベクトル方程式を解くと、以下の式(4)から式(6)が得られる。
この連立方程式を解いて、係数xを計算する。
(解答おわり)

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2013年09月22日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:3点を通る放物線の式を求める(6)



3点を通る放物線の式を求める式は連立方程式を解くことで放物線の式を求めます。しかし、連立方程式は、計算ミスし易いので、連立する式の数が少ない方が良い。
 以下で、連立する式の数を減らす、微分を利用する方法を説明します。

放物線の点の傾きy’は、その点のx座標がΔxずれると以下の式のようにΔy’ずれる。
また、上図の放物線で、線分ABと同じ傾きの放物線上の点のx座標は、線分ABの中点のx座標であることがわかっている(覚えておいてください)。

【問題】
 3点A(1,15)、B(2,41)、C(3,81)を通る放物線の式
y=ax+bx+c (式1)
を求めよ。

【解答】
 以上に示した微分を利用した式を使って以下のように計算する。

これでaの値がわかったので、このaの値を放物線の点AとBでの式に代入して以下の2つの式の連立方程式を得、それを解くことで係数bとcを求める。
求める放物線の式は以下の式である。

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2013年09月19日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:センター試験の計算問題(5)


センター試験というのは計算用紙が配布されない、
おかしい試験です。
 数学的センスのある人にはとても嫌われる形の試験と思います。
計算用紙が無いので、問題用紙のスペースを計算用紙として使って計算します。
 その際に、大きな字で計算式を書き込むようにしてください。
 以下のタイプのセンター試験の計算問題は、以下のように、なるべく広い空きスペースを使って計算するようにしましょう。
 その際に分断された計算式は、線で結んで、スペースの島から遠くの島まで自由に計算式が行き来できるようにしましょう。
 スペースが無くても、計算式の字は大きな字で書きましょう。
計算式の続きを別のページに飛んで行って行なわせるときは、ジャンプ点の番号@、A等の目印で別のページの計算式と結びつけましょう。

 
計算ミスを無くす方法
のサイトの助言が良いと思います。
このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような計算があります。

この式は1行目から4行目まで計算していくのですが、
この1行目から直ぐに4行目を書けるように、
計算方法をおぼえてしまえば、
計算ミスが確実に少なくなります。

下の式でも、1行目から直ぐに4行目を書けるように、
計算方法を覚えてください。

 上のように覚えて短縮した計算方法は、以下の様な計算に適用できます。


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2013年09月16日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:計算ミスの改善方法


計算問題を解いて計算ミスがあったとき。
そのミスを生じた部分の計算の、その答えを得ようとする一連の計算を最初からやり直して計算すると良い。


もし、最初のミスをした計算手順をおぼえていたら、計算式の形を少し変えて計算し直したら良い。
ミスした計算手順を覚えていなかったら自由に計算し直したら良い。


その新しい計算で計算ミスをしなかったら、
その新しい計算式と、元のミスをした計算式を見比べて、次回からは、ミスをしなかった方の形の計算パターンで解くように学習すると、計算ミスが少なくなっていくと思う。

問題を読み違えるというミスも、
問題を一旦簡易な図に翻訳する、その図の書き方を変えることで、読み間違えミスも減っていくと思う。

それと、計算ミスを減らす参考書を探し求める努力が必要。
以下のサイトの

「数学の計算革命」(駿台文庫)
も参考になるかもしれない。
 ただ、そのサイトではスポット的な暗算手法の提示だけで、総合的なミス低減方法を提示していないようにも見えるので、その成果はあまり期待できないかもしれない。
(無理な暗算は計算ミスを招きます)

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言が良いと思います。
このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような計算があります。


この式は1行目から4行目まで計算していくのですが、
この1行目から直ぐに4行目を書けるように、
計算方法をおぼえてしまえば、
計算ミスが確実に少なくなります。

以下のサイトの、センター試験対策の参考書の紹介も参考になる、
センター試験数学(学習法)

超明解!合格NAVIシリーズ
「ケアレスミスをなくす50の方法」
―大学受験合格への鉄板テクニック―
和田 秀樹【著】
ブックマン社(2012/11発売)
(主に数学、時々英語の凡ミス攻略法)の本です。

の本にも、数学の計算ミスを無くすための良い知恵が書いてあります。


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計算ミス対策:センター試験の計算問題(4)


以下のセンター試験の計算問題があります。 

この問題は、先ず、問題を以下の図に写し取る。
計算用紙に書く計算式は、以下の計算パターンが一番速くミスが少なく解くことができると考えます。それでも、かなりの計算をするのでどのくらいの時間で式を書ききれるか練習をした方が良いと思います。
以下の式は係数1/4を記号で置き換えることでもう少し楽になります


(−1を掛けた式の変形をしない方がミスが少ない)



(1)

(大小記号<等の向きを変えないで式を変形する方がミスが少ない)

次に、グラフGがx軸の正の部分の異なる2点で交わる場合を計算する。
 それは、軸の座標2b>0で、x=0のときのグラフのyの値<0の場合にそうなる。
b>0,
b−(3/4)<0,
b<(3/4),



 (2)




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2013年09月15日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:センター試験の計算問題(3)


以下のセンター試験の計算問題があります。 

この問題は、先ず、問題を以下の図に写し取る。
計算用紙に書く計算式は、以下の計算パターンが一番速くミスが少なく解くことができると考えます。それでも、かなりの計算をするのでどのくらいの時間で式を書ききれるか練習をした方が良いと思います。
センター試験では計算用紙が無いので、どのスペースに式を書けるかという問題もありますが。





(1)
(大小記号<等の向きを変えないで式を変形する方がミスが少ない)
グラフがx軸の正と負とで交わる場合は、x=0でのyの値>0となる場合である。
(2)






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2013年09月14日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策:センター試験の計算問題(2)


以下のセンター試験の計算問題があります。 


この問題は、先ず、問題を以下の図に写し取る。
この図を見るだけで、もはや問題の文章を読まないでも問題が把握できるようになります。
「問題をやさしくする」ことが問題を解く秘訣ですが、
その第1歩が、問題文を図に書き写すことで、問題文を読み直す作業を無くして問題をやさしくすることです。


計算用紙には、以下の様に計算式を全て計算用紙に書けば、速くミスが少なく解くことができます。


(@)
(A)





(式の左右に共通項が掛かっているときは、共通項を早めに割り算して無くすとミスが少なくなる)







このように別紙に計算した、3点を通る放物線の式を求める式は連立方程式を解くことで放物線の式を求めます。しかし、連立方程式は、計算ミスし易いので、連立する式の数が少ない方が良い。
 以下で、連立する式の数を減らす、微分を利用する方法を説明します。


放物線の点の傾きΔy’は、その点のx座標がΔxずれると以下の式のようにずれる。


また、上図の放物線で、線分OPと同じ傾きの放物線上の点のx座標は、線分OPの中点のx座標であることがわかっている(覚えておいてください)。
 そのため、以下の式が成り立つ。


これでtの値がわかったので、このtの値を放物線の点Qでの式に代入して放物線の式を以下のように求める。


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計算ミス対策:センター試験の計算問題


以下のセンター試験の計算問題があります。 

この問題は、穴埋めだからといって油断せず、自分自身で全て計算するのが、結局、速くミスが少ない計算ができます。
計算用紙には、以下の様に、計算過程を省略せず、全部の計算を書くと良いです。

以下のように計算式を計算用紙に書けば、速くミスが少なく解くことができます。





この問題は、A+Bを求めるのに変なやり方をしていますが、ルートを含む分数式の計算方法を覚えてしまえば、以下のように、正面からA+Bを求めることができます。
Bの計算は、Aの計算結果をなぞって計算するので、Aの計算でわかっている事を利用することで、あちこちの計算が省略できます。

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計算ミス対策:2次方程式の解き方

aX+bX+c=0
この形の2次方程式を計算間違いをせずに速く解くには、
解の公式を使わずに以下のように計算します。

以下のように変形していけば速くミスが少なく解くことができます。
aX+bX+c
の形の2次方程式を直接因数分解するには、
解の公式を使わずに以下のように計算します。


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2013年09月08日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方


「大学への数学」(ベクトル編)

【余弦定理のベクトルによる導出】
上の三角形ABCにおいて、余弦定理が、ベクトルの内積で簡単に導けます。


上の式が三角形の余弦定理です。

 この、ベクトルを利用した余弦定理の導出の式を覚えておくと、余弦定理を簡単に思い出すことができます。


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2013年09月07日(Sat)▲ページの先頭へ
三角形の辺と外接円の半径の関係


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ABCと外接円の中心Dがある。外接円の中心Dの辺BC上の高さが式(1)で与えられることがわかっている。この外接円の半径Rを計算せよ。
(注意事項)ベクトルの各成分は関係する記号に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、成分の意味が連想し易くなるからです。

【解答方針】
(1)この問題を解くには、円周角の定理に関連する定理の、∠CDB/2=∠Aを思い出して、
R・cos(∠CDB/2)=p=R・cosAとして、
R=p/cosAとしてRを計算すると最も速く答えが出せます。
(2)しかし、その関係を思い出せなかった場合でも、ベクトルを成分に分解した地道な計算をすることで答えが得られます。
以下では、そのベクトルの地道な計算例を示します。

【解答】
外接円の半径Rの二乗を以下のように計算していく。


ここで、この括弧の中の一部の式を計算する。
この結果を使って計算を続ける。
 この計算の結果R=bc/(2h)という関係が導き出せた。
(解答おわり)

(補足)
この結果から、円周角の定理に関連する定理の、p=R・cos
(∠CDB/2)=cosAという関係も示された。

【研究問題】
この関係を使って、三角形の面積をあらわす。

上記のように三角形の正弦定理が導きだされた。

先の式(1)は三角形の外接円の中心位置をベクトル方程式で計算することで得られていた。
このように、正弦定理も、ベクトルの地道な計算によって導き出すことができました。


 しかしながら、式1よりも解答の式の方が単純です。
 解答の式から式1を導き出す方が自然な計算の流れと考えられます。
 この解答の式は、正弦定理を使うと容易に証明できます。

 一方、ベクトル計算によってこの解答の式を導き出すのは難しいと考えます。
 そのことから、ベクトル計算の基礎は主に余弦定理が支えていて、正弦定理で解き易い円周角に係わる問題はベクトル計算では解きにくかったのだろうと考えます。

 すなわち、余弦定理で解き易い問題はベクトル計算で解き易いが、 正弦定理で解き易い円周角に係わる問題は正弦定理を使って解く方が良いと考えます。

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2013年09月05日(Thu)▲ページの先頭へ
ベクトルの難問の強力な解答手段


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【難問】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。
(注意事項)ベクトルの各成分はベクトル名に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、a+a=Rという関係が成り立つaとaの関係が計算の際に難なく思い出して使うことができるようになるからです。

【解答の方針】
(0)この問題の式は正弦定理を使うと容易に証明できます(ベクトル解法のライバルは正弦定理)。
また、円周角の定理でも証明できます。

そのため、この問題は、「ベクトル計算には合わない問題をあえてベクトルで計算する」というひねくれた問題であることを認識して、以下の解答を見て下さい。

(1)この問題は、以下のように地道にベクトルの計算をします。
 ベクトルの計算にあたって、この問題のように難しい問題の場合は、ベクトルを互いに直交する2方向の成分に分解して成分の計算を行います。そうすれば、以下のように計算を進めることができ、問題が解けるようになります。

【解答】
式(1)の左辺の2乗を、べクトルを成分に分解して計算する。

この結果(2)は、式(1)の右辺の2乗である。
よって、式(1)が成り立つことが証明できた。
(解答おわり)


(別解)ここをクリックした先にも、同様に式1の左辺の2乗にかかわる計算による式1の証明がある。
(究極手法)ベクトルの複素数平面積を使う。

  【補足】
 なお、この式の関係を利用すると、以下の式(3)のように、三角形ABCの面積を計算する公式の1つが得られる。


(更に補足)
 この式(3)は、円周角の定理と三角形の正弦定理を用いても導ける。
一方、以上の式(2)のようにベクトルを成分に分解して行なう地道な計算でその公式を求めることができた。
 ベクトルを成分に分解して行なう計算は、ベクトルの内積の定義の適用と、点の座標成分の計算の整理の操作だけで簡単に行なえます。
 実は、この地道な計算によれば、ベクトルの演算公式の全てがこの計算で導き出せます。そのため、この方法によれば、ベクトルの演算公式のいくつかを忘れていても、問題なく答えが得られる、強力な解答手段です。


リンク:
複素数平面の公式を使ってベクトルの難問を解く
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2013年09月02日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する


大学への数学「ベクトル」編の勉強

(注意)この問題の解き方はややこしいものですが、複素数平面を使うと(ここをクリック)計算が大分楽になります。


(注意)以下の問1では三角関数と使った解き方を書きます。
問2では、三角関数を使わないでベクトルの内積だけを使って比較的楽に解きます。


【問1】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、∠BAC=βの余弦=cosβをベクトルの内積を利用して計算して、円周角の定理を再確認せよ。

【解答】
上図のベクトルa、b、cを以下の式(1)(2)(3)であらわす。

cosβは以下の式で計算できる。
この式の各項を以下で計算する。



cosβは以下の式になる。
この答えを場合分けすると以下の式になる。
また、点Aが点B又はC上にある場合は値が不定になる。
(解答おわり)

 この式は、円周角の余弦=cosβは、点Aが円周上の点Bか点Cの位置を横切ると、値の正負が逆になることをあらわしている。
 つまり、点Aの位置が円周上の第1の円弧の上にあると値がプラスで、それ以外の領域にあると、値がマイナスになる。また、点Aが点B又はC上にある場合は値が不定になる。
 このように、cosβは、点Aの位置によって値が変わるので、cosβの値は、一定の値になるというわけではない。


 

【問2】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。
ただし、この図における各ベクトルの間には以下の関係が成り立っている。
(注意事項)ベクトルの各成分はベクトル名に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、a+a=1という関係が成り立つaとaの関係が計算の際に難なく思い出して使うことができるようになるからです。

【解答の方針】
(1)この問題が出たら、これは円周角の問題だと気付くことがベスト。
各ベクトルの内積と円周角との関係を示して、円周角の定理が式(1)であらわされることを示すのが一番速い解答になります。
(2)円周角の問題であると気付かなかった場合は、この問題を(問1)のように、三角関数で解くのが2番目に速く解けます。
(3)以上の2つの視点に気付かなかった場合は、以下のように地道にベクトルの計算をします。
 ベクトルの計算にあたって、この問題のように難しい問題の場合は、ベクトルを互いに直交する2方向の成分に分解して成分の計算を行います。そうすれば、以下のように計算を進めることができ、問題が解けるようになります。

【解答】
式(1)の左辺を、べクトルを成分に分解して計算する。

次に、式(1)の右辺の各項を計算する。

この式(3)と(4)の結果を合わせて、式(1)の右辺を計算する。
この式(5)は、式(1)の左辺を計算した式(2)と等しい。
よって式(1)が成り立つ。
(解答おわり)

リンク:
ベクトルの角度を複素数平面で計算できることを初めて知ったら試してみよう
高校数学の目次



2013年09月01日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の内心の位置ベクトルを求める


大学への数学「ベクトル」編の勉強


【問1】三角形OABの内心(内接円の中心)Dの位置ベクトルをもとめよ。
【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「2次元空間の全てのベクトルは、2つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、2つのベクトルを決めて、そのベクトルの係数を計算することで求める。



【解答】
2つの独立なベクトルとして、ベクトルOAとベクトルOBを用いることにする。
そして、求めるベクトルODを以下の式(1)であらわす。そして、ベクトルADを式(2)であらわす

ベクトルpとベクトルqの間には以下の式(3)の関係がある。式(3)に(1)と(2)を代入して式(4)が得られる。
式(4)から、以下の式(5)と(6)が得られる。
式(5)と(6)を連立して係数sとtを計算する。先ず、(6)から以下のsを与える式(7)が得られる。
式(7)を(5)に代入してtを計算する。
式(8)を(7)に代入してsを計算する。

(9)を(1)に代入してベクトルODをあらわす。
(解答おわり)

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