勉強しようNTTのBlog - 2013/10

算数の問題と解答とを考えていきます。




2013年10月31日(Thu)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(21)論理の問題の反例範囲を分割する


【問】
実数a,bに関する条件p,qを次のように定める。
p: (a+b)+(a−2b)<5
q: (a+b)<1 または (a−2b)<4
次の@〜Cのうち、命題「q⇒p」に対する反例になっているのはどれか。
(反例候補)
@a=0,b=0
Aa=1,b=0
Ba=0,b=1
Ca=1,b=1

【解答】
命題「q⇒p」に対する反例は、
q及び(pで無い)が成り立つ場合である。

(1)命題pとqをパラメータaとbであらわす式が複雑なので、命題の式の方をX、Yとおいて命題を見やすくする
(2)命題qが複雑なので、命題rとsの2つの命題に分けて、命題qを(rまたはs)に変換ずる。
r: (a+b)<1
s: (a−2b)<4

命題「q⇒p」に対する反例は、
(rまたはs)及び(pで無い)が成り立つ場合である。
この命題の範囲は、以下の式のように変換する。

(rまたはs)については、
(rまたは(s及び(rで無い)))
として、重なりが無い反例範囲に分ける。
そして、結局、反例範囲を、AとBとの2つに分ける。

(問題を簡単にする工夫)
このAとBとについて、別々に反例をさがす。
このAとBの反例範囲には、範囲の重なりが無いので反例探しに無駄が無い。
AとBとを別々に探すと、反例範囲の図は正確に書かないでも良く、図が簡単に手間がかからないようになる。

先ず、反例範囲Aに反例候補@ABCが入るかを調べる。
反例範囲を以下の図の斜線であらわす。

Bの、a=0,b=1の場合は、
X=1なので、rを満足しない。よって反例では無い。

次に、反例範囲Bに反例候補@ABCが入るかを調べる。

Bの、a=0,b=1の場合は、
Y=−2なので、sを満足しない。よって反例では無い。
Cの、a=1,b=1の場合は、
X=2,Y=−1なので、sを満足する。
また、円周上の点なので、(pで無い)も満足する。
よって、Cが反例である。
(解答おわり)


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2013年10月29日(Tue)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(20)論理の問題では余分な部分を無くす


【問】三角形に関する条件p,q,rを次のように定める。
p: 3つの内角がすべて異なる。
q: 直角三角形でない
r: 45°の内角は一つもない
命題「(pまたはq)⇒r」に対する反例になっている三角形を考えよ。

【解答】
命題「(pまたはq)⇒r」に対する反例は、
(pまたはq)及び(rでない)
です。

これは、
(p及び(rでない))または(q及び(rでない))
と等しい。


pのうち、qである場合はqに含まれていて余分なので、
pについては、p及び(qでない)場合のみを考えて、命題を整理する。
そうして整理した反例は
(p及び(qでない)及び(rでない))または(q及び(rでない))
である。
ここで、
(p及び(qでない)及び(rでない))
については、
上図に書いたとおり、有り得ないことです。
そのため、反例は、
q及び(rで無い)
が成り立つ場合のみです。
(解答おわり)

【別解】
qについては、q及び(pでない)場合のみを考えて、命題を整理する。

(解答おわり)


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2013年10月28日(Mon)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(19)座標系を変える


【問】実数a,bに関する条件p,qを次のように定める。
p: (a+b)+(a−2b)<5
q: (a+b)<1 または (a−2b)<4
次の@〜Cのうち、命題「q⇒p」に対する反例になっているのはどれか。
@a=0,b=0
Aa=1,b=0
Ba=0,b=1
Ca=1,b=1

【解答】
命題「q⇒p」に対する反例は、
q及び(pで無い)が成り立つ場合である。

命題pとqが複雑なので、命題の式の方をX、Yとおいて命題を見やすくし、
q及び(pで無い)が成り立つ場合を以下の図の斜線であらわす。
図の円周上の点は(pで無い)条件を満足している。

上図の斜線の範囲にある(X,Y)がq及び(pで無い)が成り立つ場合である。
とりあえず、XとYでbをあらわすと、
b=(X−Y)/3
である。
そのため、Y=Xの直線上の点はb=0を満たす点であることがわかる。
b=0でY=Xの直線上にある場合は、
a≧√(5/2)
あるいは、
a≦−√(5/2)
がなりたつべきであるが、
@とAはこの条件を満足していない。よって反例では無い。

あとは、BとCを個々に調べれば良い。
Bの、a=0,b=1の場合は、
X=1,Y=−2なので、qを満足しない。よって反例では無い。
Cの、a=1,b=1の場合は、
X=2,Y=−1なので、qを満足する。
また、円周上の点なので、(pで無い)も満足する。
よって、Cが反例である。
(解答おわり)


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2013年10月27日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(19)計算の道を作る


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のよう三角形の外接円の中心Oと一辺BCとの作る二等辺三角形OBCの面積を求める問題を解いてみます。
 最初の計算では、△OBC=2×△OBPとして計算します。
試験問題として答えは、(r・sinA)(r・cosA)までで十分で、これで解答が終わっています。

 試験問題を解くときには時間が無いのでできないことですが、問題を解いたら、次のように進むのが、数学の心を捉えた良い数学の学び方と思います。
 つまり、次に、その答えを、自分の知っている三角関数の倍角の公式を使ってsin(2A)の形に変形して結果がどうなるかを調べてみます。

 そしてこの答えを見ることで、△OBCの面積は、辺OBと辺OCと、その間の角(2A)のsinとの積の2分の1であるとして直ぐ答えを計算できることが見出せます。
 すなわち、最初の計算方法と、次に分かった計算方法との2つの計算方法があることがわかります。こうして自分が発見した(作った)計算の道の、その2つ目の解き方は自然に覚えられます。

 こうして、1つ問題を解く毎に、新しい計算の道も作って、2つ以上の解き方を覚えていくことができます。
 1問あたりに2倍の計算方法を覚えるので、確実に問題を解く力がついていきます。

 このように問題を解いた後に、その問題を更に解析してもう1つの解き方まで発見する時間はとても大切なものです。
 試験問題としてだけで問題を解くのは最低限度に留めて、
このように時間をかけて問題を何重にも解く時間をなるべく多く持つようにしましょう。

  そうすれば、問題を解く計算の道が網の目のように張りめぐらされて、どの計算の道にも熟達します。
 それにより、計算がつっかえて時間が足りなくなってあせるために起きる計算ミスを減らせます。


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2013年10月26日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(18)計算の道を覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

以下のよう二等辺三角形の底辺の長さxを求める問題の解き方の道が4つあります。どの道を進んでも結局cosAが必要になります。
どの計算の道も最後まで通れるように、計算の道を覚えておきましょう。
 そうすれば、計算がつっかえて時間が足りなくなってあせるために起きる計算ミスを減らせます。

必ず覚えるようにしましょう。





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2013年10月25日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(17)図形を覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

以下のように三角形の外接円の直径2rを計算する式を直ぐ思い出せるように、直径2rをあらわす形の式も覚えておきましょう。
 そうすれば、計算がつっかえて時間が足りなくなってあせるために起きる計算ミスを減らせます。

必ず覚えるようにしましょう。


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2013年10月19日(Sat)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(18)面の法線への射影を利用した連立方程式の解法


【問】以下の連立方程式を解いて未知数sを求めよ。

【解答】
 連立方程式はベクトル方程式とみなして解くとやさしくなります。以下のようにベクトルの張る面に垂直な法線への射影を利用すると連立方程式の1つの未知数sを素早く求めることができます。

この式の水平面を張るベクトルbとcを、もっと使いやすいベクトルb’とc’に変更します。
(ここで、水平面には変わりがありません)

このように、成分の1つを0にしたベクトルb’とc’で水平面を張ります。
このベクトル方程式を以下のようにして解きます。 


(解答おわり)

@ 先ず、問題の連立方程式の右辺のベクトルeのY成分のベクトルの高さを6zとしました。
A ベクトルbとcの張る面を水平面とする。ベクトルcのY成分の高さは@との関係で、高さ2zです。
B ベクトルbのY成分の高さは@との関係で、高さzです。
C ベクトルaのY成分の高さは@との関係で、高さ3zです。
D ベクトルcは水平面上のベクトルなので、そのX成分はY成分による高さ2zを打ち消す高さ−2zです。
E ベクトルeのX成分の高さはDとの関係で、高さ−2z・2です。
F ベクトルaのX成分の高さはDとの関係で、高さ2zです。
G ベクトルbは水平面上のベクトルなので、そのZ成分はY成分による高さzを打ち消す高さ−zです。
H ベクトルeのZ成分の高さはGとの関係で、高さ2zです。
I ベクトルaのZ成分の高さはGとの関係で、高さz/2です。

問題の連立方程式のsに掛かる高さは(F+C+I)であり、右辺の高さは(E+@+H)です。その比を計算してsが得られました。

【別解】ベクトルの外積を利用して計算すると、以下のように答えが得られます。

(解答おわり)
ベクトルの外積を利用する方が速そうです。


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問題をやさしくする数学(17)面の法線への射影を利用した連立方程式の解法


【問】以下の連立方程式を解いて未知数sを求めよ。

【解答】
 連立方程式はベクトル方程式とみなして解くとやさしくなります。以下のようにベクトルの張る面に垂直な法線への射影を利用すると連立方程式の1つの未知数sを素早く求めることができます。


(解答おわり)

@ 先ず、問題の連立方程式の右辺のベクトルeのY成分のベクトルの高さを6zとしました。
A ベクトルbとcの張る面を水平面とする。ベクトルcのY成分の高さは@との関係で、高さzです。
B ベクトルbのY成分の高さは@との関係で、高さ6zです。
C ベクトルcは水平面上のベクトルなので、そのZ成分はY成分による高さzを打ち消す高さ−zです。
D ベクトルbのZ成分の高さはCとの関係で、高さ−z/2です。
E ベクトルbは水平面上のベクトルなので、そのX成分はY成分とZ成分による高さを打ち消す高さ−11z/2です。
F ベクトルaのX成分の高さはEとの関係で、高さ(11z/2)(3/2)です。

問題の連立方程式のsに掛かる高さはFであり、右辺の高さは@です。その比を計算してsが得られました。

【別解】ベクトルの外積を利用して計算すると、以下のように答えが得られます。

(解答おわり)
ベクトルの外積を利用する方が速そうです。


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問題をやさしくする数学(16)垂直ベクトルへの射影を利用した連立方程式の解法


【問】以下の連立方程式を解いて未知数sを求めよ。

【解答】
 連立方程式はベクトル方程式とみなして解くとやさしくなります。以下のようにベクトルbを水平線にし、その水平線への垂直線ベクトルhへの射影(高さ)を利用するとベクトルaに掛かる未知数sを素早く求めることができます。

このベクトル方程式で、垂直線ベクトルhへの射影(水平線bの上の高さ)を以下のように計算します。
(解答おわり)

@ 先ず、問題の連立方程式の右辺のベクトルeのX成分の高さを6zとします。
A uに掛かるベクトルbを水平ベクトルとする。そのベクトルのX成分の高さは@との関係で、高さzです。
B sに掛かるベクトルaのX成分の高さは@との関係で、高さ9zです。
C uに掛かるベクトルbは水平ベクトルなので、そのY成分はX成分による高さzを打ち消す高さ−zです。
D sに掛かるベクトルaのY成分の高さはCとの関係で、高さ−3z/4です。

問題の連立方程式のsに掛かるベクトルaの総体の高さはBとDの合計であり、右辺のベクトルeの高さは@です。その比を計算してsが得られました。


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2013年10月16日(Wed)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(15)線の垂直線への射影の利用


【問】以下の図で三角形ABCがある。その辺(延長線)上に図のようにDF点を置く。直線ACと線DFの交点をEとする。この場合に、比s=CE/EAを求めよ。

【解答】
 以下では、線DFに垂直なベクトルVへの各ベクトルの射影を見て交点Eにおける比s=CE/EAを求める。
(そのベクトルの射影の長さは、線DFを水平線とした場合のベクトルの高さです)

(解答おわり)

上の解答では、ベクトルFBの高さをzとして、図に順次に、水平線DFに対する各点の高さを書き込みました。

 この問題の解答はCの計算までで終わりですが、
Dの式のように、計算結果を整理すると、メネラウスの定理が導けました。
 この問題はメネラウスの定理の応用問題だったのです。

 このように、線の垂直線への射影を利用すれば、メネラウスの定理が自然に導けるので、メネラウスの定理を覚えるよりは、線の垂直線への射影の利用方法を優先して覚えてください。
(ベクトルBDとベクトルDCは逆方向なので、線分の長さの比はマイナスとして計算し、積がマイナス1になる式が正確なメネラウスの定理です。
 しかし、この積をプラス1とした式でメネラウスの定理があらわされる場合が多いので、メネラウスの定理の表現は不正確だと思います)


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2013年10月14日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(16)計算のリズムを作る


計算ミスについては,以下のサイトの助言が的を得ていると思います。 

数学について
2012.09.28

 ・計算ミスをなくすには
 単純な計算でもまずは時間を気にせず"バカ丁寧"なくらいに綺麗な解答を作ってください。
 頭で暗算できそうでも、途中式を一文しっかり書く。
 ノートにはバラバラなところに計算しないで、問題の式を書いたらその下に途中式を綺麗に書く。筆算は横に書く。
 そんな風に、ずっとやっていくと、自然と自分で計算をするときのリズムができてきます。
 リズムができると、一気に計算スピードがあがるので、整った計算をしても素早くできます。


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計算ミス対策(15)計算のリズムを覚える


計算ミスについては,以下のサイトの助言が的を得ていると思います。 

WEB版ふじのもり通信

(04 計算力をアップしよう)


 今回はできるだけ自力で、計算の実力をアップさせる勉強方法について書いていこうと思います。小学校高学年や中学生で、整数・分数・小数の四則計算(たし・ひき・かけ・わり算)が上手に出来ない、計算ミスが多いという人がいれば、ためしにチャレンジしてみて下さい。
 とにかく「自分は計算が弱いかも?」と感じたら、すぐ練習に入るのがお勧めです。はじめる時期が遅くなればなるほど、状況は厳しくなってきます。

 それでは、自分で進む計算力向上の勉強。手順にいきたいと思います。
手順1
 まず、自分がどこでつまずいているのかを確認したいところです。けれど、実はこれがとても難しい。自分がどこが出来ないのかは、自分でも正確にわからないことがほとんどです。
 もし可能ならば、自分の勉強をしっかりと見てもらっている先生とか保護者の方にアドバイスをもらうと良いでしょう。それ以外の人は、とにかく問題を解いて練習します。簡単すぎると思うかもしれませんが、思わぬところでつまずいている人が結構いるものです。
手順2
 次には問題集を用意しましょう。
 計算のやり方を聞ける人がいるならば、どんな問題集でもいいのですが、完全に自分一人だけでやるという人は、あるていど解き方の説明がのっている問題集を選んだ方がよいと思います。
手順3
 ここからはひたすら問題を解いていくのみです。ここで大切なことは、「計算は書いてやる」ということです。問題集の中でも良いですし、別に計算用紙を用意しても良いです。計算中のメモや途中の計算、筆算した部分などをしっかり書きながらやって下さい。中途半端な暗算はしてはいけません。(そろばんの経験者を除く)また、前にも書いたように、消しゴムは使わない方が良いです。
 途中の計算を書かない人ほどミスが多くなる傾向があります。計算は書いてやるもの、紙は汚すものだと思って下さい。そして、頭だけでなく手の感覚で計算のリズムを覚えていくのです。
手順4
 1ページできたら、自分で答あわせをしてください。間違いはすぐに直しておきましょう。
 もし、「間違いが多い」、「やり方がいまひとつ分からない」というような状態なら、その単元は復習が必要です。かならずもう一回その部分をやり直さないといけません。
 弱点の復習も完成したら終了です。

 最初はめんどくさくて苦しいと思います。しかし、同じような計算をやり続けて体が計算のリズムを覚えてくると、何とも言えない快感を感じるようになります。(人によると思うので、保証はしませんが・・・)そうなれば、その計算法はおそらく一生忘れません。ミスもほとんどしなくなるでしょう。
 また、計算練習は絶対に裏切りません。誰でも時間をかけて努力すれば、必ず計算力は向上します。そして、計算力が上がると算数や数学の力だけでなく、理科や社会などの力も自然に上がってしまいます。とってもお得です。

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問題をやさしくする数学(14)ベクトルの外積


【課題】ベクトルの外積を記憶に頼らずに確実に計算する方法。
【計算の工夫】
 ベクトルの計算は、上の式のように書くとベクトルの式が1行に収まりきれなくなるので、下の図のように、ベクトルは縦ベクトルであらわして計算します。
この形にすれば、ベクトルの外積は以下のように計算しやすくなります。
ここで、ベクトルの一番下のZ成分を一番上のX成分の更に上にも書いて、外積の計算を記憶に頼らず計算できるように工夫します。
そして、計算した結果のベクトルを面の法線ベクトルとして使う場合は、使いやすいようにベクトルを単純化します。


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2013年10月12日(Sat)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(13)


【問】以下の図のように、四面体OABCにおいて、辺ABの中点をEとし、辺OCを2:1に内分する点をFとし、辺OAを1:2に内分する点をPとし、BQ=tBCとなる直線BC上の点をQとする。
 直線PQと直線EFが点Rで交わるとき、実数tの値を求めよ。


【解答】
 直線EFと直線PQが交わる場合は、それらの直線が同一平面上にある場合である。その場合は、面PEF上に点Qが存在する場合である。
 そのため、点Qが面PEF上に乗るようにパラメータtを定めれば良い。
 それを解くために、面PEFの法線ベクトル(面に垂直なベクトル)への各ベクトルの射影を見て点Qにおける、比t=BQ/BCを求める。
(そのベクトルの射影の長さは、面PEFを水平面とした場合のベクトルの高さです)

(解答おわり)

上の解答では、ベクトルPOの高さをzとして、図に順次に、面PEFに対する各点の高さを書き込んだ。

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2013年10月09日(Wed)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学:ベクトルの外積で面の法線ベクトルを求める(12)


【問】以下の図で直線BCと直線OGが交差する場合のパラメータbの値を求め、その場合の交点Hの座標を求めよ。

【解答】
 空間直線の交点を求める問題は、いきなり2直線のベクトル方程式を立て、それを無理やり解くのは、計算の見通しが良くないので止めましょう。
 空間直線の交点を求める問題を解く場合は、先ず、交差する2直線が乗る平面の法線ベクトルを計算しましょう。
 そして、直線をその法線ベクトルに直交させる条件を求めることで、その2直線が交点を持つ条件を確定させて計算することが大切です。
 この法線ベクトルは、平面上のベクトルの外積を計算して求めます。
 先ず、以下のようにして、面OBCの法線ベクトルVを計算します。

 次に、この法線ベクトルVにベクトルGが直交する条件を求めます。法線ベクトルVにベクトルGが直交するなら、直線OGは面OBC上にあり、直線BCと交わります。
これで、直線BCと直線OGが交差する場合のパラメータbの値が求まったので、以下のようにして、この値をベクトルGの式に代入してベクトルGを定めます。 
ベクトルGも定まったので、以下のようにベクトル方程式を立てて交点Hを求めます。
 その際に、空間ベクトルをYZ平面に射影して、その射影を見て計算します。
(その理由)
 同一平面上にある空間直線同士の交点を求める方程式は2つで十分であり、3次元ベクトルの計算で出てくる3つの方程式では方程式が1つ余分だから、射影を利用して、その余分な方程式を減らすためです。 

 
(解答おわり)

 ここで、賢明な読者は気付かれたと思いますが、ベクトルGを直線BCと同一平面上に定めた時点で、もうベクトル方程式を使わないでも交点Hの答えが得られるようになっています。
 すなわち、この問題では、直線BCはZ=1の平面上にありますから、ベクトルGのZ座標が1になるようにベクトルGを9倍すれば、交点Hの位置ベクトルが得られます。
 見通しの良い計算をすれば、単純な問題はこのように単純に解けるようになり、計算時間を節約できる効果があります。


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2013年10月08日(Tue)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学:ベクトルの外積(11)


【問】以下の連立方程式を解いて未知数sを求めよ。

【解答】
 連立方程式はベクトル方程式とみなして解くとやさしくなります。以下のようにベクトルの外積を利用すると連立方程式の1つの未知数sを一気に求めることができます。

(解答おわり)

(1) 上の解は、問題の連立方程式を式(1)のベクトル方程式として解きます。各ベクトルの名前は式(2)のように名づけます。
(2) このベクトル方程式の未知数wとuの掛かっているベクトルbとcを一気に消去するために、ベクトルbとcとに垂直なベクトルhをベクトルの外積によって計算します。
(3) ベクトルhとベクトル方程式(2)との内積を計算すると、式(4)のように、未知数wとuが掛かっているベクトルbとcとが消えます。


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2013年10月07日(Mon)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学:ベクトルの外積(10)


【問】以下の図で三角錐OACBと三角錐OACDがある。直線BDと面OACの交点をEとする。この場合に、比s=BE/BDを求めよ。

【解答】
 この問題はベクトル方程式を立てて解くことができます。そのベクトル方程式を解くことができる実力は必要です。しかし、ベクトル方程式を解くには時間を必要とします。
 以下では、ベクトルの外積を利用して、ベクトル方程式の解を一気に計算します。

(解答おわり)

上の解は、込み入った式ですので、ベクトル方程式を解いて解を求めた場合でも、その解を、上の式のようにベクトルの内積の形で表現した方が分かりやすくて良いと思います。

(おまけ)以下の関係があります。



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計算ミス対策:連立方程式の計算(14)


【課題】以下の連立方程式の計算ミスを少なくしたい。
 先ず、以下の解1で、普通に計算してみます。次に、解2で少し改善した計算方法を示します。


【解1】

(解答おわり)

【解2】
次に、この問題を、以下の解きかたで解きます。

連立方程式を、未知数をパラメータとするベクトル方程式と考え、
 消したい未知数に掛かるベクトルに直交するベクトルとで内積をとることで、未知数を一気に消す。
 このように直交ベクトルとの内積を利用すれば、連立方程式の計算ミスが減ると思います。


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2013年10月06日(Sun)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(9)


【問】以下の図で三角錐OABCがある。その辺上に図のようにDEF点を置く。直線OBと面DEFの交点をGとする。この場合に、比s=OG/OBを求めよ。

【解答】
 以下では、面DEFの法線ベクトル(面に垂直なベクトル)への各ベクトルの射影を見て交点Gにおける、比s=OG/OBを求める。
(そのベクトルの射影の長さは、面DEFを水平面とした場合のベクトルの高さです)

(解答おわり)

上の解答では、ベクトルDAの高さを6zとして、図に順次に、面DEFに対する各点の高さを書き込んだ。

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問題をやさしくする数学:アフィン変換(3)
ベクトル方程式による解き方(2)
ベクトル方程式で空間図形の面と直線の交点を求める
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2013年10月05日(Sat)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(8)


【問】以下の図で平行6面体ABCDEFGHがある。その辺上に図のようにXYZ点を置く。直線ECと面XYZの交点をKとする。この交点KがECを内分する比EK:KCを求めよ。

【解答】
 ベクトル方程式で、面と直線の交点を求める方法は常識なので、ここでは、その方法による解の求め方は省略する。
 以下では、面XYZの法線ベクトル(面に垂直なベクトル)への各ベクトルの射影を見て交点Kにおける、EK:KCの比を求める。
(そのベクトルの射影の長さは、面XYZを水平面とした場合のベクトルの高さです)

(解答おわり)

上の解答では、ベクトルBAの高さをzとして、図に順次に、面XYZに対する各点の高さを書き込んだ。


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問題をやさしくする数学:線に垂直なベクトルに投影(7)


【問】以下の図で平行四辺形OABCの辺OCが、直線DBに垂直な直線AFとの交点Eを持つ場合に、比OE:OC=sを計算せよ。

【解答1】
 先ず、直線OCと直線AFとの交点を求めるベクトル方程式を作って、通常行なわれそうな計算を行なってみます。この計算方法は計算時間がかかります。その次の(解答2)で速く計算できる計算方法を説明しますので、計算時間を比較してみてください。

(解答1おわり)

【解答2】
 次に、計算が速い解答2の解き方を説明します。

(解答2おわり)

 解答2の解き方では、ベクトル方程式を作るところまでは解答1と同じですが、
 そのベクトル方程式をX成分とY成分の連立方程式では無く、パラメータtであらわした直線に垂直な方向のベクトルの成分の式を(内積を利用して)計算して、
一気にパラメータtを消去した式を作ってsを求めています。
 (同様に、元のベクトル方程式に内積を使ってパラメータsを消去した式を作ってtを求めることも可能です)


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問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(6)


【問】以下の図で長方形ABCD上に点Oがある。この図で、直線OCと面AMLとの交点Nを求めよ。

【解答】
 ベクトル方程式で、面と直線の交点を求める方法は常識なので、ここでは、その方法による解の求め方は省略する。
 以下では、面AMLの法線ベクトル(面に垂直なベクトル)への各ベクトルの射影を見て交点Nにおける、ON:NCの比を求める。
(そのベクトルの射影の長さは、面AMLを水平面とした場合のベクトルの高さです)

(解答おわり)


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2013年10月04日(Fri)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学:平行平面の利用(5)


【問】以下の図の直線MNと直線FLの交点があれば、その交点Pを求めよ。

【解答】

(解答おわり)

 このような空間中の直線同士が交差するかどうかの判定問題は、上図のように、平行平面(面CFEと面DBA)を利用すると分かりやすくなります。

(覚えるポイント)
 交差する2直線は同一平面上にあります。
 そのため、その2直線が平行平面と交差する点同士を結んで作ったベクトルの方向は、平行する2平面では、同じ方向になります。
 2つの空間直線が面と交差する2点を結んで作ったベクトルの方向が、2つの平行平面で異なる方向を向いたならば、その2直線は交差しません。


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2013年10月03日(Thu)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学の工夫(4)


【問】以下の図の直線MNと直線FLの交点があれば、その交点Pを求めよ。

【解答】

この問題も、パラメータsであらわした直線の式と、パラメータtであらわした直線の式をイコールで結ぶだけで、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけで答えが得られます。

(注意)これらの式は、
「パラメータであらわした、直線上の点の位置の式」と
「パラメータであらわした、直線上の点の位置の式」
と言った方が数学的に正確です。
 交点Pは、直線MN上の点であり、かつ、直線FL上の点ですので、
交点Pでは、直線MN上の点の式=直線FL上の点の式の関係があります。


このベクトル方程式のベクトルa、b、cが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な(他のベクトルの線形結合ではあらわせない)場合に限り、以下の式が成り立ちます。
 
 
このように、変数2つで3つの方程式がありましたが、それでも矛盾無く解けました。
そのため、直線MNと直線FLの交点が存在します。
(2つの空間直線が交差しない場合は、この3つの式は矛盾し、解が無くなります)

解があるので、以下のように、直線の交点Pの位置ベクトルを計算します。

(解答おわり)


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2013年10月02日(Wed)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学:アフィン変換(3)


図形の問題をやさしく解こうとする数学の努力の成果の1つにアフィン変換という図形の変換技術があります。
 このアフィン変換では、平行6面体の形をひしゃげた平行6面体に変換します。

以下の問題を例にして、このアフィン変換を利用して問題を解いてみます。

【問】以下の図の直線OBと面DEFの交点Gを求めよ。


【解答】以下のように図に書き込みます。


(1)まず、O点を原点に置きます。
(2)次にD点とA点をX軸上に置いて、D点のX座標を2にして、A点のX座標を5にします。
(3)次に、E点を(2,2,0)の座標に置いて、D点と同じX座標にします。
(後でF点のX座標も2にして、面DEFを、x=2の面にします。)
(4)次に、C点を、CE:EAが1:2でCEAが直線上に乗るように座標値を決めます。
C((2−(3/2)),3,0)です。
(5)次に、F点を、そのX座標がD点及びE点と同じ2になる点に定めます。
Y座標はC点と同じ3にして、
F(2,3,2)
とすると良いでしょう。
(これで、面DEFを、x=2の面にしました。)
(6)次に、B点を、BF:FCが1:2でBFCが直線上に乗るように座標値を決めます。
B((2+(3/4)),3,3)です。
(7)G点は面DEF上の点ですのでX座標が2です。
(8)これで、B点もG点もX座標が定まったので、OG:OBの比sを計算します。
その比はX座標の値の比で計算できます。
s=8/11になりました。
(解答おわり)

 以上のように、ベクトルa、b、cであらわした立体図形を、問題が解きやすい形に変形するのがアフィン変換です。
 このアフィン変換では、直線は直線に変換して、その直線上の線分同士の長さの比は変わらないように、点の移動先の座標を定めていきます。
そして、変換した図形で、ある線分同士の長さの比が求められたなら、その長さの比は、変換する以前の図形の線分間の比と等しいです。


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2013年10月01日(Tue)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学の工夫(2)


【問】以下の図の直線OBと面β(面DEF)の交点Gを求めよ。
この問題も、パラメータsであらわした直線の式と、パラメータw、uであらわした面の式をイコールで結ぶだけで、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけで答えが得られます。

(注意)これらの式は、
「パラメータであらわした、面上の点の位置の式」と
「パラメータであらわした、直線上の点の位置の式」
と言った方が数学的に正確です。
 交点Gは、面上の点であり、かつ、線上の点ですので、
交点Gでは、面上の点の式=線上の点の式の関係があります。


このベクトル方程式のベクトルa、b、cが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な(他のベクトルの線形結合ではあらわせない)場合に限り、以下の式が成り立ちます。

(解答おわり)


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カレンダ
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