勉強しようNTTのBlog - 2013/11

算数の問題と解答とを考えていきます。




2013年11月30日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(42)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、放物線のグラフの長さや面積の関係を覚えてしまいましょう。

(1)放物線の端の傾いた扇形の高さ(厚さ)hは、放物線の中央での扇形の高さ(厚さ)hと同じです。

(2)放物線の部分の面積SとSは、矩形Xhの面積を1:2に分割した面積です。その面積は、放物線の端の扇形が傾いた形の図形でも、放物線の中央の図形でも変わりません。

 これらの関係は覚えてしまって、放物線の部分の面積の計算の際に、この関係を使って素早く面積を計算できるようにしましょう。

リンク:

高校数学の目次



2013年11月29日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(41)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、放物線のグラフをあらわす式を間違えないように、放物線の形と2次関数の式との対応をしっかり覚えておきましょう。

(1)x軸に関して放物線@と対称な放物線はAです
Y座標のプラスマイナスを置き換えた式になることをしっかり覚えましょう。

(2)y軸に関して放物線@と対称な放物線はBです
X座標のプラスマイナスを置き換えた式になることをしっかり覚えましょう。

リンク:
高校数学の目次



2013年11月28日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(40)分数は必ず文字に置き換えて計算



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・分数係数等の複雑な数値は文字に置き換えて計算する

数UBの【大問2】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
放物線Dの接線の式を求めます。

放物線が(0,b)を通る場合を考える。
分数1/3はwに置き換えて単純化して計算すること。
(分数は、必ず、単純な文字に置き換えて計算してください)


放物線Dがx軸に接する場合を考える。
ここで、分数(1/3)は、必ず、文字wに置き換えて単純化してください。
分数を係数にした式の計算を続けると計算ミスをしますので、
その計算ミスを避けるために、(1/3)≡wとするパラメータwに分数を置き換えて以降の計算をします
こうすれば計算ミスを少なくできます。


(解答おわり)

 ここで、この設問の解答欄も、この文字wで分数をあらわした解答のままの解答を書くことを求めていました。
 この問題のパターンから、この問題の出題者は、明らかに、分数(1/3)を文字wに置き換えて問題を解く事を求めていることがわかります。

リンク:
高校数学の目次



2013年11月27日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(39)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、放物線のグラフをあらわす式を間違えないように、放物線の形と2次関数の式との対応をしっかり覚えておきましょう。

(1)放物線がx軸に接する場合のグラフは以下の形の式になります。
y=X
の形になることをしっかり覚えましょう。


(2)放物線が原点(0,0)を通る場合のグラフは以下の形の式になります。
y=x(x+p)
の形になることをしっかり覚えましょう。



リンク:
高校数学の目次



2013年11月25日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(38)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下のような、3次関数のグラフと2次関数(放物線)のグラフが接する場合の図を覚えておくと、迷わず図が書け、計算が楽になり計算ミスが少なくなります。


 3次関数のグラフに接する2次関数(放物線)のグラフの図を書くには、先ず、上の2番目の図の、グラフの差のグラフを考えます。
 差のグラフも3次関数ですので、このような図が書けます。
 その差のグラフから、上の1番目の図が書けます。


 3次関数のグラフに接する2次関数(放物線)のグラフの図は、上の図のように接する場合の図も書けます。


 3次関数のグラフに接する2次関数(放物線)のグラフの図は、更に、上の図のように接する場合の図も書けます。


リンク:
高校数学の目次



2013年11月23日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(37)文字の塊を一つの文字に置き換え



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・平方完成の分数係数(1/4)は記号で単純化して計算する
・ややこしい文字式の文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする

(文字の塊を一つの文字に置き換えことで図の数値の記載の表現が簡単になる。
置き換えた文字で自由に解答を表現でき、式の見直しがし易くなる)

数TAの【大問2】の解答を、以下のように、更に改善しました。


この問題で平方完成用いて解く際に出てくる分数係数(1/4)を記号uに置き換えて計算式を単純化します。










(解答おわり)

 この問題の計算では、1/4を置き換えた記号uをたくさん使いました。これらの記号uを全て元の係数(1/4)で書くとしたら、ゾットします

リンク:
高校数学の目次



2013年11月22日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策ルール(36)


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
です。
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


リンク:
高校数学の目次



計算ミス対策(35)複雑な式は記号で単純化


<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・(a+2)程度の複雑さの式も記号で単純化する
・記号で単純化した式で計算を楽に速くミスなく行なう


数TAの【大問2】です。



この程度の複雑さの式(a+2)も記号pで単純化する。
図も、この記号pを使って見やすく描きます。






(大小記号<等の向きを変えないで式を変形する方がミスが少ない)

グラフがx軸の正と負とで交わる場合は、x=0でのyの値>0となる場合である。










リンク:
高校数学の目次



2013年11月20日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(34)平方完成の分数係数は記号で単純化



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・平方完成の分数係数(1/4)は記号で単純化して計算する

数TAの【大問2】です。


この問題で平方完成用いて解く際に出てくる分数係数(1/4)を記号uに置き換えて計算式を単純化します。










(解答おわり)

 この問題の計算では、1/4を置き換えた記号uをたくさん使いました。これらの記号uを全て元の係数(1/4)で書くとしたら、ゾットします

リンク:
高校数学の目次



計算ミス対策(33)前後式の各項対応を視線でチェック



<計算の仕方を工夫>
・変形した前後の式の各項が対応し欠けが無いか視線でチェック。
・設問に書いてある式も、視線で照合するために、自分の手で書く。

以下の問題を解くとき、以下のようにチェックします。




 式への代入の前後の式で、各項が全て対応していて欠けが無いかを視線でチェックする。
 このチェックをするために、先の1行(y=−4x−1)を自分の手で書くこと。
(視線は自動的に設問を無視し、自分の手が書いた式のみを視線がチェックするため)


リンク:
高校数学の目次



2013年11月19日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(32)平方完成の分数係数を記号で単純化



<計算の仕方を工夫>
・平方完成の分数係数を記号で単純化して計算する

以下のように、平方完成の際に出てくる分数1/4を記号uで単純化する。


以下の式の平方完成でも分数1/4がでてくるので、分数をuに置き換えて単純化する。

以下の式でも、分数をuに置き換えて単純化する。

 このように、分数1/4を記号uで置き換えて式をあらわすと、式の形が単純になり計算ミスが減ります。
 式の形が単純になると計算ミスが減る理由は、式同士を視線が容易に対比させて、式同士の対応部分を視線が把握しやすくなるからです。


リンク:
高校数学の目次



2013年11月18日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(31)分数係数を記号で単純化



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・分数係数等の複雑な数値は記号で単純化して計算する

数UBの【大問4】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
ベクトルを分解した道を視線でたどって、ベクトルの和を求めます。
直線が交差することをベクトル方程式を立てて計算する問題です。
ここでは、別解として、水平面FMLに垂直な法線ベクトルへの射影(水平面上の高さ)を利用して計算します。


これで、S=2/3の点で直線が交差することがわかりました。
次に、ベクトルOPを計算します。




ここで、ベクトルの係数に分数(1/3)が掛かった複雑な式が出てきました。
分数を係数にした式の計算を続けると計算ミスをしますので、
その計算ミスを避けるために、(1/3)≡uとするパラメータuに分数を置き換えて以降の計算をします
こうすれば計算ミスを少なくできます。


新しい点Hを図に書き加えます。 





(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次



2013年11月16日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(30)ベクトルを分解する道を視線でたどる



<図形問題の計算の仕方の工夫>
・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
・設問中に書いてある式であっても自分の手で書く。


数UBの【大問4】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
その図を見てベクトルをあらわす式を書きますが、以下のようにベクトルAEを分解する道AOEを視線でたどります。

 そして、道AOの向きがベクトルaと逆方向に進むことを確認してベクトルaにはマイナスを付けて式を書くようにします。
 こうすることで、思い込みによりベクトルaの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

 ベクトルDBも同様に、ベクトルを分解する道DABを視線でたどります。
 そして道DAの向きがベクトルaと同じ方向に進むことを確認してベクトルaにはプラスを付けて式を書くようにします。

こうして、以下の式を書きます。 

ここで、ベクトルAEの式は設問中に記載されていますが、同じ式であっても自分の手でこの式を書いておきます。
 自分の手で書く理由は、視線が計算をたどる際に、視線は自動的に自分で書いた式をたどり、設問に記載された式は無視します。そのため、視線が無視しないために、必要な式は自分の手で書いておく必要があります。 




先ずθの範囲を計算する前に、先行検算として、下図のように図を描いて、
@: θの下限を概算して、
θ≧π/3
くらいに、θの下限の値の見当をつけます。θの計算結果はこの値に近くなければなりません。

次に、上図のように図を描いて、
A: θの上限を概算して、
θ≦2π/3
くらいに、θの上限の値の見当をつけます。θの計算結果はこの値に近くなければなりません。




問題が新しくなりましたので、新たな図を書き加えます。
ここで、
というふうに、「ベクトルOFが云々」と書いてありますが、このベクトルOFは直ぐ分かるわけでは無く、
これは、(お待ちかねの)ベクトル方程式を解いてベクトルOFを求めよ、という問題です。

そういう問題であることが分かったので、ここでは、ベクトル方程式の別解として、
水平線DBに垂直なベクトルへの射影の長さ(高さ)を利用して、
EF:FAを先に求めて、
その結果を使ってベクトルOFを計算することにします。

先ずは、t=1/2と求まった結果を反映した新しい図を描きます。



(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次



2013年11月15日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(29)数値は記号で単純化



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・図の数値は記号で単純化する
・記号で単純化した式で計算を楽に速くミスなく行なう


数TAの【大問3】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
図を描く際に、複雑な数値の√7や√3を、記号cとaを単位にしてあらわすことで図の書き込みをきれいにします。

先ずxを計算する前に、先行検算として
@: xを概算して、
x≒2c
くらいに、xの値の見当をつけます。xの計算結果はこの値に近くなければなりません。

図の数値の記載を記号で単純化した事を式にも反映して、式も記号で単純化した式を書きます。
単純化記号は計算を楽にし、計算が速くミスなく行なえるようになります。

問題に解答するために、自分の楽な計算から少し脱線して答えを計算しますが、再び自分の楽な計算に戻るようにします。

(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次



2013年11月13日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(28)図形問題の先行検算方法


計算ミスの減らし方
のサイトがとても参考になります。
そのサイトが推薦している計算の概算方法は、以下のように応用して使います。

計算ミスを減らしたい

<計算の仕方を見直す方法>
・桁数を調節する
・概算でおおよその数値を求めておく
・積極的に約分する
・キリの良いもの、やり易いものから計算する
・計算の省略をしない
・可能な限りスペースを使う

計算ミスの減らし方

<概算でおおよその数値を求めておく>

  この手法を発展させた方法の、
図形問題の先行検算手法の使用例を以下に示します。

「図形問題の先行検算方法」
 この例も、数TAの【大問3】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
図を描いたら、先ずsinBを計算する前に、先行検算として
@: sinBを概算して、
sinB≒1
くらいに、sinBの値の見当をつけます。sinBの計算結果はこの値に近くなければなりません。
そして、sinBを計算して1に近い値を得たので、検算結果は○(良好)です。

(この先行検算をすることにより、図形の長さを2倍や2分の1に間違えるミスを防止できます)

次に、先行検算として、
A: rを概算して、
r≒1−α(1より少し小さい値)くらいに、rの値の見当をつけます。rの計算結果はこの値に近くなければなりません。

rの計算結果は1より少し小さい値に近いので、検算結果は○(良好)です。

次に、先行検算として、
B: IBを概算して、
IB≒√2くらいに値の見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

IBの計算結果は√2に近いので、検算結果は○(良好)です。
次に、円Oの半径rの値が複雑な数値なので、その値の長さを図に書き込むと図がきたなくなり計算の見通しが悪くなりますので、 計算の見通しを良くするため、パラメータrを単位にして図形の長さをあらわすように、もう1つの図(以下の図)を描きます。

C: 外接円Oの半径Rを概算して、
R≒1/3くらいに値の見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

Rの計算結果は1/3に近いので、検算結果は○(良好)です。

ここで、円Oと円Iの関係を調べるために新たに以下の図を描きます。



次に、新たに以下の図を描いて問題を解きます。

次に、更に以下の図を描いて問題を解きます。
D: GM/CGを概算して、
GM/CG≒1/2程度の値に見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

 この問題はスーパーメネラウスの定理を適用して上図のように解きます。
GM/CG=1/2になりましたので、検算結果は○(良好)です。
(解答おわり)

(補足) ここで、上の図では、Gが三角形FBCの重心になっているので、辺FBに対する重心Gの高さと頂点Cの高さの比から答えが出せます。それが正解です。しかし、重心以外の点についても、スーパーメネラウスの定理を適用することで問題を解くことができます。






リンク:
高校数学の目次



2013年11月11日(Mon)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(23)スーパーメネラウスの定理


【覚えよう】
 メネラウスの定理とチェバの定理と、その他の定理とを合わせると、以下の図であらわされる、直線上の線分の長さの比の関係があります。
 この関係を全部導き出すのは少し時間がかかりますので、覚えておいて、すぐに計算で使えるようにしましょう。

このスーパーメネラウスの定理は、以下のように問題にあてはめて使います。
【問題】
下図のように、
AF:FE=2:3
BF:FD=4:1
のとき、BE:ECを求めよ。

上のように、スーパーメネラウスの定理を問題にあてはめる連立方程式を立てます。
それを解いて、s,t,uを求め、
BE:EC=t:s=1:1
という解を得ました。
(解答おわり)


【究極の方法】
 メネラウスの定理は、問題を解くために、定理のパターンを図形にあてはめるために時間がかかり直ぐには使えない不便さがあります。
 一方、以下の方法は、メネラウスの定理を一瞬にして証明できる方法です。(チェバの定理を証明する場合は少し時間がかかります)
 この方法を使えば一番速く問題が解けます。
この方法を、上の問題の解き方を例にして説明します。 
問題の平面図形ABCDEFを3次元空間に配置します。
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。
上図のように点ADCの高さを(0)にし、点Fの高さを(2)にします。
すると、3次元空間での直線DBの点Bの高さは(10)になり、
直線AEの点Eの高さは(5)になります。
直線BECの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
BE:EC=(10−5):5= 5:5=1:1
です。
(解答おわり)

(補足)
 良く勉強してこの究極の方法を見つけましたので、この究極の方法があれば、メネラウスの定理は覚えなくて良くなりました。
(良く勉強すれば、覚えなければならない公式を減らせます)
チェバの定理については覚えていた方が良いかもしれません。

リンク:
高校数学の目次



2013年11月10日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(27)図形問題の先行検算方法


計算ミスの減らし方
のサイトがとても参考になります。
そのサイトが推薦している計算の概算方法は、以下のように応用して使います。

計算ミスを減らしたい

<計算の仕方を見直す方法>
・桁数を調節する
・概算でおおよその数値を求めておく
・積極的に約分する
・キリの良いもの、やり易いものから計算する
・計算の省略をしない
・可能な限りスペースを使う


 計算ミスの減らし方
 <概算でおおよその数値を求めておく>
例えば、
19.8 × 0.49 × 50 × 0.98 = ?

のような計算をするとき、ちゃんと計算する前に
おおよその答えを求めます。本当におおよそザックリでOKです。
「19.8」はほぼ「20」、「0.49」はほぼ「0.5」みたいな感じ。
よって大体、
20 × 0.5 × 50 × 1 = 500

そして最初の計算の答えは、おおよそ500に近い値と分かります。
これで普通に計算して、
90とか、2500とかいう大きくかけ離れた値となれば、
それは誤りで計算ミスをしていると分かります。

ちなみに正確な値は「475.398」です。

 この手法を発展させた方法として、以下で説明する、
図形問題の先行検算手法があります。

「図形問題の先行検算方法」
 この「先行検算方法」は、数TAの【大問3】で使ってください。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
図を描いたら、先ずAPを計算する前に、先行検算として
@: APを概算して、
AP≒3
くらいに、APの値の見当をつけます。APの計算結果はこの値に近くなければなりません。
そして、APを暗算して√10を得ました。
この値は3に近いので、検算結果は○(良好)です。

(この先行検算をすることにより、図形の長さを2倍や2分の1に間違えるミスを防止できます)

次に、先行検算として、
A: ODを概算して、
OD≒2くらいに、ODの値の見当をつけます。ODの計算結果はこの値に近くなければなりません。

ODの計算結果は2に近いので、検算結果は○(良好)です。

次に、先行検算として、
B: cos(2θ)を概算して、
cos(2θ)≒1くらいに値の見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

cos(2θ)の計算結果は1に近いので、検算結果は○(良好)です。

ACの長さは、以下のように計算できます。

 ここで、この図形の直角三角形の辺の長さがわかりましたが。
その値が分数であらわされているので複雑な値です。
 複雑な数値を扱うと計算の見通しを悪くして計算ミスを発生するおそれがあります。
 計算の見通しを良くするため、パラメータaを単位にして図形の長さをあらわすように、もう1つの図(以下の図)を描きます。

次に、△ABCの面積Sを計算します。

次に、先行検算として、
C: △ABCの内接円の半径rを概算して、
r≒3aより少し(α)小さい値に見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

rは3aより少し(α)小さい値になりましたので、検算結果は○(良好)です。
次に、問題が増えたので、更に新しい図(下の図)を描きます。
この図を使って、先ずQRをパラメータaを単位にして計算します。

QR=4aですので、円Qの半径2aと円Rの半径2aの和です。
すなわち、円Qと円Rは外接します。

次に、先行検算として、
D: AQの長さを概算して、
AQ≒6aに見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

次に、先行検算として、
E: PQの長さを概算して、
PQ≒aに見当をつけます。計算結果はこの値に近くなければなりません。

(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次



2013年11月07日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(26)計算ミスの減らし方


計算ミスの減らし方
というサイトが参考になりました。
以下、そのサイトの要点を抜粋します。

センター試験対策について

家庭教師や塾講師をしていたとき、センター試験対策は基本的にこの方針で指導していました。

中には3か月で、センター模試の平均得点率50% → 本番85%まで伸ばせた生徒もいましたから
気に入ったものがあれば、是非参考にしていただきたいと思います。


ご存知の通り僕らの年からセンター試験は色々と変更がありました。
まぁ本質はほとんど以前と同じなんだけど・・・。
色々な試行錯誤があって、得点率90%越えを達成できました。

このセンター試験についての研究と経験を生かして、
大学では4年間、家庭教師と塾講師のバイトを続けました。
担当として受け持った生徒は、4年間で70人くらいです。


計算ミスを減らしたい

意外と多い悩みに、計算を間違えるということがあります。
私が受験生だった時や、塾講師だったときに知った方法を紹介します。

<時間の掛かる方法>
・長期間に渡り計算をひたすら解きまくる
・間違えたら、その理由をメモし、自分の癖を見つける


必要以上の勉強をしたくない、面倒くさがりの私には不向きでしたが
これらをおススメしている方は多いので、効果はあるのかもしれません。

<計算の仕方を見直す方法>
・桁数を調節する
・概算でおおよその数値を求めておく
・積極的に約分する
・キリの良いもの、やり易いものから計算する
・計算の省略をしない
・可能な限りスペースを使う


こちらは私もやっています。

 どれも基本的なことではあり、当たり前の物も多いですが
それを何となくやるより、意識して計算するようにするだけで
計算ミスは相当減らせると思います。
もし、やっていないものがあれば是非やてみて下さい。


 計算ミスの減らし方
単純な計算ミスを極力減らすためにはどうすれば良いか

まずやることは、「計算の仕方を見直す」です。
基本的で当たり前のことですが、
強く意識することで計算ミスが大きく減少します。


 <桁数を調節する>
例えば、

のような計算をするとき、桁数を調節すると楽になります。



 <概算でおおよその数値を求めておく>
例えば、
19.8 × 0.49 × 50 × 0.98 = ?

のような計算をするとき、ちゃんと計算する前に
おおよその答えを求めます。本当におおよそザックリでOKです。
「19.8」はほぼ「20」、「0.49」はほぼ「0.5」みたいな感じ。
よって大体、
20 × 0.5 × 50 × 1 = 500

そして最初の計算の答えは、おおよそ500に近い値と分かります。
これで普通に計算して、
90とか、2500とかいう大きくかけ離れた値となれば、
それは誤りで計算ミスをしていると分かります。

ちなみに正確な値は「475.398」です。
<br>

 <積極的に約分する>
約分の効果については言うまでもないですね。
ただ、これは「積極的に」というのが大切です。
588 ÷ 42 =
この程度ならそのまま筆算してもほぼ出来ると思います。
ただ、30回中29回間違えなかったとしても、
その中の1回の失敗が命取りです。

ということで、「2」で約分して
294 ÷ 21
「3」で約分して  
  ※「3」で割れるかは、各桁の数字を足した値が3で割れるかで分かる
98 ÷ 7 =
ここまで約分して単純化すれば、さらに間違いは減りますよね。

<キリの良いもの、やり易いものから計算する >
これも言うまでもないですが
5 × 21 × 2 ÷ 3 =
上の式を、素直に左から計算するのではなくて
「5 × 2」と「21 ÷ 3」から先にして
10 × 7 = 70
のように計算します。

 <計算の省略をしない>
よく途中式と呼ばれるものがあります。
式変形の途中で出てくる式だったり計算の過程で出てくる式だったり。
・・・

よくある形の式だから、簡単な計算だからと油断して
途中式を省略し、いつもの形の式に変形したが、
実際は「-」が付いていたとか、sin ではなくcosだったとか
丁寧にやっていれば気が付いたミスも多いと思います。

また、式を変形した最後の段階になって
値がおかしい、形がおかしいとなった場合
省略した式の中に間違いがあると、発見が遅れたり
最悪おかしいとは思いながらも発見できない恐れがあります。


時間やスペース(問題用紙等の余白を含む)に余裕があれば
あまり省略せず、丁寧に回答することをおススメします

「途中式(中間式)を丁寧に書き、式が展開できたら必ず、その前の式に戻るかを確認する。これを繰り返して出た答えは必ず合っている。」
(式を逆向きに進むことで見方を変えて式の流れを見る)



<可能な限りスペースを使う>
これは、自分の見間違いを減らすために効果絶大です。
下のギュウギュウに詰まった式と
-84.9×7+260÷9.8=
この下の式、
-84.9 × 7 + 260 ÷ 9.8 =

確認しやすいのはゆとりのある方だと思います。
スペースが許す限り、ゆったりと書くことを意識すると
見間違いや書き間違いによる計算ミスを減らせます。

 

リンク:
高校数学の目次



2013年11月06日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(25)視線が速く動ける式を書く


計算ミスって...
というサイトに計算ミスの例がありましたので参考になりました。

以下のような計算ミスが発生し易いです。

この計算ミスをしないために、
式の等号 =
の左右にある数値同士の間で足し算・引き算の計算をしないようにしましょう。
 以下のように移項して、等号の同じ側にある数値だけで計算しましょう。

なお、以下のように移項した後なら、以下のように暗算しても、計算ミスをしないので、良いと思います。
 ここで、掛け算や割り算が入ると、その計算時間が例え0.1秒でも、視線が式の項を移項する速度の10倍も時間がかかってしまいます。
 そのため、マイナス符号を無くすためには、式の項を等号の左右に移項するようにしましょう。
 こうすると、10倍の速度で視線が動いてたどれる式になります。

 このように移項することで(−1)の掛け算を避けて、視線が高速に式をたどれるように式を書きましょう。
 (−1)を掛け算しないので計算ミスも減ります。


リンク:
高校数学の目次



計算ミス対策(24)視線が計算する


中学数学メルマガバックナンバー
(柏田優 http://ww2.wainet.ne.jp/~kasiwada
数学の問題に取り組むときの作業
というサイトに以下の助言がありました。
 とても参考になると思いますので、以下に記録しておきます。

 前々回に「=を縦にそろえて計算ミスを減らす」という方法をお伝えしました。

覚えてますか?
あれで計算ミスの3分の1は減ると思うのですが、どうでしょう?

何でや?と思う人のために少しだけ説明しておくと、
縦に=を伸ばした方が、確認の距離が近いからです。
計算結果の確認が近い方がしやすい。例えば、
 12+23+34+45=35+79=114
というのと
  12+23+34+45
 =  35 + 79
 =    114
としたとき、上のやり方は
12+23 や 34+45 の結果が離れていて視線を大きく動かさなければならないのに対し、
下のやり方は、
結果が真下にあり、計算結果の確認が視線を移動させずにできるということなんです。

 

そして今日は、=と=の間の計算ミスの減らし方をお伝えしようと思います。
これも簡単。
  『暗算しない』
ということです。
もう一度言います。暗算しないんです。

暗算出来るんだけど計算ミスをしたくないからです。

確かに、暗算した方が計算が早い場合があります。
それは、絶対に間違えないで、しかも瞬間でできる場合に限ります。

生徒の鉛筆の動きを見ていると、
式が書けているのに鉛筆が止まる生徒がいます。
「何?、なんで止まるの?」と聞くと
暗算してるんです。

暗算で答えを出した方が、遅いし、余計格好悪い。
しかも計算ミスも多くなる。

 
 いいんです。暗算しても。
でも鉛筆が5秒止まるなら暗算はやめて筆算しようよ
その方が早いから。ねっ?

なんでもかんでも暗算でやろうとすると、
逆に遅くなり、不確実になる場合があるのです。
特に、数学が苦手だという人にはです。

私は暗算をしませんが、
大学入試のセンター試験でも30分程度で終わらせることができます。
なぜかというと、違う所で時間を稼いでいるのです。

問題を見てすぐに解法が分かる問題に、時間がかかりますか?
ということです。
前回の「さりげなく隠された問題のヒントを見抜く」と関係してきますが、
数学の用語をきちんと理解していれば、問題作成者の隠したヒントがすぐに見抜けます。

隠されたヒントを利用し、裏技(教科書に無い定理を利用する)を引っ張り出しておくのです。
・・・
普段からこういうことを思い出す勉強をしていると、試験の時に時間が足りない、問題を見て考える時間が足りないなどといったことは無くなります。

この問題(数学用語に隠されたヒント)にはこの知識を利用する、
というのを覚えてしまえば、誰にでも解けるようになるのです。
ただ、それを意識して勉強している人が少ないということです。

数学の知識の引っ張り出し方を知れば、
問題が解けるようになることを知っていて、
その方法を常に伝えているからだけです。

その知識をカードにしたものが「覚え太郎」「超え太郎」なのです。
カードでできないことはいくつかあります。
 計算ミスを減らす方法もそうです。
  でも、カードの知識以外に必要な基本はそんなに多くありません。
それを補っていこうというのがこのメルマガなのです。
メルマガで基本的なことをマスターすれば後は知識の量で数学の力を伸ばすことは簡単です。

「知識の量」と「知識の使い方」の両方をマスターすれば、
数学の得点力はいくらでものびます。

中学生のうちに「知識の使い方」をマスターすれば、
高校に入れば後は「知識の量」を増やすだけです。
このメルマガを何度も読んで、「知識の使い方」マスターして下さい。

「知識の量」は自分で増やすしかありません。
英単語を覚えるのと同じことですから。


リンク:
高校数学の目次



2013年11月05日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(23)この1行が必要


しつこく計算ミスを減らす方法
というサイトに以下のような助言がありました。

「計算ミスをなくす(減らす)方法は、見直しが一番です。」

 この助言サイトは中学生に教えている先生のサイトのようです。
このサイトの内容の1つに以下の助言がありましたが、
これは高校生以上にも、私自身の計算力の改善にも役立つと思いました。

(7x−3y)−(−2x+5y)
=7x−3y+2x−5y  ←この1行を書くことで大きくちがう。
=9x−8y

 この助言は、的を得ていて、この先生の経験の深さを感じます。
「目が書ける」ように書く計算式においては、上の式の2行目は(急いでいても)省かないで書くように努めましょう。
 この1行が無いと計算ミスをする可能性が断然高くなると考えられるからです。

 こういう知恵が積み重なって、計算ミスをしないで計算できる力がついていくのだろうと思いました。


リンク:
高校数学の目次



計算ミス対策(22)目が「書ける」式が書けているかチェックする


計算ミスをなくす方法
というサイトに以下のような意見がありました。

>よく、問題を解いたら見直せといいますよね?
>正直、私は見直しの時間が無駄に思えて仕方ないので問題を解きながら見直しをしています。
>最後に見直して間違いに気づけば丸々解きなおしなんてこともあるわけで、
>そちらの方が煩わしく感じてしまいます。

 この意見はもっともな意見と思います。
計算式は、「目が書ける」ように計算式を書いて、一通り書いたら、
「目が書けるように」書けているか、「目で書いて」確かめながら式を書き進めていけば良いと思います。

 そのように、書いた式の「目で書ける」完成度をたしかめながら式を書き進めていく作業が
既に計算の見直し作業になっていると思います。

「途中式(中間式)を丁寧に書き、式が展開できたら必ず、その前の式に戻るかを確認する。これを繰り返して出た答えは必ず合っている。」
(式を逆向きに進むことで見方を変えて式の流れを見る)



リンク:
高校数学の目次



2013年11月03日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(21)目が「書ける」ように書いた例


(どこまで書けば良いのか:)
 最善の式の記述は、書いてある式を目だけで「(手を省いて)書いて」たどれるように式が書いてあればベストです。「目が式を変形したいところ」が式の変形として書いてあれば、目が迷わずに「目で式を書いて」たどれます。
(式と式の間の式の変形箇所はあまり多く無い方が、目が「書いて」たどりやすいです。)
 根拠無く式が変化した計算ミス箇所は、目が式を書いてたどることができませんので、そこでつっかえることで計算ミスが発見できます。

 以下は、問題用紙の見開きに問題が書いてあって、最後の問題を解くときに最初のページの図を見ながら計算できる場合の、「目が書ける」計算式の記載の見本です。 




リンク:
高校数学の目次



2013年11月02日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(20)計算式を目が「書ける」ように書く


ケアレスミスをなくす、解けない問題をなくす有効な方法
のサイトに以下のようなアドバイスがありました。
(1)「大学受験の勝ち組では比較的当たり前の様に作られている間違いノートですが、意外と知らない大学受験生は多いようです」
と書いてありましたが、「間違いノート」を作るのが良いと思います。

 それと、もう1つ大切な事。
(2)誰でも計算ミスをします。
 そのため、
「試験中にいかにしてそのミスを発見してリカバリするか」
という技術を学ぶことが大切だと思います。
 試験中にミスを発見するには、自分の計算のプロセスを自分で読み返して、計算を素早くたどれるように計算式が問題用紙(できれば計算用紙があるのが良い)に記載されている必要があります。
 「素早く」という意味は、時間を食うプロセス(暗算等?)がいらずに、直ぐに計算をたどって思考が流れるように式が記録されている、
ということを意味します。
 そのようにとぎれなく読めるように式が書いてあれば、その式を高速に目でたどって、素早く計算ミスを発見できます。

(どこまで書けば良いのか:)
 最善の式の記述は、書いてある式を目だけで「(手を省いて)書いて」たどれるように式が書いてあればベストです。「目が式を変形したいところ」が式の変形として書いてあれば、目が迷わずに「目で式を書いて」たどれます。
(式と式の間の式の変形箇所はあまり多く無い方が、目が「書いて」たどりやすいです。)
 根拠無く式が変化した計算ミス箇所は、目が式を書いてたどることができませんので、そこでつっかえることで計算ミスが発見できます。

 そのように式をもれなく記録するコツは、
「計算は手と目がするもの」ぐらいに考えて、「自分(自分の頭)は、自動的に動く手と目がする仕事の仕事ぶりを監督する」
ぐらいに考えて、手と目が頭に負担をかけずに仕事をする体制を整えれば良いと思います。

 要するに、頭はサボって計算して良いと思います。頭のする仕事は、(1)手と目が良い仕事をするように日ごろからプログラミングすることと、また、(2)計算ミス対策などの急な仕事だけを頭がすれば十分と思います。

(これは、とんでもない計算ミスをすることが多い人にお勧めの技術です)


リンク:
高校数学の目次



問題をやさしくする数学(22)肯定形の命題要素で組み立てる


【問】三角形に関する条件p,q,rを次のように定める。
p: 3つの内角がすべて異なる。
q: 直角三角形でない
r: 45°の内角は一つもない
命題「(pまたはq)⇒r」に対する反例になっている三角形を考えよ。

【解答】
命題「(pまたはq)⇒r」に対する反例は、
(pまたはq)及び(rでない)
です。

ここで、命題p、q、rを見ると、「〜でない」という形の否定形で書かれているので複雑な表現になっている。
それで、肯定形の命題要素を使って、表現し直す。

s: 3つの内角のどれか同士が等しい=二等辺三角形である。
t: 直角三角形である
u: 45°の内角を持つ
これらの肯定形の命題要素を使って、問題を書き直す。

(解答おわり)


リンク:
高校数学の目次



   




新着トラックバック/コメント


カレンダ
2013年11月
         

アーカイブ
2009年 (56)
2月 (1)
3月 (14)
4月 (30)
5月 (11)
2010年 (31)
7月 (1)
8月 (17)
9月 (4)
10月 (7)
11月 (1)
12月 (1)
2011年 (105)
1月 (10)
2月 (11)
3月 (16)
4月 (31)
5月 (4)
7月 (12)
8月 (12)
9月 (5)
11月 (3)
12月 (1)
2012年 (28)
1月 (3)
2月 (8)
3月 (6)
4月 (8)
5月 (1)
7月 (2)
2013年 (149)
1月 (12)
2月 (36)
7月 (5)
8月 (7)
9月 (22)
10月 (26)
11月 (25)
12月 (16)
2014年 (27)
1月 (13)
2月 (12)
3月 (2)
2015年 (47)
1月 (1)
2月 (6)
3月 (8)
4月 (16)
5月 (11)
6月 (4)
12月 (1)
2016年 (55)
4月 (4)
8月 (4)
9月 (6)
10月 (6)
11月 (22)
12月 (13)
2017年 (85)
1月 (10)
2月 (2)
3月 (5)
4月 (5)
5月 (10)
6月 (13)
7月 (15)
8月 (12)
9月 (13)

アクセスカウンタ
今日:1,936
昨日:3,509
累計:1,818,831