勉強しようNTTのBlog - 2014

算数の問題と解答とを考えていきます。




2014年03月11日(Tue)▲ページの先頭へ
数学の力とは

大人のための数学勉強法

「どんな問題も解ける10のアプローチ」

問題集の使い方
●「わかる」と「できる」は違う
●問題集の「解答」について
●問題集に載っている問題は試験に出ない
●なぜできなかったのか?
●問題ができたときは

 の内容が面白い。

 そして、数学ができるようになる大切なポイントを教えられました。

@問題が解けない。
A解き方を見る。
B再度問題を解く。
C問題が良く解けた。

 この@からCを繰り返して数学を学んでいるつもり、
という数学の勉強方法は、全然数学の勉強になっていない。

 たしかに、数学の解き方を1つ1つ覚えても、ある程度問題が解けるようになる。
しかし、それでは、本当の数学を学んだことにはならない。

 その問題の解き方を覚えるのは数学を学ぶ優先順位の第2番目です。

 数学を学ぶ第1の優先順位は、その問題に初めて直面したとき、なぜ解けなかったのかの原因を分析して、
その問題の解き方を自力で導き出す根源的方法を探ることにあります。

 その根源的方法を知っていれば、その問題に初めて出会ったときにもその問題が解けただろう、そういう方法を見つけ出す。数学の技(わざ)を磨くことです。

 そして、その技で解けるかもしれない(解き方自体も)新しい問題を探して、その問題が解けるようになっていることを調べます。
 その、根源的方法を使って、解き方が新しい問題が解けてはじめて、最初に解けなかった問題が解けるようになったと考えるのです。
 解き方を教わって解けるようになった問題は、解けるようになったものとは見なさないのです。

 そういう技を磨くには、1つ1つの未知の問題が貴重で、なるべく解答を見ないで解きます。
解答を見てしまったら、その問題を解く数学の技を磨く材料にはならなくなってしまうからです。

 だから、そういう数学の勉強をしている人に、問題の解き方を見せてしまうというのは、とても悪い事をしているとも考えられます。

 このブログでは、
今までは、問題と、その解答とを併記して説明していましたが、
それは、数学の考える力、問題を解く力を養うのには悪い作用しか与えて来なかったのではないかと反省しています。

 これからは、このブログは、過去の記事にまでさかのぼって、
問題と、その解き方とは、分けて書いて、
読者が、先ずその問題を自力で解くことができるようにし、数学の技を磨くチャンスを読者から奪わないようにします。

 それと、その問題の解き方の説明においても、単に問題の解き方を提示するのでは無く、
その解き方が、どのような方法を用いることで導き出せるかを説明するようにしたいと思います。



2014年03月10日(Mon)▲ページの先頭へ
数学が得意になる考え方

ここが違う 数学が苦手な人、得意な人の「考え方」 

日経おとなのOFF


 数学が苦手な人の多くは、自分には才能がないと思い込みがち。でも、それは間違い。「アプローチ法さえ知っていれば、問題は解ける」と、おとなにも人気の数学塾塾長・永野裕之さんは説く。ポ イントは「考え方」。数学が得意な人が実践する、問題を解くための「6つのアプローチ」を紹介。日常生活にも役立つものばかりだ。

 「数学が得意な人と苦手な人との大きな違いは、才能ではなく、問題を俯瞰(ふかん)して捉えられるか否かです」。こう話すのは、永野数学塾の塾長・永野裕之さん。

  なぜなら、どんなに難解に見える数学の応用問題も、基本問題の組み合わせから成り立っているからだ。つまり難解な問題も、俯瞰して見れば、いくつかの容易 な基本問題に分解できるのだ。複雑に絡み合った基本問題を解きほぐすには、問題へのアプローチ法(考え方)を知っておくことが有効な手段となる。「数学が 得意な人ほど、問題を解きほぐし『そもそも』の部分に立ち返るのがうまい」と永野さんは指摘する。

 ここでは日常生活にも役立つ6つの問題に対するアプローチを紹介する。このアプローチを覚えておけば、未知の問題を前にひるむことがなくなるはずだ。その上で問題を俯瞰して考えることが、難解な問題を解く第一歩となる。
 
・数学が得意な人→問題を俯瞰できる
・数学が苦手な人→問題の壁の前で立ち止まっている



2014年02月23日(Sun)▲ページの先頭へ
美しい数学:美しい問題の種
大学への数学V&Cの勉強

【美しい計算方法の例】
以下の式の因数分解の計算方法は解き方が美しいです。
そのため、この解き方で式を計算すると簡単に解けるように仕組んだ問題を作成しようとする出題者が出るかもしれませ3ん。


【別解】
上の式は、多くの人は以下のようにして計算するのではないかと思います。
しかし、以下の計算方法はとても苦労し、美しくありません。







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2014年02月20日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学:平方完成の検算
大学への数学V&Cの勉強

【検算の参考例】
以下の式を平方完成して、その検算の1例を示します。

上の式は、以下のように検算できます。
この検算方法が優れている点は以下の点にあります。
2つの式の検算で結果が合わなかったときに考えられること。
(1)検算の計算が間違っている。
(2)検算された対象の式の計算が間違っていた。
このどちらなのかを決定しなければなりません。
  しかし、元の式の計算の誤り箇所がなかなか発見できず、(1)の可能性が疑われる場合があります。
その場合は、以下のように代入する数値を変えて、もう1度検算すると良いです。そうすると検算の誤りも検算することができます。


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2014年02月19日(Wed)▲ページの先頭へ
微分を利用して平方完成する公式
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
以下の式の平方完成の計算は、微分を利用すると楽になります。

上の式が、微分を利用した平方完成の公式です。

(例題1)
以下の式を平方完成します。

 この解の方針に従って、以下のように計算します。

(第2の場合)
 xの2乗の項が2つ以上ある場合は、以下のように計算します。

 このように計算すると、平方完成の計算を、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。

(普通の平方完成の計算の方が速い場合)
 しかしながら、以下の式の場合のように、既に式がきれいな式に展開済みの場合は、
普通の平方完成の計算の方が速く答えを計算できます。

文字係数kが混ざっている式の場合は、通常の平方完成の計算の方が楽です。

 どの計算方法が最も速く答えを出せるか、状況に応じて使い分けてください。

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2014年02月17日(Mon)▲ページの先頭へ
美しい数学:放物線と直線の交点
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 上図の式の放物線と直線の交点を、計算ミスが少なく計算する方法を示しますので、覚えて使ってください。

【交点の座標xの計算方法】
 先ず、以下のように、その直線と同じ傾きを持つ放物線のx座標sを計算します。

 次に、そのx=sの位置での放物線のy座標と直線のy座標とを計算します。
(放物線の係数)(x−s)=(直線のy座標)−(放物線のy座標)
の式により、交点の座標Xが求められます。

 この式は、直線と放物線の式を連立させて解くことで得られる式と同じ式です。
方程式を解くよりも以上のやり方で計算する方が、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。


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2014年02月16日(Sun)▲ページの先頭へ
美しい数学:ベクトルの内積の式の解の存在条件
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 上図で、ベクトルの内積の値は所定の範囲に限られることを強く意識してください。
 ベクトルの内積を用いた方程式の解の存在条件がこの式になります。

【問題】
 固定ベクトルaに対して、任意のベクトルpに対して以下の方程式を成り立たせるベクトルbの解が必ず存在するものとする。
 この条件を満足するベクトルaの範囲を求めよ。


【解答】 

 
 この式の解が存在するためのベクトルaの範囲は上の式で与えられる半径1以下の円内の点です。
(解答おわり)

 この問題の出題意図は、以下のように考えられます。
 ベクトルの問題に限らず、数学の複雑な問題はコンピュータを利用して解きます。
 そのとき、コンピュータを使用する人間に求められる大切な能力は、
(1)コンピュータが正しく答えを出せるような、コンピュータが解ける問題をコンピュータに与えているかどうかの判断力。
(2)コンピュータの出した答えが間違っていないか、その答えの概要を予測する能力。
です。
 この問題は、その「答えの予測力」を問う問題です。
 出題者の意図通りに、「答えの予測力」を示した解答を書くようにしましょう。

 ベクトルaが半径1の円の外にある場合における「答えの予測」も、以下のように予測できるようになりましょう。

ベクトルaが半径1の円の外にある場合は、上の式のように、解を与えるベクトルpが制限されます。この条件が満足されないベクトルpに対してはベクトルbをどのように選んでも方程式を満足させることができず、解が存在しません。

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2014年02月15日(Sat)▲ページの先頭へ
美しい数学:計算のメリハリ
大学への数学V&Cの勉強

(計算で注意する点)
 普段は解ける問題が、試験会場では以下に示す計算のメリハリを忘れて、問題が解けなくなる人がいます。
 試験の場で、計算のメリハリを忘れることのないように、普段から計算のメリハリを意識するようにしましょう。

【問1】

 上図で、Y軸上の点Aを中心にする円が左右の双曲線に点Bと点Cで接しています。
この場合に、三角形ABCが正三角形になるような円の中心のY座標aが存在する条件を求めよ。

【解答】
 以下のように計算していきますが、以下に示すように、言われなくても常に、方程式の解が存在する条件に注意して計算にメリハリを付けるように心がけましょう。

 この式の解が存在するための条件は上の式ですが、
メリハリの無い計算をしていると、この上の式があらわれたときに、その解の存在条件を考えずに、この式が解のカギであるという式の意味を見落としてしまうことがあります。
 この意味を見落として、この式を素通りして、他の式の計算に迷い込んで答えが得られない泥沼に陥る恐れが出てきます。
 そのため、メリハリのある計算で、常に解の存在条件を(言われなくても)意識して計算するようにしましょう。

ただし、b≠0

これで、三角形ABCを正三角形にできる条件が得られました。
(解答おわり)


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2014年02月13日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学:解が存在する条件の計算
大学への数学V&Cの勉強

【解が存在する条件の計算】
(注意点)
 数学の方程式の解が存在するための条件を求める問題は、以下の形の式に変形して解きます。

 この式の解が存在するための条件は:
です。
 ここで、露わに2乗の形であらわした式は正又は0であることがわかるので扱いやすいです。
 しかし、露わにはわからないが、恒等的に正又は0である式があります。そういう式を早期に発見する注意が必要です。そういう式は限られていますので、どの式がその条件を満足しているか覚えてしまいましょう。
 以下で、g(x,y,z)が正又は0である式の場合を示します。

 g(x,y,z)が恒等的に正又は0であることがわかれば、問題を解く主な注意を残りの項h(x,y,z)に向け、その項を因数分解することで、方程式の解の存在条件の式を求めます。
 上の式の項h(x,y,z)は、h(a,b,c)による三角形の面積の二乗の式(にマイナスを掛け算した式)が変形された式ですので、その場合の公式として覚えていた因数分解のパターンを思い出して書くことで瞬時に因数分解できました。
 以下に、より具体的に変形された式h(x,y)の場合の因数分解の例を示します。

 こうして、式g(x,y)が恒等的に正又は0である式であることに早期に気付いて、問題を解く注意を式h(x,y)を因数分解する方に向けます。そして、h(x,y)を因数分解して、方程式の解が存在する条件を求める計算を進めます。

(参考)
 以下に、h(x,y,z)の因数分解の計算を示します。 

この因数分解は、x,y,zを入れ替えた形の他の2つの解もあります。
 上の式でx,y,zの値がマイナスの場合には、その値の平方根は複素数になります。


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2014年02月11日(Tue)▲ページの先頭へ
美しい数学:三角形の面積の式の因数分解
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 以下の図の三角形の面積Sの二乗を三角形の複数の辺であらわす式と同じ形の式が問題の中に隠れてあちこちで出現します。
 そのため、この形の式を変換した式をみな覚えてしまってください。
 そうすれば、それらの式を変形計算しなければならない問題に直面したときに、計算間違いを正して正しい答えにたどりつくことができるようになります。

 この面積Sの2乗に(−1)を掛け算した式が以下のように変形できます。
 最初の因数分解された形の式が、この式@の形の式になることを覚えてください。

 更に式を変形すると以下の式になります。 

 最初の因数分解された形の式が、この式Aの形の式になることを覚えてください。

【式@の応用】
 以下のように、三角形の面積を求めるとき、式@の形で三角形の面積の2乗を与える定理が利用できます。



【式Aの形の式を因数分解する計算】
 この式Aを因数分解する場合は、以下のように計算することで、式Bが得られることを覚えてください。
 そうすれば、この式Aを因数分解する問題に直面したときに、計算間違いをせずに正しく因数分解して式Bを得ることができるようになります。

 この式Bのパラメータa,b,cを入れ替えた式も、式Bに等しい式です。

 この式Bは更に因数分解できて以下の式Cになることを覚えてください。 


【変形した形の式Aを因数分解する問題】
 式Aの形が以下のように変形された形であらわれた場合も因数分解できるようになってください。


【変形した形の式Aを因数分解する問題(その2)】
 以下のように変形された形の式も因数分解できるようになってください。 

 ここで、式Dの形の式が、以下の式Eと同じ式であることが意識できるように、式Dと同じ式のバラエティ(式Bのパラメータa,b,cを置き換えた式が全部同じこと)を覚えてください。

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2014年02月08日(Sat)▲ページの先頭へ
美しい数学:2変数の式の因数分解が解のかなめ
大学への数学V&Cの勉強

【問い】
以下の図の原点OとA(1,0)とB(0,1)に対して点Pが、以下の関係の位置にある。
OP:AP:BP=1:a:b
とする。 ここで、a≧0,b≧0,である。

このとき、点Pが存在するためのa,bに対する条件を求め、ab平面に図示せよ。

【解答の方針】
 この問題は、以下のようにOPをベクトルで与え、その点Pの座標をa,bであらわす方程式を立てることで計算できます。
 そうすれば、ウェブサイトなどの通常の解答例で紹介されている、aを一定にしてP点の描く円とbを一定にしてP点の描く円との交差を判定して解を得るという煩雑な計算を避けることができます。

【解答】
 以下のように、P点の座標PxとPyとaとbとの関係をあらわす方程式を設定します。
ここで、計算の見通しを良くするため、aやbの少し複雑な式はただちにαやβで置き換えて、方程式を極力単純な形であらわします。
αやβであらわせる式は、aとbであらわせる式です。
(これをしないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります)

次に、PxとPyをあらわすパラメータsを導入して、方程式@とAを同じ1つの式Bであらわします。そして、PxとPyを式CとDのようにsであらわします。
(このように単純化していかないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります)

そして、sであらわしたPxとPyを式Bに代入することでsの2次方程式が得られます。

(例外条件での解の計算)
 割り算して式Bを得た割り算した項α=(a−1)とβ=(b−1)とは、0で無いことが前提になっています。その項α=(a−1)とβ=(b−1)が0であった場合の例外条件の解は以下のように計算できます。
(1)ここで、αやβの一方が0で他方が0で無いときは、他方のパラメータに関してはBが成立しますので、以項の計算でパラメータの条件が得られて解が得られます。
(2)また、αとβの両方が0の場合、それは、a=1,b=1を意味し、
そして、式CとDから得られるPx=1/2,Py=1/2という解が存在します。

 更に式をパラメータγを使って単純化します。
αやβやγであらわせる式は、aとbであらわせる式です。

そして、sの2次方程式のsの解の式を平方完成により計算します。

こうして平方完成することで、sをα、β、γから求める解の式ができあがりました。このsの解を式CとDに代入すると点Pの座標PxとPyをα、β、γであらわす式が得られます。

 sが実数解を持つとき、PxとPyが実数であらわせます。点Pの座標が実数になる必要十分条件はsが実数解を持つことです。そして、sが実数解を持つための必要十分条件はq≧0です。
その、q≧0となる条件を以下で計算します。
 以下の計算は技巧的ですが、この技巧が無ければこの問題は解けません。
この計算技術を必ずおぼえてください。
 この計算のポイントは、
(1)(α+1)(β+1)の項ができるように、αβの項を残して割り当てること。
(2)α+1がaであり、β+1がbであることを良く意識すること。

これで、qを因数分解する準備が整いました。
以下で、これを因数分解して、aとbに必要な条件を求めます。


上の図で、aとbが正の領域が解の条件(a≧0,b≧0)の範囲です。
この範囲には、例外条件で得た解の、(a,b)=(1,1)という解も包含されています。
(解答おわり)

(補足)
 ここで、qの式はαとβであらわしてあったので比較的に因数分解がしやすくなっていました。この式をaとbだけであらわして因数分解する場合は、以下の式になります。この場合の解き方のコツは、(a+b)の関数で大部分の項をあらわすようにすると、解けます。

(補足2)
 qの式をaとbだけであらわして因数分解する場合は、以下のようにしてaの2次式に形を整理して解くこともできました。


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2014年02月06日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学の関係:三角形のベクトル計算で外心を原点にする
大学への数学V&Cの勉強

【問い】
三角形の重心をGとすると、以下の辺の関係が成り立つことを証明せよ。



【解答の方針】
 この問題をベクトルの計算で解く際に、以下のように、外心を原点にしたベクトルで計算します。
 そうすれば比較的に解きやすくなります。

【解答】

(証明)
(証明おわり)

【別解】
以下のように計算しても解くことができます。
ただし、この計算はかなり技巧的になります。

(証明おわり)

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2014年02月05日(Wed)▲ページの先頭へ
美しい数学の関係:外心から垂心までのベクトル
大学への数学V&Cの勉強

以下のように、外心から垂心までのベクトルは美しい式であらわせます。
そのため、この関係が入学試験の種になるかもしれません。


(既に出題済みの有名問題ですので、出題されるときは、形が変えられる)

(証明)
 このベクトルOHが垂心の位置のベクトルになることは、以下のようにして証明できます。


CHがABに垂直で、かつ、AHがBCに垂直なので、Hは三角形ABCの垂心である。
(証明おわり)


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2014年02月01日(Sat)▲ページの先頭へ
3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根
大学への数学V&Cの勉強

以下の3次方程式の1つの根がわかっているときに
残りの2つの根を計算する問題があります。
 この問題を自分で解く計算を間違えないために、その計算の答えを覚えておいて、その答えと照合して検算できるようになりましょう。
以下に、その答えを整理して書きましたので覚えてください。


【問題】
y=x−ax と、 y=h との1つの交点のX座標の値がγである場合、他の交点のX座標の値αとβを求めよ。

 この解の式は、yの微分(y’)を使ってあらわせます。
 この解を求める計算には微分の計算はしていませんでしたが、2根の中点のyの微分が0になる場合は、その中点で重根を持つ(3次曲線がx軸に平行な直線と接する)関係をあらわすという意味を持っています。
 この式は、そういう美しい数学の関係をあらわしていて興味深いです。
 (こういう美しい数学の関係ばかりを入学試験に出す大学もあるようです。そういう大学の入学試験対策は、数学の美しい部分を探して覚える勉強が有効だと思います。)

以下に、正式に計算します。この計算結果を検算するために上の式を利用してください。 



3乗の項にcが掛かっている3次方程式の答えは以下のようになります。

次に、以下の3次方程式の、1つの根がわかっている場合の残りの根を計算します。


以下に、正式に計算します。この計算結果を検算するために上の式を利用してください。



3乗の項にcが掛かっている3次方程式の答えは以下のようになります。
一般的な3次方程式の解は以下の式であらわせます。
以下で、微分の計算により、解に微分の式が用いられることを証明します。
以下では、c=1の場合を計算します。 

(証明おわり)

(解の続き)
以上の計算の結果、平方根の式を使って、γ以外の2根を与える式が以下の式で得られた。
しかし、これで解答は終わらず、この式から根号を外すことができる。
 根号を外す方法を以下の式の場合を例にして示す。
この式3の根の1つをγとする。
それ以外の根のαとβは以下の計算で得られていた。
この式の平方根の式は以下の式である。
この根号は、
「平方根の式を多項式に変換する問題」
のページの計算をすることで外すことができる。
その結論は、以下の式であらわされる。
(解答おわり)

【別解】
 上の解以外に、3次方程式の1つの根を用いて他の根をあらわすることができます。
以下の式1の根の1つがαである場合、そのαを使って、他の根を以下ようにあらわせました。
 ここで、αを以下の式4のkに置き換えてあらわす。
なぜこの式のkに置き換えるかという根拠は、全くの偶然で、そうすれば良いことが分かったからです。
 この式6は、kを以下の式sに置き換えると、式1と同じ式8になります。そのためsは式1の根の1つ(それをβとする)をあらわします。
これで2つの根が求められたので、残りの根γは、式1の根と係数の関係を使って、以下の式で計算できます。
 このように1つの根αが分かれば、式1の他の根が式10と式12で計算できました。

(解答の続き)
 以上で求めた式β,γは、以上の分数式10,12に限らず、式3を使うことで、普通の多項式に変換できます。

(γの分数式の変換)
 (βの分数式の変換)
結果を整理し以下の解が得られた。
(解答おわり) 
 
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2014年01月31日(Fri)▲ページの先頭へ
4乗すると負の単位行列になる行列
大学への数学V&Cの勉強

4乗すると負の単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、4乗すると負の単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

以下で、この行列Mの2乗から4乗まで順に計算していきます。

この4乗の結果が負の単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、係数が実数の解だけを求めます。
この式@とAが求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。




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2014年01月28日(Tue)▲ページの先頭へ
3乗すると単位行列になる行列
大学への数学V&Cの勉強

3乗すると単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、3乗すると単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

3乗すると単位行列になる行列Mを、これらの行列要素の和に分解して考えます。
 
この3乗の結果が単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、この式を解きます。
(注意)以下の計算で、gのパラメータが複素数になる解もあります。その解も正しい解ですが、とりあえず、係数gが実数の場合の行列だけを求めることにします。
また、Hが0行列であってMがもともと単位行列であったという自明な解を省きます。

この式@とAが求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。






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行列の積の素早い計算方法
大学への数学V&Cの勉強

以下の行列の掛け算の計算方法が、通常の計算方法の数倍ぐらい速いので、覚えておきましょう。

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2014年01月27日(Mon)▲ページの先頭へ
行列の便利な要素の関係式
大学への数学V&Cの勉強

以下の行列の要素の関係が便利なので、覚えておきましょう。
(以下の式で、I,A,B,Cは行列を示し、a,b,cは定数を示します)


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2014年01月26日(Sun)▲ページの先頭へ
複数回繰り返すと0になる操作
大学への数学V&Cの勉強

以下のように、1回目の操作では値が0にならないが、2回以上繰り返すと結果を0にする操作があります。

【例1】

【例2】


(この操作を利用した問題)
 このように演算を複数回繰り返すと値が0になる演算を利用すると、数列の問題を作ることができます。つまり、これらの演算を施して順番に次の関数や行列を作るという数列の問題を作ることができます。

 その数列の問題は、一見難しそうに見えますが、演算を2回以上繰り返すと値が0になるということが理解できると、問題がやさしく解けます。



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2014年01月24日(Fri)▲ページの先頭へ
三角関数の3倍角の公式の問題
大学への数学V&Cの勉強
いろいろな曲線

【問題】
以下の式であらわされる曲線の問題を解きます。
(問題おわり)

 この問題は、以下のようにして解くことができます。

(解答はじめ)
 三角関数は、積の形よりも和の形であらわす方が単純な形であると心得て、これから、三角関数が和の形であらわされるまで計算を続けます。
 
(解答おわり)

(この問題を解いてみてわかった知恵)
 解答を正しく導くためにおぼえるべき3倍角の公式は、以下の公式を覚える方が、解答の助けになる。



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2014年01月23日(Thu)▲ページの先頭へ
ループで囲まれた図形の面積の計算
大学への数学V&Cの勉強
積分の応用

【解説】
ループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積を計算するときには、以下のようにして計算すると計算ミスも少なく答えが得られますので覚えておきましょう。
上図のようなおむすび形の境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を一周するものとします。

この場合に、上図の図形のx方向の幅が細い微小面積であってその先端が図形の境界位置でy座標が大きい側にある微小面積を考え、それをx方向の正方向に積分することで面積を加算します。


次に、上のような、図形のy座標が小さい側の境界を先端にするx方向の幅が細い微小面積をx方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、y座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、上の式であらわされるように、パラメータθを用いた1つの単純な積分計算に帰着します。
上のような、図形のx座標が大きい側の境界を先端にすろy方向の幅が細い微小面積をy方向の負方向に積分した値にマイナス1を掛け算することで面積を加算します。 
次に、上のような、図形のx座標が小さい側の境界を先端にするy方向の幅が細い微小面積をy方向の正の方向に積分した値にマイナス1を掛け算することで、負の面積を加算します。すなわち、x座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。
上図のような曲線の境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を1方向に移動するものとします。

この場合に、その曲線とx軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、以下のように計算します。

先ず、上のような、図形のy座標が大きい側の境界を先端にする微小面積をx方向の正方向に積分することで面積を加算します。

次に、上のような、図形のy座標が小さい側の境界を先端にするx方向の幅が細い微小面積をx方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、y座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。
上図のようなy座標が負である曲線の境界線とx軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、上の式で計算します。
求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。


【問題】
以下の式のように、 境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を一周する場合に、このループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積Sを計算せよ。
(問題おわり)

 この問題は、上で説明したようにパラメータθで単純な積分計算をすることで解けます。
試験問題で上の積分計算を利用して解答を書く場合は、(時間に余裕があったら)上の説明を簡単に解答に書いて、その計算の正当性を説明するようにしてください。


(解答はじめ)
  (解答おわり)

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2014年01月10日(Fri)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(27)方べきの定理を思い出す視線

【覚えよう】共有線の辺を持つ2つの相似三角形の2辺の長さの定理

 以下の図を覚えておいて、相似な三角形を見出すように視線を運んで、方べきの定理を一瞬で想像できるようになりましょう。


 以下の図も覚えておいて、相似な三角形を見出すように視線を運んで、線の長さの関係を一瞬で想像できるようになりましょう。



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2014年01月09日(Thu)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(26)接弦定理を思い出す視線


【覚えよう】
 以下の図を覚えておいて、T点の近くにU点が突出していると想像するように視線を運んで接弦定理を一瞬で想像できるようになりましょう。

そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。

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2014年01月04日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(60)各項への視線オーラの結び付け

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 上の計算のように、1行の式を書き始めたら、1項書く毎に、視線で「書いた項から元の項まで視線を戻して視線が戻ってくる視線ブーメランチェック」を高速に行う。
 この視線ブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
 この視線ブーメランチェックは、計算式で関連する式の項同士を結ぶ見えない糸=視線オーラを項に結び付けることと考え、式の項を書く毎に、常に、その視線オーラで関係する式と結ぶ作業を行ってください。また、結んだ視線オーラを生かすために、式を1行書いた後でも再度視線チェックをして、視線を何度でも他の式との間で往復させることを苦にしないようにしましょう。


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2014年01月03日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(59)平方完成で書く式(その2)



計算ミスを無くす方法
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計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 先のページで、平方完成の計算の2行目の式を書くように言いました。その式は複雑なので空想できないので手で書かなければならないとも言いました。
 しかし、以下のように工夫すれば、式をより単純化でき、また、空想できるようになり、式を空想するだけで、手で書かなくても良くなります。
 そのことを、以下の式の平方完成を例にして示します。

 上の計算では、視線が積のペアを生成した式を2行目に書きます。3行目の式を書く際に、同じ値のプラスとマイナスの合計0のペアの項を生成して式を書きます。
 2つのペア生成を、2行目の式と3行目の式に分けることで、2行目の式が単純になりました。

 この式の展開では、2行目の式が単純化されたので手で書く手間が少なくなり、また、2行目の式の全体を正確に空想することができるようになったので、この2行目の式は空想するだけでも良くなりました。

 以下の式も同様にして計算できます。

この式では、まだcについて約分する必要があります。その約分は、以降で式を展開する際に行ないます。

 以上の例のように、単純化された2行目の式が正確に、しかも素早く、空想できる人は空想だけで紙に書く式を省略しても良いです。
 また、この2行目の式を自分の手で書いてもそれほど手間がかかりません。


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2014年01月02日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(58)平方完成で書く式



計算ミスを無くす方法
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とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 以下の式の平方完成の計算を考えます。 


上の計算では、視線が積のペアを生成し、次に、同じ値のプラスとマイナスの合計0のペアの項を生成した式を描きます。
 そして、手が式を書いた後で、再度の視線チェックで、計画通りに、ペアの項が生成されていることをチェックします。

 この式の展開では、3行目のマイナス記号が複雑なので、3行目の式の全体を正確に空想することができないので、この3行目の式は目に見えるように書いてください。

 次に、以下の式の平方完成も練習してみましょう。 


この式の展開も、3行目のマイナス記号が複雑なので、3行目の式全体を正確に空想することができないので、この3行目の式は目に見えるように手で紙に書いてください。

 以上の2つの例のように、正確に空想できない式は、目に見えるように手で書きます。もっと単純な式で3行目の式が正確に、しかも素早く、空想できるならば空想だけで紙に書く式を省略しても良いです。
 正確に素早く空想できる式は空想だけで書く作業を省略しても良いですが、正確な空想が怪しい式は必ず自分の手で書くようにしてください。 

 
 平方完成の計算では、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが完全に行なえるように、以上の計算における3行目の式を自分の手で書くよう心がけてください。

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2014年01月01日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(57)視線ペア生成チェックと積の視線チェック



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
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計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 以下の、平方完成の計算を考えます。 


 上の計算では、視線が同時に、同じ値のプラスとマイナスの項で、合計0の項を生成した式を描きます。
 そして、手が式を書いた後で、再度の視線チェックで、計画通りに、同じ値のプラスとマイナス0の項が生成された式が書けていることをチェックします。
 これを、視線ペア生成チェックと呼びます。

ここで、@では、式の値が2乗になっていることもチェックします。
すなわち、「視線が2乗の計算をする」のです。


 3行目の式の視線チェックが終わったら4行目の式を書き、以下の視線チェックをします。 
  この視線チェックを行なう中で、DEの視線チェックでは、(−1)とaの積を計算します。すなわち、「視線が積の計算をする」のです。

 平方完成の計算では、以上のように、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが十分行なえていないのが計算ミスの原因かもしれません。

 なお、平方完成になれてくると、以下の式の3行目の式を頭の中だけに描いて空想の式を視線チェックして、4行目の式に変換して、4行目の式を実際に記載する計算をするようになります。

 @のチェックでは、いつも必ず(−a)を掛け算し、Aのチェックでは、必ず2乗にします。
 ここで、2行目の式を4行目の式に変換する式を公式として覚えて使う場合にも、必ず3行目の式を空想して空想の式に対して視線チェックを行ない、4行目の式に記号の間違い等が無い事を確認して使います。

 3行目の空想中の式は、積のペア生成視線チェックと、プラスとマイナスの項を生成する視線ペア生成チェックを同時に行ないますが、その方がハッキリ空想することができ覚え易いです。


 なお、視線チェックでは、目を自分の持っているコンピュータだと考え、紙に書く式は、そのコンピュータが読み取れるプログラム言語とみなすと良いと思います。
 視線コンピュータに、視線が式の上を動いて計算するルールを決めておいて、そのルールに従って書かれた式を視線が読み取って、次に書くべき式も視線コンピュータが決めるようにすれば良いです。

 自分の視線をコンピュータとして使えれば、計算は目にまかせられるので、自分の頭では細かい計算のことを一々考えないで良くなるので、計算がとても楽になります。

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