勉強しようNTTのBlog - 2014/01

算数の問題と解答とを考えていきます。




2014年01月31日(Fri)▲ページの先頭へ
4乗すると負の単位行列になる行列
大学への数学V&Cの勉強

4乗すると負の単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、4乗すると負の単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

以下で、この行列Mの2乗から4乗まで順に計算していきます。

この4乗の結果が負の単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、係数が実数の解だけを求めます。
この式@とAが求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。




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2014年01月28日(Tue)▲ページの先頭へ
3乗すると単位行列になる行列
大学への数学V&Cの勉強

3乗すると単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、3乗すると単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

3乗すると単位行列になる行列Mを、これらの行列要素の和に分解して考えます。
 
この3乗の結果が単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、この式を解きます。
(注意)以下の計算で、gのパラメータが複素数になる解もあります。その解も正しい解ですが、とりあえず、係数gが実数の場合の行列だけを求めることにします。
また、Hが0行列であってMがもともと単位行列であったという自明な解を省きます。

この式@とAが求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。






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行列の積の素早い計算方法
大学への数学V&Cの勉強

以下の行列の掛け算の計算方法が、通常の計算方法の数倍ぐらい速いので、覚えておきましょう。

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2014年01月27日(Mon)▲ページの先頭へ
行列の便利な要素の関係式
大学への数学V&Cの勉強

以下の行列の要素の関係が便利なので、覚えておきましょう。
(以下の式で、I,A,B,Cは行列を示し、a,b,cは定数を示します)


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2014年01月26日(Sun)▲ページの先頭へ
複数回繰り返すと0になる操作
大学への数学V&Cの勉強

以下のように、1回目の操作では値が0にならないが、2回以上繰り返すと結果を0にする操作があります。

【例1】

【例2】


(この操作を利用した問題)
 このように演算を複数回繰り返すと値が0になる演算を利用すると、数列の問題を作ることができます。つまり、これらの演算を施して順番に次の関数や行列を作るという数列の問題を作ることができます。

 その数列の問題は、一見難しそうに見えますが、演算を2回以上繰り返すと値が0になるということが理解できると、問題がやさしく解けます。



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2014年01月24日(Fri)▲ページの先頭へ
三角関数の3倍角の公式の問題
大学への数学V&Cの勉強
いろいろな曲線

【問題】
以下の式であらわされる曲線の問題を解きます。
(問題おわり)

 この問題は、以下のようにして解くことができます。

(解答はじめ)
 三角関数は、積の形よりも和の形であらわす方が単純な形であると心得て、これから、三角関数が和の形であらわされるまで計算を続けます。
 
(解答おわり)

(この問題を解いてみてわかった知恵)
 解答を正しく導くためにおぼえるべき3倍角の公式は、以下の公式を覚える方が、解答の助けになる。



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2014年01月23日(Thu)▲ページの先頭へ
ループで囲まれた図形の面積の計算
大学への数学V&Cの勉強
積分の応用

【解説】
ループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積を計算するときには、以下のようにして計算すると計算ミスも少なく答えが得られますので覚えておきましょう。
上図のようなおむすび形の境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を一周するものとします。

この場合に、上図の図形のx方向の幅が細い微小面積であってその先端が図形の境界位置でy座標が大きい側にある微小面積を考え、それをx方向の正方向に積分することで面積を加算します。


次に、上のような、図形のy座標が小さい側の境界を先端にするx方向の幅が細い微小面積をx方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、y座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、上の式であらわされるように、パラメータθを用いた1つの単純な積分計算に帰着します。
上のような、図形のx座標が大きい側の境界を先端にすろy方向の幅が細い微小面積をy方向の負方向に積分した値にマイナス1を掛け算することで面積を加算します。 
次に、上のような、図形のx座標が小さい側の境界を先端にするy方向の幅が細い微小面積をy方向の正の方向に積分した値にマイナス1を掛け算することで、負の面積を加算します。すなわち、x座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。
上図のような曲線の境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を1方向に移動するものとします。

この場合に、その曲線とx軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、以下のように計算します。

先ず、上のような、図形のy座標が大きい側の境界を先端にする微小面積をx方向の正方向に積分することで面積を加算します。

次に、上のような、図形のy座標が小さい側の境界を先端にするx方向の幅が細い微小面積をx方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、y座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。
上図のようなy座標が負である曲線の境界線とx軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、上の式で計算します。
求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。


【問題】
以下の式のように、 境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を一周する場合に、このループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積Sを計算せよ。
(問題おわり)

 この問題は、上で説明したようにパラメータθで単純な積分計算をすることで解けます。
試験問題で上の積分計算を利用して解答を書く場合は、(時間に余裕があったら)上の説明を簡単に解答に書いて、その計算の正当性を説明するようにしてください。


(解答はじめ)
  (解答おわり)

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2014年01月10日(Fri)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(27)方べきの定理を思い出す視線

【覚えよう】共有線の辺を持つ2つの相似三角形の2辺の長さの定理

 以下の図を覚えておいて、相似な三角形を見出すように視線を運んで、方べきの定理を一瞬で想像できるようになりましょう。


 以下の図も覚えておいて、相似な三角形を見出すように視線を運んで、線の長さの関係を一瞬で想像できるようになりましょう。



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2014年01月09日(Thu)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(26)接弦定理を思い出す視線


【覚えよう】
 以下の図を覚えておいて、T点の近くにU点が突出していると想像するように視線を運んで接弦定理を一瞬で想像できるようになりましょう。

そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。

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2014年01月04日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(60)各項への視線オーラの結び付け

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 上の計算のように、1行の式を書き始めたら、1項書く毎に、視線で「書いた項から元の項まで視線を戻して視線が戻ってくる視線ブーメランチェック」を高速に行う。
 この視線ブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
 この視線ブーメランチェックは、計算式で関連する式の項同士を結ぶ見えない糸=視線オーラを項に結び付けることと考え、式の項を書く毎に、常に、その視線オーラで関係する式と結ぶ作業を行ってください。また、結んだ視線オーラを生かすために、式を1行書いた後でも再度視線チェックをして、視線を何度でも他の式との間で往復させることを苦にしないようにしましょう。


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2014年01月03日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(59)平方完成で書く式(その2)



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 先のページで、平方完成の計算の2行目の式を書くように言いました。その式は複雑なので空想できないので手で書かなければならないとも言いました。
 しかし、以下のように工夫すれば、式をより単純化でき、また、空想できるようになり、式を空想するだけで、手で書かなくても良くなります。
 そのことを、以下の式の平方完成を例にして示します。

 上の計算では、視線が積のペアを生成した式を2行目に書きます。3行目の式を書く際に、同じ値のプラスとマイナスの合計0のペアの項を生成して式を書きます。
 2つのペア生成を、2行目の式と3行目の式に分けることで、2行目の式が単純になりました。

 この式の展開では、2行目の式が単純化されたので手で書く手間が少なくなり、また、2行目の式の全体を正確に空想することができるようになったので、この2行目の式は空想するだけでも良くなりました。

 以下の式も同様にして計算できます。

この式では、まだcについて約分する必要があります。その約分は、以降で式を展開する際に行ないます。

 以上の例のように、単純化された2行目の式が正確に、しかも素早く、空想できる人は空想だけで紙に書く式を省略しても良いです。
 また、この2行目の式を自分の手で書いてもそれほど手間がかかりません。


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2014年01月02日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(58)平方完成で書く式



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 以下の式の平方完成の計算を考えます。 


上の計算では、視線が積のペアを生成し、次に、同じ値のプラスとマイナスの合計0のペアの項を生成した式を描きます。
 そして、手が式を書いた後で、再度の視線チェックで、計画通りに、ペアの項が生成されていることをチェックします。

 この式の展開では、3行目のマイナス記号が複雑なので、3行目の式の全体を正確に空想することができないので、この3行目の式は目に見えるように書いてください。

 次に、以下の式の平方完成も練習してみましょう。 


この式の展開も、3行目のマイナス記号が複雑なので、3行目の式全体を正確に空想することができないので、この3行目の式は目に見えるように手で紙に書いてください。

 以上の2つの例のように、正確に空想できない式は、目に見えるように手で書きます。もっと単純な式で3行目の式が正確に、しかも素早く、空想できるならば空想だけで紙に書く式を省略しても良いです。
 正確に素早く空想できる式は空想だけで書く作業を省略しても良いですが、正確な空想が怪しい式は必ず自分の手で書くようにしてください。 

 
 平方完成の計算では、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが完全に行なえるように、以上の計算における3行目の式を自分の手で書くよう心がけてください。

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2014年01月01日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(57)視線ペア生成チェックと積の視線チェック



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 以下の、平方完成の計算を考えます。 


 上の計算では、視線が同時に、同じ値のプラスとマイナスの項で、合計0の項を生成した式を描きます。
 そして、手が式を書いた後で、再度の視線チェックで、計画通りに、同じ値のプラスとマイナス0の項が生成された式が書けていることをチェックします。
 これを、視線ペア生成チェックと呼びます。

ここで、@では、式の値が2乗になっていることもチェックします。
すなわち、「視線が2乗の計算をする」のです。


 3行目の式の視線チェックが終わったら4行目の式を書き、以下の視線チェックをします。 
  この視線チェックを行なう中で、DEの視線チェックでは、(−1)とaの積を計算します。すなわち、「視線が積の計算をする」のです。

 平方完成の計算では、以上のように、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが十分行なえていないのが計算ミスの原因かもしれません。

 なお、平方完成になれてくると、以下の式の3行目の式を頭の中だけに描いて空想の式を視線チェックして、4行目の式に変換して、4行目の式を実際に記載する計算をするようになります。

 @のチェックでは、いつも必ず(−a)を掛け算し、Aのチェックでは、必ず2乗にします。
 ここで、2行目の式を4行目の式に変換する式を公式として覚えて使う場合にも、必ず3行目の式を空想して空想の式に対して視線チェックを行ない、4行目の式に記号の間違い等が無い事を確認して使います。

 3行目の空想中の式は、積のペア生成視線チェックと、プラスとマイナスの項を生成する視線ペア生成チェックを同時に行ないますが、その方がハッキリ空想することができ覚え易いです。


 なお、視線チェックでは、目を自分の持っているコンピュータだと考え、紙に書く式は、そのコンピュータが読み取れるプログラム言語とみなすと良いと思います。
 視線コンピュータに、視線が式の上を動いて計算するルールを決めておいて、そのルールに従って書かれた式を視線が読み取って、次に書くべき式も視線コンピュータが決めるようにすれば良いです。

 自分の視線をコンピュータとして使えれば、計算は目にまかせられるので、自分の頭では細かい計算のことを一々考えないで良くなるので、計算がとても楽になります。

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カレンダ
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