勉強しようNTTのBlog - 2014/02

算数の問題と解答とを考えていきます。




2014年02月23日(Sun)▲ページの先頭へ
美しい数学:美しい問題の種
大学への数学V&Cの勉強

【美しい計算方法の例】
以下の式の因数分解の計算方法は解き方が美しいです。
そのため、この解き方で式を計算すると簡単に解けるように仕組んだ問題を作成しようとする出題者が出るかもしれませ3ん。


【別解】
上の式は、多くの人は以下のようにして計算するのではないかと思います。
しかし、以下の計算方法はとても苦労し、美しくありません。







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2014年02月20日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学:平方完成の検算
大学への数学V&Cの勉強

【検算の参考例】
以下の式を平方完成して、その検算の1例を示します。

上の式は、以下のように検算できます。
この検算方法が優れている点は以下の点にあります。
2つの式の検算で結果が合わなかったときに考えられること。
(1)検算の計算が間違っている。
(2)検算された対象の式の計算が間違っていた。
このどちらなのかを決定しなければなりません。
  しかし、元の式の計算の誤り箇所がなかなか発見できず、(1)の可能性が疑われる場合があります。
その場合は、以下のように代入する数値を変えて、もう1度検算すると良いです。そうすると検算の誤りも検算することができます。


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2014年02月19日(Wed)▲ページの先頭へ
微分を利用して平方完成する公式
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
以下の式の平方完成の計算は、微分を利用すると楽になります。

上の式が、微分を利用した平方完成の公式です。

(例題1)
以下の式を平方完成します。

 この解の方針に従って、以下のように計算します。

(第2の場合)
 xの2乗の項が2つ以上ある場合は、以下のように計算します。

 このように計算すると、平方完成の計算を、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。

(普通の平方完成の計算の方が速い場合)
 しかしながら、以下の式の場合のように、既に式がきれいな式に展開済みの場合は、
普通の平方完成の計算の方が速く答えを計算できます。

文字係数kが混ざっている式の場合は、通常の平方完成の計算の方が楽です。

 どの計算方法が最も速く答えを出せるか、状況に応じて使い分けてください。

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2014年02月17日(Mon)▲ページの先頭へ
美しい数学:放物線と直線の交点
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 上図の式の放物線と直線の交点を、計算ミスが少なく計算する方法を示しますので、覚えて使ってください。

【交点の座標xの計算方法】
 先ず、以下のように、その直線と同じ傾きを持つ放物線のx座標sを計算します。

 次に、そのx=sの位置での放物線のy座標と直線のy座標とを計算します。
(放物線の係数)(x−s)=(直線のy座標)−(放物線のy座標)
の式により、交点の座標Xが求められます。

 この式は、直線と放物線の式を連立させて解くことで得られる式と同じ式です。
方程式を解くよりも以上のやり方で計算する方が、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。


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2014年02月16日(Sun)▲ページの先頭へ
美しい数学:ベクトルの内積の式の解の存在条件
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 上図で、ベクトルの内積の値は所定の範囲に限られることを強く意識してください。
 ベクトルの内積を用いた方程式の解の存在条件がこの式になります。

【問題】
 固定ベクトルaに対して、任意のベクトルpに対して以下の方程式を成り立たせるベクトルbの解が必ず存在するものとする。
 この条件を満足するベクトルaの範囲を求めよ。


【解答】 

 
 この式の解が存在するためのベクトルaの範囲は上の式で与えられる半径1以下の円内の点です。
(解答おわり)

 この問題の出題意図は、以下のように考えられます。
 ベクトルの問題に限らず、数学の複雑な問題はコンピュータを利用して解きます。
 そのとき、コンピュータを使用する人間に求められる大切な能力は、
(1)コンピュータが正しく答えを出せるような、コンピュータが解ける問題をコンピュータに与えているかどうかの判断力。
(2)コンピュータの出した答えが間違っていないか、その答えの概要を予測する能力。
です。
 この問題は、その「答えの予測力」を問う問題です。
 出題者の意図通りに、「答えの予測力」を示した解答を書くようにしましょう。

 ベクトルaが半径1の円の外にある場合における「答えの予測」も、以下のように予測できるようになりましょう。

ベクトルaが半径1の円の外にある場合は、上の式のように、解を与えるベクトルpが制限されます。この条件が満足されないベクトルpに対してはベクトルbをどのように選んでも方程式を満足させることができず、解が存在しません。

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2014年02月15日(Sat)▲ページの先頭へ
美しい数学:計算のメリハリ
大学への数学V&Cの勉強

(計算で注意する点)
 普段は解ける問題が、試験会場では以下に示す計算のメリハリを忘れて、問題が解けなくなる人がいます。
 試験の場で、計算のメリハリを忘れることのないように、普段から計算のメリハリを意識するようにしましょう。

【問1】

 上図で、Y軸上の点Aを中心にする円が左右の双曲線に点Bと点Cで接しています。
この場合に、三角形ABCが正三角形になるような円の中心のY座標aが存在する条件を求めよ。

【解答】
 以下のように計算していきますが、以下に示すように、言われなくても常に、方程式の解が存在する条件に注意して計算にメリハリを付けるように心がけましょう。

 この式の解が存在するための条件は上の式ですが、
メリハリの無い計算をしていると、この上の式があらわれたときに、その解の存在条件を考えずに、この式が解のカギであるという式の意味を見落としてしまうことがあります。
 この意味を見落として、この式を素通りして、他の式の計算に迷い込んで答えが得られない泥沼に陥る恐れが出てきます。
 そのため、メリハリのある計算で、常に解の存在条件を(言われなくても)意識して計算するようにしましょう。

ただし、b≠0

これで、三角形ABCを正三角形にできる条件が得られました。
(解答おわり)


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2014年02月13日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学:解が存在する条件の計算
大学への数学V&Cの勉強

【解が存在する条件の計算】
(注意点)
 数学の方程式の解が存在するための条件を求める問題は、以下の形の式に変形して解きます。

 この式の解が存在するための条件は:
です。
 ここで、露わに2乗の形であらわした式は正又は0であることがわかるので扱いやすいです。
 しかし、露わにはわからないが、恒等的に正又は0である式があります。そういう式を早期に発見する注意が必要です。そういう式は限られていますので、どの式がその条件を満足しているか覚えてしまいましょう。
 以下で、g(x,y,z)が正又は0である式の場合を示します。

 g(x,y,z)が恒等的に正又は0であることがわかれば、問題を解く主な注意を残りの項h(x,y,z)に向け、その項を因数分解することで、方程式の解の存在条件の式を求めます。
 上の式の項h(x,y,z)は、h(a,b,c)による三角形の面積の二乗の式(にマイナスを掛け算した式)が変形された式ですので、その場合の公式として覚えていた因数分解のパターンを思い出して書くことで瞬時に因数分解できました。
 以下に、より具体的に変形された式h(x,y)の場合の因数分解の例を示します。

 こうして、式g(x,y)が恒等的に正又は0である式であることに早期に気付いて、問題を解く注意を式h(x,y)を因数分解する方に向けます。そして、h(x,y)を因数分解して、方程式の解が存在する条件を求める計算を進めます。

(参考)
 以下に、h(x,y,z)の因数分解の計算を示します。 

この因数分解は、x,y,zを入れ替えた形の他の2つの解もあります。
 上の式でx,y,zの値がマイナスの場合には、その値の平方根は複素数になります。


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2014年02月11日(Tue)▲ページの先頭へ
美しい数学:三角形の面積の式の因数分解
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 以下の図の三角形の面積Sの二乗を三角形の複数の辺であらわす式と同じ形の式が問題の中に隠れてあちこちで出現します。
 そのため、この形の式を変換した式をみな覚えてしまってください。
 そうすれば、それらの式を変形計算しなければならない問題に直面したときに、計算間違いを正して正しい答えにたどりつくことができるようになります。

 この面積Sの2乗に(−1)を掛け算した式が以下のように変形できます。
 最初の因数分解された形の式が、この式@の形の式になることを覚えてください。

 更に式を変形すると以下の式になります。 

 最初の因数分解された形の式が、この式Aの形の式になることを覚えてください。

【式@の応用】
 以下のように、三角形の面積を求めるとき、式@の形で三角形の面積の2乗を与える定理が利用できます。



【式Aの形の式を因数分解する計算】
 この式Aを因数分解する場合は、以下のように計算することで、式Bが得られることを覚えてください。
 そうすれば、この式Aを因数分解する問題に直面したときに、計算間違いをせずに正しく因数分解して式Bを得ることができるようになります。

 この式Bのパラメータa,b,cを入れ替えた式も、式Bに等しい式です。

 この式Bは更に因数分解できて以下の式Cになることを覚えてください。 


【変形した形の式Aを因数分解する問題】
 式Aの形が以下のように変形された形であらわれた場合も因数分解できるようになってください。


【変形した形の式Aを因数分解する問題(その2)】
 以下のように変形された形の式も因数分解できるようになってください。 

 ここで、式Dの形の式が、以下の式Eと同じ式であることが意識できるように、式Dと同じ式のバラエティ(式Bのパラメータa,b,cを置き換えた式が全部同じこと)を覚えてください。

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2014年02月08日(Sat)▲ページの先頭へ
美しい数学:2変数の式の因数分解が解のかなめ
大学への数学V&Cの勉強

【問い】
以下の図の原点OとA(1,0)とB(0,1)に対して点Pが、以下の関係の位置にある。
OP:AP:BP=1:a:b
とする。 ここで、a≧0,b≧0,である。

このとき、点Pが存在するためのa,bに対する条件を求め、ab平面に図示せよ。

【解答の方針】
 この問題は、以下のようにOPをベクトルで与え、その点Pの座標をa,bであらわす方程式を立てることで計算できます。
 そうすれば、ウェブサイトなどの通常の解答例で紹介されている、aを一定にしてP点の描く円とbを一定にしてP点の描く円との交差を判定して解を得るという煩雑な計算を避けることができます。

【解答】
 以下のように、P点の座標PxとPyとaとbとの関係をあらわす方程式を設定します。
ここで、計算の見通しを良くするため、aやbの少し複雑な式はただちにαやβで置き換えて、方程式を極力単純な形であらわします。
αやβであらわせる式は、aとbであらわせる式です。
(これをしないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります)

次に、PxとPyをあらわすパラメータsを導入して、方程式@とAを同じ1つの式Bであらわします。そして、PxとPyを式CとDのようにsであらわします。
(このように単純化していかないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります)

そして、sであらわしたPxとPyを式Bに代入することでsの2次方程式が得られます。

(例外条件での解の計算)
 割り算して式Bを得た割り算した項α=(a−1)とβ=(b−1)とは、0で無いことが前提になっています。その項α=(a−1)とβ=(b−1)が0であった場合の例外条件の解は以下のように計算できます。
(1)ここで、αやβの一方が0で他方が0で無いときは、他方のパラメータに関してはBが成立しますので、以項の計算でパラメータの条件が得られて解が得られます。
(2)また、αとβの両方が0の場合、それは、a=1,b=1を意味し、
そして、式CとDから得られるPx=1/2,Py=1/2という解が存在します。

 更に式をパラメータγを使って単純化します。
αやβやγであらわせる式は、aとbであらわせる式です。

そして、sの2次方程式のsの解の式を平方完成により計算します。

こうして平方完成することで、sをα、β、γから求める解の式ができあがりました。このsの解を式CとDに代入すると点Pの座標PxとPyをα、β、γであらわす式が得られます。

 sが実数解を持つとき、PxとPyが実数であらわせます。点Pの座標が実数になる必要十分条件はsが実数解を持つことです。そして、sが実数解を持つための必要十分条件はq≧0です。
その、q≧0となる条件を以下で計算します。
 以下の計算は技巧的ですが、この技巧が無ければこの問題は解けません。
この計算技術を必ずおぼえてください。
 この計算のポイントは、
(1)(α+1)(β+1)の項ができるように、αβの項を残して割り当てること。
(2)α+1がaであり、β+1がbであることを良く意識すること。

これで、qを因数分解する準備が整いました。
以下で、これを因数分解して、aとbに必要な条件を求めます。


上の図で、aとbが正の領域が解の条件(a≧0,b≧0)の範囲です。
この範囲には、例外条件で得た解の、(a,b)=(1,1)という解も包含されています。
(解答おわり)

(補足)
 ここで、qの式はαとβであらわしてあったので比較的に因数分解がしやすくなっていました。この式をaとbだけであらわして因数分解する場合は、以下の式になります。この場合の解き方のコツは、(a+b)の関数で大部分の項をあらわすようにすると、解けます。

(補足2)
 qの式をaとbだけであらわして因数分解する場合は、以下のようにしてaの2次式に形を整理して解くこともできました。


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2014年02月06日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学の関係:三角形のベクトル計算で外心を原点にする
大学への数学V&Cの勉強

【問い】
三角形の重心をGとすると、以下の辺の関係が成り立つことを証明せよ。



【解答の方針】
 この問題をベクトルの計算で解く際に、以下のように、外心を原点にしたベクトルで計算します。
 そうすれば比較的に解きやすくなります。

【解答】

(証明)
(証明おわり)

【別解】
以下のように計算しても解くことができます。
ただし、この計算はかなり技巧的になります。

(証明おわり)

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2014年02月05日(Wed)▲ページの先頭へ
美しい数学の関係:外心から垂心までのベクトル
大学への数学V&Cの勉強

以下のように、外心から垂心までのベクトルは美しい式であらわせます。
そのため、この関係が入学試験の種になるかもしれません。


(既に出題済みの有名問題ですので、出題されるときは、形が変えられる)

(証明)
 このベクトルOHが垂心の位置のベクトルになることは、以下のようにして証明できます。


CHがABに垂直で、かつ、AHがBCに垂直なので、Hは三角形ABCの垂心である。
(証明おわり)


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2014年02月01日(Sat)▲ページの先頭へ
3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根
大学への数学V&Cの勉強

以下の3次方程式の1つの根がわかっているときに
残りの2つの根を計算する問題があります。
 この問題を自分で解く計算を間違えないために、その計算の答えを覚えておいて、その答えと照合して検算できるようになりましょう。
以下に、その答えを整理して書きましたので覚えてください。


【問題】
y=x−ax と、 y=h との1つの交点のX座標の値がγである場合、他の交点のX座標の値αとβを求めよ。

 この解の式は、yの微分(y’)を使ってあらわせます。
 この解を求める計算には微分の計算はしていませんでしたが、2根の中点のyの微分が0になる場合は、その中点で重根を持つ(3次曲線がx軸に平行な直線と接する)関係をあらわすという意味を持っています。
 この式は、そういう美しい数学の関係をあらわしていて興味深いです。
 (こういう美しい数学の関係ばかりを入学試験に出す大学もあるようです。そういう大学の入学試験対策は、数学の美しい部分を探して覚える勉強が有効だと思います。)

以下に、正式に計算します。この計算結果を検算するために上の式を利用してください。 



3乗の項にcが掛かっている3次方程式の答えは以下のようになります。

次に、以下の3次方程式の、1つの根がわかっている場合の残りの根を計算します。


以下に、正式に計算します。この計算結果を検算するために上の式を利用してください。



3乗の項にcが掛かっている3次方程式の答えは以下のようになります。
一般的な3次方程式の解は以下の式であらわせます。
以下で、微分の計算により、解に微分の式が用いられることを証明します。
以下では、c=1の場合を計算します。 

(証明おわり)

(解の続き)
以上の計算の結果、平方根の式を使って、γ以外の2根を与える式が以下の式で得られた。
しかし、これで解答は終わらず、この式から根号を外すことができる。
 根号を外す方法を以下の式の場合を例にして示す。
この式3の根の1つをγとする。
それ以外の根のαとβは以下の計算で得られていた。
この式の平方根の式は以下の式である。
この根号は、
「平方根の式を多項式に変換する問題」
のページの計算をすることで外すことができる。
その結論は、以下の式であらわされる。
(解答おわり)

【別解】
 上の解以外に、3次方程式の1つの根を用いて他の根をあらわすることができます。
以下の式1の根の1つがαである場合、そのαを使って、他の根を以下ようにあらわせました。
 ここで、αを以下の式4のkに置き換えてあらわす。
なぜこの式のkに置き換えるかという根拠は、全くの偶然で、そうすれば良いことが分かったからです。
 この式6は、kを以下の式sに置き換えると、式1と同じ式8になります。そのためsは式1の根の1つ(それをβとする)をあらわします。
これで2つの根が求められたので、残りの根γは、式1の根と係数の関係を使って、以下の式で計算できます。
 このように1つの根αが分かれば、式1の他の根が式10と式12で計算できました。

(解答の続き)
 以上で求めた式β,γは、以上の分数式10,12に限らず、式3を使うことで、普通の多項式に変換できます。

(γの分数式の変換)
 (βの分数式の変換)
結果を整理し以下の解が得られた。
(解答おわり) 
 
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カレンダ
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