勉強しようNTTのBlog - 2015

算数の問題と解答とを考えていきます。




2015年12月06日(Sun)▲ページの先頭へ
複素数平面の公式を覚える(つづき)
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数の計算を推進する以下の公式も覚えましょう。

 複素数平面の計算の公式は、出会った問題をエッセンスだけに単純化して本質を見え易くして見つけます。
 自分で公式を発見するのは、複雑な現象を単純化して本質を見えやすくする作業の結果です。

上の公式を覚えてください。

上の公式を覚えてください。

上の公式を覚えてください。

絶対値1の複素数αとβの複雑な式で表したuとwに関する上の公式を覚えてください。
 この公式の証明は、以上の図形的な意味を使って、w=iuであることを利用して図形を利用して証明するようにして下さい。
 その理由は、この公式を図形を使わないで証明しようとすると、一瞬で証明することができず、以下の証明のように手数がかかるからです。
 (証明終わり)

 リンク:
高校数学の目次



2015年06月14日(Sun)▲ページの先頭へ
三角形の辺と角の等式を複素数平面で証明



「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題を複素数平面を利用して解きます。

【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)−b・cos(A))=a2−b2  (1)
  この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した以下の(式2)を考えます。
c(a・cos(B)−b・cos(A))−{a2−b2}=0 (2)

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。

以下では、この問題を以下の複素数平面の図を利用して証明します。
以下の図のa,b,cは複素数とし、上式のa,b,cは|a|,|b|,|c|に書き直して計算します。
 上の(式2)の左辺は、以下のようにあらわして計算できます。
証明おわり。

(補足)以上の計算は、途中から、以下のように計算する方が無理が無く計算できます。


 この問題は複素数平面(又はベクトル)を利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積をあらわす複素数平面のRe()の計算式を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学[三角比・図形]一覧
リンク:高校数学の目次



2015年06月12日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面の公式を使ってベクトルの難問を解く


ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと易しく解ける場合がよくある。

【ベクトルの難問】
 下図のように半径rの円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。

【解答】
 この問題は、ベクトルの難問ですが、

複素数平面の計算公式
を適用すると、以下の様に簡単に解けます。
上図において、
という関係があることに注目し、
複素数平面の計算公式を適用する。
 よって、式(1)が成り立つことが証明できた。
(解答おわり)


 以上のように、複素数平面の計算公式により、式(1)の関係を簡単に求めることができました。

 ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと簡単になる場合が多いです。

リンク:
ベクトルの難問の強力な解答手段
複素数計算の公式を覚える
高校数学の目次



2015年06月05日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面が、円の2つの接線の交点問題を簡単にする



複素数平面が、円の2つの点の接線の交点を求める問題を簡潔明瞭にする。

【問】
 複素数平面上の原点Oを中心にする半径1の円に対して、
その円上の点zから引いた接線と、
点zから引いた接線の交点の位置ベクトルを複素数であらわせ。

(接点の式)

 この問題は、上図のように複素数平面を使って、簡潔明瞭にあらわせます。
 2接線の交点Pの位置座標は、2接点の中点Mの位置によって定まる。
 しかも、その中点Mの位置ベクトルmと交点Pの位置ベクトルpは平行である。
 このように複素数平面であらわして考えると、2接線の交点を求める問題を、2接点の中点Mを求める簡単な問題に変換できます。

リンク:
高校数学の目次



複素数計算の公式を覚える
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http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数の計算を推進する以下の公式を覚えましょう。

 複素数平面の計算の公式を覚えると計算が推進されます。
以下の公式は、必ず覚えてください。
以下の公式も覚えてください。
以下の公式も覚えてください。

(この公式の証明は、ここをクリックした先にあります)

以下の公式も覚えて、計算を推進させてください。
また、以下の公式も成り立ちます。
 以上の公式は使う場合が多いと思いますので、覚えておいて、計算の中で必要に応じてすぐ使えるようにしておいてください。

 以下の公式も使う場合が多いと思います。
また、以下の式も大切です。

先の式から、以下の式が成り立ちます。
(上の式で、上から2行目の式と3行目の式は、|α|=|β|の場合には、右辺が第1項のみになります。それを利用して、以下の公式が使えます。)
 実数係数kを利用してβを下式のように絶対値がαと同じ複素数β’であらわします。

同様に、以下の公式も使えます。
ただし、kは、βを以下の関係のβ’に置き換える実数係数です。

 以上の式に対しては、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、以下の式の左辺が変化しないので、以下の式が成り立ちます。

 以下の公式も計算の推進の道具にしてください。
上の式に対しても、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、最初の式が変化しないからです。

 以下の公式は、使う場面が少ないので無理に覚える必要は無いと思いますが、このような形に式が変形できるように頭を柔らかくする発想の練習をしておきましょう。



 また、以下の「2複素数の非対称共役化」公式も、覚えるというよりは、スラスラ計算して導き出せるように練習しておくと便利だと思います。

(条件)複素数αとβの絶対値が等しい場合:
以下の公式が成り立つ。



これらの「2複素数の非対称共役化」公式は、以下の問題例の様に使うと良いと思います。
(問題例1)ベクトルの難問を解く
(問題例2)円周角の定理を示す

リンク:
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2015年05月23日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数平面での正5角形の求め方



【問2】X=1の解を求めよ。
−1=0

この方程式の5つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、X−1=0
の5つの解です。

は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに2π/5ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に2π/5ラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

それらの解は、の累乗であらわせます。
=X
=X
=X
です。


ここで、一旦、この問2から離れて、
5次方程式の根と係数の関係の1つの以下の関係について考察します。


この関係を整理すると、以下の式になります。
このように定理が得られたのですが、この定理を証明せよと求められたら、証明のし方が以下の2つあります。
【解1】
 式@から式Aを導く。
(これは、既に示しました。)

【解2】
 以下のようにして、絶対値が1の複素数Xを基準にした式を使って証明できます。

この解き方をすることで以下の教訓が得られました。
「この問題は、絶対値が1の複素数Xを基準にして、全ての解をXの累乗に置き換えた式を使うときれいに解ける。」

更に、次の定理も証明しましょう。

【問3】 
【解】
先ず、以下の置き換えをします。
以下のように式を変形します。
この問題も、絶対値が1の複素数Xを基準にして、全ての解をXの累乗に置き換えた式を使うときれいに解けました。

次に、問2に戻って、5次方程式の解き方を考えます。
【問2】
このように因数分解できたので、以下の4次方程式Bを求める問題に変わりました。
この4次方程式Bを2つの2次方程式に因数分解して問題を解く方法があります。
それは力仕事の計算になると思います。

一方、今までに得た知識を使って、以下のように解くと、
2次方程式を解く計算になるので、
少し楽のように思います。
定理1(式A)を使うと、以下のように問題が解ける利点があります。

この式Aを、cos(2π/5)=tであらわした式Cに書き換えます。
(注意)
 ここで、式Aを、cos(4π/5)=tであらわした式に書き換えた場合も、
その場合に(2t−1)のあらわすcos(8π/5)がcos(2π/5)に等しいので、
式Aから作るその式も式Cと同じ式になります。

 それを理解しているならば、
すなわち、
「この式Cは、tの解が
cos(2π/5)とcos(4π/5)とを解に持つ式である」
ことを理解しているならば、
この式Cから、cos(2π/5)とcos(4π/5)との2つの解を得ることができます。

 以下では、それを理解していない場合の、
(それでも正しい解答ですが) 解答を書きます。
この式のtを与える2つの解のうちからcos(2π/5)をあらわす適切な解を選びます。
--(注意)-----------
ここで、二重根号が出て来たので、この二重根号は外すことができるか以下のチェックをします。
10−4×5=80⇒平方根が無理数になる、
ので、この二重根号は外せません。
-------------------

これで1つの解が得られました。
この解に式Aを使うと、
もう1つの解の実数成分cos(4π/5)が得られ、
その虚数成分も計算することでもう1つの解も得られます。

この2つの解の共役複素数が残りの2つの解になります。
こうして、全ての解が求められます。

この解き方の方が、4次方程式Bを因数分解して解くより少し楽なのではないかと思います。
(人により、どれが楽な解き方か個人差があるかもしれませんが)

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2015年05月19日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面のベクトル方程式



複素数の方程式は複素数平面のベクトル方程式になります。

【問】複素数αとβに関して以下の式が成り立つとき、複素数αとβそれぞれが複素数平面上で描く図形を求めよ。

この問題も、できるだけ解答を見ずに自力で解くよう努めて下さい。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。


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2015年05月17日(Sun)▲ページの先頭へ
理系難関大学受験用の数学参考書
良い参考書を使って数学を勉強しましょう。

大学受験数学・フォーカスゴールドなどの網羅系参考書

(引用開始)
 大学受験に向けて数学の勉強をするとき、網羅系参考書は何を使えばいいのでしょうか。
私としては、フォーカスゴールドがお勧めです。


(中略)
万人に支持される参考書はなかなかありません。ある人にとってとても良いものは、別の人にとってあまり役に立たなかったりします。
 そうしたことも踏まえつつ、私がお勧めする網羅系参考書はフォーカスゴールドです。


 これは教科書を出版している啓林館が作っている参考書です。
 フォーカスシリーズには、フォーカスゴールドとフォーカスアップがあります。
 フォーカスゴールドは中堅私大理系対策や国立大学理系の二次試験対策から使えます。上はどこまで使えるかというと、東大理系まで使えます。
 有名進学校である灘高もフォーカスゴールドを使っていると聞きましたし、最難関の大学理系学部をめざすならフォーカスゴールドです。
 地方の国立大理系学部をめざすならば、フォーカスゴールドの例題と類題のみを解けばいいです。最難関大の理系学部や文系学部なら発展問題に挑戦していくのがよいです。
(中略)
 フォーカスゴールドは本屋さんでは販売していませんが、どの本屋さんからも、注文して取り寄せて購入することができます。分厚い別冊解答もついてきます。
私はネット通販のアマゾンに注文して購入しましたが、数学1A新課程、数学2B新課程、数3新課程ともに別冊解答と小冊子の公式集がついていました。

(引用おわり) 

「フォーカスゴールド」は、水野の数学参考書レビューの評価も高い。
(良い点)

 「基本事項のまとめにも副文が入るといった丁寧さがまず目を引く。」
(問題点)

 「巻末は(本シリーズのウリでもあるだろうから)我が道を行く内容でも構わないのかも知れないが、一般の受験生にはまったく歯が立たない内容がこれだけあると精神衛生上良くないし
学校採用だから「持たせる」以上質問を受ける場面も多々あるわけで、全指導者が質問に対応できるかということ自体がプレッシャーになって採択できない学校も出てくるのではないかと少々思いやられてしまう。」

(当ブログのコメント)
 フォーカスゴールドの良さは、その説明のていねいさ、易しく噛み砕いて説明してくれている点にあると思います。難しい問題は入試問題を紹介する中で避けては通れない事ですし、、、
 フォーカスゴールドは、その説明の丁寧さゆえに、「難しい問題も存在することを隠さない」親切な参考書であると、好意的に解釈したいと思います。

ここをクリックして、出版社による「フォーカスゴールド」の位置付けの説明を見てください

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2015年05月15日(Fri)▲ページの先頭へ
自分だけの公式を覚える(3)
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

自分だけの公式を作って覚えましょう。

 複素数平面で直線の外の点Pから直線に下ろした垂線の足HまでのベクトルPHをあらわす問題を解いて、その答えを自分だけの公式にして覚えてしまいましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

 数学の勉強において、この自分だけの公式を覚える事は、計算ミスを避けるための計算のショートカットです。数学の勉強における重要性は少ないのですが、センター試験対策として計算ミスを減らす役には立ちます。

【自分だけの公式(3)】
この公式を覚えると、計算が速くなり計算ミスが少なくなります。

 この公式は、点Pから直線までの距離の公式を、直線に垂直な方向を持つベクトルで、その距離の長さを持つベクトルの公式に変換したものです。

(補足)
 数学の計算力をつけるには、この公式を覚えるよりは、この公式を導くための
「最初に式を書き始めるところの、式の形」
を覚える方が良いと思う。
 どのような形に式をまとめて、式を書き始めるか、そこが、数学的には意味が深いと思う。
 正しく数学を学ぶために、この、
「式の書き始め」
こそを覚えてほしいと思う。

(重要なアドバイス)
 数学の公式は、すぐには覚えられないことが多いです。
この改善策は、以下のようにすることで、ただちに公式を覚えたのと同じ状況に入れます。
(1)その公式が存在する事を覚えること。
(2)公式を導くための出だしの式を覚えること。
−−これは、すぐ覚えられますよね−−
(3)公式が必要になった時に、計算用紙を使って、公式を導く出だしの式から始めて、ただちに計算して公式を導き出すこと。

 おぼえようとする公式は、みな、このパターンを使って、ただちに公式を覚えたのと同じ状況に入ってください。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年05月10日(Sun)▲ページの先頭へ
放物線の極と極線の問題



放物線の極点と極線の関係を求める問題では、複素数平面は使わないこと。

【問1】
 放物線y=xの外側の点W(極)から放物線に引いた接線の接点をAとBとする。接点AとBを結ぶ直線(極線)の方程式を求めよ。

【解】
 この解は、以下のようにして解けます。
 この解き方を複素数平面を使って行うと計算が複雑になってしまいますので、複素数平面は使わないようにしましょう。
(注意)上で得られた式が点Aでの接線の公式であると教えられていますが、この結果を公式として覚えるよりは、上の赤枠で囲った、「接線の公式」を導出する過程の方をしっかり覚えて下さい。

 計算を続けます。
 これで、接点A,Bを結ぶ直線の方程式が得られました。

 こうして、極点Wに対する放物線の極線の方程式がスムーズに求められました。

 しかし、この計算を複素数平面で行なおうとすると、この計算の単純さが失われてしまいます。
 この問題を解くためには、複素数平面は適さないので複素数平面は使わないようにしましょう。

【問2】
 直線y=sx+tと放物線y=xの交点A,Bから放物線の接線を引いたとき、その2つの接線の交点W(極点)を求めよ。

【解】
 この問題は、以下のように解くと楽だと思います。
(複素数平面は使わないこと)
以上のようにして、スムーズに、
極点Wの座標が極線の式のパラメータであらわせました。

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2015年05月09日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数平面で双曲線の特徴を表現する



複素数平面で見た双曲線の特徴も覚えておきましょう。

【双曲線の接線の方程式】
−y=1とあらわせる単純な双曲線の場合は、
以下のような面白い性質があります。

(1)この双曲線は、複素数zの式で、
Re(z)=1
とあらわせます。
(2)この双曲線上の点aで接する接線の式は、
Re(az)=1
とあらわせます。
その接線(z点の集合)は、aの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その接線の原点からの距離は、
|a|分の1です。

【極点に対する双曲線の極線の方程式】
(3)この双曲線の外の点zから引いた双曲線への接線の接点aとbを結ぶ線を、
極点zに対する双曲線の極線
と呼びます。

 この極点zと極線との間には、以下の図の関係があります。
極点zに対する極線(a)の式は、
Re(az)=1
とあらわせます。
その極線(a点の集合)は、zの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その極線の原点からの距離は、
|z|分の1です。

 なお、この極線の式は、極点zに関連するきれいな式であらわせますが、接点aとbの式は複雑な式になります。
 そのため、極線を求める問題に直面した場合は、接点の座標を直接に計算しない計算方法で、極線の式を求めるよう工夫してください。(このグラフの極線の式は上の式の通りですので、形が異なるグラフの場合も、この式を導出する方法と類似させた方法で極線を求めてください。) 


【関連する問題】
 −y=1であらわせる双曲線に以下の式であらわされる直線が交差している。
この直線と双曲線の交点2つのそれぞれから引いた双曲線への接線2つの交点(極)を求めよ。

 この問題の解答は書きませんので、自力で解答してください。

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2015年05月06日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数平面のグラフの変換方法



【複素数平面のグラフの変換方法】
  以下の方法は、あらゆる形のグラフの変換に応用できる良い方法と考えます。
 この方法では、変換する元の複素数と変換した後の複素数の座標の対応関係も明確という利点があります。

 任意の円のグラフを変換する場合には、以下の様に計算します。
 任意の円のグラフは、このような形の円のグラフに変換できます。


ここでβ=1の場合は、以下の様に直線に変換されます。

β=-1の場合も、以下の様に直線に変換されます。 

 また、変換する元のグラフが直線の場合は、以下の様に円に変換します。

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2015年05月05日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面のグラフの変換を逆変換で計算する方法



【問】実数の媒介変数(t)を−∞から∞まで変化させたとき、
z=1/(1+i・t) (式1)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

(解答)

【一番簡単な計算方法】
 一番簡単な方法は、先ず、従う条件が決まっている(it)単体をzの式であらわします。
そのzの式に(it)単体の従う条件の式をあてはめます。
それにより、zが従う方程式が求まります。
 この式は、点1からzまで引いたベクトル(z−1)と、原点からzまで引いたベクトル(z)の内積が0であること、すなわち、それらのベクトルが直交することをあらわしている。
 円周角が直角であるため、点zは、z=0とz=1を直径の両端とする円の上にある。
 その円は、点(1/2)を中心にする半径(1/2)の円である。

ただし、式の前提にz≠0があるので、z=0の点は除く。

(注意)tが全実数範囲を動くときzがこの円の全範囲(z=0の点は除く)を網羅することは、図形を解析して確認する必要があります。

(補足)
 図形的意味を考えて、ここで解答が決着していることに早めに気づくようにしてください。
 計算のみで円の式を導き出さなければならない場合は、以下のように計算を続けます。

【共役複素数を使ってグラフを解析する方法に関する本質的な問題点】
 共役複素数を使ってグラフを表現する方法では、以下の双曲線のグラフを変換した場合のグラフの形がどういう形になるかを解析することができません。
 要するに、グラフを複素数zとその共役な複素数で表した場合、そのグラフの形が理解できるのは、答えのグラフが、直線か円かの、よく知られた形のみに限定されます。
 自分の知らないグラフに対しては新しい情報を得ることができないという、有用性が限定された手法です。

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複素数平面のグラフの式を恐れないために



複素数平面のグラフの見慣れない式に出会って動揺しないため普段から見慣れておきましょう。

【双曲線の方程式】


【双曲線の方程式(2)】

(注意)この式の左辺は、
 
となるので、必ず虚数になります。


【放物線の方程式】

 【放物線の方程式(2)】

 【楕円の方程式】


 【共役複素数を併用したグラフ表現の本質的問題点】
 結論から先に言うと、グラフが円か直線、又は双曲線、である場合だけに有効な手法です。
 以下の例のように、双曲線を変換すると円や直線や双曲線ではないグラフが得られます。しかし、そのグラフをこの表現方法で表すことは有効ではありません。

 円や直線や双曲線ではないグラフをzとその共役複素数を用いて表した式からは、そのグラフがどいう形をしているのかを理解するのは、ほとんど不可能に近いです。

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2015年05月03日(Sun)▲ページの先頭へ
複素数平面を利用して直線の交点を計算する



複素数平面の直線の方程式を利用して直線の交点を計算しましょう。

【問1】
直線 x+2y=2 と
直線 x−y=1
の交点の座標を計算せよ。

【解1】
この問題を複素数平面の直線の方程式を利用して解いてみます。
このグラフのように直線の方程式はベクトルの内積であらわせます。
そのベクトルの内積であらわした直線の式を以下の式のように、複素数平面の直線の式であらわします。
この式のRe()を取り外します。
b@−aA:
これで、交点zの座標の答えが得られました。

【解2】
この問題の直線の交点を従来のやり方で計算してみます。
先ず、直線の式を書きます。
yの係数を合わせるために式Aを2倍にします。
これでx座標が求められました。
ここまでの計算だけでしたら、複素数平面を使った計算よりも簡単に答えが得られました。

次に、この解のx座標を式@に代入してy座標も計算します。
以上のBとCで交点の(x,y)座標が得られました。

【解1と解2の比較】
 この問題の様に単純な式を計算する場合は、解2の方が速くx座標の解が得られるので、解2による計算の方が良いと思います。

 しかし、複雑な式を計算する場合は、
(1)解1の方が、(x,y)座標が同時に求められるので計算が楽。
(2)解1では、あらかじめ答えを与える式を覚えることができるので、
この答えの式を覚えておけば、計算間違いが入りにくい。
 そのため、複雑な式を計算する場合は、解1の解き方の方が良いのではないかと考えます。
 適宜、計算方法を使い分けて利用してください。 

【補足】
 複素数平面での直線の方程式と、XY平面上の直線の方程式とは、以下の計算で変換されて対応します。
 ここで、Re()の項がベクトルの内積になることは、以下の計算で再確認できます。
 この直線の方程式の対応関係は、以下の計算で説明されることが多いのですが、以下の計算式の全貌を覚えるよりは、上の計算式の方が全貌が覚えやすいと思います。

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2015年05月01日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面の直線の方程式を初めて見たとき



複素数平面の直線の方程式はベクトルであらわした直線の方程式を覚えましょう。

【直線の方程式】
 以下のように、直線の方程式はベクトルの内積であらわせます。
 この直線の方程式@は、ベクトルで学んだ、ベクトルの内積を使ってあらわした直線の方程式です。ベクトルの直線の方程式と対応するこの式@又は@’を覚えましょう。
 (なお、原点0を通る直線の方程式は、aが0になり使えないので、複素数のパラメータcを使って、
Re(cz)=0
とあらわせます。
(式@の直線に平行な直線は、
という方程式であらわせます。g=0のとき原点を通ります。)

 ちなみに、zとzの共役複素数の各々に任意の係数を掛け算して和を取った式で、zの係数の絶対値とzの共役複素数の係数の絶対値が異なる式などの、直線の方程式ではない式には、zが1点に定まる解があります。
 あるいは、zとzの共役複素数の和(2Re(z))=虚数iという式の様に、そもそもzの解が無い式も作れます。)

 一方、教科書では、複素数平面の直線の方程式として教わるのは、式@を以下の様に変形して得られる式Bであり、実数と虚数が入り乱れた複雑な形の式です。
 この式Bは、ベクトルbが直線の方向に平行という特徴はありますが、複雑な式です。このような複雑な式は覚えきれません。
 直線の方程式は、覚えやすい形の式@又は@’に変換して把握するようにしてください。

 また、2点αとβを通る直線の方程式も以下の図の式のようになります。この式も、意味がわかるので覚えやすいと思います。

ちなみに、この式を変形して、
という形の式にする計算が必要になったとき、その式のパラメータの複素数aは、以下の図の式になります。
この式も覚えてしまっておけば、計算しないで済むので楽です。
 ただし、この(自分だけの)公式を使うときは、Im(ω)をωの式に展開するときに、虚数iの係数を付けて展開しなければならないのですが、その変換計算がとても間違えやすいという問題があります。
(上の式のように i・Im()というように虚数 iとIm()が一体になっている式の場合にはミスを起こしにくいのですが、Im()が単体で使われている式ではミスがとても多くなります。)
 その計算の改善のために、以下の式のIm()とRe()の関係を利用します。
すなわち、Im(ω)の式を直接にωの式に展開するのは避けて、一旦Re()の式に直してから、ωの式に展開するようにしましょう。例えば、以下のように式の計算を進めます。
 このように、一旦Re()の式に直してから、次のように式を展開しましょう。

【直線をあらわす式の位置づけの補足】
 直線の方程式を含む以下の式のzの解の全貌を考えてみます。
ただし、この式の係数はみな、複素数です。

この式の関係を複素数平面に描くと下図になります。
この図だと、何が何だかわからないので、少し式を変形します。
α≠0の場合について、ωに関する上式を複素数平面に書くと下図になります。
上式のようにωの値が定まりました。
すなわち、zの値も定まりました。

 次に、r=1又はr=−1の場合を考えると、以下のようになります。
最後に、α=0の場合は、以下の式になります。
この場合は、
(1)β=0の場合は、
(1−1)C≠0の場合は解がありませんが、
(1−2)Cも0の場合は、zの解は全ての複素数になります。
(2)β≠0の場合は、zが定まりました。

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2015年04月29日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数平面を積極的に利用して問題をやさしくする(2)
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数平面は三角関数を減らす。

 複素数平面を積極的に三角関数がらみの問題に使って問題をやさしくしましょう。

 複素数平面を利用して以下の問題を簡単にしてみます。

【問1】


【解】
 数Uの三角関数の問題は、複素数平面で考えて、eiθで三角関数のcosθ+isinθを簡単にあらわすようにしましょう。
 数Uの問題は式がごちゃごちゃになると間違え易いので、できるだけ式をきれいな、対称性の良い単純な式であらわすように心掛けて、計算ミスを少なくするようにしましょう。 


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2015年04月28日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面を積極的に利用して問題をやさしくしましょう
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複素数平面はベクトルの問題を易しくする。

 複素数平面を積極的にベクトルがらみの問題に使って問題をやさしくしましょう。

 複素数平面を利用して以下の問題を簡単にしてみます。

【問1】 xy平面の放物線 y=x上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている。
△PQRは一辺の長さaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。
 

【解】
 先ず、この問題を図形に描いてみます。
 
 次に、この問題の図形がどう変形して問題の条件に合う図形になるか、少し図形を描いて考える。
正三角形PQRは、線分PQの垂直二等分線上に点Rがある。
また、傾き√2の線分PQを、点PとQを放物線上に置いて平行移動させても、線分PQの中点のx座標は変わらない。
その中点のx座標の値をbとおく。

 線分PQのx軸上への射影の長さを2tとする。
そうすると、求めるべき三角形PQRの辺の長さaは、tの2√3倍である。

 このbとtを使ってP,Qのx座標をあらわしてみる。
 次に、三角形PQRが正三角形になる条件を、複素数平面の以下の式で表現する。
この式の意味は、
「点Pを中心にして、ベクトルPQを、長さを変えずに左回りに(π/3)の角度回転させると、正三角形の頂点Rを与えるベクトルPRになる。」
という意味の式です。

(このように、複素数平面では複素数の掛け算がベクトルの角度を変えるという性質を利用すると、正三角形になるという条件が楽に導入できました。)

 この式は、実部と虚部をともに一致させる式であるので、2本の式に相当します。
 この式と先の式@(あるいは式AとB)を連立させると、未知な点P,Q,Rの3つの座標を確定させる3つの式がそろった。

 そのため、これらの式を連立させることで問題が解けると考える。

 先ずは、この問題の解答を見ずに、自力でこの計算の続きを実行して解答を得てください。

(この続きの解答は、ここをクリックした先にあります)

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2015年04月26日(Sun)▲ページの先頭へ
自分だけの公式を覚える(2)
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自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていて発見した、計算を近道させる自分だけの公式を覚えましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

【自分だけの公式(2)】
 この公式は形がきれいですので覚えましょう。
ごちゃごちゃした式がこの様にきれいな式になる事を覚えると、
式をこのようなきれいな形の式に変換する計算をするようになり、
計算が速くなります。

 なお、この公式は、以下の式のように、一見複雑な式で現れることもありますので、覚えておきましょう。

【自分だけの公式(2の2)】
  この自分だけの公式と1セットになる、以下の、もう1つの公式も覚えましょう。
 
 この公式も、以下の式のように、一見複雑な式で現れることもありますので、覚えておきましょう。
この公式は、
「ベクトルβの先端の点から、ベクトルαの描く直線までの、最短距離ベクトル(−h)を与える公式」
でもあります。

【自分だけの公式(2の3)】
  この自分だけの公式に関係がある、以下の、もう1つの公式も覚えましょう。
 上の図のように、ベクトルαを対称軸にした、ベクトルβに線対称なベクトルが上の式であらわせます。これも覚えておくと便利です。
 この公式は、
「ベクトルαが描く原点Oを通る直線に関して、
点βに線対称な点の位置ベクトルの公式」
でもあります。

 この公式は、以下の解答を見ずに自力で計算して証明するようにして下さい。

(解答は、ここをクリックした先にあります)

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複素数計算の公式を覚える
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2015年04月25日(Sat)▲ページの先頭へ
自分の計算を楽にする自分だけの公式を覚える
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自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていて発見した、計算を近道させる自分だけの公式を覚えましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

【自分だけの公式を発見する場合の例】

 以下の様に、複素数平面に書いたベクトルの間の明らかな関係を数式計算で導くことを考えていきます。

【問1】以下の関係を証明せよ。
 このベクトルsとuが垂直であることは、以下の様にして、ベクトルの内積を計算するとわかります。
以上の計算の結果、内積が0なので、ベクトルuとsは垂直である。
(証明おわり)

【問2】ベクトルuとsに以下の関係があることを証明せよ。
【解答1】
 ベクトルsとuは、先に計算した結果、垂直であるので、ベクトル
sとuは±90°回転させた関係にある。
しかも、いずれのベクトルも絶対値が1である。
そのため、複素数の偏角を90°回転させる、絶対値が1の虚数iを掛け算した関係にある。 
すなわち、問題の関係が成り立つ。
(証明おわり)

 以上の証明は、もちろん正しいが、以下の様に計算して証明しようとする困難な道もあります。


【解答2】
 【問2−1】 以下の様にuの2乗が計算できます。


この式を得る途中の計算は、自力で解いてみて下さい。


(この計算の解答はここをクリックした先にあります)


 【問2−2】 以下の様にsの2乗が計算できます。
この式を得る途中の計算は、自力で解いてみて下さい。

(この計算の解答はここをクリックした先にあります)


sの二乗とuの二乗の正負が逆なので、sとuの間には、以下の図に書いた関係が成り立つ。


 ここで、sの二乗やuの二乗をαとβの積で与える式は、自分だけの公式ですので、この公式を使うときは他の人に理解されるように(また、自分もこの公式の確からしさを確認するために)、

きちんと式を展開しましょう。

 しかし、これら、uの二乗やsの二乗をαとβの積で与える公式を導き出す計算には少し時間がかかります。そのため、これらの自分だけの公式を導き出す式の流れを覚えてしまいスラスラと速く書けるようになりましょう。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年04月18日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数平面上に複素数を書いてベクトルで問題を解く
http://schoolhmath.blogspot.jp/2011/11/blog-post_2470.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/03/blog-post_23.html

複素数平面であらわした複素数はベクトルです。

複素数平面を初めて学ぶ学び方は、
複素数の問題はベクトルの問題に変換して解くことです。
 つまり、複素数平面上に複素数を置いた図を描いて、複素数の問題をベクトルの問題に変換して問題を解くようにすることです。

以下の問題も、そのようにして解いて下さい。

【問題】
 複素数zに対して以下の関係がある。
このとき、複素数
はどの様な数であるか?

(この問題の解)はここをクリックした先にあります。

 この問題も、この解をすぐには見ずに、自力でこの問題を解いて下さい。

(ただし、この問題では、解で見落としやすい(簡単な事なのですが)注意点もありますので、問題を解いた後で、参考に解を見ておいて下さい)

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2015年04月13日(Mon)▲ページの先頭へ
複素数平面の3点が正三角形になる条件に初めて出会ったとき



【問題】複素数平面上の 三点A(α),B(β),C(γ)が正三角形となる必要十分条件が、以下の式であらわされることを証明せよ。

この問題に初めて出会ったとき、解答を見ずに、自力でこの問題を解くよう努めてください。時間はいくらかかっても良いですから。その方が数学が楽しくなると思いますので。 

(解答例1) ここをクリックした先に解答例があります。
(解答例2)ここをクリックした先に解答例2があります。

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複素数平面での正三角形の条件
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2015年04月12日(Sun)▲ページの先頭へ
複素数計算で三角形の垂心を求める



べクトルの内積を複素数を使って計算する

 複素数平面であらわした複素数はベクトルです。
以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。

【問】複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の3点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その3点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数hは、
h=α+β+γ
で表わされる事を証明せよ。



【解答】
h=α+β+γであらわされるとき、
もしhが垂心ならば内積が0になるベクトル(h−α)とベクトル(γ−β)の内積を、
以下の式で計算する。

(注意)
 以上の計算では、複素数zとその共役複素数の差が2i・Im(z)になる公式を前提にして計算しました。大学入学試験レベルの問題に対してならば、その公式を前提にして計算を進めても良いだろうと考えます。

以上の計算の結果、ベクトル(h−α)とベクトル(γ−β)の内積は0になったので、
ベクトル(h−α)とベクトル(γ−β)は垂直である。
 次に、同様にして、互いに垂直であるべきベクトル(h−β)とベクトル(γ−α)の内積を計算する。

以上の計算の結果、ベクトル(h−β)とベクトル(γ−α)の内積は0になったので、
ベクトル(h−β)とベクトル(γ−α)は垂直である。

以上の計算の結果、h=α+β+γは垂心である。
(証明終わり)


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三角形の面積を外接円の半径を使って表わす公式を複素数を使って導く



自分だけの公式を使う練習をしましょう。

 自分だけの公式を使うときは、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにします。

【自分だけの公式(2)の絶対値の計算公式(2)の応用】
 絶対値の計算公式(2)は、三角形の高さhと辺の長さと外接円の半径の関係の公式です。
 この公式を使う練習として、三角形の面積Sを三角形の辺の長さと外接円の半径から求める公式を導く計算をします。
 自分だけの公式を使うときは、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を以下の様に記載して解答します。

【解答例】
 先ず、他の人に理解されるために、以下の様に、自分だけの公式(2)を変形した公式である絶対値の計算公式(2)を導く計算式を解答に書きます。

 次に、この計算結果を変形して以下の式を計算します。
 この式を以下の三角形の面積の式に以下の様に代入して求める式を計算します。
(証明終わり)

 これで、三角形の面積を外接円の半径と三角形の辺の長さとであらわす公式を求める計算を示す解答が完成しました。


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2015年04月11日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数の計算の自分だけの公式(2)



自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返される計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンを、自分だけの公式として整理して覚えましょう。
 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

 そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開(言わば、公式の証明)をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
 しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【自分だけの公式(2)】
 複素数平面での複素数の計算で複素数の2乗に相当する項を1乗の形の簡単な項に変換できる、以下の公式を見出しましたので、その計算過程を含めて覚えておきましょう。
 この公式は、以下の様に計算を進める形で使います。
 この公式(0)は、自分だけの公式であって、この式の様に式の計算を進める形で使うようにしましょう。
 公式(0)は、この図の様な円の中心の位置をあらわす複素数rが分かっているときに、複素数zの式を簡単化する役に立ちます。 


 この公式の中心部分は、以下の計算公式です。この式を覚えましょう。

 この公式(0)から、以下の、ベクトルの内積の展開の公式(1)と、絶対値の式の計算の展開の公式(2)との2つの公式が得られます。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年04月09日(Thu)▲ページの先頭へ
自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚える



自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返す計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンの起点と終点を、自分だけの公式として覚えましょう。
 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

 そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開(言わば、公式の証明)をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
 しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【自分だけの公式の例】
 ベクトルの内積に関して、複素数平面を利用して表現した以下の公式があります。
 この公式(1)は、三角形の外接円の中心の高さを求める公式を逆に使った公式です。
 公式(1)は、ベクトルの点を結ぶ(三角形の)外接円の高さが分かっているときに、複素数であらわしたベクトルの内積を簡単化するのに使えます。
 公式(1)は、外接円の高さが分かっているときに、複素数zとその共役複素数の積の項を無くして、式を簡単化する役に立ちます。 

この公式(1)を使うと、以下のようにベクトルの内積の式の展開方針が立てられます。


しかし、この公式(1)は自分だけの公式ですので、このような式の展開は他の人には理解されません。そのため、他の人に理解されるように(また、自分もこの公式の確からしさを確認するために)、
以下のようにベクトルの内積の式を展開します。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年04月07日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面のグラフの方程式の変換は図形で解くこと



複素数平面のグラフの方程式を計算でつなぐ道はがけ崩れで崩壊している

 以下の複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつなぐのはほとんど不可能です。
 複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。

【問】以下の複素数平面のグラフの方程式を簡単な方程式に変換せよ。

【解答】
 このグラフの式(1)は、2つのベクトルの成す角度θのcosθが1/2である式であるので、2つのベクトルの成す角度θは60°です。そのため、円周角の定理から、複素数zの描くグラフは、上図のような2つの円上になります。
 そのうち1つの円の中心は1+i/√3であり、円の半径は2/√3です。
よって、この円のグラフの方程式は、Im(z)≧0のときは、
であらわせます。
(解答おわり)

 この円のグラフの方程式(2)から、以下の式(3)を計算することができます。

 この式(3)は、Im(z)≧0の場合には、式(1)と同じグラフをあらわす式ですが、計算で式(1)を変換して式(3)を求めることはほとんど不可能です。
 そのように計算の障害が大きいので、複素数平面のグラフの式を計算でつなぐ道は、いわば、がけ崩れで崩壊していると言えます。
 そのため、そのグラフの式を変換した式は、上の解答のように図形で計算して求めてください。
 くれぐれも、がけ崩れで崩壊している「計算で式を変換する道」は通らないでください。

(参考)Im(z)≧0の場合には、式(3)の円上の点が式(1)を満足することの、計算による証明

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2015年04月05日(Sun)▲ページの先頭へ
初めて複素数の式でグラフをあらわす問題に出会ったとき



紙に描いた記述に示唆されて次の記述を足すことで問題が解けます。紙に描いた記述からスラスラ連想し、とにかくどんどん紙に描きましょう。

【問】
 以下の式を満足する複素数zが複素数平面上で描くグラフを求めよ。

 初めてこの問題に出会ったら、先ずは自力で問題を解く努力をしましょう。

(問題を解くコツ)
 紙を沢山用意してください。
必要な情報は全て紙に描いて、計算に必要な情報の一部が自分の頭の中にだけにあるという事が無いようにしましょう。

(自分の頭の中には何も記憶しないで良い状態にして、何かを記憶する負担から頭を解放して、頭が計算に集中できるようにしてください。)

1つの解き方がダメだったら、その紙は捨てて、
新しい紙に再度、次の解き方に必要な情報を全て描いてください。
(ダメだった解き方を書いた紙はもう見ませんので、
次の解き方を導いてくれる紙に、再度、必要な情報を全て描いてください。) 

 そして、その新しい紙に描いた情報で、再度問題に挑戦してください。
 こうして、自分が紙に描いた情報から自分が答えに導かれる情報の流れを全て紙の上に描いて問題を解いてください。

(第1のお勧めの解答方針)
(計算のヒント)
上の2つのヒントはセットで参照してください。

(解答1)第1のお勧めの解答方針で簡略化した第1問の解答
(解答)はここをクリックした先にあります。

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複素数平面の問題を図形で解く



使いどころを自分で確かめた知識を利用する

 円周角の定理を複素数平面で複素数の計算で導いた経験で、その計算では苦労することがわかった。
 円周角の定理に係わる問題は、複素数の計算をするよりは、図形の考察で答えを求める方が簡単だとわかった。

【問】以下の複素数平面の問題を解け。

【解答】
 円周角の定理にかかわる問題は複素数の計算よりは図形を考察して解く方が簡単に解けるということを知っている。
 そのため、この複素数平面の問題を解く方針は、図形を考察して、以下のようにして問題を解く。
これで問題が解けた。

 この結果を複素数の計算で求めると大変な計算になる事は、先に円周角の定理を複素数の計算で計算した過程を思い出してみれば明らかです。
 以上で行なって来たように、新しい数学の知識の効用は自分で問題を解いて確かめて、その効用を冷静に評価します。
 そして、効果が最大限に発揮できるツールを用いてそれぞれの問題の解決に利用するようにします。

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高校数学の目次



2015年04月03日(Fri)▲ページの先頭へ
ベクトルの角度を複素数平面で計算できることを初めて知ったら試してみよう
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_25.html


初めて知った新しい事はさっそく試してみよう

 数学の本質は好奇心を刺激するものだから、数学は好奇心の本能のままに勉強するのが良いと考えます。

(自分の納得できない数学の公式は覚えないようにして、好奇心の純潔を保ちましょう。
勉強して納得できてから公式を覚えれば十分間に合います。
 数学のテストの成績のためにといって納得できないことを無理に詰め込んでいると、いつか破綻すると思いますので、無理はしないようにしましょう。)

(反論への反論)
 上の考え方には、以下のような反論が考えられます。
(1)「公式を覚えなければ数学の学力が低下して授業についていけなくなり、結局落ちこぼれてしまうではないか。」
という反論が考えられます。
 その反論に対しては以下のように反論したいと思います。
(2)数学は勉強すれば学力が伸びる学問だと思います。公式が覚えられるまで納得できるまで数学を勉強することで授業についていくようにして欲しい。
 公式は、自分で問題を解く体験によってつかみ取った、自分で使える生きた公式を覚えてください。使えない死んだ公式は無駄な雑音なので覚えないでください。
 問題を自分で解く体験の中で、死んでいる公式が、使える生きた公式に変わります。そのときに、その公式を覚えてください。
(3)自分で問題を解きながら、良い解き方のパターンをつかみ取って、そのパターンを覚えやすい自分の公式の形に表わして、その使える生きた公式を覚えるよう心がけてください。
(4)実際、数学の実力が学年の平均を上回っているからといっても、使える生きた公式を学んでいない人が実に多いように思います。そういう状況なので、たとえ数学を一切勉強していなくて学年最下位の成績であっても、自分で使える生きた数学の公式をつかみ取り始めたら、通常の数倍の速度で実力が向上する、という特徴が数学という学問にはあります。
(5)数学を嫌いになると、そういう急速な学習を妨げることになりますので、数学を嫌いにならないでください。
(6)高校3年間、数学の授業は一切聞かない最下位の学生で、しかし、数学にいやな思いを持たず数学が嫌いにならなかった学生は、1年間もあれば、3年間勉強して来て学年平均以上の数学の実力があるが数学をあまり好きでは無い学生を大きく引き離す数学の力をつけられるものです。
 そのため、数学を嫌いにならないようにする手段として、「数学を勉強しない」という手段を選んでも良いから、数学を嫌いにならないようにしてください。
「そうすれば、生きた数学を勉強し始めたら急速に成長できます。その芽を摘み取らないようにして、有意義な人生を送って行って欲しいと思います。」

 さて、ベクトルの角度は複素数平面で計算できることを初めて知ったら、好奇心の本能のままに導かれる以下の問題を自分で解いてみて、この方針による計算がどれだけ楽か、あるいは大変なのか、どちらであるかを、体験して試してみましょう。

【問】円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。
(注意)オイラーの定理「exp(iβ)=(cosβ+isinβ)」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
(cosβ+isinβ)をexp(iβ)であらわした方が式が簡潔だからです。

(解答例)ここをクリックした先のページに解答例を書きました。
(解答例2)オイラーの公式を学んだ理系大学生の解答例
(解答例3)一番簡単な解き方:複素数平面の計算公式を使う

 先ずは、この解答を見ずに、この問題を自力で計算する努力をして欲しい。その方が数学の計算技術が磨かれ、数学が楽しくなると思いますので。

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複素数計算の公式を覚える
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