勉強しようNTTのBlog - 2015/02

算数の問題と解答とを考えていきます。




2015年02月27日(Fri)▲ページの先頭へ
円の外の点Aから引いた円への接線の接点の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法
http://schoolhmath.blogspot.jp/2013/08/blog-post_25.html

【問】座標原点Oを中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。

(点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の点Aの様に、点の名前Aを引き継いだ記号a等に添え字を付けてa等とあらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです) 

  以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。

リンク:
高校数学の目次




2015年02月14日(Sat)▲ページの先頭へ
原点の回りに回転した楕円の方程式を初めて学ぶ方法



【解説】
直線を座標原点を中心に回転させた場合の楕円の方程式を考える。
 先ず、回転する前の楕円の方程式は以下の図のようにあらわせます。
この楕円を、以下の図のように、原点の回りに角度θ回転させます。
 ここで、楕円の軸方向のベクトルgとhを考えます。
この軸ベクトルgとhを使って楕円上の点Pの位置ベクトルをあらわすことにすると、以下の式が成り立つ。
そして、楕円の式を変形して、楕円の式の意味を考える。
 回転した楕円の方程式を、楕円上の点Pの位置ベクトルPに対するべクトルの関数Fを使って、そのベクトルFと位置ベクトルPとの内積が1になる方程式であると解釈します。
 そのベクトル関数Fは、以下の式のように、楕円の2つの軸方向の各ベクトルを、それぞれ異なる倍率1/aと1/b倍のベクトルに拡大するベクトル関数であると解釈できます。 
楕円をあらわすベクトル方程式のベクトル関数FがXY座標方向の単位ベクトルxとyに対してはどのように作用するかを調べてみます。


 上の式のように、単位ベクトルxに関するベクトルFと単位ベクトルyとの内積は、単位べクトルyに関するベクトルFと単位ベクトルxとの内積に等しい関係があります。

 次に、下の図のように、ベクトルPを、単位ベクトルxのX倍のベクトルと、単位ベクトルyのY倍のベクトルの和であらわします。

そのベクトルPに関する楕円の方程式を以下のように計算します。


すなわち、回転した楕円の方程式を、位置ベクトルに対するべクトルの関数Fを使って、以下の式であらわした。
 
このように、系数A,B,Cを使ったX座標とY座標の関数で楕円があらわされる。

【問】
 このような形で原点の回りに回転した楕円の方程式が与えられたとき、その楕円の回転軸の方向を計算する公式を求めよ。

 この問題を解くために、ベクトル関数Fは、X座標の方向の単位ベクトルxと、Y座標の方向の単位ベクトルyを、系数A,B,Cを使った以下の式で新たなベクトルに変換する関数であると考える。
 ここで、このべクトル関数Fは、単位ベクトルxに関するベクトルFと単位ベクトルyとの内積は、単位べクトルyに関するベクトルFと単位ベクトルxとの内積に等しい関係があるので、その関係を満足するように関数の形を確定しました。

 こうしてベクトル関数Fの形が定められた。
 次に、このベクトル関数Fによってベクトルの方向が変えられないベクトルgとhを求める。
 そのベクトルgとhが楕円の軸方向のベクトルであり、以下の図であらわすように、回転した楕円の軸方向のベクトルを表わしている。
 その軸方向のベクトルgとhの、x座標軸と成す角度θのタンジェントtanθを求めよ。

 できれば、この問題を自力で解いて欲しい。 その方が、楽しく数学を学べると思いますので。

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

リンク:
高校数学の目次




2015年02月09日(Mon)▲ページの先頭へ
三角形の垂心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法


【問】三角形の垂心Oの位置ベクトルをもとめよ。

 以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。
(3)もっと込み入った解き方。
(4)問題を解くために使うベクトルをどれにしたら良いかの指針を得る方法。

(5)垂直線の方程式を使った解き方。
(6)相似な図形を使った解き方。

リンク:
高校数学の目次




2015年02月06日(Fri)▲ページの先頭へ
三角形の外接円の中心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法


【問】 三角形の外心(外接円の中心)Oの位置ベクトルをもとめよ。

 以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。
(3)もう少し込み入った解き方。

(4)垂直線の方程式を使う解き方が簡単。
(5)正弦定理を使う解き方 

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高校数学の目次




2015年02月04日(Wed)▲ページの先頭へ
三角形の面積を3辺から計算する公式を初めて学ぶ方法
【問】凾`BCの面積Sを凾`BCの3辺a,b,cから計算する公式を求めよ。

 以下で、この公式の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、
ここをクリックした先のページに書きます。

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



2015年02月03日(Tue)▲ページの先頭へ
三角形の面積を外接円の半径を使って求める公式を初めて学ぶ方法
【問】凾`BCの面積Sを凾`BCの3辺a,b,cと凾`BCの外接円の半径Rであらわす公式を求めよ。

 この問題の公式を初めて学ぶときは、その公式が見せられて、その公式を証明しなさいという問題に出会うという出会い方が多いと思います。しかし、公式という答えを見てしまったら、数学を自分で学ぶという面白さが半減してしまいます。
 そのため、この公式に出会った場合、その公式の最低限の条件の(凾`BCの面積を3辺a,b,cと外接円の半径Rであらわせる)というヒントだけを意識して、その公式を自力で探し出すようにしましょう。

 以下で、その探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、
ここをクリックした先のページに書きます。

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
リンク:正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



   




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カレンダ
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