勉強しようNTTのBlog - 2015/04

算数の問題と解答とを考えていきます。




2015年04月29日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数平面を積極的に利用して問題をやさしくする(2)
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数平面は三角関数を減らす。

 複素数平面を積極的に三角関数がらみの問題に使って問題をやさしくしましょう。

 複素数平面を利用して以下の問題を簡単にしてみます。

【問1】


【解】
 数Uの三角関数の問題は、複素数平面で考えて、eiθで三角関数のcosθ+isinθを簡単にあらわすようにしましょう。
 数Uの問題は式がごちゃごちゃになると間違え易いので、できるだけ式をきれいな、対称性の良い単純な式であらわすように心掛けて、計算ミスを少なくするようにしましょう。 


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高校数学の目次



2015年04月28日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面を積極的に利用して問題をやさしくしましょう
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数平面はベクトルの問題を易しくする。

 複素数平面を積極的にベクトルがらみの問題に使って問題をやさしくしましょう。

 複素数平面を利用して以下の問題を簡単にしてみます。

【問1】 xy平面の放物線 y=x上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている。
△PQRは一辺の長さaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。
 

【解】
 先ず、この問題を図形に描いてみます。
 
 次に、この問題の図形がどう変形して問題の条件に合う図形になるか、少し図形を描いて考える。
正三角形PQRは、線分PQの垂直二等分線上に点Rがある。
また、傾き√2の線分PQを、点PとQを放物線上に置いて平行移動させても、線分PQの中点のx座標は変わらない。
その中点のx座標の値をbとおく。

 線分PQのx軸上への射影の長さを2tとする。
そうすると、求めるべき三角形PQRの辺の長さaは、tの2√3倍である。

 このbとtを使ってP,Qのx座標をあらわしてみる。
 次に、三角形PQRが正三角形になる条件を、複素数平面の以下の式で表現する。
この式の意味は、
「点Pを中心にして、ベクトルPQを、長さを変えずに左回りに(π/3)の角度回転させると、正三角形の頂点Rを与えるベクトルPRになる。」
という意味の式です。

(このように、複素数平面では複素数の掛け算がベクトルの角度を変えるという性質を利用すると、正三角形になるという条件が楽に導入できました。)

 この式は、実部と虚部をともに一致させる式であるので、2本の式に相当します。
 この式と先の式@(あるいは式AとB)を連立させると、未知な点P,Q,Rの3つの座標を確定させる3つの式がそろった。

 そのため、これらの式を連立させることで問題が解けると考える。

 先ずは、この問題の解答を見ずに、自力でこの計算の続きを実行して解答を得てください。

(この続きの解答は、ここをクリックした先にあります)

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高校数学の目次



2015年04月26日(Sun)▲ページの先頭へ
自分だけの公式を覚える(2)
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていて発見した、計算を近道させる自分だけの公式を覚えましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

【自分だけの公式(2)】
 この公式は形がきれいですので覚えましょう。
ごちゃごちゃした式がこの様にきれいな式になる事を覚えると、
式をこのようなきれいな形の式に変換する計算をするようになり、
計算が速くなります。

 なお、この公式は、以下の式のように、一見複雑な式で現れることもありますので、覚えておきましょう。

【自分だけの公式(2の2)】
  この自分だけの公式と1セットになる、以下の、もう1つの公式も覚えましょう。
 
 この公式も、以下の式のように、一見複雑な式で現れることもありますので、覚えておきましょう。
この公式は、
「ベクトルβの先端の点から、ベクトルαの描く直線までの、最短距離ベクトル(−h)を与える公式」
でもあります。

【自分だけの公式(2の3)】
  この自分だけの公式に関係がある、以下の、もう1つの公式も覚えましょう。
 上の図のように、ベクトルαを対称軸にした、ベクトルβに線対称なベクトルが上の式であらわせます。これも覚えておくと便利です。
 この公式は、
「ベクトルαが描く原点Oを通る直線に関して、
点βに線対称な点の位置ベクトルの公式」
でもあります。

 この公式は、以下の解答を見ずに自力で計算して証明するようにして下さい。

(解答は、ここをクリックした先にあります)

リンク:
複素数計算の公式を覚える
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2015年04月25日(Sat)▲ページの先頭へ
自分の計算を楽にする自分だけの公式を覚える
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自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていて発見した、計算を近道させる自分だけの公式を覚えましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

【自分だけの公式を発見する場合の例】

 以下の様に、複素数平面に書いたベクトルの間の明らかな関係を数式計算で導くことを考えていきます。

【問1】以下の関係を証明せよ。
 このベクトルsとuが垂直であることは、以下の様にして、ベクトルの内積を計算するとわかります。
以上の計算の結果、内積が0なので、ベクトルuとsは垂直である。
(証明おわり)

【問2】ベクトルuとsに以下の関係があることを証明せよ。
【解答1】
 ベクトルsとuは、先に計算した結果、垂直であるので、ベクトル
sとuは±90°回転させた関係にある。
しかも、いずれのベクトルも絶対値が1である。
そのため、複素数の偏角を90°回転させる、絶対値が1の虚数iを掛け算した関係にある。 
すなわち、問題の関係が成り立つ。
(証明おわり)

 以上の証明は、もちろん正しいが、以下の様に計算して証明しようとする困難な道もあります。


【解答2】
 【問2−1】 以下の様にuの2乗が計算できます。


この式を得る途中の計算は、自力で解いてみて下さい。


(この計算の解答はここをクリックした先にあります)


 【問2−2】 以下の様にsの2乗が計算できます。
この式を得る途中の計算は、自力で解いてみて下さい。

(この計算の解答はここをクリックした先にあります)


sの二乗とuの二乗の正負が逆なので、sとuの間には、以下の図に書いた関係が成り立つ。


 ここで、sの二乗やuの二乗をαとβの積で与える式は、自分だけの公式ですので、この公式を使うときは他の人に理解されるように(また、自分もこの公式の確からしさを確認するために)、

きちんと式を展開しましょう。

 しかし、これら、uの二乗やsの二乗をαとβの積で与える公式を導き出す計算には少し時間がかかります。そのため、これらの自分だけの公式を導き出す式の流れを覚えてしまいスラスラと速く書けるようになりましょう。

リンク:
複素数計算の公式を覚える
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2015年04月18日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数平面上に複素数を書いてベクトルで問題を解く
http://schoolhmath.blogspot.jp/2011/11/blog-post_2470.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/03/blog-post_23.html

複素数平面であらわした複素数はベクトルです。

複素数平面を初めて学ぶ学び方は、
複素数の問題はベクトルの問題に変換して解くことです。
 つまり、複素数平面上に複素数を置いた図を描いて、複素数の問題をベクトルの問題に変換して問題を解くようにすることです。

以下の問題も、そのようにして解いて下さい。

【問題】
 複素数zに対して以下の関係がある。
このとき、複素数
はどの様な数であるか?

(この問題の解)はここをクリックした先にあります。

 この問題も、この解をすぐには見ずに、自力でこの問題を解いて下さい。

(ただし、この問題では、解で見落としやすい(簡単な事なのですが)注意点もありますので、問題を解いた後で、参考に解を見ておいて下さい)

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2015年04月13日(Mon)▲ページの先頭へ
複素数平面の3点が正三角形になる条件に初めて出会ったとき



【問題】複素数平面上の 三点A(α),B(β),C(γ)が正三角形となる必要十分条件が、以下の式であらわされることを証明せよ。

この問題に初めて出会ったとき、解答を見ずに、自力でこの問題を解くよう努めてください。時間はいくらかかっても良いですから。その方が数学が楽しくなると思いますので。 

(解答例1) ここをクリックした先に解答例があります。
(解答例2)ここをクリックした先に解答例2があります。

リンク:
複素数平面での正三角形の条件
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2015年04月12日(Sun)▲ページの先頭へ
複素数計算で三角形の垂心を求める



べクトルの内積を複素数を使って計算する

 複素数平面であらわした複素数はベクトルです。
以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。

【問】複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の3点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その3点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数hは、
h=α+β+γ
で表わされる事を証明せよ。



【解答】
h=α+β+γであらわされるとき、
もしhが垂心ならば内積が0になるベクトル(h−α)とベクトル(γ−β)の内積を、
以下の式で計算する。

(注意)
 以上の計算では、複素数zとその共役複素数の差が2i・Im(z)になる公式を前提にして計算しました。大学入学試験レベルの問題に対してならば、その公式を前提にして計算を進めても良いだろうと考えます。

以上の計算の結果、ベクトル(h−α)とベクトル(γ−β)の内積は0になったので、
ベクトル(h−α)とベクトル(γ−β)は垂直である。
 次に、同様にして、互いに垂直であるべきベクトル(h−β)とベクトル(γ−α)の内積を計算する。

以上の計算の結果、ベクトル(h−β)とベクトル(γ−α)の内積は0になったので、
ベクトル(h−β)とベクトル(γ−α)は垂直である。

以上の計算の結果、h=α+β+γは垂心である。
(証明終わり)


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三角形の面積を外接円の半径を使って表わす公式を複素数を使って導く



自分だけの公式を使う練習をしましょう。

 自分だけの公式を使うときは、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにします。

【自分だけの公式(2)の絶対値の計算公式(2)の応用】
 絶対値の計算公式(2)は、三角形の高さhと辺の長さと外接円の半径の関係の公式です。
 この公式を使う練習として、三角形の面積Sを三角形の辺の長さと外接円の半径から求める公式を導く計算をします。
 自分だけの公式を使うときは、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を以下の様に記載して解答します。

【解答例】
 先ず、他の人に理解されるために、以下の様に、自分だけの公式(2)を変形した公式である絶対値の計算公式(2)を導く計算式を解答に書きます。

 次に、この計算結果を変形して以下の式を計算します。
 この式を以下の三角形の面積の式に以下の様に代入して求める式を計算します。
(証明終わり)

 これで、三角形の面積を外接円の半径と三角形の辺の長さとであらわす公式を求める計算を示す解答が完成しました。


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2015年04月11日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数の計算の自分だけの公式(2)



自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返される計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンを、自分だけの公式として整理して覚えましょう。
 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

 そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開(言わば、公式の証明)をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
 しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【自分だけの公式(2)】
 複素数平面での複素数の計算で複素数の2乗に相当する項を1乗の形の簡単な項に変換できる、以下の公式を見出しましたので、その計算過程を含めて覚えておきましょう。
 この公式は、以下の様に計算を進める形で使います。
 この公式(0)は、自分だけの公式であって、この式の様に式の計算を進める形で使うようにしましょう。
 公式(0)は、この図の様な円の中心の位置をあらわす複素数rが分かっているときに、複素数zの式を簡単化する役に立ちます。 


 この公式の中心部分は、以下の計算公式です。この式を覚えましょう。

 この公式(0)から、以下の、ベクトルの内積の展開の公式(1)と、絶対値の式の計算の展開の公式(2)との2つの公式が得られます。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年04月09日(Thu)▲ページの先頭へ
自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚える



自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返す計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンの起点と終点を、自分だけの公式として覚えましょう。
 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

 そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開(言わば、公式の証明)をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
 しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【自分だけの公式の例】
 ベクトルの内積に関して、複素数平面を利用して表現した以下の公式があります。
 この公式(1)は、三角形の外接円の中心の高さを求める公式を逆に使った公式です。
 公式(1)は、ベクトルの点を結ぶ(三角形の)外接円の高さが分かっているときに、複素数であらわしたベクトルの内積を簡単化するのに使えます。
 公式(1)は、外接円の高さが分かっているときに、複素数zとその共役複素数の積の項を無くして、式を簡単化する役に立ちます。 

この公式(1)を使うと、以下のようにベクトルの内積の式の展開方針が立てられます。


しかし、この公式(1)は自分だけの公式ですので、このような式の展開は他の人には理解されません。そのため、他の人に理解されるように(また、自分もこの公式の確からしさを確認するために)、
以下のようにベクトルの内積の式を展開します。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年04月07日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面のグラフの方程式の変換は図形で解くこと



複素数平面のグラフの方程式を計算でつなぐ道はがけ崩れで崩壊している

 以下の複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつなぐのはほとんど不可能です。
 複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。

【問】以下の複素数平面のグラフの方程式を簡単な方程式に変換せよ。

【解答】
 このグラフの式(1)は、2つのベクトルの成す角度θのcosθが1/2である式であるので、2つのベクトルの成す角度θは60°です。そのため、円周角の定理から、複素数zの描くグラフは、上図のような2つの円上になります。
 そのうち1つの円の中心は1+i/√3であり、円の半径は2/√3です。
よって、この円のグラフの方程式は、Im(z)≧0のときは、
であらわせます。
(解答おわり)

 この円のグラフの方程式(2)から、以下の式(3)を計算することができます。

 この式(3)は、Im(z)≧0の場合には、式(1)と同じグラフをあらわす式ですが、計算で式(1)を変換して式(3)を求めることはほとんど不可能です。
 そのように計算の障害が大きいので、複素数平面のグラフの式を計算でつなぐ道は、いわば、がけ崩れで崩壊していると言えます。
 そのため、そのグラフの式を変換した式は、上の解答のように図形で計算して求めてください。
 くれぐれも、がけ崩れで崩壊している「計算で式を変換する道」は通らないでください。

(参考)Im(z)≧0の場合には、式(3)の円上の点が式(1)を満足することの、計算による証明

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2015年04月05日(Sun)▲ページの先頭へ
初めて複素数の式でグラフをあらわす問題に出会ったとき



紙に描いた記述に示唆されて次の記述を足すことで問題が解けます。紙に描いた記述からスラスラ連想し、とにかくどんどん紙に描きましょう。

【問】
 以下の式を満足する複素数zが複素数平面上で描くグラフを求めよ。

 初めてこの問題に出会ったら、先ずは自力で問題を解く努力をしましょう。

(問題を解くコツ)
 紙を沢山用意してください。
必要な情報は全て紙に描いて、計算に必要な情報の一部が自分の頭の中にだけにあるという事が無いようにしましょう。

(自分の頭の中には何も記憶しないで良い状態にして、何かを記憶する負担から頭を解放して、頭が計算に集中できるようにしてください。)

1つの解き方がダメだったら、その紙は捨てて、
新しい紙に再度、次の解き方に必要な情報を全て描いてください。
(ダメだった解き方を書いた紙はもう見ませんので、
次の解き方を導いてくれる紙に、再度、必要な情報を全て描いてください。) 

 そして、その新しい紙に描いた情報で、再度問題に挑戦してください。
 こうして、自分が紙に描いた情報から自分が答えに導かれる情報の流れを全て紙の上に描いて問題を解いてください。

(第1のお勧めの解答方針)
(計算のヒント)
上の2つのヒントはセットで参照してください。

(解答1)第1のお勧めの解答方針で簡略化した第1問の解答
(解答)はここをクリックした先にあります。

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複素数平面の問題を図形で解く



使いどころを自分で確かめた知識を利用する

 円周角の定理を複素数平面で複素数の計算で導いた経験で、その計算では苦労することがわかった。
 円周角の定理に係わる問題は、複素数の計算をするよりは、図形の考察で答えを求める方が簡単だとわかった。

【問】以下の複素数平面の問題を解け。

【解答】
 円周角の定理にかかわる問題は複素数の計算よりは図形を考察して解く方が簡単に解けるということを知っている。
 そのため、この複素数平面の問題を解く方針は、図形を考察して、以下のようにして問題を解く。
これで問題が解けた。

 この結果を複素数の計算で求めると大変な計算になる事は、先に円周角の定理を複素数の計算で計算した過程を思い出してみれば明らかです。
 以上で行なって来たように、新しい数学の知識の効用は自分で問題を解いて確かめて、その効用を冷静に評価します。
 そして、効果が最大限に発揮できるツールを用いてそれぞれの問題の解決に利用するようにします。

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2015年04月03日(Fri)▲ページの先頭へ
ベクトルの角度を複素数平面で計算できることを初めて知ったら試してみよう
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_25.html


初めて知った新しい事はさっそく試してみよう

 数学の本質は好奇心を刺激するものだから、数学は好奇心の本能のままに勉強するのが良いと考えます。

(自分の納得できない数学の公式は覚えないようにして、好奇心の純潔を保ちましょう。
勉強して納得できてから公式を覚えれば十分間に合います。
 数学のテストの成績のためにといって納得できないことを無理に詰め込んでいると、いつか破綻すると思いますので、無理はしないようにしましょう。)

(反論への反論)
 上の考え方には、以下のような反論が考えられます。
(1)「公式を覚えなければ数学の学力が低下して授業についていけなくなり、結局落ちこぼれてしまうではないか。」
という反論が考えられます。
 その反論に対しては以下のように反論したいと思います。
(2)数学は勉強すれば学力が伸びる学問だと思います。公式が覚えられるまで納得できるまで数学を勉強することで授業についていくようにして欲しい。
 公式は、自分で問題を解く体験によってつかみ取った、自分で使える生きた公式を覚えてください。使えない死んだ公式は無駄な雑音なので覚えないでください。
 問題を自分で解く体験の中で、死んでいる公式が、使える生きた公式に変わります。そのときに、その公式を覚えてください。
(3)自分で問題を解きながら、良い解き方のパターンをつかみ取って、そのパターンを覚えやすい自分の公式の形に表わして、その使える生きた公式を覚えるよう心がけてください。
(4)実際、数学の実力が学年の平均を上回っているからといっても、使える生きた公式を学んでいない人が実に多いように思います。そういう状況なので、たとえ数学を一切勉強していなくて学年最下位の成績であっても、自分で使える生きた数学の公式をつかみ取り始めたら、通常の数倍の速度で実力が向上する、という特徴が数学という学問にはあります。
(5)数学を嫌いになると、そういう急速な学習を妨げることになりますので、数学を嫌いにならないでください。
(6)高校3年間、数学の授業は一切聞かない最下位の学生で、しかし、数学にいやな思いを持たず数学が嫌いにならなかった学生は、1年間もあれば、3年間勉強して来て学年平均以上の数学の実力があるが数学をあまり好きでは無い学生を大きく引き離す数学の力をつけられるものです。
 そのため、数学を嫌いにならないようにする手段として、「数学を勉強しない」という手段を選んでも良いから、数学を嫌いにならないようにしてください。
「そうすれば、生きた数学を勉強し始めたら急速に成長できます。その芽を摘み取らないようにして、有意義な人生を送って行って欲しいと思います。」

 さて、ベクトルの角度は複素数平面で計算できることを初めて知ったら、好奇心の本能のままに導かれる以下の問題を自分で解いてみて、この方針による計算がどれだけ楽か、あるいは大変なのか、どちらであるかを、体験して試してみましょう。

【問】円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。
(注意)オイラーの定理「exp(iβ)=(cosβ+isinβ)」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
(cosβ+isinβ)をexp(iβ)であらわした方が式が簡潔だからです。

(解答例)ここをクリックした先のページに解答例を書きました。
(解答例2)オイラーの公式を学んだ理系大学生の解答例
(解答例3)一番簡単な解き方:複素数平面の計算公式を使う

 先ずは、この解答を見ずに、この問題を自力で計算する努力をして欲しい。その方が数学の計算技術が磨かれ、数学が楽しくなると思いますので。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年04月02日(Thu)▲ページの先頭へ
座標を回転させる複素数のやさしい覚え方



【解説】座標を回転させる(絶対値が1の)複素数のやさしい覚え方。

上の式であらわした(絶対値が1の)複素数zを他の複素数に掛け算すると、複素数平面で複素数があらわすベクトルが、左回りに角度θ回転します。
zの共役複素数を掛け算すると、反対方向の右回りに角度θ回転します。
この複素数zは、
自然対数の底として使うネイピア数eの、角度θの虚数乗であらわせます。
(オイラーの公式です)
複素数zのこの表わし方がとても簡単なので、是非覚えて下さい。

 また、この表わし方は正規な数学的表現ですので、この表現を使って大学入試の問題を解いても減点されることは無いと思います。

 この表現を使って複素数の掛け算を以下の式のようにあらわすととても簡単です。
 
ここで、ネイピア数eの、角度θの虚数乗を書くと、虚数乗の項をあらわす字が小さくなって見にくくなるので、全く同じことをexp(iθ)と表現して計算するのが便利です。

 この表わし方exp(iθ)は正規な数学的表現ですので、この表現を使って大学入試の問題を解いても減点されることは無いと思います。

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複素数平面での座標回転を応用した例
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2015年04月01日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数平面を利用して回転した楕円の方程式を得る



【問】複素数平面を利用して、座標原点の回りに回転させた楕円の方程式を求めよ。

【解答】
 先ず、回転する前の楕円の方程式は以下の図のようにあらわせます。
この楕円を、以下の図のように、原点の回りに角度θ回転させます。
 ここで、楕円の軸方向の単位ベクトルをあらわす複素数gとhを考えます。
回転した楕円上の点が複素数zであらわします。
zを、複素数gの、(実数)x倍と、複素数hの、(実数)y倍の複素数の合成であらわします。
このzの実数成分を(実数)x’であらわし、虚数成分を(実数)y’であらわします。

なお、xとyのあらわす楕円の式は、回転していない元の楕円の式と同じです。
回転した楕円の式は、x’とy’で表した式です。

この(x’,y’)を(x,y)であらわす式は、楕円の回転角度θを使って、上の式であらわせます。

ここで、
(x,y)を(x’,y’)であらわす式と、
(x’,y’)を(x,y)であらわす式とは、
以下の式の様に、θの正負を逆にしただけの式であらわされる、
回転変換式の間の対の関係がありますので、覚えておきましょう。
この変換式を使って、
(x,y)であらわされた楕円の式を(x’,y’)で書き換えた式が、求める回転した楕円の式です。

これは、正確な計算で求めますが、
計算間違いを少なくするため、問題を単純化した場合を考えて、単純な場合の計算結果と食い違う計算ミスが無いかをチェックしながら、以下のように計算した方が良いです。
そのために、上の図のように、bが十分小さい扁平な楕円の場合を計算します。
bが十分小さいならば、yは限りなく0に近づきます。 
そして、(扁平な楕円なので) 以下の式のように、y’がx’に比例します。
以下では、この扁平な楕円の場合の条件から外れた結果が出る誤りが混じる事がないかチェックしながら、式を注意深く変形していきます。
これで、回転した楕円の式が得られました。
以下で、この楕円の式が、bが限りなく0に近い扁平な楕円の場合も妥当な結果を与えるかチェックします。

以上で得られた楕円の方程式は、bが十分小さい扁平な楕円の場合と矛盾しない結果が得られた。
そのため、以上の計算には計算ミスが混入しなかったと安心できます。

 得られた楕円の式を以下に整理して書きます。


回転した楕円の式を整理すると、回転した楕円の式の係数を使うと、上の式のように、楕円の軸の回転角度θの2倍のタンジェントが得られる関係があることがわかりました。

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