勉強しようNTTのBlog - 2015/05

算数の問題と解答とを考えていきます。




2015年05月23日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数平面での正5角形の求め方



【問2】X=1の解を求めよ。
−1=0

この方程式の5つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、X−1=0
の5つの解です。

は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに2π/5ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に2π/5ラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

それらの解は、の累乗であらわせます。
=X
=X
=X
です。


ここで、一旦、この問2から離れて、
5次方程式の根と係数の関係の1つの以下の関係について考察します。


この関係を整理すると、以下の式になります。
このように定理が得られたのですが、この定理を証明せよと求められたら、証明のし方が以下の2つあります。
【解1】
 式@から式Aを導く。
(これは、既に示しました。)

【解2】
 以下のようにして、絶対値が1の複素数Xを基準にした式を使って証明できます。

この解き方をすることで以下の教訓が得られました。
「この問題は、絶対値が1の複素数Xを基準にして、全ての解をXの累乗に置き換えた式を使うときれいに解ける。」

更に、次の定理も証明しましょう。

【問3】 
【解】
先ず、以下の置き換えをします。
以下のように式を変形します。
この問題も、絶対値が1の複素数Xを基準にして、全ての解をXの累乗に置き換えた式を使うときれいに解けました。

次に、問2に戻って、5次方程式の解き方を考えます。
【問2】
このように因数分解できたので、以下の4次方程式Bを求める問題に変わりました。
この4次方程式Bを2つの2次方程式に因数分解して問題を解く方法があります。
それは力仕事の計算になると思います。

一方、今までに得た知識を使って、以下のように解くと、
2次方程式を解く計算になるので、
少し楽のように思います。
定理1(式A)を使うと、以下のように問題が解ける利点があります。

この式Aを、cos(2π/5)=tであらわした式Cに書き換えます。
(注意)
 ここで、式Aを、cos(4π/5)=tであらわした式に書き換えた場合も、
その場合に(2t−1)のあらわすcos(8π/5)がcos(2π/5)に等しいので、
式Aから作るその式も式Cと同じ式になります。

 それを理解しているならば、
すなわち、
「この式Cは、tの解が
cos(2π/5)とcos(4π/5)とを解に持つ式である」
ことを理解しているならば、
この式Cから、cos(2π/5)とcos(4π/5)との2つの解を得ることができます。

 以下では、それを理解していない場合の、
(それでも正しい解答ですが) 解答を書きます。
この式のtを与える2つの解のうちからcos(2π/5)をあらわす適切な解を選びます。
--(注意)-----------
ここで、二重根号が出て来たので、この二重根号は外すことができるか以下のチェックをします。
10−4×5=80⇒平方根が無理数になる、
ので、この二重根号は外せません。
-------------------

これで1つの解が得られました。
この解に式Aを使うと、
もう1つの解の実数成分cos(4π/5)が得られ、
その虚数成分も計算することでもう1つの解も得られます。

この2つの解の共役複素数が残りの2つの解になります。
こうして、全ての解が求められます。

この解き方の方が、4次方程式Bを因数分解して解くより少し楽なのではないかと思います。
(人により、どれが楽な解き方か個人差があるかもしれませんが)

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高校数学の目次




2015年05月19日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面のベクトル方程式



複素数の方程式は複素数平面のベクトル方程式になります。

【問】複素数αとβに関して以下の式が成り立つとき、複素数αとβそれぞれが複素数平面上で描く図形を求めよ。

この問題も、できるだけ解答を見ずに自力で解くよう努めて下さい。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。


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高校数学の目次



2015年05月17日(Sun)▲ページの先頭へ
理系難関大学受験用の数学参考書
良い参考書を使って数学を勉強しましょう。

大学受験数学・フォーカスゴールドなどの網羅系参考書

(引用開始)
 大学受験に向けて数学の勉強をするとき、網羅系参考書は何を使えばいいのでしょうか。
私としては、フォーカスゴールドがお勧めです。


(中略)
万人に支持される参考書はなかなかありません。ある人にとってとても良いものは、別の人にとってあまり役に立たなかったりします。
 そうしたことも踏まえつつ、私がお勧めする網羅系参考書はフォーカスゴールドです。


 これは教科書を出版している啓林館が作っている参考書です。
 フォーカスシリーズには、フォーカスゴールドとフォーカスアップがあります。
 フォーカスゴールドは中堅私大理系対策や国立大学理系の二次試験対策から使えます。上はどこまで使えるかというと、東大理系まで使えます。
 有名進学校である灘高もフォーカスゴールドを使っていると聞きましたし、最難関の大学理系学部をめざすならフォーカスゴールドです。
 地方の国立大理系学部をめざすならば、フォーカスゴールドの例題と類題のみを解けばいいです。最難関大の理系学部や文系学部なら発展問題に挑戦していくのがよいです。
(中略)
 フォーカスゴールドは本屋さんでは販売していませんが、どの本屋さんからも、注文して取り寄せて購入することができます。分厚い別冊解答もついてきます。
私はネット通販のアマゾンに注文して購入しましたが、数学1A新課程、数学2B新課程、数3新課程ともに別冊解答と小冊子の公式集がついていました。

(引用おわり) 

「フォーカスゴールド」は、水野の数学参考書レビューの評価も高い。
(良い点)

 「基本事項のまとめにも副文が入るといった丁寧さがまず目を引く。」
(問題点)

 「巻末は(本シリーズのウリでもあるだろうから)我が道を行く内容でも構わないのかも知れないが、一般の受験生にはまったく歯が立たない内容がこれだけあると精神衛生上良くないし
学校採用だから「持たせる」以上質問を受ける場面も多々あるわけで、全指導者が質問に対応できるかということ自体がプレッシャーになって採択できない学校も出てくるのではないかと少々思いやられてしまう。」

(当ブログのコメント)
 フォーカスゴールドの良さは、その説明のていねいさ、易しく噛み砕いて説明してくれている点にあると思います。難しい問題は入試問題を紹介する中で避けては通れない事ですし、、、
 フォーカスゴールドは、その説明の丁寧さゆえに、「難しい問題も存在することを隠さない」親切な参考書であると、好意的に解釈したいと思います。

ここをクリックして、出版社による「フォーカスゴールド」の位置付けの説明を見てください

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2015年05月15日(Fri)▲ページの先頭へ
自分だけの公式を覚える(3)
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

自分だけの公式を作って覚えましょう。

 複素数平面で直線の外の点Pから直線に下ろした垂線の足HまでのベクトルPHをあらわす問題を解いて、その答えを自分だけの公式にして覚えてしまいましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

 数学の勉強において、この自分だけの公式を覚える事は、計算ミスを避けるための計算のショートカットです。数学の勉強における重要性は少ないのですが、センター試験対策として計算ミスを減らす役には立ちます。

【自分だけの公式(3)】
この公式を覚えると、計算が速くなり計算ミスが少なくなります。

 この公式は、点Pから直線までの距離の公式を、直線に垂直な方向を持つベクトルで、その距離の長さを持つベクトルの公式に変換したものです。

(補足)
 数学の計算力をつけるには、この公式を覚えるよりは、この公式を導くための
「最初に式を書き始めるところの、式の形」
を覚える方が良いと思う。
 どのような形に式をまとめて、式を書き始めるか、そこが、数学的には意味が深いと思う。
 正しく数学を学ぶために、この、
「式の書き始め」
こそを覚えてほしいと思う。

(重要なアドバイス)
 数学の公式は、すぐには覚えられないことが多いです。
この改善策は、以下のようにすることで、ただちに公式を覚えたのと同じ状況に入れます。
(1)その公式が存在する事を覚えること。
(2)公式を導くための出だしの式を覚えること。
−−これは、すぐ覚えられますよね−−
(3)公式が必要になった時に、計算用紙を使って、公式を導く出だしの式から始めて、ただちに計算して公式を導き出すこと。

 おぼえようとする公式は、みな、このパターンを使って、ただちに公式を覚えたのと同じ状況に入ってください。

リンク:
複素数計算の公式を覚える
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2015年05月10日(Sun)▲ページの先頭へ
放物線の極と極線の問題



放物線の極点と極線の関係を求める問題では、複素数平面は使わないこと。

【問1】
 放物線y=xの外側の点W(極)から放物線に引いた接線の接点をAとBとする。接点AとBを結ぶ直線(極線)の方程式を求めよ。

【解】
 この解は、以下のようにして解けます。
 この解き方を複素数平面を使って行うと計算が複雑になってしまいますので、複素数平面は使わないようにしましょう。
(注意)上で得られた式が点Aでの接線の公式であると教えられていますが、この結果を公式として覚えるよりは、上の赤枠で囲った、「接線の公式」を導出する過程の方をしっかり覚えて下さい。

 計算を続けます。
 これで、接点A,Bを結ぶ直線の方程式が得られました。

 こうして、極点Wに対する放物線の極線の方程式がスムーズに求められました。

 しかし、この計算を複素数平面で行なおうとすると、この計算の単純さが失われてしまいます。
 この問題を解くためには、複素数平面は適さないので複素数平面は使わないようにしましょう。

【問2】
 直線y=sx+tと放物線y=xの交点A,Bから放物線の接線を引いたとき、その2つの接線の交点W(極点)を求めよ。

【解】
 この問題は、以下のように解くと楽だと思います。
(複素数平面は使わないこと)
以上のようにして、スムーズに、
極点Wの座標が極線の式のパラメータであらわせました。

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2015年05月09日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数平面で双曲線の特徴を表現する



複素数平面で見た双曲線の特徴も覚えておきましょう。

【双曲線の接線の方程式】
−y=1とあらわせる単純な双曲線の場合は、
以下のような面白い性質があります。

(1)この双曲線は、複素数zの式で、
Re(z)=1
とあらわせます。
(2)この双曲線上の点aで接する接線の式は、
Re(az)=1
とあらわせます。
その接線(z点の集合)は、aの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その接線の原点からの距離は、
|a|分の1です。

【極点に対する双曲線の極線の方程式】
(3)この双曲線の外の点zから引いた双曲線への接線の接点aとbを結ぶ線を、
極点zに対する双曲線の極線
と呼びます。

 この極点zと極線との間には、以下の図の関係があります。
極点zに対する極線(a)の式は、
Re(az)=1
とあらわせます。
その極線(a点の集合)は、zの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その極線の原点からの距離は、
|z|分の1です。

 なお、この極線の式は、極点zに関連するきれいな式であらわせますが、接点aとbの式は複雑な式になります。
 そのため、極線を求める問題に直面した場合は、接点の座標を直接に計算しない計算方法で、極線の式を求めるよう工夫してください。(このグラフの極線の式は上の式の通りですので、形が異なるグラフの場合も、この式を導出する方法と類似させた方法で極線を求めてください。) 


【関連する問題】
 −y=1であらわせる双曲線に以下の式であらわされる直線が交差している。
この直線と双曲線の交点2つのそれぞれから引いた双曲線への接線2つの交点(極)を求めよ。

 この問題の解答は書きませんので、自力で解答してください。

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2015年05月06日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数平面のグラフの変換方法



【複素数平面のグラフの変換方法】
  以下の方法は、あらゆる形のグラフの変換に応用できる良い方法と考えます。
 この方法では、変換する元の複素数と変換した後の複素数の座標の対応関係も明確という利点があります。

 任意の円のグラフを変換する場合には、以下の様に計算します。
 任意の円のグラフは、このような形の円のグラフに変換できます。


ここでβ=1の場合は、以下の様に直線に変換されます。

β=-1の場合も、以下の様に直線に変換されます。 

 また、変換する元のグラフが直線の場合は、以下の様に円に変換します。

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2015年05月05日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面のグラフの変換を逆変換で計算する方法



【問】実数の媒介変数(t)を−∞から∞まで変化させたとき、
z=1/(1+i・t) (式1)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

(解答)

【一番簡単な計算方法】
 一番簡単な方法は、先ず、従う条件が決まっている(it)単体をzの式であらわします。
そのzの式に(it)単体の従う条件の式をあてはめます。
それにより、zが従う方程式が求まります。
 この式は、点1からzまで引いたベクトル(z−1)と、原点からzまで引いたベクトル(z)の内積が0であること、すなわち、それらのベクトルが直交することをあらわしている。
 円周角が直角であるため、点zは、z=0とz=1を直径の両端とする円の上にある。
 その円は、点(1/2)を中心にする半径(1/2)の円である。

ただし、式の前提にz≠0があるので、z=0の点は除く。

(注意)tが全実数範囲を動くときzがこの円の全範囲(z=0の点は除く)を網羅することは、図形を解析して確認する必要があります。

(補足)
 図形的意味を考えて、ここで解答が決着していることに早めに気づくようにしてください。
 計算のみで円の式を導き出さなければならない場合は、以下のように計算を続けます。

【共役複素数を使ってグラフを解析する方法に関する本質的な問題点】
 共役複素数を使ってグラフを表現する方法では、以下の双曲線のグラフを変換した場合のグラフの形がどういう形になるかを解析することができません。
 要するに、グラフを複素数zとその共役な複素数で表した場合、そのグラフの形が理解できるのは、答えのグラフが、直線か円かの、よく知られた形のみに限定されます。
 自分の知らないグラフに対しては新しい情報を得ることができないという、有用性が限定された手法です。

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複素数平面のグラフの式を恐れないために



複素数平面のグラフの見慣れない式に出会って動揺しないため普段から見慣れておきましょう。

【双曲線の方程式】


【双曲線の方程式(2)】

(注意)この式の左辺は、
 
となるので、必ず虚数になります。


【放物線の方程式】

 【放物線の方程式(2)】

 【楕円の方程式】


 【共役複素数を併用したグラフ表現の本質的問題点】
 結論から先に言うと、グラフが円か直線、又は双曲線、である場合だけに有効な手法です。
 以下の例のように、双曲線を変換すると円や直線や双曲線ではないグラフが得られます。しかし、そのグラフをこの表現方法で表すことは有効ではありません。

 円や直線や双曲線ではないグラフをzとその共役複素数を用いて表した式からは、そのグラフがどいう形をしているのかを理解するのは、ほとんど不可能に近いです。

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2015年05月03日(Sun)▲ページの先頭へ
複素数平面を利用して直線の交点を計算する



複素数平面の直線の方程式を利用して直線の交点を計算しましょう。

【問1】
直線 x+2y=2 と
直線 x−y=1
の交点の座標を計算せよ。

【解1】
この問題を複素数平面の直線の方程式を利用して解いてみます。
このグラフのように直線の方程式はベクトルの内積であらわせます。
そのベクトルの内積であらわした直線の式を以下の式のように、複素数平面の直線の式であらわします。
この式のRe()を取り外します。
b@−aA:
これで、交点zの座標の答えが得られました。

【解2】
この問題の直線の交点を従来のやり方で計算してみます。
先ず、直線の式を書きます。
yの係数を合わせるために式Aを2倍にします。
これでx座標が求められました。
ここまでの計算だけでしたら、複素数平面を使った計算よりも簡単に答えが得られました。

次に、この解のx座標を式@に代入してy座標も計算します。
以上のBとCで交点の(x,y)座標が得られました。

【解1と解2の比較】
 この問題の様に単純な式を計算する場合は、解2の方が速くx座標の解が得られるので、解2による計算の方が良いと思います。

 しかし、複雑な式を計算する場合は、
(1)解1の方が、(x,y)座標が同時に求められるので計算が楽。
(2)解1では、あらかじめ答えを与える式を覚えることができるので、
この答えの式を覚えておけば、計算間違いが入りにくい。
 そのため、複雑な式を計算する場合は、解1の解き方の方が良いのではないかと考えます。
 適宜、計算方法を使い分けて利用してください。 

【補足】
 複素数平面での直線の方程式と、XY平面上の直線の方程式とは、以下の計算で変換されて対応します。
 ここで、Re()の項がベクトルの内積になることは、以下の計算で再確認できます。
 この直線の方程式の対応関係は、以下の計算で説明されることが多いのですが、以下の計算式の全貌を覚えるよりは、上の計算式の方が全貌が覚えやすいと思います。

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2015年05月01日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面の直線の方程式を初めて見たとき



複素数平面の直線の方程式はベクトルであらわした直線の方程式を覚えましょう。

【直線の方程式】
 以下のように、直線の方程式はベクトルの内積であらわせます。
 この直線の方程式@は、ベクトルで学んだ、ベクトルの内積を使ってあらわした直線の方程式です。ベクトルの直線の方程式と対応するこの式@又は@’を覚えましょう。
 (なお、原点0を通る直線の方程式は、aが0になり使えないので、複素数のパラメータcを使って、
Re(cz)=0
とあらわせます。
(式@の直線に平行な直線は、
という方程式であらわせます。g=0のとき原点を通ります。)

 ちなみに、zとzの共役複素数の各々に任意の係数を掛け算して和を取った式で、zの係数の絶対値とzの共役複素数の係数の絶対値が異なる式などの、直線の方程式ではない式には、zが1点に定まる解があります。
 あるいは、zとzの共役複素数の和(2Re(z))=虚数iという式の様に、そもそもzの解が無い式も作れます。)

 一方、教科書では、複素数平面の直線の方程式として教わるのは、式@を以下の様に変形して得られる式Bであり、実数と虚数が入り乱れた複雑な形の式です。
 この式Bは、ベクトルbが直線の方向に平行という特徴はありますが、複雑な式です。このような複雑な式は覚えきれません。
 直線の方程式は、覚えやすい形の式@又は@’に変換して把握するようにしてください。

 また、2点αとβを通る直線の方程式も以下の図の式のようになります。この式も、意味がわかるので覚えやすいと思います。

ちなみに、この式を変形して、
という形の式にする計算が必要になったとき、その式のパラメータの複素数aは、以下の図の式になります。
この式も覚えてしまっておけば、計算しないで済むので楽です。
 ただし、この(自分だけの)公式を使うときは、Im(ω)をωの式に展開するときに、虚数iの係数を付けて展開しなければならないのですが、その変換計算がとても間違えやすいという問題があります。
(上の式のように i・Im()というように虚数 iとIm()が一体になっている式の場合にはミスを起こしにくいのですが、Im()が単体で使われている式ではミスがとても多くなります。)
 その計算の改善のために、以下の式のIm()とRe()の関係を利用します。
すなわち、Im(ω)の式を直接にωの式に展開するのは避けて、一旦Re()の式に直してから、ωの式に展開するようにしましょう。例えば、以下のように式の計算を進めます。
 このように、一旦Re()の式に直してから、次のように式を展開しましょう。

【直線をあらわす式の位置づけの補足】
 直線の方程式を含む以下の式のzの解の全貌を考えてみます。
ただし、この式の係数はみな、複素数です。

この式の関係を複素数平面に描くと下図になります。
この図だと、何が何だかわからないので、少し式を変形します。
α≠0の場合について、ωに関する上式を複素数平面に書くと下図になります。
上式のようにωの値が定まりました。
すなわち、zの値も定まりました。

 次に、r=1又はr=−1の場合を考えると、以下のようになります。
最後に、α=0の場合は、以下の式になります。
この場合は、
(1)β=0の場合は、
(1−1)C≠0の場合は解がありませんが、
(1−2)Cも0の場合は、zの解は全ての複素数になります。
(2)β≠0の場合は、zが定まりました。

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