勉強しようNTTのBlog - 2015/06

算数の問題と解答とを考えていきます。




2015年06月14日(Sun)▲ページの先頭へ
三角形の辺と角の等式を複素数平面で証明



「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題を複素数平面を利用して解きます。

【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)−b・cos(A))=a2−b2  (1)
  この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した以下の(式2)を考えます。
c(a・cos(B)−b・cos(A))−{a2−b2}=0 (2)

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。

以下では、この問題を以下の複素数平面の図を利用して証明します。
以下の図のa,b,cは複素数とし、上式のa,b,cは|a|,|b|,|c|に書き直して計算します。
 上の(式2)の左辺は、以下のようにあらわして計算できます。
証明おわり。

(補足)以上の計算は、途中から、以下のように計算する方が無理が無く計算できます。


 この問題は複素数平面(又はベクトル)を利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積をあらわす複素数平面のRe()の計算式を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学[三角比・図形]一覧
リンク:高校数学の目次



2015年06月12日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面の公式を使ってベクトルの難問を解く


ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと易しく解ける場合がよくある。

【ベクトルの難問】
 下図のように半径rの円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。

【解答】
 この問題は、ベクトルの難問ですが、

複素数平面の計算公式
を適用すると、以下の様に簡単に解けます。
上図において、
という関係があることに注目し、
複素数平面の計算公式を適用する。
 よって、式(1)が成り立つことが証明できた。
(解答おわり)


 以上のように、複素数平面の計算公式により、式(1)の関係を簡単に求めることができました。

 ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと簡単になる場合が多いです。

リンク:
ベクトルの難問の強力な解答手段
複素数計算の公式を覚える
高校数学の目次



2015年06月05日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面が、円の2つの接線の交点問題を簡単にする



複素数平面が、円の2つの点の接線の交点を求める問題を簡潔明瞭にする。

【問】
 複素数平面上の原点Oを中心にする半径1の円に対して、
その円上の点zから引いた接線と、
点zから引いた接線の交点の位置ベクトルを複素数であらわせ。

(接点の式)

 この問題は、上図のように複素数平面を使って、簡潔明瞭にあらわせます。
 2接線の交点Pの位置座標は、2接点の中点Mの位置によって定まる。
 しかも、その中点Mの位置ベクトルmと交点Pの位置ベクトルpは平行である。
 このように複素数平面であらわして考えると、2接線の交点を求める問題を、2接点の中点Mを求める簡単な問題に変換できます。

リンク:
高校数学の目次



複素数計算の公式を覚える
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数の計算を推進する以下の公式を覚えましょう。

 複素数平面の計算の公式を覚えると計算が推進されます。
以下の公式は、必ず覚えてください。
以下の公式も覚えてください。
以下の公式も覚えてください。

(この公式の証明は、ここをクリックした先にあります)

以下の公式も覚えて、計算を推進させてください。
また、以下の公式も成り立ちます。
 以上の公式は使う場合が多いと思いますので、覚えておいて、計算の中で必要に応じてすぐ使えるようにしておいてください。

 以下の公式も使う場合が多いと思います。
また、以下の式も大切です。

先の式から、以下の式が成り立ちます。
(上の式で、上から2行目の式と3行目の式は、|α|=|β|の場合には、右辺が第1項のみになります。それを利用して、以下の公式が使えます。)
 実数係数kを利用してβを下式のように絶対値がαと同じ複素数β’であらわします。

同様に、以下の公式も使えます。
ただし、kは、βを以下の関係のβ’に置き換える実数係数です。

 以上の式に対しては、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、以下の式の左辺が変化しないので、以下の式が成り立ちます。

 以下の公式も計算の推進の道具にしてください。
上の式に対しても、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、最初の式が変化しないからです。

 以下の公式は、使う場面が少ないので無理に覚える必要は無いと思いますが、このような形に式が変形できるように頭を柔らかくする発想の練習をしておきましょう。



 また、以下の「2複素数の非対称共役化」公式も、覚えるというよりは、スラスラ計算して導き出せるように練習しておくと便利だと思います。

(条件)複素数αとβの絶対値が等しい場合:
以下の公式が成り立つ。



これらの「2複素数の非対称共役化」公式は、以下の問題例の様に使うと良いと思います。
(問題例1)ベクトルの難問を解く
(問題例2)円周角の定理を示す

リンク:
高校数学の目次



   




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カレンダ
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