勉強しようNTTのBlog - 2016/10

算数の問題と解答とを考えていきます。




2016年10月29日(Sat)▲ページの先頭へ
三角関数の難問
【問1】 
以下の図形のtanθを求めよ。
(注意)この問題は、ラングレーの問題と呼ばれている有名な問題で、難問です。

当ブログでは、三角関数を使って問題を解きます。数U以上を学んで、三角関数の加法定理等を学んだ後にこの問題を解いてください。

数U以上を学んだ学生は、この問題は難問ですが、解けるかどうかチャレンジしてください。

当ブログでは、三角関数の問題として解きましたので、
読者も三角関数で解いてみてください。
(ただし、数学の心に従い解き方は自由です。三角関数を使わないで解いて、後で三角関数の答えを計算して答えを書いてもかまいません。) 

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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高校数学の目次



2016年10月16日(Sun)▲ページの先頭へ
二重根号を外す問題
【問1】 a≧0, b≧0の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

【問2】 a≧b, b≧0の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
答えが分かったら、解答の(補足)の説明も読んでおいてください。

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高校数学の目次



2016年10月10日(Mon)▲ページの先頭へ
二重根号の外し方
【問】 以下の式の二重根号を外せ。
 

【注意】
 二重根号の外し方は「嘘っぽい」方法が使われます。
そのため、その方法を覚えられない高校生が多いのではないかと思います。納得できないことは覚えないでかまいません。
 そのため、この問題は解けなくてかまいませんので、問題が解けないか、あるいは問題が解けるかで、この問題への対応がひと段落したら、
この行をクリックした先に、二重根号の外し方の4つの方法と、その方法の嘘っぽさの弁護を書きましたので、見ておいてください。

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高校数学の目次




受験生が苦労する因数分解
【問1】 以下の式を因数分解せよ。
−7x+1

【注意】 この問題は、大学入試問題に出題される因数分解ですので、高校1年では出題されないかもしれません。

しかし、この問題の解き方には、
(1)正しい解き方ではあっても、障害物を越える時間をかけなければならない解き方と、
(2)その障害物が出てこない平坦な計算の道を通る解き方と、
の2つの解き方があります。

そのため、この問題を解いた後で、
この2つの解き方の解答(ここをクリックする)を見て、
確認しておいてください。

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2016年10月09日(Sun)▲ページの先頭へ
入試問題:図形の長さの比の問題
大学への数学V&Cの勉強

【問い】
以下の図の原点OとA(1,0)とB(0,1)に対して点Pが、以下の関係の位置にある。
OP:AP:BP=1:a:b
とする。 ここで、a≧0,b≧0,である。

このとき、P点が任意の位置に動くとき、aとbの取りうる値(a,b)の範囲をa,b 座標平面であらわせ。

【解答の方針】
 この問題は、上図のようにP点の座標をP(Px,Py)として、その点Pの座標をa,bであらわす方程式を立てて計算します。


【解答】
(1)

OP:OA=1:aの方程式:
@’にAを代入して変形する。
この式BでPxをaとOP=pであらわせる。
(2)
OP:OB=1:bの方程式:
同様にして、
この式DでPyをaとpであらわせる。
(3)
式Aに式Bと式Dを代入してPxとPyを消去する。
式Eからpの解をaとbの関数であらわすことができる。
pの実数解があれば、PxとPyも式BとDから求められる。
(4)
式Eがpの実数解を持つ条件は、以下の判別式を満足することである。
この判別式のaとbの条件を(a,b)座標平面内の範囲であらわすと、以下の図の斜線の範囲になる。
上の図で、aとbが正の領域が解の条件(a≧0,b≧0)の範囲です。
(5)
 問題となる点は、この範囲内の(a,b)であれば必ずP(Px,Py)が存在するかということです。
 その問題に対しては、この(a,b)の範囲内ならば、式Eで実数のpの解が求められる。その実数解pを使えば、式BとDでPxとPyが求められるので、必ずP(Px,Py)が存在する。
(解答おわり)

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第2講第1節 直線の方程式の持つ意味
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

第2講第1節 直線の方程式

直線の方程式の一般形は、
ax+by+c=0 (式1)
である、
と教わります。

この一般形により、
x=1
という直線もあらわすことができるからです。

以下で、直線の式を(式1)で表すことで得する他のメリットを考えます。

(直線の方程式の一般形の持つ意味)
この式1を少し変形した式:
ax+by=d (式2)
を考えます。
ここで、右辺にdの二乗を使ったのは、
この式2の全ての文字定数と変数(a,b,x,y,d)に長さの「次元」を持たせて、
式に、次元の色合いを付けるためです。

式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。
これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

この式2の表す直線と原点の間の距離OHを、以下の図で計算します。
点C(a,b)を考えると、距離OHと、距離OCとの積はになります。
実は、この式2は、後に勉強する「ベクトル」の内積の式であって、
直線2上の点Z(x,y)について、 ベクトルOHとベクトルOZの内積がになるという式をあらわしています。

直線の式をこの式2の形で表すことは、「ベクトルの内積の式」を導き出す源泉になるという価値があります。

(補足)
 式1(及び式2)の係数a,bは、直線の垂直な線分OCの端点Cの座標という意味を持っていることがわかりました。点Cの座標は、計算の見通しを良くするために、点Cの記号に添え字を付けた記号であらわします。
C=(c,c )です。
それに従って、式2の直線の式も、以下の式3であらわすことが望ましい。
x+cy=d (式3)

一方、直線の式を、以下の式4であらわして、(x,y)の次元を長さの逆数と解釈することができます。
x+cy=1 (式4)
この直線の式4は、上の図のように、OCの長さcの逆数の長さがOHになる関係をあらわしています。

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カレンダ
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