勉強しようNTTのBlog - 2017/02/03

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年02月03日(Fri)▲ページの先頭へ
不定方程式の解き方
【問1】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 以下の様に式を書いて、右辺の数値をユークリッドの互除法で引き算して行き、式の左辺の項を、右辺の数値の加減乗除にリンクして設定する。
この計算で式2が得られた。
次に、この式2に、以下の(整数)変数nを導入して、式3を得る。
式3を式1と対比させることで、

不定方程式1のxとyの全ての整数解を、整数変数nを使った式4と5であらわす。
(注意点)
 ここで式4と5に付け加える7nと5nの係数7と5が最小公倍数を持つ場合は、その最小公倍数で割り算した値にして式に加える必要がある。
(解答おわり)
 
【問2】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 uを予め与えられた整数と考えて問1と同様に解く。
 (解答おわり)

【問3】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 xの係数とyの係数の最大公約数=2を求めて解く。
 (解答おわり)

【問4】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
次に、この式2に、以下の(整数)変数n1からn3を導入する。

しかし、これで解答は終わりでは無く、2つの変数nとnの式の部分は、以下の様に1つの変数nの式にまとめられます。
(これは大学の数学専門課程レベルですので、この問題は大学入試には出題されないと考えます)

式1のxの係数4とyの係数(−6)の最大公約数をcとします。
c=2になります。
そして、式1の左辺から、以下の式10を作り、式1を満足するaとbを求めます。
 この係数a,b,cと変数n変数nを使って、以下の式でx,y,zがあらわせます。
(解答おわり)

(別解のコメント)
 ここで、式10を計算して変数nの式を求める方法以外に、以下のようにして変数の式を計算することもできる。
その計算は、式6,7,8の変数n変数変数nの式が独立では無いことを利用して、以下の様に解く方法である。

zを与える式8において、
(A)変数nの式の係数(−4)と数nの式の係数(2)の最大公約数(2)を求める。
(B)その最大公約数(2)を係数に持つ変数の項だけを式8に設定する。
この場合は、式8の右辺を2nだけにする。それは、数n=0とすることを意味する。
(C)変数n=0とした式6’,7’,8’が解である。
この解の変数nをn−nとすれば、先の解に一致する。

また、式6,7,8に対して:
yを与える式7において、
(A)変数nの式の係数(2)と数nの式の係数(1)の最大公約数(1)を求める。
(B)その最大公約数(1)を係数に持つ変数の項だけを式7に設定する。
この場合は、式7の右辺を−1+nだけにする。それは、数n=0とすることを意味する。
(C)変数n=0とした式6’’,7’’,8’’も解である。

【解答3】
 式1を、以下の様に、式12と式13との2つの式に変換して、それぞれの不定方程式を解いて、解を合わせれば良い。
この解答は省略する。

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