勉強しようNTTのBlog - 2017/05/19

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年05月19日(Fri)▲ページの先頭へ
2つの多項式が共通因数を持つ問題
(2つの多項式の最大公約多項式を求める問題)

 次数の大きい方の多項式 f を、次数の小さい方の多項式 g で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 g を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

 この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題1】
以下の多項式 f の方程式1と多項式 g の方程式2が共通の根を1つ以上持つように定数aの値を定めよ。

(解答の方針)
 この問題で、多項式 f の方程式1と多項式 g の方程式2が共通の根を持つということは、多項式 f と多項式 g が共通因数(x−u)を持つことを意味する。
 共通因数を持つ2つの多項式にユークリッドの互除法を適用すると最終的に定数項になる余りが0になる。
(最後に式を割り切ってその余り0を得る原因の多項式が最大公約多項式です。)

【解答】
 先ず、多項式 f を多項式 g で割り算して余りの多項式 h を計算する。
次に、多項式 g を多項式 h で割り算して余りの定数項 k を計算する。
多項式 f と g が共通因数を持つ場合は、最後に計算した余りの定数項 k は0になる。
よって、以下の式が成り立つ。
(解答おわり)

(補足)
 この計算の式3であらわされる多項式 h が最大公約多項式です。
この最大公約多項式は、aの値に従って以下の式6になる。

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