勉強しようNTTのBlog - 2017/09

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年09月30日(Sat)▲ページの先頭へ
三角関数の単純化パターンの公式
以下の式のような複数の角度の三角関数の多項式1がある場合:
以下の式のように、1つの角度の三角関数の式2に変換する「三角関数の単純化パターンの公式」が成り立ちます。

三角関数の値が分かっている角度Cを使う。
 (公式おわり)

この三角関数の単純化パターンの公式を適用する例を以下に示す。

【問1】 
上の三角関数の式1を単純化せよ。

【解1】
 以下の計算で式1を式2に単純化する。
(解答おわり)

【解2】
 以下の計算でも、式1を式2に単純化できる。
(解答おわり)

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2017年09月28日(Thu)▲ページの先頭へ
複素数平面の問題を図形で解く
【問題】
 下図のように半径1の円に内接する三角形ABCがある。この場合に、
点Aから辺BCに下ろした垂線の足の点をDとし、点A,B,C,Dの複素数平面での位置の値をA,B,C,Dとすると、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。

【ベストな解答】
(1)式1は、三角形CAEと三角形DABが相似であるという関係を示している。
(2)円周角の定理より、∠CEA=∠CBA
(3)2つの頂角が等しいので、△CAE∽△DAB
(4)よって、式1が成り立つ。

【解答(その2)】
 式1を図形的に証明しないで複素数で計算しようとすると、以下のように苦労します。
 あまり推薦できませんが、複素数の計算による解答を以下に書きます。

(1)先ず、この図のままだと、複素数の計算が難しいので、この図形を以下の図に回転させて、それから計算する。
(この形に整えることが解答のポイントです)
式1は、式2の形に書き換えることができる。
(2)この式2を以下のように変形していく。 
この式3は確かに成り立っている。
(3)そのため、この式3から始めて、上の式2に至るまで、順番に式を変形して式2を導き出すことで、この問題の解答とする。
(解答おわり)

(補足)
 この問題を複素数の計算問題として解く場合に、上の図のように整えた配置に図形を回転させてから問題を解く必要があります。そうしないと、解くことが困難になるからです。
 そういう図形の操作もしなければ解けないことから考えると、この問題は、複素数の計算をするよりは、図形の証明問題として解く方が優れた解答であると考えます。

 複素数平面の問題は、なるべく図形で解くべし。

(補足2)
 式1は、以下の式4に変形できます。
(1)式1を、三角形CAEと三角形DABが相似であることから導き出して、
(2)その式を式4に変形して使う。
これを覚えておくと何かの計算に役立ちそうです。

リンク:
ベクトルの難問の強力な解答手段
複素数計算の公式を覚える
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2017年09月26日(Tue)▲ページの先頭へ
ベクトルの難問を複素数平面で解く問題2
【問2】 
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つP点の位置座標を求めよ。

(解答方針)
この問題を複素数平面を利用して解いてください。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2017年09月23日(Sat)▲ページの先頭へ
ベクトルの難問を複素数平面で解く問題1
【問1】 
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つP点の位置座標を求めよ。

(解答方針)
この問題を複素数平面を利用して解いてください。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2017年09月20日(Wed)▲ページの先頭へ
外接する平行四辺形の面積の公式
ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a−a
で計算する公式が知られています。
 この平行四辺形に外接する図のような平行四辺形CDEFの面積は、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積の2倍です。
(外接する平行四辺形の面積の公式)

この公式は上図から明らかですが、
以下で、この公式を、ベクトルの計算からも導き出してみます。

(外接する平行四辺形の面積の公式の導出)
先ず、ベクトルA,Bを反時計回りに90度回転したベクトルA,Bを考えます。
そして、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積SをベクトルAとBの外積であらわして、それをこれらのベクトルを使って内積であらわします。
ベクトルCDとCFとそれらのベクトルを反時計回りに90度回転させたベクトルを以下の式であらわします。
次に、ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積を以下の式で計算します。
ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積が、ベクトルAとBが張る平行四辺形の面積の2倍である、以下の公式が得られました。 
(公式の導出おわり)

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2017年09月19日(Tue)▲ページの先頭へ
ベクトルの切替の公式
以下の式のように大きさが等しいベクトルAとBがある場合:
以下の式のように、ベクトルの内積を切り替える「ベクトルの切替の公式」が成り立ちます。
 (公式おわり)

このベクトルの切替の公式を適用する例を以下に示す。
【問1】 
上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
 先ず、ベクトルbとcを、外心から引いたベクトルAとBとCであらわす。
この式を、大きさRが等しいベクトルAとBとCの内積であらわし、式を変換する。
ここでベクトル(B+C)は、以下の図の様に辺BCに垂直であり、長さが2mである。
(証明おわり)

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2017年09月18日(Mon)▲ページの先頭へ
外接円の中心の高さmを三角形の2辺と高さから求める
【問1】 
三角形の外接円の半径Rに関するこの式が成り立つことを証明せよ。
【解答】
上の式のように正弦定理を使ってhを計算した。
(証明おわり)

円周角の定理のみでの証明は、ここをクリックした先にある。

また、この関係から、三角形の高さhが分かっている場合に、外接円の中心の高さmが以下の式で計算できる。

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2017年09月17日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトルの合成の公式
【ベクトルの合成の公式】
以下のベクトルの合成の公式が成り立ちます。
直交する単位ベクトルsとtによって左辺の式で表されたベクトルは、左辺の内積に組み込まれているベクトルzに等しい。

【課題】
ベクトルzと、単位ベクトルaとbと、それらを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbを考える。
ベクトルzは、以下の、ベクトルの分解の公式によって、単位ベクトルaとbであらわせる。
このベクトルの分解の公式を導き出すことを課題として、その解の中で、ベクトルの合成の公式を使う。
 
(解答1)
 ここで、ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
以下の式でベクトルaとbであらわされる単位ベクトルsと、それに垂直な単位ベクトルtを考える。 
 この単位ベクトルsとtでベクトルzを分解する。
ここで、単位ベクトルsとtの各要素は以下の式で与えられる。
式4の中のベクトルの要素をこの式5から8で置き換える。
この式にベクトルの合成の公式を適用する。
こうして得られた式は、当初の公式とはちがうが、この式のベクトルaとbをベクトルaとbに互いに入れ替えた式も成り立つ。
 よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(解答1おわり)

(補足)
 ここで、直交するベクトルsとtを単位ベクトルaと単位ベクトルbであらわし、それらのベクトルでベクトルzを分解して計算すれば、最初に記載したベクトルの分解の公式が直接に求められる。

(1)ベクトルaとbであらわした単位ベクトルsとtで分解した式から求められる式が、
ベクトルzとベクトルaの積の項とベクトルzとベクトルbの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルsとベクトルtの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルaとベクトルbであらわしたベクトルの分解の公式になり、
(2)ベクトルaとベクトルbであらわした単位ベクトルsとtで分解した式から求められる式が、
ベクトルzとベクトルaの積の項とベクトルzとベクトルbの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルsとベクトルtの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルaとbであらわしたベクトルの分解の公式になった。

(解答2)
 回答1で定義した単位ベクトルsとtで、回答1と同様にベクトルzを分解し、次に、ベクトルaの項とベクトルbの項に分ける。
式9の中のベクトルの要素を式5から8で置き換える。
この式の中のベクトルsとtの式にベクトルの合成の公式を適用して1つのベクトルzの式に統合する。
よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(解答2おわり)

(補足2)
 この解答2の計算は、以下の計算をする場合には特に注意する必要がある。
(1)互いに直交する単位ベクトルsとtを以下の式で作る。
 (2)この単位ベクトルsとtでベクトルzを分解する。
この式10は以下の式11に変換できるが、この計算では、ベクトルの要素が所属するベクトルに関する情報が失われている式であるので、次の式11への変換を発想することが難しい。
式10を式11に変換できたら、以下の計算を進めることができる。
この式の中のベクトルsとtの式にベクトルの合成の公式を適用して1つのベクトルzの式に統合する。
これにより最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(補足2おわり)

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2017年09月15日(Fri)▲ページの先頭へ
ベクトルの分解の公式
【課題】以下のベクトルzと、
単位ベクトルaとbと、それらのベクトルを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbがあるとき:
ベクトルzをベクトルaとbであらわす公式を導き出す。

【解法その1】 
 ベクトルaとbを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbを加えて考えると、以下の図の関係がある。
上の図の関係から、ベクトルOZは、以下の式の関係で、ベクトルaとbであらわせる。
この式がベクトルの分解の公式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この公式は、単位ベクトルaとbとaとbそれぞれを、単独に定数倍した任意の長さのベクトルに置き換えても、それらの定数倍の係数が公式の分母と分子で打ち消し合うので、それらの任意の長さのベクトルに関しても成り立つ公式である。


(補足2)
 この公式が正しいか否かを調べるため、ベクトルzをこの公式で分解した式について、以下のように、ベクトルaとベクトルbの方向の成分を計算する。
その結果、それらの方向の成分は、それらの方向のベクトルzの成分に等しいので、この公式が正しいことがわかる。

【解法その2】 
 以下の、ベクトルの係数kとkが未知数であるベクトル方程式1を考える。
 この式1に、係数kを消去するベクトルを掛け算する。
 同様に式1に、係数kを消去するベクトルを掛け算する。
式3と式5で得られたベクトルの係数kとkを式1に代入する。
これにより、ベクトルの分解の公式がえられた。
(解答おわり)

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2017年09月13日(Wed)▲ページの先頭へ
連立方程式をベクトルの内積により計算する
以下の連立方程式を考える。
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積の式5と6であらわすことができる。
この連立方程式を以下のようにしてベクトルを使って解く。

(解答はじめ)
 先ず、式3が成り立つので、以下の式7が成り立つ。
すなわち、ベクトルaとcの和のベクトルと、ベクトルaとcの差のベクトルの内積が0になり、それらのベクトルが互いに垂直である。

 ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
ベクトルaとcの和のベクトルに平行な単位ベクトルsと、
ベクトルcとaの差のベクトルに平行な単位ベクトルtを考える。
ベクトルzを、単位ベクトルsとtに平行な要素に分解してあらわす。
 ここで得られた式8は、ベクトルzの解である。

 この式8をベクトルaの要素とベクトルcの要素で整理すると、もっと複雑な、扱いにくい式になる。
ベクトルは、この式8のように、互いに垂直なベクトル毎にまとめる方が単純な式になる。
この式8が、この計算結果によるzの解をあらわす一番単純な式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この式8が成り立つことは、以下のようにして確認できる。
問題の式5と式6は以下の式に変形できる。
式8が、この式を満足するので、式8が成り立っている。

(補足2)
 この問題のzの解は、以下の式9であらわすこともできる。
この式9は、以上とは異なる発想で解いた結果の式であり、式8と等しい式です。以下の計算によって、式8から式9が導かれます。
こうして、式8から式9が導けました。

 式8も式9も、どちらが優れている(単純な)解だと言うことが出来ない、対等な解です。
 式9は、ベクトルaに垂直なベクトルaと、ベクトルcに垂直なベクトルcを加えてあらわした、使うベクトルの数が多い式ですが、式8よりも計算がし易い式であるとも言えそうです。

この式9は、直ぐには導き出せないので、以下のように整理して公式として覚えておいてください。

【ベクトル方程式の公式1】
以下の連立ベクトル方程式の式a1とa2があるとき:
この連立ベクトル方程式の解は:
である。
なぜなら、式a1と式a2のベクトルzに式a3を代入すると、以下の通り、式a1とa2を満足するからである。
(公式おわり)

【ベクトル方程式の公式2】
以下のベクトルzとaとbがあるとき:
ベクトルaとbを反時計回りに90度回転したベクトルとベクトルbを利用して、以下の関係が成り立つ。
(公式おわり)
 
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2017年09月11日(Mon)▲ページの先頭へ
連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
以下の連立方程式を考える。
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積であらわすことができる。
この連立方程式を解くと以下の解が得られる。
ここで、以下のように、ベクトルaに垂直で長さがaに等しいベクトルaと、ベクトルbに垂直で長さがbに等しいベクトルbを考える。
このベクトルaと、ベクトルbを使って、式5と6の解をベクトルであらわす。
この式7が式3と式4を満足することは、以下の式の計算で確かめることができる。
このように、式7は、式3と4を満足する、連立方程式の解をあらわす。

(補足)
 ここで、以下の式8から10を満足する連立方程式を考える。
この連立方程式の解は式11になる。

 以下のようにしてこの式11を変換する。

先ず、式10が成り立つので、以下の式12が成り立つ。
すなわち、ベクトルaとbの和のベクトルと、ベクトルaとbの差のベクトルの内積が0になり、それらのベクトルが互いに垂直である。

 ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
 先ず、式11の第1項を、その両ベクトルの要素に分解してあらわす。
 次に、同様にして、式11の第2項を、両ベクトルの要素に分解してあらわす。
そして、その第1項と第2項の和でベクトルzをあらわす。
結局、ベクトルzがこの式13であらわされた。
(式の変換おわり)

 この式13は、以下のように考えると、納得できる。

(1)ベクトルaと、ベクトルbは、それぞれ、ベクトルaとbを反時計回りに90度回転させたベクトルとして定義されている。
(2)そのため、式11のベクトルzは、ベクトルbとベクトルaの差のベクトルに平行になり、

(3)それは、ベクトルbとベクトルaの差のベクトルに垂直である。
(4)そのベクトルbとaの差のベクトルは、ベクトルaとbの和のベクトルに垂直であり、
(5)結局、ベクトルzは、ベクトルaとベクトルbの和のベクトルに平行である。

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2017年09月10日(Sun)▲ページの先頭へ
単位ベクトルの要素の2乗の差の公式
単位ベクトルA(a,a)と単位ベクトルB(b,b)について、 以下の公式を証明せよ。

【問1】以下の公式を証明せよ。
− a =a−b


(証明開始)
− a
= a +(a−a) −a
=a(b+b) −(a+a)b
=a−b
=−a+b
(証明おわり)


【問2】以下の公式を証明せよ
− a =a−b

(証明開始)
− a
= a +(a−a) −a
=a(b+b) −(a+a)b
=a−b
=−a+b
 

(証明おわり) 

これらは、公式として覚えてください。
(これらの単位ベクトルの要素をsinとcosであらわして公式をあらわすこともできます。) 

 式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、すぐ、このように式を変形できるように式の変形のコツを覚えておいてください。

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2017年09月09日(Sat)▲ページの先頭へ
ベクトルの内積の公式
「ベクトルの内積の式の変形が思うようにできない」という人は、以下のベクトルの内積の公式をおぼえて、式の変形計算を自由にできるようになりましょう。
 

 この公式は、ベクトルの内積の式を、以下のように変形するために用います。
 ここで、ベクトルBAとベクトルCAの内積を変形します。
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さmをベクトルの内積で計算する定理が得られました。

(注意)このベクトルの内積の公式は、ベクトルの絶対値が等しい場合に限り成り立ちます。この条件が成り立つ場合はあまり多くは無いので、ベクトルの内積の式を自由自在に変形するためには、この公式だけでは不十分で、その他の公式も必要です。

(補足)
 ここで、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、三角形の性質から次の式が得られる。
RcosA=m
また、ベクトルの内積から以下の式が得られる。
この2つの式を、先に得た式に代入する。
これで得た式は、正弦定理を使うことで速やかに導かれる式である。
この式も、ベクトルを変換する公式として利用することで、ベクトルの式を変形する自由度が増すと考える。

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2017年09月06日(Wed)▲ページの先頭へ
長さの等しいベクトルの張る平行四辺形の面積の公式
ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a−a
で計算する公式が知られています。
 この公式は思い出すのに少し時間がかかるし、何となく使いにくい感じがして、今一つ使いにくい公式のように感じました。
 これに替わる、もっと楽に使えそうな公式がないかを考えました。 

 その結果、以下の、「長さの等しいベクトルAとBの張る平行四辺形の面積の公式」(後の式1から3)が導き出せました。
 このような公式もあることが分かったので、この公式も速やかに導き出すことができるように、以下の公式の導き出し方を覚えてしまいましょう。

上の図で、長さの等しいベクトルAとBの張る平行四辺形の面積Sは、以下の式で計算できる。
よって、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つ理由は、|A|=|B|の場合にベクトルCDとベクトルCFが直交するからです。
式1および式2は、Sの正負が反映されている公式です。
式3は、Sの絶対値をあらわす公式です。

(補足)
 以上の公式は、図から求めることができた。
それらの公式のうち、式2の公式を、以下では、式を展開することで証明する。

(証明おわり)

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2017年09月05日(Tue)▲ページの先頭へ
外接円の半径Rを頂点Aの高さhと辺bとcから求める問題


双曲線の2点の座標の公式
【問1】
 双曲線(x−y=1)に対して、
接点a(a,a)から引いた接線と接点b(b,b)から引いた接線の交点p(p,p)を求めよ。
(参考)接点aと接点bから引いた2つの接線の交点pを、双曲線の極線abに対する極と呼びます。

【解答】
双曲線の式を、以下の式1のf(x,y)=0であらわす。
接点aとbとに、以下の式2と3が成り立つ。
双曲線の接線の公式により、接点aとbとの2つの接線は、以下の式4と5であらわせる。
式4と5を連立させて、2つの接線の交点p(p,p)=(x,y)を求める。
この接点の式を、以下の、双曲線の2点の座標の公式を使って更に変形する。
----<双曲線の2点の座標の公式>--------
式(2)−式(3):
「この式9の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
双曲線の2点の座標の公式です。

 ここで、もう1つの式10で与えられる、2点の座標の公式も覚えて使いましょう。(これは恒等式です)
この式10の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
この式10の公式は、以下の図の平行四辺形の面積をあらわすベクトルの外積の間の関係です。
--------双曲線の2点の座標の公式おわり-----------

問1の解答を再開します。
式6を変形する。
以上の式の変形において、2点の座標の公式10を導いて使いました。
この式11に、双曲線の2点の座標の公式9を代入する。

次に、式7を変形する。
この式13に公式10を代入する。
式12と式14をまとめる。
(解答おわり)

(補足)
 式15は、2つの接線の交点pの位置ベクトルは、点aと点bの中点mの位置ベクトルに平行であることを示している。
また、式15は、点aと点bの中点mの位置が双曲線に近づけば、点pが中点mに近づくことを示している。

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2017年09月01日(Fri)▲ページの先頭へ
円の2点の座標の公式
以下の問題で使われる「円の2点の座標の公式」を覚えましょう。
【問1】
 円(x+y=1)に対して、
接点A(a,a)から引いた接線と接点B(b,b)から引いた接線の交点P(x,y)を求めよ。
(参考)接点Aと接点Bから引いた2つの接線の交点Pを、円の極線ABに対する極と呼びます。

【解答】
円の式を、以下の式1のf(x,y)=0であらわす。
接点AとBとに、以下の式2と3が成り立つ。
円の接線の公式により、接点AとBとの2つの接線は、以下の式4と5であらわせる。

<円の2点の座標の公式>
 ここで、以下の式で与えられる「円の2点の座標の公式」を覚えて使いましょう。
式(2)−式(3):
「この式6の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
円の2点の座標の公式です。

 ここで、もう1つの式7で与えられる、2点の座標の公式も覚えて使いましょう。(これは恒等式です)
この式7の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
この式7の公式は、以下の図の平行四辺形の面積をあらわすベクトルの外積の間の関係です。
----円の2点の座標の公式おわり-----------

問1の解答を再開します。
式4と5を連立させて、2つの接線の交点P(x,y)を求める。
この接点の式を、円の2点の座標の公式を使って更に変形する。

式8に、式7(の逆)を代入して変形する。
この式11に、公式6を代入する。
次に、式9に、式7(の逆)を代入して変形する。
この式13に公式6を代入する。
式12と式14をまとめる。
(解答おわり)

(補足)
 式15は、2つの接線の交点Pの位置ベクトルOPは、点Aと点Bの中点Mの位置ベクトルOMに平行であることを示している。
また、式15は、点Aと点Bの中点Mの位置が円のグラフに近づけば、点Pが中点Mに近づくことを示している。

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