勉強しようNTTのBlog - 2017/12

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年12月31日(Sun)▲ページの先頭へ
頂角36°の直角三角形の辺の長さ
【問1】(難問)
上の図のような、角Cが直角で頂角Aが36°の直角三角形ABCの斜辺ABの長さが1の場合に、辺ACの長さを求めなさい。

《解答手順》
 図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年12月24日(Sun)▲ページの先頭へ
図形を完成させる手順の例
 【問題1】(難問)
 上図のように, 1辺の長さが18の正方形ABCDと,角BEFが90°の直角二等辺三角形EFBがあります。
線分ADと線分BFの交点をGとし、AG=6のとき,長さCEを求めなさい。 

《解答手順》
 図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

(重要な注意)
 以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くための、先ず図形を完成させるコツを教えたいためです。
 この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。

 それ以外の方には、この問題を例にした、問題を解く方針を考えるより先に図形を完成させておくコツを以下で説明するので、その方法を学んでください。

【解答はじめ】
 以下の図のように、最初の図から直ぐにわかる関係を図に書きます。
次に、この図の直角三角形ABGの辺の長さの関係がわかるので、その関係を簡単化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。
辺の関係が分かったこの直角三角形(に相似な直角三角形)をどこかに書き加えることを考えます。
新たに加える直角三角形を、上図のように、直角の頂点Gを有する直角二等辺三角形が作られるようにして加えます。

新たに加えた三角形の長さがわかったので、
それからわかる他の長さも書きます。
ここで、新たに辺の関係がわかった直角三角形の辺の関係を単純化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。
辺の関係がわかったこの直角三角形に相似な直角三角形の辺の長さを書きます。
以上のように、わかっていることからすぐ分かることを書いていくと、求めたい長さも含めた多くの不明な長さが網羅的に明確になります。
こうして、求めたい長さ
CE=9
が得られました。
(解答おわり)

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2017年12月23日(Sat)▲ページの先頭へ
図形を先ずなるべく対称な形に完成させる
【問1】(難問)
上の図のような、円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=BC=3、
CD=5、
DA=8
のとき,∠ A の大きさを求めなさい。


《解答手順》
 図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年12月20日(Wed)▲ページの先頭へ
計算がややこしい問題の先行検算
 【問題1】
上図のように,
∠A=90°で,
BC=2(√13)
である直角三角形ABCがある。
辺ABを直径とする半円上に点Dをとり,
線分DAの延長と辺ACを直径とする半円との交点をEとする。
AD=(√15)
AE=3/2
のとき,辺 AB,ACの長さをそれぞれ求めなさい。
ただし,AB<ACとする。


(重要な注意)
 以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くために推薦する解答方法を教えたいためです。
 この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。

 それ以外の方には、この問題を確実に解くためにお勧めする方法を以下で説明するので、その方法を学んでください。

【解答はじめ】
 以下の図のように、計算すべき長さzを書きこんで、同じ角度を同じ記号で書き、zを使ってあらわせる長さを書き込んで図形を完成させて問題を解く準備をします。
この問題を見ると、長さの値が複雑なので計算まちがいをし易いように思われます。
 そのため、計算間違いを予防するために、先に簡単な値をあてはめる簡単な計算をして、答えに近い値を調べておく先行検算をしておきます。
 辺BCの長さの2(√13)に注目して、その値を与えるxとyの値で簡単な値を考えます。
簡単な値として、xとyの値の半分の値に、
2と3を当てはめて(√13)が作れます。
それにより、
x=4
y=6
をあてはめます。
次に、このようにあてはめた値がどれくらい答えに近いかを調べておきます(先行検算)。
しらべた結果、何と!、ピッタリ答えに当てはまっているではないですか。

 こうして、答えに近い値、ここでは答えの値そのもの、を先に得ておいてから問題を解くようにします。
そうすることで、計算間違いで答えにたどりつけない不幸を避けられ、安心して問題を解けるようになります。
先ず、上図のように、求めるべき長さzについて成り立つ方程式1を書きます。
次に、以下のようにして、この方程式を解きます。
この式から、以下のようにzの値の候補が得られます。
ここで、
x<y
であるので、
x<√26≒5
である。
z<x
であるので、
z<√26
でなければならないので、
z=√(135/4)
は不適である。
よって、
(解答おわり)

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2017年12月13日(Wed)▲ページの先頭へ
点を微小に移動し接弦定理と拡張円周角の定理を思い出す
【接弦定理】
 以下のように、点Tを微小に移動した点Uを考えて、接弦定理を一瞬で思い出しましょう。

そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。

【拡張円周角の定理】
 以下のように、点Tを微小に移動した点Uを考えて、拡張円周角の定理を一瞬で思い出しましょう。


【拡張接弦定理】
 上図を見ると、以下の拡張接弦定理が成り立っていることもわかります。

結局、下図を考えて、点U及び点U’の位置が大きく移動すると考えれば良いことがわかりました。
また、下図のように点U及び点U’の角度が移動すると想像するのも良いと考えます。
(想像してみてください)
 1つ前の図の点Bの位置から円周上を左回りして、点Tの位置を経て点Rまで動いて、更に上図の点Rの位置から更に左回りして、点Aの位置を経て点Bまで戻ることを想像してみて下さい。最初に点Bで円の中の円周角だった角度が、点Bでの円の外の角度に移ります。面白いでしょう。

また、接弦定理を下図の角度の関係で覚えると覚え易いかもしれません。
(定理の確認方法)
 接弦定理を正しく覚えたかどうかの確認を、以下のように想像することで確認できると思います。

(1)線分ATと接線QTPを固定して考える。
それらが固定されれば、
∠ATP=∠A’TQ
は固定している。
(2)そして、点Bを動かすと、∠BATは変化するが、
∠ABTは変わらない。
固定した∠ATPと対応する角は、
∠ABTしか無い。
(3)また、
固定した∠ATPと∠ABTの値同士が同じ角度であるだろうかどうかの簡単なチェックを加えれば良いと思います。

(接弦定理の覚え方)
 以下の図のように弦ATについて完成させた(対称な形に完成)図形を想像して接弦定理と拡張円周角の定理を覚えると良いと思います。

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2017年12月12日(Tue)▲ページの先頭へ
等しい長さの証明
【問1】
上図でx=yとなることを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年12月11日(Mon)▲ページの先頭へ
三角形の高さの公式を導く
【問1】
 上図の三角形ABCの高さhを辺の長さa,b,cを使ってあらわす式を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2017年12月07日(Thu)▲ページの先頭へ
自分の想像力を助けることを覚えること
おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実(公式)です。
平面αと平面βの交線OPに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。
平面γと平面α及び平面βとの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度である。

おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実(公式)です。

簡単な事実(公式):
平面α及び平面βに垂直な平面γは、平面αと平面βの交線OPに対して垂直である。
逆に、平面αと平面βの交線OPに対して垂直な平面γは平面α及び平面βに垂直である。

これを覚えれば、想像力が良く働くようになるので、これを覚えます。
おぼえるべき公式は、簡単に思い出せること(公式)であると思います。

この公式(事実)を覚えると、以下のように想像力が働きます。
三角形PABに垂直な平面であって、直線OPを含む平面OPNMを考える。
その平面OPNMは、平面γへの垂直線OPを含むので平面γに垂直である。
平面OPNMは、平面PABに垂直であって、かつ、平面γに垂直なので、両平面の交線ABに垂直である。
よって、直線ABと平面OPNM上の全ての直線とは垂直である。
そのため、直線OMも直線PMも、直線ABに垂直である。

こうして、三角形PABに垂直な平面であって、直線OPを含む平面OPNM上の直線OMも直線PMも、直線ABに垂直であることが想像できた。

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2017年12月06日(Wed)▲ページの先頭へ
直方体の角の断片の四面体の展開図
【問1】(これも難問だと思う)
 上図の三角形ABCがある場合に、その三角形ABCを底面とする四面体で、下図のように、直方体の角Hの断片の四面体HABCを作る展開図の直角三角形の頂点H,H’,H’’を作図せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年12月04日(Mon)▲ページの先頭へ
平面の水平面に対する傾き
【問1】
 上図のように、直方体ABCD−EFGHがある。
AB=1
BC=2
AE=1
とする。
第1の平面αと第2の平面βの成す角度を、両平面の交線上の点Oから、交線に対して垂直に両平面に引いた直線の間の角度であると定義する。そして、平面α側の直線が平面β側の直線に対する傾きを、平面αの平面βに対する傾きであると定義する。

図の平面EBDの、水平面ABCDに対する傾きを求めよ。

(解答の方針) 
(1)立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。 
(2)平面αと平面βの交線OPに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。平面γと平面α及び平面βとの交線を考える。その2つの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度であり、その角度が交線同士の傾き=平面αの平面βに対する傾きを与える。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年12月03日(Sun)▲ページの先頭へ
立体図形の想像力
【立体図形の平面PBRQ】
上図で、平面PBRQを想像するとき、
その平面に交差する、2つの平行する平面ABCDと平面EFGHを広げた下の図を想像してください。
このように上下の平行平面を広げて想像すると、平面PBRQが平面PBR’Qに拡大されて、見易くなります。
そして、その平面PBR’Qに垂直な平面AETSが想像し易くなります。

 2つの平行する平面PBR’Qと平面AB’C’D’が、他の平面EF’G’H’と交差する交線PBと交線QR’については、
両交線は同じ平面PBR'Q上の2つの直線なので、ねじれの関係はあり得ず、交差するか平行線になるかのどちらかです。両交線は、交差することがありえない平行する2つの平面上の直線なので、交線PBとQR’は平行です。

 平面PBR’Qと平面AETSが垂直であるならば、以下の関係が全部成り立ちます。逆に以下の関係のどれかが成り立つなら、両平面は垂直です。
(1)平面AETS上の2本の直線ASと直線AEが、平面PBR’Q上の1本の直線PBに対して垂直である。
(2)また、両平面の交線KLに垂直な、平面AETS上の1本の直線EMが、平面PBR’Q上の全ての直線に垂直な垂線である。
(3)また、両平面の交線KLに垂直な、平面PBR’Q上の1本の直線PBが、平面AETS上の全ての直線に垂直な垂線である。

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中学数学の目次




2017年12月02日(Sat)▲ページの先頭へ
立体図形の垂線の長さ
【問1】
 上図のように、直方体ABCD−EFGHがある。頂点Fから面EBGにひいた垂線の長さを求めよ。

(注意)この種の問題の解き方でインターネットに流布されている方法は、遠回りな難しい方法が流布されているように思います。
その遠回りな方法には、想像力が欠如しているという大きな問題点があると考えます。

 そのため、この問題の一番簡単な解答方法と思う方法を解答のページに書きました。

(解答の方針) 
(1)立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。 
(2)第1の面への垂線を求める問題は、第1の面上の1本の直線に垂直な第2の面を考える。その第2の面上の直線で、第1の面に垂直な直線が求める垂線である。

この問題を解いた後で、この問題の一番簡単な解答方法と思う方法の解答のページを見てください。  
その解答方法を、ここをクリックした先のページに書きました。

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カレンダ
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