中学数学

算数の問題と解答とを考えていきます。




2010年07月24日(Sat)▲ページの先頭へ
やさしい円周角の定理と接弦定理の覚え方
この内容はここをクリック

方べきの定理
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2009年05月03日(Sun)▲ページの先頭へ
微妙な合同の条件
三角形の合同の条件は、中学で以下の3つを教わったと思います。

三辺が等しい場合


二角とその間の辺が等しい場合


二辺とその間の角度が等しい場合

【合同の条件(微妙なもの)】以下で、合同の条件で微妙なものを考えます。

2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合、
はどうでしょうか。

この条件が成り立つ場合、2つの三角形が合同になる場合もありますが、

上の図のように、合同にならない場合もあります。

上の条件だけでは、必ずしも合同にならない場合もあるのです。

そのため、この条件を以下のように微妙に修正することで、合同の条件が得られます。


上図のように、
(1)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの90°以上の角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合は、
三角形は合同になります。
(学校で教わる条件としては、角度βが直角の場合を、合同の条件として教わっています。)

もう1つの合同の条件もあります。
(2)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、c<bの場合は、
三角形は合同になります。

(3)更に、下図のように、

角度θを90度以下であるものとして角度を制限すると、 これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以下の場合は、
三角形は合同になります。

(4)同様に、
下図のように、

その角度θを90度以上であるものに角度を制限する場合でも、
これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以上の場合は、
三角形は合同になります。

(注意)これらの合同の条件は、相似の条件にも利用できると考えます。

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2009年04月11日(Sat)▲ページの先頭へ
三角錐(四面体)の体積の公式
下の図によって三角錐の体積の求め方を考えます。



上の図のように縦横高さが等しい立方体を半分に切った三角柱を考えると、
この三角柱は、上図のように、体積が等しい(底面積が等しく高さが元の立方体の辺の長さの)3つの三角錐に切り分けることができます。
それで、三角錐の体積は三角柱の3分の1であることがわかります。
すなわち、

三角錐の体積=底面積×高さ/3

です。

底面の形が円の円錐でも、底面を小さな三角形の総和であると考えれば、
三角錐の公式が使えるので、

円錐の体積=底面積×高さ/3

になることがわかります。

(別の例)

 上図のように、立方体を考えます。
立方体の中心の点を頂点とし、立方体の1つの面を底面とする図形は
高さが立方体の辺の長さの半分の四角錐です。

立方体の体積は、(その面が6つありますので)この四角錐6つに分解できます。
そのため、この四角錐の体積は

四角錐の体積=底面積×高さ/3

です。

リンク:
三角錐の体積と行列式
三角錐の重心(四面体の重心)
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
正四面体に内接する球の半径r
正四面体の面が交差する角度
三角形の内角の和が180のやさしい証明
やさしい三平方の定理の証明
リンク:中学数学
リンク:高校数学[三角比・図形]一覧
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2009年03月04日(Wed)▲ページの先頭へ
やさしいピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明
(証明のポイント)
ピタゴラスの定理の証明は、つぎの(斜辺が1の)直角三角形で、
(d×d)+(e×e)=1
を証明すれば十分な証明になります。

そのため、斜辺の長さが1の直角三角形を、斜辺に垂直な線(点線)で2つに分けると簡単に証明できる。
2つに分けられた線の長さはdとe


(証明開始)
問題の図形を斜辺に垂直な線(点線)で2つに分けます。
点線の左と右の三角形の底辺のながさをたすとながさが1の斜辺になります。

ここで、以下で計算するように、
点線の左の直角三角形の底辺のながさは、(d×d)であって、
点線の右の直角三角形の底辺のながさは、(e×e)ですので、
(d×d)+(e×e)=1
がなりたちます。

以下で、それぞれの長さを順に計算します。

(1)まず、左の直角三角形の底辺のながさをしらべます。
左の直角三角形は、元の大きな直角三角形と角度がおなじ三角形ですから
元の大きな直角三角形と相似な三角形です。

左の直角三角形の斜辺のながさが元の直角三角形のd倍ですから
直角三角形の底辺を分割した左側の線分のながさは、
元の直角三角形の底辺のながさdをd倍したながさの
(d×d)
になります。

(2)どうようにして、
直角三角形の底辺を分割した右側の線分の長さは、
(e×e)
になります。
(証明おわり)

リンク:
(高校)三平方の定理
三角形の内角の和が180のやさしい証明
中学数学一覧
三平方の定理の証明集
高校数学の目次



   




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カレンダ
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