中学数学

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年11月23日(Thu)▲ページの先頭へ
作図の難問
【問1】(難問)
 上図のように、円Oと円Oの周上にない2点A,Bがある。
 円Oの直径PQをひいたとき、AP=BQとなる直径PQを1つ、定規とコンパスを用いて作図し、点Pおよび点Qの位置を示す文字P,Qも書きなさい。
 ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。


(注意)
 この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。

(解けるまで解答を見ない理由)
 出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。

 そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。

 そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後(解けないで寝て良い)寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。

(難問の解き方) 
 難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
 そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年11月13日(Mon)▲ページの先頭へ
円の中の点に拡張した円周角の定理
 【円の中の点に拡張した円周角の定理】
上図のように、円の中の点Aにかかわる円周角の定理が成り立ちます。
この式を自力で証明して
よく覚えてください。

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2017年11月12日(Sun)▲ページの先頭へ
円の外の点に拡張した円周角の定理
 【円の外の点に拡張した円周角の定理】
上図のように、円の外の点Aにかかわる円周角の定理が成り立ちます。
この式を自力で証明して
よく覚えてください。

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2017年10月30日(Mon)▲ページの先頭へ
円の外の拡張円周角の定理
 【円の外の拡張円周角】
上図のように、円周角Aと同じ角の、
円の外の角

∠BDEと
∠CDF
が、拡張円周角です。
これらの拡張円周角を
すぐ想像できるように、
この「円の外の拡張円周角の定理」
をよく覚えてください。

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2017年10月29日(Sun)▲ページの先頭へ
角の二等分線の長さ−相似図形による定理の証明
以下の問題は、「相似図形同士で辺の比が等しい公式」を適用する問題です。
 【問1】 (難問)
上図のように、三角形ABCの頂角Aの二等分線の長さmに間して式1が成り立つことを証明しなさい。

(注意)
 この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。

(解けるまで解答を見ない理由)
 この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
 その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。

 そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。

 そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。

(解答の方針) 
 辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
 この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
(1)図の不足を埋めて図を完成させてから、
(2)相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月28日(Sat)▲ページの先頭へ
想像力を使う角度連動公式
【角度連動公式】
上図で、
∠AMB=∠EOF
とすると、
∠OAM=∠FMB
になることが、
以下の図を想像することで分かる。
先ず、
∠AMB=∠EOF
である2つの角AMBと角EOBが
同じ位置に重なって
点M=点O
となっている場合を想像する。

次に、
点Mが点Oからわずかにずれた場合の上図を想像する。

上図を想像すると、
わずかな角度の
∠OAM

∠FMB
が連動して生まれることが想像できます。

これらの、連動して生まれる角度は、以下の様に生まれる。
∠AMBの値を∠EOFに等しい一定の角度に維持するために、
線分AMと線分MBが連動して同じ角度だけ回転する。

その線分AMとMBの連動した回転に由来して、
∠OAM=∠FMB
になる。
(角度連動公式)

(補足)
 このように、連動する角度を想像することで、
連動して生まれる角度が等しいことが素早く把握できます。

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2017年10月27日(Fri)▲ページの先頭へ
二重相似の公式と折り返し図形の点の位置
【公式】
上式のように、X軸に原点Oと点Aがある。
OA=s
である。
X軸から離れた位置の点BからX軸へ下ろした垂線のX軸上への足をCとする。そして、
AC=1,
BC=a
とする。
線分ABの延長線DAを折り目線にして原点Oに頂点を持つ図形(三角形OAD)を折り返すことでO点の位置の頂点をF点に移す。
線分OFとDAの交点をEとする。
点EのX軸へ下ろした垂線の足をGとする。
そのとき、
となることを証明せよ。
(二重相似の公式)

(解説)
 この二重相似の公式によって、
原点Oの位置の頂点を折り返した点Fの位置座標が、
で計算できる。
 二重相似の公式によって、頂点Oを折り返した位置Fの座標を計算する式の分母がcの二乗になっている。
これにより、cを計算するための根号が解消して、式が簡単になっている。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月25日(Wed)▲ページの先頭へ
平行線と線分の比の問題
【問1】
上図のように、AB=10,AD=6,∠ABC<90°である平行四辺形ABCDにおいて、∠DABの二等分線と辺BCのCの方へ延長した直線との交点をEとする。線分AEと対角線BD,辺CDとの交点をそれぞれF,Gとする。
GE=3のとき、線分FGの長さ x を求めなさい。

(注意)
 この問題はややこしそうですので、解答の優先順位が一番後回しになって、解答されない場合が多いようです。
そのややこしさは、
「水平線上の点の高さの比の公式」
を使って問題を解くと、大分解消されますので、
その方法を試みてください。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月23日(Mon)▲ページの先頭へ
ラングレーの難問
以下の問題の解答は、通算14時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
【問】(超難問)
上図の四角形ABCDにおいて、角ACD=θを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、
先ず、補助線を引いて足りない図形は埋め、
同じ角度に印を付けつつ、
図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
 特に、この図形問題では、対称性が特に高い正三角形を含む対称な形の図形を完成させてから問題を解くようにしてください。

の問題の解答は、通算14時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
 くれぐれも、安易に解答を見ないように。
この問題を解こうとする努力によって得られる「知能向上」を受け損ねないように注意してください。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月15日(Sun)▲ページの先頭へ
公式の証明の補助線をまねて使って解く
【問1】(難問)
上の図において、円Oの半径は12で、直径ABをBD=4となるように延長した点がD、またAB⊥COである。CDと円Oの交点がEである。
このとき、弦EBの長さを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、先ず、補助線を引いて足りない図形を埋め、同じ角度に印を付け、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年10月14日(Sat)▲ページの先頭へ
三角形の面積を3辺から計算する
【問1】
上図の三角形の面積Sを求めよ。

【問2】
上図の三角形の面積Sを求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
解答のページに、この種の計算を楽にする頂点を選ぶ工夫を書きましたので、問題を解いた後に、この解答ページも見てください。

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三角形の頂点からの距離の積の式と三角形の中線の長さの式の関係
以下で、三角形の頂点からの距離の積の公式(その2)と、三角形の中線の長さの公式との関係を整理します。

【中線の長さの公式(中線定理)】
上図のように、三角形ABCの辺BCの中点Mと頂点Aを結んだ中線AMの長さmに関して、上の式1が成り立つ。式1は式2の形に書き変えて使うことができる。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

 この中線の長さの公式(中線定理)以外の以下の公式は、中線定理に比べて覚えにくいように思います。
 そのため、以下の公式は高校入試問題にはほとんど出ないようにも考えられます。
しかし、図形の難問を解く受験の戦いで、使える道具は多い方が安心ですので、それらも覚えてみてください。

【頂点からの距離の積の公式】
上式のように、三角形ABCの頂点Cから辺ABへ垂直に引いた線との交点Hに関する線分の積が以下の式であらわされる。
AH×AB=m−s

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

一方、中点の長さの公式は:
(b+c)/2=m+s 
である。

これらから、AHが以下の通り計算できる。
三角形の頂点Cの辺AB上への足Hまでの長さAH
がこの式であらわされることは、
以下の公式でもあった。

【三角形の頂点の足の位置の公式】
上図の三角形ABCの頂点Aの左右へのずれを計算する上の式が成り立つ。
 
この公式の証明はここをクリックした先のページにあります。

この式を使うと頂点Aの辺BC上への足Dと点Bの間の長さBDが計算できる。
 
ここで、
(c+b)(c−b)=c−b 
です。

この公式のポイントと、三角形の頂点からの距離の積の公式のポイントとの関係を、以下の図で整理して覚えてください。
上の図は、下の図をいっしょに覚えると覚え易いです。

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2017年10月13日(Fri)▲ページの先頭へ
三角形の頂点からの距離の積の公式(その2)
以下の公式は、
円からはみ出す△AHD∽△AEBの公式
と覚えた方が良い。
【公式】
上式のように、三角形ABCの頂点Cから辺ABへ垂直に引いた線との交点Hに関する線分の積:
AH×AB
が、
辺BCを直径2sとする円の中心Oと頂点Aを結ぶ線と円との交点DとEに関する線分の積:
AD×AE=(AO)−s
に等しいことを証明しなさい。

(解答の方針) 
 辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
 この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
(1)図の不足を埋めて図を完成させてから、
(2)相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月12日(Thu)▲ページの先頭へ
知識不足を想像力で補う
【問題】 
上図で、AD=BD=12である。
DC=4で、DCの中点をNとする。
AB=16で、ABの中点をMとする。
∠ACB=90°
とする。
このとき、MNの長さを求めよ。

(解答の方針)
 この問題は、三角形MCBの辺CDの中点Nと頂点Mを結んだ線分の長さを、「中線の長さの公式」を使って計算する問題です。

 しかし、以下の解き方は、この公式を知らない場合に、その知識不足を想像力で補って解く場合の解答方法を書きます。
(高校入試問題では、想像力で知識を補える問題がけっこう有るように思います)

【解答】
 以下のように、足りない図形を埋めて図形を完成させます。
直角三角形はその斜辺を直径とする円に内接しますので、円を書きます。
直角三角形AMDの辺の長さを計算するのを、相似な三角形を想像して、その辺を計算することで求めます。
三角形DMCについて、相似な三角形を想像します。
寸法が簡単な相似な三角形を見ると、三平方の定理により、この三角形が直角三角形であることがわかります。
 ∠Cが直角なので、線分MNの長さは直角三角形NMCの斜辺を計算すれば良くなり、問題が簡単になりました。
(この問題は、想像力が知識を補えるように簡単にしてありました)
よって、
(解答おわり) 

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中線の長さの公式(中線定理)
【中線の長さの公式(中線定理)】
上図のように、三角形ABCの辺BCの中点Mと頂点Aを結んだ中線AMの長さmに関して、上の式1又は式2が成り立つことを証明しなさい。

(補足)
 中線定理は覚え易い定理ですが、高校入試問題で中線定理を使うよう誘導している問題を見ると、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
 その出題高校の意図を推測すると、
「単に中線定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
 そのため、この中線定理を学ぶ目的は、
この中線定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。
 そのため、この定理を自力で証明するまで解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページに書きました。

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2017年10月11日(Wed)▲ページの先頭へ
三角形の頂点からの距離の積の公式
距離の積の公式は、ある三角形同士の相似の公式です。
【公式】
上式のように、三角形ABCの垂心Hに関して、頂点Aからの各点までの距離の積が等しいことを証明しなさい。

(解答の方針) 
 辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
 この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
(1)図の不足を埋めて図を完成させてから、
(2)相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

この公式の証明は、ここをクリックした先にあります。

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2017年10月09日(Mon)▲ページの先頭へ
円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さ
円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さの計算は、
2つの場合に応じて、解き方が変わります。

【第1の場合】 
三角形AEDと三角形BECは相似です。
△AED ∽ △BEC
 上図のように、三角形AEDの辺ADの長さaと三角形BECの辺BCの長さaが異なる場合は、

相似な三角形同士で辺の比が同じであることを表す方程式1と2を立てて、以下のように計算して長さxとyを求めます。

【第2の場合】
上図のように、三角形AEDの辺ADと三角形BECの辺BCの長さaが同じ場合は、
先ず、頂点Dの足Fを考え、FB=Cを計算する。
この式は、ここをクリックした先に書きました。
そして、このCを使った式6の計算で長さzを求めます。

(補足)
 この第2の場合で、線分DCの長さもわかっている場合は、
(1)
=(AB+DC)/2
で計算できます。
また、
(2)相似な△ECDと△EBAの辺CDの長さと辺BAの長さが等しくない場合は、第1の場合の計算を使うことができます。
(3)辺CDの長さと辺BAの長さが等しく、辺ADの長さと辺BCの長さも等しい場合は、四角形ABCDが長方形になり、簡単に解けます。

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2017年10月08日(Sun)▲ページの先頭へ
図形を対称な形に完成させてから解く
【問1】(難問)
上の図のように、四角形ABCDが円に内接していて、
AB=AD=DC=4、BC=6である。
円周上に、点Dと異なる点PをBD=BPとなるようにとる。このとき、APの長さを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、先ず、足りない図形は埋め、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。

図形をどのような対称な形に完成させるかは、ここをクリックした先に書きました。

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高校受験用:三角形の高さと外接円の半径Rの関係
以下の、
「外接円の半径Rと三角形の高さhの関係の式」
は、高校入学試験問題を解く上で便利な式です。

【公式】 
三角形の外接円の半径Rに関するこの式が成り立つことを証明せよ。

この問題解答は、ここをクリックした先のページにあります。

(補足)
 この公式は、以下の図のように頂点Aから引いた2つの線の長さの積が等しいという関係です。 


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2017年10月07日(Sat)▲ページの先頭へ
180度の5分の1の頂角の二等辺三角形の辺の長さ
【問1】
上の図のように、180度の5分の1の36度の頂角Aを持つ二等辺三角形ABCがある。
この二等辺三角形の辺の長さyを、補助線CEとBDを利用して解け。
ただし、線分BDは∠Bの二等分線であり、線分CEは∠Cの二等分線である。

この問題の答えは、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月06日(Fri)▲ページの先頭へ
足りない図形を埋めてから解く
【問1】(難問)
上の図のように、点Oを中心とする直径ABが4である半円を、弦CDを折り目にして折り返したら、線分ABと弧CDが線分AB上の点Pで接した。OP=1のとき、
弦CDの中点をMとするとき、
OMの長さを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、先ず、足りない図形を埋めて図形を完成させてから問題を解くように心がけてください。

図形をどのような形に完成させるかは、ここをクリックした先のページに書きました。

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2017年10月04日(Wed)▲ページの先頭へ
三角形の辺と角度の難問
【問1】(難問)
上の図のように、OA=1,OB=3とする。
∠OPA=∠APB
のとき、
OPの長さを求めなさい。


【解答】
 この問題では、以下の様に、水平線上の点の高さの比の公式を使って解く。

先ず、線分PAを、高さ0(0h)の水平線であるものとする。
点Bの水平線上の高さを(2h)とすると、
点Oの高さは(−h)になる。
∠OPA=∠APBであり
水平線PAに対する傾きが同じ斜め線に、この高さの比が反映されて、
BP:OP=2:1
になる。
ここで、正三角形を2分した直角三角形の各辺同士の長さの比を思い出すこと。
直角三角形OPBは、斜辺と他の辺の比が、正三角形を2分した直角三角形の斜辺と他の辺の比と同じなので、
その直角三角形と相似である。
よって、
∠OPB=60°
正三角形を2分した直角三角形との相似比を用いて計算した結果、
OP=√3
である。
(解答おわり)

(補足)
この計算過程を答案に書く場合に、
(もし覚えていれば)
「三角形の角の二等分線の公式により、
OP:BP=OA:BA=1:2
である。」
と、答案に書いても良いが、
上に書いた様に考えて解く方が、
より応用が利く解き方なので、
優れていると思う。

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水平線上の点の高さの比の公式
【水平線上の点の高さの比の公式】
上の図のように、OA=6,OB=4の三角形OABにおいて、
AP:BPの比を求めよ。

【解答】
 この問題では、
線分OAを、高さ0(0h)の水平線とする。
点Aの水平線上の高さを(6h)とする。
すると、
点Bの高さは(−4h)になる。
この高さの比が反映されて、
AP:PB=6:4=3:2
になる。
(解答おわり)

(補足)
この結果は、
∠AOBの二等分線OPと線分ABの交点をPとすると、
OA:OB=PA:PB
となる
(角の二等分線の公式)
を示している。

 角の二等分線の公式は、上の計算のように、
水平線上の点の高さの比の計算で即座に導き出すことができるので、無理して覚えなくても良い。

上の解き方のパターン、すなわち、水平線上の点の高さの比の公式を、第一に優先して覚えてください。

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中学数学の目次




2017年10月01日(Sun)▲ページの先頭へ
高校入試の難問の解き方
【問1】(難問)
上の図のように、OA=6,OB=4の三角形OABにおいて、∠AOBの二等分線とABとの交点をPとする。
OP=12/5のとき、次の各問いに答えなさい。
(1)∠AOBの大きさを求めなさい。
(2)APの長さを求めなさい。

【解答のこころがけ】
 数学の問題の解き方は種々あります。正しい解き方は、問題を解くために自分の心の奥底から湧きあがる疑問に答えて問題を解くことだと考えます。
(問題集の模範解答は、自分の心に一致すれば覚えるし、一致しなければ覚える必要がない)
 問題に対して自分が何を問うか。そして、その問いにどう応えるかを覚えることが、数学を勉強するということだと思います。
 そのため、以下で、自然に浮かぶと考えられる問いに答えつつ問題を解く解答の1例を書きます。

【解答例】
(1)
 この図形に以下の補助線を引いて、考えやすい直角三角形OBCとOADを作る。
すると、その直角三角形以外に、その他の考えやすい直角三角形PBCとPADも作られた。
それらの直角三角形の間に以下の相似の関係がある。
これから、直角三角形OBCの辺の長さOC=mを計算できる。
直角三角形OCBで、OC=2で、OB=4なので、
頂角∠COB=60°であることがわかる。
よって、∠AOB=120°
である。
((1)の解答おわり)

(2)
次に、三平方の定理を使ってAPの長さを計算する。
((2)の解答おわり)

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中学数学の目次




2010年07月24日(Sat)▲ページの先頭へ
やさしい円周角の定理と接弦定理の覚え方
この内容はここをクリック

方べきの定理
リンク:中学数学
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年05月03日(Sun)▲ページの先頭へ
微妙な合同の条件
三角形の合同の条件は、中学で以下の3つを教わったと思います。

三辺が等しい場合


二角とその間の辺が等しい場合


二辺とその間の角度が等しい場合

【合同の条件(微妙なもの)】以下で、合同の条件で微妙なものを考えます。

2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合、
はどうでしょうか。

この条件が成り立つ場合、2つの三角形が合同になる場合もありますが、

上の図のように、合同にならない場合もあります。

上の条件だけでは、必ずしも合同にならない場合もあるのです。

そのため、この条件を以下のように微妙に修正することで、合同の条件が得られます。


上図のように、
(1)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの90°以上の角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合は、
三角形は合同になります。
(学校で教わる条件としては、角度βが直角の場合を、合同の条件として教わっています。)

もう1つの合同の条件もあります。
(2)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、c<bの場合は、
三角形は合同になります。

(3)更に、下図のように、

角度θを90度以下であるものとして角度を制限すると、 これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以下の場合は、
三角形は合同になります。

(4)同様に、
下図のように、

その角度θを90度以上であるものに角度を制限する場合でも、
これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以上の場合は、
三角形は合同になります。

(注意)これらの合同の条件は、相似の条件にも利用できると考えます。

リンク:中学数学
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次



2009年04月11日(Sat)▲ページの先頭へ
三角錐(四面体)の体積の公式
下の図によって三角錐の体積の求め方を考えます。



上の図のように縦横高さが等しい立方体を半分に切った三角柱を考えると、
この三角柱は、上図のように、体積が等しい(底面積が等しく高さが元の立方体の辺の長さの)3つの三角錐に切り分けることができます。
それで、三角錐の体積は三角柱の3分の1であることがわかります。
すなわち、

三角錐の体積=底面積×高さ/3

です。

底面の形が円の円錐でも、底面を小さな三角形の総和であると考えれば、
三角錐の公式が使えるので、

円錐の体積=底面積×高さ/3

になることがわかります。

(別の例)

 上図のように、立方体を考えます。
立方体の中心の点を頂点とし、立方体の1つの面を底面とする図形は
高さが立方体の辺の長さの半分の四角錐です。

立方体の体積は、(その面が6つありますので)この四角錐6つに分解できます。
そのため、この四角錐の体積は

四角錐の体積=底面積×高さ/3

です。

リンク:
三角錐の体積と行列式
三角錐の重心(四面体の重心)
正四面体の高さと表面積と体積V
正四面体に外接する球の半径R
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三角形の内角の和が180のやさしい証明
やさしい三平方の定理の証明
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2009年03月04日(Wed)▲ページの先頭へ
やさしいピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明
(証明のポイント)
ピタゴラスの定理の証明は、つぎの(斜辺が1の)直角三角形で、
(d×d)+(e×e)=1
を証明すれば十分な証明になります。

そのため、斜辺の長さが1の直角三角形を、斜辺に垂直な線(点線)で2つに分けると簡単に証明できる。
2つに分けられた線の長さはdとe


(証明開始)
問題の図形を斜辺に垂直な線(点線)で2つに分けます。
点線の左と右の三角形の底辺のながさをたすとながさが1の斜辺になります。

ここで、以下で計算するように、
点線の左の直角三角形の底辺のながさは、(d×d)であって、
点線の右の直角三角形の底辺のながさは、(e×e)ですので、
(d×d)+(e×e)=1
がなりたちます。

以下で、それぞれの長さを順に計算します。

(1)まず、左の直角三角形の底辺のながさをしらべます。
左の直角三角形は、元の大きな直角三角形と角度がおなじ三角形ですから
元の大きな直角三角形と相似な三角形です。

左の直角三角形の斜辺のながさが元の直角三角形のd倍ですから
直角三角形の底辺を分割した左側の線分のながさは、
元の直角三角形の底辺のながさdをd倍したながさの
(d×d)
になります。

(2)どうようにして、
直角三角形の底辺を分割した右側の線分の長さは、
(e×e)
になります。
(証明おわり)

リンク:
(高校)三平方の定理
三角形の内角の和が180のやさしい証明
中学数学一覧
三平方の定理の証明集
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