外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる

三角比の連立方程式で角度θを除去するには、sinθ^2+cosθ^2=1にsinθの式とcosθの式を代入する




[PR]



2010年11月03日(Wed)
外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる
【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる。

この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の1つの角度と関係していることと、
三角形の1つの角度が、余弦定理で三角形の3辺に関係していること
を使えば解けます。

先ず、正弦定理を思い出します。

この正弦定理から、
(1/R)=2sinA/a  (1)
が得られます。
次に、余弦定理を思い出します。

この余弦定理から、
2cosA/a=(b+c−a)/(abc) (2)
が得られます。
sinA+cosA=1  (3)
の関係に、この2つの式を代入します。
(1/R)=2sinA/a  (1)
2cosA/a=(b+c−a)/(abc) (2)
その代入の準備として、式3を少し変形します。
sinA+cosA=1  (3)
(2/a)(sinA+cosA)=(2/a)
((2sinA/a)+(2cosA/a))=(2/a)
これに、式1と式2を代入します。
(1/R)+{(b+c−a)/(abc)}=(2/a)

この式を(1/R)だけを左辺にした式に変形します。
(1/R)
=(2/a)−{(b+c−a)/(abc)}
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
={(2/a)−(b+c−a)/(abc)}
{(2/a)+(b+c−a)/(abc)}
={(2bc)−(b+c−a)}
{(2bc)+(b+c−a)}/(abc)
={(2bc)−b−c+a
{(2bc)+b+c−a}/(abc)
={−(b−c)+a}{(b+c)−a)}/(abc)
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
={(−(b−c)+a)((b−c)+a)}
{((b+c)−a)((b+c)+a)}/(abc)
=(−b+c+a)(b−c+a)
(b+c−a)(b+c+a)/(abc)
よって、
=(abc)/{(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)}
R=(abc)/√{(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)}

リンク:
「三角形の辺と角」(1)正弦定理
「三角形の辺と角」(2)余弦定理
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
三角形の外心
三角形の内心
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



   




新着トラックバック/コメント


カレンダ
2010年11月
  3
       

アーカイブ
2009年 (56)
2月 (1)
3月 (14)
4月 (30)
5月 (11)
2010年 (31)
7月 (1)
8月 (17)
9月 (4)
10月 (7)
11月 (1)
12月 (1)
2011年 (105)
1月 (10)
2月 (11)
3月 (16)
4月 (31)
5月 (4)
7月 (12)
8月 (12)
9月 (5)
11月 (3)
12月 (1)
2012年 (28)
1月 (3)
2月 (8)
3月 (6)
4月 (8)
5月 (1)
7月 (2)
2013年 (149)
1月 (12)
2月 (36)
7月 (5)
8月 (7)
9月 (22)
10月 (26)
11月 (25)
12月 (16)
2014年 (27)
1月 (13)
2月 (12)
3月 (2)

アクセスカウンタ
今日:262
昨日:317
累計:763,240