高校数学(三角比、図形)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年09月18日(Mon)▲ページの先頭へ
外接円の中心の高さmを三角形の2辺と高さから求める
【問1】 
三角形の外接円の半径Rに関するこの式が成り立つことを証明せよ。
【解答】
上の式のように正弦定理を使ってhを計算した。
(証明おわり)

円周角の定理のみでの証明は、ここをクリックした先にある。

また、この関係から、三角形の高さhが分かっている場合に、外接円の中心の高さmが以下の式で計算できる。

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高校数学の目次




2017年09月05日(Tue)▲ページの先頭へ
外接円の半径Rを頂点Aの高さhと辺bとcから求める問題


2016年12月23日(Fri)▲ページの先頭へ
先ず正弦定理を試みるべき問題
【問1】(難問) 
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つD点の位置座標を求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年12月01日(Thu)▲ページの先頭へ
余弦定理の別の意味
【問1】
上図の三角形ABCの長さBD=aを与える上の式を証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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3辺が定まった三角形の頂点の位置
【問1】
上図の三角形ABCの頂点Aの左右へのずれを計算する上の式が成り立つことを証明せよ。
 
この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2016年11月30日(Wed)▲ページの先頭へ
2角のコサインと1辺が定まった三角形を計算する
【問1】
上図の三角形ABCの長さaを求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

この問題を自力で解いた後でこの解答を見てください。
楽な解き方を書いたので。

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2016年11月29日(Tue)▲ページの先頭へ
余弦定理を使って長さを求める
【問1】
上図の三角形ABCの長さaと∠B=βを求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

この問題を自力で解いた後で、上の行をクリックして解答の解説も読んでください。
もっと楽な解き方を説明していますので。

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2016年11月27日(Sun)▲ページの先頭へ
余弦定理を使って角度を求める
【問1】
三角形ABCの3辺の長さが上図の値の場合に、3つの頂角を求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

この問題を自力で解いた後で、この問題の解答も見て欲しい。
この問題を比較的楽に解く方法の説明がありますので、、、 

【問2】
三角形ABCの3辺の長さが上図の値の場合に、3つの頂角を求めよ。

この問題の解答も、ここをクリックした先の同じページにあります。

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正弦定理余弦定理を使った問題の解き方
【解答に向かう式の変形の方向】 
以下で、正弦定理と余弦定理を整理して、
問題を解く道具の形の式に表します。
 
上の式で、
(上昇)とは、解答に向かって進む式の変形の方向を言います。
(下降)とは、解答から遠ざかり問題側に戻る式の変形の方向を言います。

サイン、コサインで表された式を、サイン、コサインを使わない式に変形することが、問題の解答に近づく式の変形の方向(上昇)です。
式をあえてサイン、コサインを使った式にする式の変形は、解答に近づいた式を問題側に戻す、逆戻り(下降)の式の変形です。

【問題を発見する】
以下では、式を解答側から問題側に戻して問題を発見してみます。
上の図で、
AD−MD=AM (3’)
を考えます。
式(4)では、頂点から垂心までの距離Pが外心の高さYの2倍であることを使いました。
(ここをクリックした先のページを参照)
式(4)において、外心の高さYをcosAを使ってあらわすのは、問題側へ逆戻り(下降)する式の変形です。
三角形の高さAD=hをサインとコサインで表した式(5)は、問題側に逆戻りする式の変形(下降)であり、
AD=hをサイン、コサインを使わないで表した式(6)は解答に近付く式の変形(上昇)です。

ここで、垂心の高さMD=mは、以下の式(7)で表されることが分かっています。
(「三角形の垂心の高さ」(ここをクリック)を参照)
この式(7)を、以下のようにして、問題側に逆戻りさせる計算をします。
上の式でhを変形する際に、解答に近付く(上昇)の式(6)を使ったのは、式の変形をなるべくスッキリした解答に近付けたかったからです。
その目的通り、スッキリした式(8)が得られました。

上の式で、hを変形する際に、解答から遠ざかる、(下降)の式(5)を使うと式が複雑になる落とし穴に落ちます。
しかし、hもbもcも一緒に徹底して解答から遠ざかる、(下降)の式の変形をすると、それはそれで、以下の式のように変形することができます。

次に、最初の式(3)を、解答から遠ざかるように逆戻りした式(5)と(8)を使って整理します。
式(9)は、問題に逆戻りした式です。
以上の逆もどりの式の変形の結果、式(9)という、証明すべき式が存在することがわかりました。
この式(加法定理)とその証明は、高校2年で学びます。

次に、以下の当然の式(10)を、解答から遠ざかるように逆もどり(下降)する式の変形をします。
式(11)は、問題に逆戻りした式です。
以上の逆もどりの式の変形の結果、式(11)という、証明すべき式が存在することがわかりました。
この式(加法定理)とその証明は、高校2年で学びます。

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2016年11月25日(Fri)▲ページの先頭へ
三角形の垂心を通る線分の長さの積が同じ
【問1】 
上の式の関係、すなわち、
三角形の垂心Hを通る
線分AHとHDの積が、
線分BHとHEの積に等しいことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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三角形の高さと外接円の半径の関係


2016年11月24日(Thu)▲ページの先頭へ
三角形の外心の高さの2倍が頂点から垂心までの距離に等しい
【問1】 
上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年11月23日(Wed)▲ページの先頭へ
余弦定理に類似した頂点から垂心までの長さの式
【問1】 
上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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余弦定理に類似した高さhを含む式
【問1】 
 上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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三角形の垂心の高さ
【問1】 

 上の三角形において、垂心Oの高さmが、
m=a1×a2/h
であらわされることを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年11月20日(Sun)▲ページの先頭へ
三角形の角の2等分線の長さ
【問1】 
 上の三角形において、∠Aの2等分線の線分ADの長さmを三角形の辺の長さa,b,cであらわせ。

ここをクリックした先のページに、この問題の解答があります。

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2016年11月19日(Sat)▲ページの先頭へ
余弦定理に類似した外心の高さを含む式
【問1】 
 上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年11月15日(Tue)▲ページの先頭へ
アポロニウスの円の証明
【問1】
線分ONのO点とN点からの距離の比がつねに1:n である下の図の点A,B,Cは、線分OBの長さbが何であっても同一円(アポロニウスの円)の円周上にあることを証明せよ。
(コメント)アポロニウスの円の証明を教わらないでアポロニウスの円を覚えるというのは数学のセンスを持つ学生には耐えられないことだと思います。
 そのため、高校1年でも、アポロニウスの円も証明してからおぼえましょう。

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

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2016年11月07日(Mon)▲ページの先頭へ
三角形の垂心の座標の証明
【問1】 
 上の三角形ABCの外接円の中心O(外心)を原点にした座標系において、垂心Hの座標が、以下の式であらわされることを証明せよ。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2016年11月06日(Sun)▲ページの先頭へ
三角形をとらえる想像の翼
以下のようにすることで三角形をとらえる想像力を広げることができるようになります。
三角形の重心の性質を考えるときは、
先ず、正三角形を考えます。
その正三角形で成り立つ特徴を見つけます。
例えば、正三角形の重心Oについては、BO:OH=2:1です。

次に、その形をゆがめて、
それでも変わらない特徴を見つけるようにします。

BO:OHは、 
A点を左右に動かしても変わらず、
A点を上下に動かしても変わりません。
そのため、
BO:OHは、
全ての三角形で同じ比です。

このようにすれば、想像の翼を広げて三角形の多くの特徴をとらえることができるようになります。

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2016年11月05日(Sat)▲ページの先頭へ
正弦定理の確実な思い出し方
以下の図を書けば、正弦定理を確実に思い出すことができると思います。
 上図の円と直角二等辺三角形を思い浮かべ、上の正弦定理の式を連想して思い出すようにしましょう。
 以下のシンボルマークを計算用紙の片隅に書いて、連想して正弦定理を思い出しましょう。

(蛇足)
なお、蛇足ですが、正弦定理に類似した、外心の高さmに関する以下の定理も覚えておくと、後で便利に使えると思います。

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2016年11月04日(Fri)▲ページの先頭へ
余弦定理の確実な思い出し方
以下の様にすれば、余弦定理を確実に思い出すことができると思います。
 上図の直角三角形を思い浮かべ、上の余弦定理の式を連想して思い出すようにしましょう。
 直角三角形以外でも全ての三角形でこの式が成り立つことは、以下の式を連想して素早く証明できるようになりましょう。

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2016年11月03日(Thu)▲ページの先頭へ
余弦定理に類似した中線の式と方べきの定理
【問1】 
 上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の回答は、ここをクリックした先のページにあります。

この式は、以下の図であらわされる。
この式は、
点Aを通る線が円と交わる2つの点の点Aからの長さの積がどの線でも同じになる「方べきの定理」の一例です。

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高校数学の目次




2016年11月02日(Wed)▲ページの先頭へ
トレミーの定理の証明
【問1】 
上の図で、
AB・CD=BE・AC
を証明せよ。

【問2】
上の図で、
AB・CD+AD・BC=BD・AC
(トレミーの定理)
を証明せよ。

問1の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

問2の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

「トレミーの定理の証明を忘れられない解答」が、ここをクリックした先のページにあります。
(注意) この解答を自分で考えてみたかったと言って後悔する可能性のある人は、自分でベストな別解を考えてから、この解答を見てください。

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高校数学の目次




2015年02月04日(Wed)▲ページの先頭へ
三角形の面積を3辺から計算する公式を初めて学ぶ方法
【問】凾`BCの面積Sを凾`BCの3辺a,b,cから計算する公式を求めよ。

 以下で、この公式の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、
ここをクリックした先のページに書きます。

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学[三角比・平面図形]一覧
高校数学の目次



2015年02月03日(Tue)▲ページの先頭へ
三角形の面積を外接円の半径を使って求める公式を初めて学ぶ方法
【問】凾`BCの面積Sを凾`BCの3辺a,b,cと凾`BCの外接円の半径Rであらわす公式を求めよ。

 この問題の公式を初めて学ぶときは、その公式が見せられて、その公式を証明しなさいという問題に出会うという出会い方が多いと思います。しかし、公式という答えを見てしまったら、数学を自分で学ぶという面白さが半減してしまいます。
 そのため、この公式に出会った場合、その公式の最低限の条件の(凾`BCの面積を3辺a,b,cと外接円の半径Rであらわせる)というヒントだけを意識して、その公式を自力で探し出すようにしましょう。

 以下で、その探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、
ここをクリックした先のページに書きます。

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
リンク:正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2013年11月11日(Mon)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(23)スーパーメネラウスの定理


【覚えよう】
 メネラウスの定理とチェバの定理と、その他の定理とを合わせると、以下の図であらわされる、直線上の線分の長さの比の関係があります。
 この関係を全部導き出すのは少し時間がかかりますので、覚えておいて、すぐに計算で使えるようにしましょう。

このスーパーメネラウスの定理は、以下のように問題にあてはめて使います。
【問題】
下図のように、
AF:FE=2:3
BF:FD=4:1
のとき、BE:ECを求めよ。

上のように、スーパーメネラウスの定理を問題にあてはめる連立方程式を立てます。
それを解いて、s,t,uを求め、
BE:EC=t:s=1:1
という解を得ました。
(解答おわり)


【究極の方法】
 メネラウスの定理は、問題を解くために、定理のパターンを図形にあてはめるために時間がかかり直ぐには使えない不便さがあります。
 一方、以下の方法は、メネラウスの定理を一瞬にして証明できる方法です。(チェバの定理を証明する場合は少し時間がかかります)
 この方法を使えば一番速く問題が解けます。
この方法を、上の問題の解き方を例にして説明します。 
問題の平面図形ABCDEFを3次元空間に配置します。
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。
上図のように点ADCの高さを(0)にし、点Fの高さを(2)にします。
すると、3次元空間での直線DBの点Bの高さは(10)になり、
直線AEの点Eの高さは(5)になります。
直線BECの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
BE:EC=(10−5):5= 5:5=1:1
です。
(解答おわり)

(補足)
 良く勉強してこの究極の方法を見つけましたので、この究極の方法があれば、メネラウスの定理は覚えなくて良くなりました。
(良く勉強すれば、覚えなければならない公式を減らせます)
チェバの定理については覚えていた方が良いかもしれません。

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高校数学の目次



2011年01月01日(Sat)▲ページの先頭へ
円と直線の関係の問題1
以下の問題はやさしいですが、重要な事を伝えているので、大学の図形専門の数学教授が思わず入試問題に出してしまう問題と思います。

【問】上の図形のように円OとO’が点PとQで交差している。上図のように、点Pを通る直線が円O’とAで交わり、円OとはBで交わる。また、点Qを通る直線が円O’とCで交わり、円OとはDで交わる。
このとき、線分ACと線分BDが平行になることを証明せよ。

これに解答するためのヒントの図形を以下に書きます。

リンク:
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



2010年12月29日(Wed)▲ページの先頭へ
方べきの定理(の逆)の応用問題1(極と極線の関係)

【問】上の図形で、点Aから円Oへ引いた2つの接線APとAQが円と接する点PとQを通る直線上の点Bを選ぶ。
(点Aと直線PQとの関係は、以下のように名付けられています。すなわち、点Aが極であり直線PQが極線です。)
そのとき、点Bから円Oへ引いた2つの接線BRとBSが円と接する点RとSを結んだ線分RSの延長線が点Aを通ることを証明せよ。

この問題は難問だと思いますので、以下の解答を見て、証明の仕方を覚えるだけで良いと思います。



円の中心をOとする。

円の中心と各点P,Q,R,Sを結ぶ補助線を引く。
その補助線とその補助線の端と接続する各接線とのなす角度は直角である。

補助線OAを引いて、それと線分PQとの交点をTとする。
線分OAと線分PQは直交する。
補助線OBを引いて、それと線分RSとの交点をUとする。
線分OBと線分RSは直交する。

△OTPと△OPAは、いずれも直角三角形で、2角が等しいから相似である。
そのため、
OT:OP=OP:OA
∴ OT・OA=OP  (1)
同様にして、△OURと△ORBは相似な直角三角形であるので、
OU・OB=OR  (2)
円の半径OP=ORである。
この関係を使って、式(1)と式(2)から、以下の関係が得られる。
OT・OA=OU・OB (3)
以下のように、方べきの定理の逆の関係が成り立っている
線分TAの延長線と線分UBの延長線とが点Oで交わり、式(3)の関係があるので、
4点T,A,U,Bは、下図のように、1つの円周上にある。

その新しい円について、
円周角の∠ATB=∠AUB=∠R
∴ UBとUAは直交する。

一方、UBとUSは直交する。
USもUAもUBに直交するので、
USとUAは同一直線上にある。
∴ UAと、点Uを含む線分RSは同一直線上にある。

すなわち、線分RSの延長線が点Aを通る。
(証明終わり)
(この定理の双曲線への応用は、ここをクリックしてジャンプする)。

リンク:
極と極線の関係の定理の、数3Cから大学高学年レベルでの証明
方べきの定理の証明
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
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2010年11月03日(Wed)▲ページの先頭へ
外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる
【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる。

この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の1つの角度と関係していることと、
三角形の1つの角度が、余弦定理で三角形の3辺に関係していること
を使えば解けます。

先ず、正弦定理を思い出します。
この正弦定理から、
(1/R)=2sinA/a  (1)
が得られます。
次に、余弦定理を思い出します。
この余弦定理から、
2cosA/a=(b+c−a)/(abc) (2)
が得られます。
sinA+cosA=1  (3)
の関係に、この2つの式を代入します。
(1/R)=2sinA/a  (1)
2cosA/a=(b+c−a)/(abc) (2)
その代入の準備として、式3を少し変形します。
sinA+cosA=1  (3)
(2/a)(sinA+cosA)=(2/a)
((2sinA/a)+(2cosA/a))=(2/a)
これに、式1と式2を代入します。
(1/R)+{(b+c−a)/(abc)}=(2/a)

この式を(1/R)だけを左辺にした式に変形します。
(1/R)
=(2/a)−{(b+c−a)/(abc)}
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
={(2/a)−(b+c−a)/(abc)}
{(2/a)+(b+c−a)/(abc)}
={(2bc)−(b+c−a)}
{(2bc)+(b+c−a)}/(abc)
={(2bc)−b−c+a
{(2bc)+b+c−a}/(abc)
={−(b−c)+a}{(b+c)−a)}/(abc)
《公式P−Q=(P−Q)(P+Q)を使う》
={(−(b−c)+a)((b−c)+a)}
{((b+c)−a)((b+c)+a)}/(abc)
=(−b+c+a)(b−c+a)
(b+c−a)(b+c+a)/(abc)
よって、
=(abc)/{(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)}
R=(abc)/√{(−b+c+a)(b−c+a)(b+c−a)(b+c+a)}

リンク:
「三角形の辺と角」(1)正弦定理
「三角形の辺と角」(2)余弦定理
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
三角形の外心
三角形の内心
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
リンク:高校数学の目次



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