高校数学(グラフと数式、他)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2016年10月16日(Sun)▲ページの先頭へ
二重根号を外す問題
【問1】 a≧0, b≧0の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

【問2】 a≧b, b≧0の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
答えが分かったら、解答の(補足)の説明も読んでおいてください。

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2016年10月10日(Mon)▲ページの先頭へ
二重根号の外し方
【問】 以下の式の二重根号を外せ。
 

【注意】
 二重根号の外し方は「嘘っぽい」方法が使われます。
そのため、その方法を覚えられない高校生が多いのではないかと思います。納得できないことは覚えないでかまいません。
 そのため、この問題は解けなくてかまいませんので、問題が解けないか、あるいは問題が解けるかで、この問題への対応がひと段落したら、
この行をクリックした先に、二重根号の外し方の4つの方法と、その方法の嘘っぽさの弁護を書きましたので、見ておいてください。

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受験生が苦労する因数分解
【問1】 以下の式を因数分解せよ。
−7x+1

【注意】 この問題は、大学入試問題に出題される因数分解ですので、高校1年では出題されないかもしれません。

しかし、この問題の解き方には、
(1)正しい解き方ではあっても、障害物を越える時間をかけなければならない解き方と、
(2)その障害物が出てこない平坦な計算の道を通る解き方と、
の2つの解き方があります。

そのため、この問題を解いた後で、
この2つの解き方の解答(ここをクリックする)を見て、
確認しておいてください。

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2016年09月22日(Thu)▲ページの先頭へ
因数分解の応用問題
【問1】
次の式を因数分解せよ。
+b−2a−4a−4b+4

(注意)

 この問題の計算方法には、覚えておいた方が良い計算方法(別解)がありますので、この問題を解いた後で、以下の解答ページの別解の解き方を読んでおいて下さい。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

【問2】
次の式を因数分解せよ。
+b+c−2a−2b−2c

(注意)

 この問題の計算方法には、解に至る計算の2つの道がありますので、この問題を解いた後で、以下の解答ページの2つの計算の道を読んで心に留めておいて下さい。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年09月02日(Fri)▲ページの先頭へ
自分で問題を解いて、何が良いかを自分で考える
高校数学は、何でも疑って、
自分で問題を解いて、良い事であると確かめられた事だけを覚える心が大切だと思います。

その勉強の仕方の例として、
以下の問題を自分で解いてみます。
【問1】

を利用して、

を因数分解せよ。

【疑い】
この問題の、

という式は、問題の式

を因数分解する助けにはなるかもしれないが、その式は他の式を因数分解する役には立つのか?


【先ずは、この式を使わずに自分で問題を解く】 

を因数分解する問題は難しいので、先ず、c=0の場合を解く。

c=0の場合は解けた。
それでは、c=0で無い場合は、cは、c=0の場合に得られた式のどこに入ってくるだろうか。

は、aとbとcを入れ替えても同じ式になるので、
それを因数分解した式もaとbとcを入れ替えても同じ式になるハズです。
それでは、cを以下の様に右辺の式に入れたらどうだろうか。

この様に因数分解の答えを予測しました
 この右辺の式を展開したら、以下の様に左辺の式が得られた。

よって、この右辺の式が因数分解の解である。
(解答おわり)

(補足)
  左辺の式の因数の1つが(a+b+c)であることを素早く確認する方法:
右辺の式のように(a+b+c)が掛った式は、
c=−(a+b)
の場合に0になる。そのため、
c=−(a+b)
を左辺に代入して、以下の計算をしたら0になるので、
左辺の式の因数の1つが(a+b+c)であることが素早く確認できます。

この様にして(a+b+c)が因数であることが分かったら、

を(a+b+c)で割り算することで、(a+b+c)にかかる項を、確実な計算で求めたいものです。
その確実な計算方法は、
(a+b+c) ≡ s
とおいて、

の式の中にsを注入する。
その注入方法は、 以下の計算の様に、
c=s−(a+b)
という式を代入して、この式を、変数a,b,cの式から変数a,b,sの式に変換してsを注入すれば良い。
そうしてから式を整えていけば、自ずから答えが得られます。
 ここで、sを因数とすることができたので、sに掛る項を整えることで求める解が得られます。
 
こうして、因数分解の解を得ることができました。



(補足(その2))
この自分の解き方は、ずいぶんいいかげんな解き方のように見える。
なぜなら、この解き方ならば、
以下の様な解の予測もできるからです。

しかし、事実は、

であるので、

は、この左辺の式

の因数にはならないです。

それで、この左辺の式

は、この方法では因数分解の解が見つけられません。

しかし、以下の式の関係もあるので、

この左辺の式

の因数には、


もなることができません。
結局、この左辺の式

は因数分解が不可能でした。


因数分解が不可能な式は、もともと解くことができないのですから、「もし解けるなら解はこうなる」という示唆の価値は損なわれていません。

そのため、この自分の解き方は、それほどいいかげんな解き方ではありませんでした。


 一方で、最初の、問題の解の求め方の示唆はどうでしょうか。
この、

の式を因数分解しようとしてみます。
その因数分解のためには、

 
が役にたつかもしれないという示唆しかありません。
そして、それを使ってもこの式は因数分解ができないのです。
なぜなら、この式

は因数分解が不可能だからです。



そうなると、
 
を使う解き方の価値は、
自分が使った、簡単な問題の解を使って、難しい因数分解の問題の答えを推測して、その答えを展開して元の式になることを確認して、因数分解の答えを得る解き方と比べると、
問題の解答の見通しが悪いので、
劣った方法である
と判定せざるを得ません。

そのため、その価値に納得できませんので、

を使う解き方は覚える必要が無い
と判定します。

(3)「安易に、納得していない疑わしい公式を覚えないこと」

の原則に従って、この方法は覚えないようにします。

この方法を覚えずに問題を解く方法は、
自分の方法で問題を解く方法であって、
答案の解答の書き方は:
「問題の式を、(〜〜〜)で因数分解したら、
因数分解できたから、これが答えです。」
と答えれば良い、と考えます。

ただし、後に教わる、以下の解き方は覚える価値があると考えます。
この式の因数分解の計算の最初の段階では、この式がx,y,zを入れ替えても同じ式になる対称な形の式であることを利用して解きます。
 その方針で解く理由は、先に、この式の因数が(x+y+z)であると予測した(これが大切!)ことにあります。そして、その因数(x+y+z)が、x,y,zを入れ替えても変わらない対称な式の基本要素の式sだからです。
 x,y,zの対称な形の式は、以下の要素s,t,uを使ってあらわすことができます。

つまり、以下のように、s,t,uの関数fであらわせます。
そうできるので、以下で、この変数x,y,zであらわされた式を、変数s,t,uの式に変換します。 
こうして、sで因数分解ができました。

(考察) この計算方法は、
先に行なった、
(a+b+c) ≡ s と定義した変数sを、

の式の中に注入して、式を整える方法と同じ種類の、式の変換方法と考えます。
 こちらの式の変換方法では、先に行なった、変数a,b,cの式を変数a,b,sの式に変換して式を整えた方法とは違って、sの注入を少しづつ行なう。こちらの式の変換方法では、変数x,y,zの式を変数s,t,uの式に変換する明確な指針に従って式を少しづつ整えた。 
 こちらの変数x,y,zの式の変換方法を参考にして、先に行なった、変数a,b,cの式を変数a,b,sの式に変換して式を整える方法を改良できる。改良した方法では、こちらの式の変換方法とほとんど同じになる。
 上の式の、変数x,y,zの式を変数s,t,uの式に変換する式の1行目から6行目の式(sで因数分解をした式)は、変数x,y,zの式のxを少しづつsの式に置き換えて変数s,y,zの式に変換する式と同じです。 

ただし、変数x,y,zの式を変数s,t,uの式に変換する式の変形において、式の対称性を維持しつつ変形すると、以下のようになり、より優れた解答が得られます。

更に進んだ内容は、ここ「因数分解の難問」をクリックした先にあります。


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2016年09月01日(Thu)▲ページの先頭へ
因数分解の問題を易しくして解く
【問1】
次の式を因数分解せよ。

(問題を見たら最初に考える事)
 難しい問題に出会ったら、先ずは、それを易しい問題に直して解いてみます。

【解答】
難しいので、この問題を、
c=0の場合の問題に直して、それを解いてみます。


c=0の場合は解けました。

cが0で無い場合は、cが上の式のどこに入りこんで来るかを推理します。
以下の式はどうでしょうか。

左辺の式が、aとbとcの置き換えで同じ式になる対称な式なので、
因数分解しても、aとbとcを置き換えても同じな、こういう式になるのではないでしょうか。

もしこの式が正しいならば、右辺の式が0になる条件である、
a=−b
a=−c
b=−c
の各場合を、
左辺の式に代入しても、それぞれ0になるはずです。
それを以下で確認してみます。
 全部0になりましたので、推測した右辺の式が正しいことがわかりました。
(解答おわり)

【別解】
問題の答えが分かりましたので、次は、この答えを、問題を易しくしないでも解ける方法を探してみます。
その結果、以下の解き方で解けるようになりました。
(解答おわり)

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2016年08月11日(Thu)▲ページの先頭へ
因数分解の可能性を広げる発想
【問1】
次の式を因数分解せよ。

(コメント)1変数をある変数の2乗と解釈しても良い。頭を柔らかくして、因数分解の可能性を広げて下さい。

【解答】
(解答おわり)

(補足)
この問題は、因数分解を拡張して数学の可能性を広げる方法であって、自分の必要に応じて使う技術であり、
正式な因数分解ではありません。

なぜなら、この考え方では、
a−b=(√a−√b)(√a+√b),
a+b=(√a−i√b)(√a+i√b),
とでき、あらゆる式が更に因数分解できることになります。
そのため、この方法は普通の因数分解ではありません。
(公式な因数分解の試験問題としては出題されないと思います)

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2016年08月03日(Wed)▲ページの先頭へ
2次方程式の応用問題
【問1】
次の方程式を解け。
(x+1) (x+2)(x+3) (x+4)=16 ,

ヒント:この問題は、工夫して式を置き換えると2次方程式の形の式に変換できます。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2014年01月10日(Fri)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(27)方べきの定理を思い出す視線

【覚えよう】共有線の辺を持つ2つの相似三角形の2辺の長さの定理

 以下の図を覚えておいて、相似な三角形を見出すように視線を運んで、方べきの定理を一瞬で想像できるようになりましょう。


 以下の図も覚えておいて、相似な三角形を見出すように視線を運んで、線の長さの関係を一瞬で想像できるようになりましょう。



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2014年01月09日(Thu)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(26)接弦定理を思い出す視線


【覚えよう】
 以下の図を覚えておいて、T点の近くにU点が突出していると想像するように視線を運んで接弦定理を一瞬で想像できるようになりましょう。

そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。

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2014年01月04日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(60)各項への視線オーラの結び付け

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 上の計算のように、1行の式を書き始めたら、1項書く毎に、視線で「書いた項から元の項まで視線を戻して視線が戻ってくる視線ブーメランチェック」を高速に行う。
 この視線ブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
 この視線ブーメランチェックは、計算式で関連する式の項同士を結ぶ見えない糸=視線オーラを項に結び付けることと考え、式の項を書く毎に、常に、その視線オーラで関係する式と結ぶ作業を行ってください。また、結んだ視線オーラを生かすために、式を1行書いた後でも再度視線チェックをして、視線を何度でも他の式との間で往復させることを苦にしないようにしましょう。


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2014年01月03日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(59)平方完成で書く式(その2)



計算ミスを無くす方法
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 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 先のページで、平方完成の計算の2行目の式を書くように言いました。その式は複雑なので空想できないので手で書かなければならないとも言いました。
 しかし、以下のように工夫すれば、式をより単純化でき、また、空想できるようになり、式を空想するだけで、手で書かなくても良くなります。
 そのことを、以下の式の平方完成を例にして示します。

 上の計算では、視線が積のペアを生成した式を2行目に書きます。3行目の式を書く際に、同じ値のプラスとマイナスの合計0のペアの項を生成して式を書きます。
 2つのペア生成を、2行目の式と3行目の式に分けることで、2行目の式が単純になりました。

 この式の展開では、2行目の式が単純化されたので手で書く手間が少なくなり、また、2行目の式の全体を正確に空想することができるようになったので、この2行目の式は空想するだけでも良くなりました。

 以下の式も同様にして計算できます。

この式では、まだcについて約分する必要があります。その約分は、以降で式を展開する際に行ないます。

 以上の例のように、単純化された2行目の式が正確に、しかも素早く、空想できる人は空想だけで紙に書く式を省略しても良いです。
 また、この2行目の式を自分の手で書いてもそれほど手間がかかりません。


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2014年01月02日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(58)平方完成で書く式



計算ミスを無くす方法
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とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 以下の式の平方完成の計算を考えます。 


上の計算では、視線が積のペアを生成し、次に、同じ値のプラスとマイナスの合計0のペアの項を生成した式を描きます。
 そして、手が式を書いた後で、再度の視線チェックで、計画通りに、ペアの項が生成されていることをチェックします。

 この式の展開では、3行目のマイナス記号が複雑なので、3行目の式の全体を正確に空想することができないので、この3行目の式は目に見えるように書いてください。

 次に、以下の式の平方完成も練習してみましょう。 


この式の展開も、3行目のマイナス記号が複雑なので、3行目の式全体を正確に空想することができないので、この3行目の式は目に見えるように手で紙に書いてください。

 以上の2つの例のように、正確に空想できない式は、目に見えるように手で書きます。もっと単純な式で3行目の式が正確に、しかも素早く、空想できるならば空想だけで紙に書く式を省略しても良いです。
 正確に素早く空想できる式は空想だけで書く作業を省略しても良いですが、正確な空想が怪しい式は必ず自分の手で書くようにしてください。 

 
 平方完成の計算では、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが完全に行なえるように、以上の計算における3行目の式を自分の手で書くよう心がけてください。

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2014年01月01日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(57)視線ペア生成チェックと積の視線チェック



計算ミスを無くす方法
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(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 以下の、平方完成の計算を考えます。 


 上の計算では、視線が同時に、同じ値のプラスとマイナスの項で、合計0の項を生成した式を描きます。
 そして、手が式を書いた後で、再度の視線チェックで、計画通りに、同じ値のプラスとマイナス0の項が生成された式が書けていることをチェックします。
 これを、視線ペア生成チェックと呼びます。

ここで、@では、式の値が2乗になっていることもチェックします。
すなわち、「視線が2乗の計算をする」のです。


 3行目の式の視線チェックが終わったら4行目の式を書き、以下の視線チェックをします。 
  この視線チェックを行なう中で、DEの視線チェックでは、(−1)とaの積を計算します。すなわち、「視線が積の計算をする」のです。

 平方完成の計算では、以上のように、視線チェックの回数が多いので、平方完成の計算を間違え易い人は、視線チェックが十分行なえていないのが計算ミスの原因かもしれません。

 なお、平方完成になれてくると、以下の式の3行目の式を頭の中だけに描いて空想の式を視線チェックして、4行目の式に変換して、4行目の式を実際に記載する計算をするようになります。

 @のチェックでは、いつも必ず(−a)を掛け算し、Aのチェックでは、必ず2乗にします。
 ここで、2行目の式を4行目の式に変換する式を公式として覚えて使う場合にも、必ず3行目の式を空想して空想の式に対して視線チェックを行ない、4行目の式に記号の間違い等が無い事を確認して使います。

 3行目の空想中の式は、積のペア生成視線チェックと、プラスとマイナスの項を生成する視線ペア生成チェックを同時に行ないますが、その方がハッキリ空想することができ覚え易いです。


 なお、視線チェックでは、目を自分の持っているコンピュータだと考え、紙に書く式は、そのコンピュータが読み取れるプログラム言語とみなすと良いと思います。
 視線コンピュータに、視線が式の上を動いて計算するルールを決めておいて、そのルールに従って書かれた式を視線が読み取って、次に書くべき式も視線コンピュータが決めるようにすれば良いです。

 自分の視線をコンピュータとして使えれば、計算は目にまかせられるので、自分の頭では細かい計算のことを一々考えないで良くなるので、計算がとても楽になります。

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2013年12月31日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(56)平行シフト視線チェック



計算ミスを無くす方法
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(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

上の計算では、視線がイコール記号の左右のパラメータaの係数を同じ値だけシフト(増減)してチェックします。これが平行シフト視線チェックです。
 平行シフト視線チェックは、イコール記号の左右の同じパラメータのペアの項に対して行ないます。
(それ以外にパラメータaの項があっても良いですが、その項が変化しない事が条件になります。)

 上の式は、不等号の式に平行シフト視線チェックを適用した場合を示しました。
 このように、移項と項の和の計算とを同時に行っても視線チェックできます。

 この平行シフト視線チェックは、チェックされる式を書く前に行うことができます。視線が平行シフトして計算した値で式を書きます。そして、式を書いた後に再度平行シフト視線チェックを行なって、最初の目標通りに式が書けたことを確認します。そうすることで、計算ミスを減らせます。

 上の計算は、平行シフト視線チェックと類似しています。式の全部の項に同時に同じパラメータを掛け算してチェックします。
 この視線チェック方法も平行シフト視線チェックの一種です。

 上式のように、不等号を使った式の場合も同様にチェックします。
不等号の場合は、正の値を掛け算します。


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2013年12月30日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(55)イコール交差チェック



計算ミスを無くす方法
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これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

 上の計算では、視線がイコール記号をまたいで移項した項の正負を入れ替えます。その様に項の正負が入れ替わっていることをイコール交差チェックで確認します。

 このイコール交差チェックができるように数式を展開します。
そのために、以下のような計算はしないことにします。

この計算では、項の符号を間違え易い問題があります。そのため、このような計算はしない方が良い。必要があれば、最後の計算の後にイコール記号の左右を入れ替えても十分間に合います。

 上式のように、不等号を使った式の場合も同様にチェックします。
 このようなルールで計算する場合に、視線でイコール交差チェックをすることで、移項した項の符号の間違いを発見できます。


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計算ミス対策(54)視線かき集めチェック



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


しつこく計算ミスを減らす方法
というサイトに、計算ミスを少なくするために以下のように式を書くのが良いという助言がありました

 上の計算では、上式のように展開して、先ず、視線ブーメランチェックを行ないます。
 次に、以下のように展開して、3行目の式に関して視線かき集めチェックを行ないます。
 視線かき集めチェックのやり方は、3行目の式を1行書いたら、視線で「3行目の式の未知数の項と同じ未知数の項の値を2行目から視線でかき集めて、合計を3行目の項の値と照合する、視線かき集めチェック」を高速に行う。

 この3行目の式についての視線かき集めチェックと、2行目の式についての視線ブーメランチェックで高速に式が見直しできます。
 しかし、もし、2行目の式を書かないで、いきなり1行目と3行目を比較しようとしても、両者を比較する単純で超高速な視線チェック方法がありません。そのため、スッキリ視線チェックを行うために、2行目の式を書いておくようにします。


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2013年12月29日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(53)概算ブーメランチェック



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


 上の計算のように、式を1行書く毎に、視線で「@書いた式の項の概算と同じ項を探し、A探した元の式の他の項と同じ項を後の式に探しに戻って来る概算ブーメランチェック」を高速に行う。
 このブーメランチェックは概算なので、「思い込み」とは異なる計算になるので、「思い込み」によるミスも発見できるので、なるべく行うようにしてください。
 このブーメランチェックで後の式に不足している項を発見したので、以下のように修正する。

 このように、概算ブーメランを行なった結果、後の式の誤った項を修正して(この場合は項を追加して)、式を完成させる。
 そして、この修正された1行の式全体に対して再度概算ブーメランチェックを行う。

 ここで、計算ミスをした根本原因は、数値の因数分解と式の暗黙の括弧の枠の変更とを同時に行ったことに根本原因がある
 そのため、今後の計算では、以下のように、数値を因数に分解する際に、それ以外の式の形は変えずに、暗黙の括弧の枠を変更しないようにして計算しましょう。 

 また、以下の式のように括弧()を使うことで、暗黙の括弧の枠(項の数)を変えない計算をしても良いと考えます。
 この式を、上の場合のように、(概算を加えない)通常の(超高速の)ブーメランチェックを行うと、項の数が変わらないのでチェック結果がとりあえず合格になります。
最初の式は、通常の(超高速の)ブーメランチェックでも不合格で、計算ミスに気付くことができます。


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2013年12月28日(Sat)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(52)式を1行1行ブーメランチェック



計算ミスを無くす方法
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とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


 上の計算のように、式を1行書く毎に、視線で「書いた式の項と同じ項を探し@A、Aで探した元の式の他の項と同じ項をB、後の1行の式に探しに戻って来る視線ブーメランチェック」を高速に行う。
 このブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
 このブーメランチェックで後の1行の式に不足している項を発見したので、以下のように修正する。

 このように、視線ブーメランを行なった結果、後の1行の式の誤った項を修正して(この場合は項を追加して)、式を完成させる。
 そして、この修正された1行の式全体に対して再度ブーメランチェックを行う。
 ブーメランチェックを何度行っても計算時間に負担にならないように高速にチェックする。

 この視線ブーメランチェックは、計算式にくっつけた、関連する式と結ぶ霊的オーラのようなものと考え、式の項をその霊的オーラで常に関係する式と結んでください。そしてオーラを生かすために視線を何度でも他の式との間で往復させることを苦にしないようにしましょう。


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2013年12月27日(Fri)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(51)式を1行1行視線ブーメランチェックする


計算ミスを無くす方法
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計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
(1)自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
(5)解き終わると一回見直しておくと決める
これは、もっと厳しく、式を1行1行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い
です。
計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。


 上の計算のように、式を1行書く毎に、視線で「書いた式にマイナス記号を持つ項があったら、元の式のマイナス記号を視線で探して、括弧()があったら、もう1つのマイナス記号を調べに戻って来るブーメランチェック」を高速に行う。
 このブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
 このブーメランチェックでマイナス符号の誤りを発見したので、以下のように修正する。

 このように、視線チェックを行ない易いように、少なくとも項の単位で修正する。次の視線チェックの際に視線が誤り部分を横切らなくても良いように式の上側に修正項を記載する。
 そして、この修正された1行の式全体に対して再度ブーメランチェックを行う。
 ブーメランチェックを何度行っても計算時間に負担にならないように高速にチェックする。

 なお、このブーメランチェックを、式を書いてしまう前に行うことができれば、書こうとする式の誤りを先に見つけて修正して、正しい式のみを書けるようになるとも思う。


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2013年12月26日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(50)式を1行1行視線チェックする


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 的確なアドバイスと思います。

 それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
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って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

(2)計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

(3)見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

(4)スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
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計算ミスを無くす方法 /スカイプ先生byイチロー(一橋進学塾)を参考にして)
視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

上の計算例では、
(1)視線チェックができるように、設問にある式を1行目に書き込んだ。

(2)式を1行書く毎に、視線で「書いた式に使った項と同じ項の源の式を視線で探す、探し物チェック」を高速に行う。
 この視線チェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。

(3)視線チェックで発見した誤りの訂正は再度の視線チェックがし易いために、まとまった単位で、少なくとも項の単位で置き換え修正をする。
(常識ではあるが、消しゴムを使った修正はしない)
 修正した式が仕上がった時点で、再度、その1行の式全体を視線チェックする。
(視線チェックは、何度行っても時間的に負担にならないように、高速に「同じ項を探す」だけに留める。)
 視線チェックは、以下のように視線を回して「同じもの探し」をする。同じか同じで無いかが第1優先で、計算の手順が合っているかは後回しにする。

式を展開した項の掛け算の順番は、視線が自然に移動する順に書く。以下の式のように展開して書いた方が良かった。



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2013年12月25日(Wed)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(25)因数分解の公式


【覚えよう】
 以下の式の因数分解の公式があります。この問題は、普通は2行目までしか教えられていないようです。

 この式は、3行目まで因数分解しなくて良いのでしょうか。
 この問いに対する答えは、
「3行目の式にまで因数分解しなければいけません」
です。
 この因数分解が難しいのでその計算が求められない場合が多いと思います。しかし、因数分解の精神としては、因数分解の結果で出てきた2次式も更に因数分解しないといけないという基本精神は歪めないで、しっかり心に刻んでおいてください。
 この因数分解は難しいですが、この因数分解もできるようにしましょう。
 この2次式の項を因数分解するために試験時間を浪費したり計算ミスする危険を防ぐために、
この答えを覚えて、その答えだけを書くようにして下さい。


この因数分解の覚え方は以下のようにします。
最初の式:
−y
のyを(ωy)に置き換えた式が、
−(ωy)
=x−y
となって、最初の式と同じ式になる。
一方、
yを(ωy)に置き換えた式で計算すると、
置き換え前の計算で、因数分解の1つの項の(x−y)を導き出したのと同様に、
置き換え後の計算でも、因数分解の1つの項の(x−ωy)が導き出される。
 このパラメータの置き換えをしても、最初の式は変わらないので、置き換えたパラメータを基礎にして得た因数分解の項(x−ωy)もまた、最初の式の因数分解の項である。
と考えて覚えてください。

 以下の式の因数分解の公式も、普通は2行目までしか教えられていないようです。

 この式も、同様に考えて、3行目までおぼえてください。

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2013年12月23日(Mon)▲ページの先頭へ
問題をやさしくする数学(24)因数分解の難問


【覚えよう】
 以下の式の因数分解の問題があります。この問題は、実は難問です。
 この問題が難問であることをあいまいにすると、因数分解はどこまで計算したら良いのか、やり方がわからなくなりますので、ここで、この問題の考え方をはっきりさせておきます。

この式の因数分解の計算の最初の段階では、この式がx,y,zを入れ替えても同じ式になる対称な形の式であることを利用して解きます。
 x,y,zの対称な形の式は、以下の要素s,t,uを使ってあらわすことができます。

つまり、以下のように、s,t,uの関数fであらわせます。
 既に、この式の因数の1つがsであることを予測していますので、この式を、s,t,uであらわすように変形すれば、因数分解もできるだろうと予測できます。 
そのため、以下の様にして、式をs,t,uであらわす変形を行ないます。
sで因数分解ができました。

ただし、変数x,y,zの式を変数s,t,uの式に変換する式の変形において、式の対称性を維持しつつ変形すると、以下のようになり、より優れた解答が得られます。
こうして、sで因数分解ができました。

 ここで、このsの右に掛かる項は因数分解しなくて良いのでしょうか。
 この問いに対する答えは、
「その項も因数分解しなければいけません」
です。
 この因数分解が難しいのでその計算は求められない場合が多いと思います。しかし、因数分解の精神としては、この式も因数分解しないといけないという基本精神は歪めないで、しっかり心に刻んでおいてください。
 この因数分解は難しいですが、2000年頃は高校で教えられていたようですので、この因数分解もできるようにしましょう。
 この項を因数分解するために多大な試験時間を浪費する危険を防ぐために、
以下に、この式の因数分解の答えを書きますので、答えを覚えて、その答えだけを書くようにして下さい。

この因数分解の覚え方は以下のようにします。
最初の式:
+y+z−3xyz
のyを(ωy)に置き換えて、zを(ωz)に置き変えた式が、
+(ωy)+(ωz)−3x(ωy)(ωz)
=x+y+z−3xyz
となって、最初の式と同じ式になる。
一方、
yを(ωy)に置き換えて、zを(ωz)に置き変えた式で計算すると、
置き換え前の計算で、因数分解の1つの項のs=(x+y+z)を導き出したのと同様に、
置き換え後の計算でも、因数分解の1つの項のs’=(x+ωy+ωz)が導き出される。
 このパラメータの置き換えをしても、最初の式は変わらないので、置き換えたパラメータを基礎にして得た因数分解の項s’=(x+ωy+ωz)もまた、最初の式の因数分解の項である。
と考えて覚えてください。

 因数分解したカッコの中の式では、xにだけωが掛からないので、式がx,y,zに関して対称な形で無いので気持ちが悪いという人は、以下のように式を変形してみましょう。


 この因数分解の結果を見ると、完全に因数分解された式は、s,t,uだけであらわすことはできませんでした。最初の式をs,t,uの関数fであらわす計算手法は、最初の因数分解の項sを導き出すときだけに通用しました。


(補足1) この完全な因数分解を解く計算は、以下の様に考えて解くのが良いと考えます。
【解】
この問題は難しいので、先ず、z=0の場合を以下の様にして解く。
ωは複素数平面(高校3年で学ぶ概念です)上で以下の様にあらわされます。
こうして、z=0の場合は、完全に因数分解できました。
zが0で無い場合は、zはこの式のどこに入ってくるでしょうか。
以下の式はどうでしょうか。
この左辺の式のx,y,zを以下の様に置き換えても式が変わりません。そして、この右辺の式も、置き換えによって変わりません。
そのため、この式が確からしいことがわかります。
左辺の式の因数の1つが、
 であることを以下で確認してみます。
それは、この因数が0になる以下の式を左辺に代入して左辺が0になることで確認できます。
左辺が0になったので、因数の1つが確認できた。
左辺の式の因数のもう1つが、
 であることも同様にして確認できます。

(直接因数分解する計算方法)
 なお、予測した因数分解の答えに合わせて、以下の様に式を展開することによって、式を直接に因数分解することができる。
(解答おわり)



(補足2)
 この因数分解を応用すると、
3次方程式の解を媒介する定数sとtの存在が示される。

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2013年12月19日(Thu)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(49)変則正弦定理


計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 以下の三角形ABCの余弦定理に対応した形の変則正弦定理も覚えておくと安心感の足しになると思います

三角形の辺の長さa,b,cであらわした変則正弦の定理は、余弦定理を使って、以下の計算をすれば導くことができます。
(証明おわり)

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計算ミス対策(48)図形をおぼえる


計算ミスを無くす方法
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 以下の三角形ABCと円との角度の関係は基本的な定理ですが、この図をよく覚えておきましょう。


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2013年12月18日(Wed)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(47)図形を変形して定理をチェック


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 三角形ABCの正弦定理は基本的な定理ですがその定理の記憶も怪しくなりますので、チェックしてから使いましょう。


この問題で、三角形の外接円の半径Rに関する正弦定理は、外接円の直径(2R)を使ってあらわすことも可能ですので、そのバラエティも視野に入れて正弦定理を直径でもあらわせる定理と把握してしまうと、直径を使った式と半径を使った式では係数が異なりますので、どうしても定理の係数があいまいになってしまいます。

 それで、正弦定理の係数を覚えるよりは、問題に使う長さR(あるいはD=2R)に応じて、毎回、正弦定理の係数をチェックしてから使うようにします。 

 上の図のように∠Aが直角の特別な場合の正弦定理を考えて係数をチェックします。
 上の図から、この場合の式の係数は1/2であることがわかりました。

 毎回のチェックを簡略化するため、下図の左の正弦定理のシンボルマークを、正弦定理の式の左に併記すると良い。


 こうして確認した正しい定理を使って計算することで、誤った定理を使うことでおきる計算ミスが減らせます。


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2013年12月17日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(46)図形を変形して定理をチェック


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 以下のような、放物線に接する三角形ABPの外心(外接円の中心)位置のy座標(−b)を計算する問題を考えます。


この問題で、三角形の外接円の中心の高さ(b)を求める定理の式の記憶が怪しくなった場合の対処方法を教えます。
 定理の式が怪しくなったなら、その定理は怪しいままでは使ってはいけません。
定理で怪しい点は、係数が1なのか、1/2なのか、1/3なのか、1/4なのかの記憶が怪しいのです。
このように、自分の記憶を疑うことはよくおきます。
  計算を正確に行うためには、少しでも怪しい点があったなら、それが明確に分からない限りは定理を使わない覚悟が必要です。
 定理を明確にするため、以下のように、図形を変形して、特殊な図形を定理にあてはめて、定理の係数を求めます。


 上の図で定理の係数が1/2だと確認できたので、安心してこの定理を使って問題を解くことにします。


 こうして確認した正しい定理を使って計算することで、誤った定理を使うことでおきる計算ミスが減らせます。


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2013年12月03日(Tue)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(45)グラフを覚える


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 以下のような、放物線と直線の交点を計算する問題を考えます。


この問題では二次方程式を解くので計算ミスをし易いです。
 ここで、放物線Cと直線mの交点のX座標は、直線mと同じ傾きの放物線の点のX座標を中点に持つ知識を使うと、以下のように解き方がやさしくなります。

@: 直線mと同じ傾きの放物線上の点AのX座標を計算した。
A: その点のX座標(原点とのX座標の差)を2倍にした点が、直線mの放物線との交点Bです。

 この計算では二次方程式を解く計算をしないので、計算ミスが減らせます。



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2013年12月02日(Mon)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(44)グラフが単純になる座標系で計算



<図の書き方と計算の仕方を工夫>
・グラフが単純な式であらわされる座標系に変換して計算する

数UBの【大問2】です。


この問題を解くために、先ず、以下の図を描きます。
新しい座標系XとYで見ると、グラフが単純に見えるので、この座標系を使って問題を解きます。
座標系XとYで見ると、グラフの極大と極小の座標が単純に見えます。その(X,Y)座標を(x,y)座標に変換して問題の解答を書きます。
極大点と極小点と原点を通る放物線の式を(X,Y)座標で求めた。
その放物線の式を(x,y)座標の式に変換して問題に解答する。


以下では、接線lの式を(X,Y)座標系で求め、その式を(x,y)座標系の式に変換する。
次に、(x,y)座標系で、接線lに垂直な直線mの式を求める。



(X,Y)座標系で、放物線Dと直線lで囲まれる領域の面積を求め、
その面積を、(x,y)座標系での面積に変換する。

ここで、放物線と直線で囲まれるグラフの面積はその全体を囲む斜交矩形の面積の2/3である知識を使うことで計算を省く。
 その知識を使って、以下のように計算する。
@: 直線lと同じ傾きの放物線の点のX座標を計算した。
A: グラフにそのX座標を書き込む。Y座標は0です。
B: その点のX座標(原点とのX座標の差)を2倍にした点が、直線lのもう1つの交点Bです。
C: その交点BのY座標もわかる。
D: 直線lと同じ傾きの放物線の点と同じX座標の直線lの高さを求める。

こうして、(X,Y)座標系で、放物線Dと直線lで囲まれる領域の面積SXYを求め、
その面積を、(x,y)座標系での面積Sに変換した。


直線mと放物線Cの交点の計算については、(x,y)座標系で、以下のように計算する。



(解答おわり)

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2013年12月01日(Sun)▲ページの先頭へ
計算ミス対策(43)グラフを覚える


計算ミスを無くす方法
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 以下の図のように、点Pから放物線に2つの接線を引いた接点Aと接点Bとのグラフの長さや面積の関係を覚えてしまいましょう。


(1)点PのX座標と接点AのX座標の差Xは、点Pと点BのX座標の差に等しい。その値Xは、下側の図の放物線の高さhが、上側の図の放物線の点P上の高さhと等しい場合のX座標と等しい。

(2)放物線と接線で囲まれる部分の面積Sは、点Pの右側と左側とが等しい。その面積は、矩形Xhの面積の1/3に等しい。

 これらの関係は覚えてしまって、放物線の部分の面積の計算の際に、この関係を使って素早く面積を計算できるようにしましょう。

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カレンダ
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