二項定理に関連する公式






2017年03月21日(Tue)
二項定理に関連する公式
二項定理は、例えば:
(x+1)
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

x=1とおけば、上の式1のように、2が組合わせの数の和であらわされます。
上のように式1が得られたので、この式1を覚えろと言われます。

しかし、数学のセンスのある学生ならば、ここで、何となくうさんくさく感じて、素直にはこの式1を覚える気にはならないと思います。
(そのうさんくささを感じる嗅覚が数学的センスです)
この公式がうさんくさいので、先ずは、具体的な場合を調べて、本当に式1が成り立つのかを具体的に調べます。
何と!全部成り立っているではないですか。

しかし、それでも納得いかないので、この式1が別の方法で証明できるならばこの式1を覚えても良いと考え、別の証明方法が無いか調べてみます。
(その調査をすることが数学を勉強するということだと考えます)

そのために、組合せの数の式の定義を使ってこの式1を証明する方法を探してみます。
先ず、 組合せの数の式の変形可能性を調べます。
上のように、組合せの数には、式2の関係があることを確認できました。
(この式2は覚えておきましょう)
この式2を使って、もう少し調べてみます。
この式3も成り立つことが分かりました。
この式3を使うことで、組合せの数を、そのパラメータnをどんどん減らした式に変換でき、下の図の関係があります。
(便利なので、この式3を覚えましょう)
下図では、各行の各が、式3に従って、その下の行の2つの項の和であらわされます。
上の図で、下方の行の各項が上方の行で2回使われています。そのため、上方の行の値は下方の行の値の2倍です。
それゆえ、式1が成り立ちます。
(式1の証明おわり)

こうしたやり方で、
「納得した後で初めて式1を覚えることにする。」
という勉強方法は間違っていないと私は考えます

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カレンダ
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