平方根の式を多項式に変換する問題






2017年04月11日(Tue)
平方根の式を多項式に変換する問題
【問題1】 以下の式1が成り立つとき、平方根の式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式4を計算する。
(B)次に、(α−2)を計算する。
 式1を(α−2)で割り算した式を作り、変形することで(α−2)をあらわす以下の式5を計算する。
式4と式5を式3に代入する。
以上の計算で根号を外すことができた。

次に、この分数式を普通の多項式に変換する。

(C)先ず、1/(α−1)を計算する。
 式1を(α−1)で割り算した式を作り、変形することで1/(α−1)をあらわす以下の式7を計算する。
(D)次に、1/(α+1)を計算する。
 式1を(α+1)で割り算した式を作り、変形することで1/(α+1)をあらわす以下の式8を計算する。
式7と式8を式6に代入する。
(解答おわり)

【解答のブラッシュアップ】
 先の解答は、計算の発想順が明確で良い解答だと思います。しかし、計算の手順に無駄がありました。
式4を導く計算部分を以下のように変えると、分数式を経由せずに解答することができます。
そのようにして、解答を書き直すと、
以下のように解答できます。

(解答はじめ)
問題の式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式10を計算する。
(B)次に、(α−2)を計算する。
 式1を(α−2)で割り算した式を作り、変形することで(α−2)をあらわす以下の式11を計算する。
 式10と式11を式3に代入する。

(解答おわり)

次に、この問題をより一般化した問題を解く。
【問題2】 以下の式1が成り立つとき、平方根の式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
問題の式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式4を計算する。
(B)次に、(α−2)を計算する。
 式1を(α−2)で割り算した式を作り、変形することで(α−2)をあらわす以下の式5を計算する。
式4と式5を式3に代入する。
 計算をここで終えた方が答えの式が簡易な式になる。
(解答おわり)

(補足)
上の計算で、式4から6までの計算を以下の式7から9までの計算に変えた方が、より簡単な式で答えをあらわすことができると考える。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
(B)次に、(α−2)を計算する。

式7と式8を式3に代入する。
(解答おわり)

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カレンダ
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