xの最高次の係数が1の整数係数方程式の有理数解は整数解になる






2017年05月09日(Tue)
xの最高次の係数が1の整数係数方程式の有理数解は整数解になる
【問1】
 次の、最高次の係数が1である整数係数方程式1が有理数の根(r/p)を持つ場合、その根(r/p)は整数解 r になることを証明せよ。
(ただし、rとpは互いに素な整数とする。
また、a,a,aは整数とする。)

【解答】
 式1のxに(r/p)を代入する。
この式3をp倍する。
 この式4が成り立つためには、
P=1,  (5)
であることが必要である。
よって、(r/p)=整数 r である。
(証明おわり)

【問2】
 問1における、方程式1の整数の根 r は、整数aの約数になることを証明せよ。

【解答】
 式1に根の整数rを代入する。
 この式6を変形して式7を得る。
式7は、式8のように、整数rと整数sの積の形をしている式である。
よって、 根rは、整数aの約数である。
(証明おわり)

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