高次方程式の解き方のパターン






2017年05月14日(Sun)
高次方程式の解き方のパターン
高次方程式の解き方のパターンの研究
この研究結果がガロア理論だと考えます。

天才ガロアは、高次方程式を、以下のパターンで解いたと考えます。

(1)高次方程式がある。
(2)式の変換方法Aがある事を確認する。
 (3)その変換方法Aを発見する。
  (4)その変換方法Aで式を変換する。
(5)式の変換方法Bがある事を確認する。
 (6)その変換方法Bを発見する。
  (7)その変換方法Bで式を変換する。
以上を繰り返す。
(8)最終的に、解を与える式を導く。

ガロア理論は、式の変換方法があるか無いかを見通す方法だと思います。

方程式の解き方を極めたい高校生は、式の変換方法がある場合はその変換方法を発見できる程度に勉強した後は、次の段階としてガロア理論を学ぶのが望ましい。
 ただし、ガロア理論を学ぶということは、もはや高校生のレベルを超え、大学生として勉強をすることになります。

 ただし、天才ガロアは大学受験に失敗しました。ガロアの後を追う学生は、その失敗を教訓にして、大学受験の勉強のバランスに気を付けて、ガロアの失敗を繰り返さずに大学受験に成功して欲しいと思います。

 ガロアは天才ですが、多くの先人の数学を学んで自分の数学を作っていきました。 ガロアは、アーベルによる、5次方程式の解がベキ根を使って表せない(いわゆる、5次方程式の解の公式が無い)証明を改善した。

 ガロアの業績は、方程式の可解性を完全に理解できるようにする群論を提供したことにある。
 こうして、5次方程式には、ベキ根を使った解の公式は有り得ないことが証明された。
 更に、現代数学では、ガロアの群論の発展の成果として、5次方程式の解の公式を、楕円モジュラー関数というものを使って書き表すことができた。

参考:「アーベルの証明」ピーター・ペジック(著)山下純一(訳)日本評論社(2005年3月出版)

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カレンダ
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