高校数学(式と証明・複素数)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年06月17日(Sat)▲ページの先頭へ
方程式の有理数解の有無の判定
 最高次の係数が1である整数係数方程式が有理数の解を持つ場合、その解は整数解になる。
これを利用して、整数係数の方程式が有理数解を持つか否かを素早く見極めることができる。

以下の例題で、方程式の有理数解の有無の素早い判定方法を示す。

【例題1】
 以下の方程式1は有理数解を持たないことを確認せよ。

【解答】
 式1を、以下のようにして最高次の係数が1である整数係数方程式に変換する。
とする変数wを用いて、式1を以下の式3に書き変える。
 この式3は、最高次の係数が1の整数係数方程式であるので、式3が有理数解wを持つ場合、その解wは整数解になる。
ここで、式3を変形すると、以下の式4が得られるので、式3が整数解wを持つ場合、その解wは2の倍数になることがわかる。
 この結果、式1が有理数解xを持てば、その有理数解は、式2により、以下の様に整数解になる。
ここで、式1を変形すると、以下の式6が得られるので、式1が整数解xを持つ場合、その解xは1の約数で、1か−1になることがわかる。
この、x の解の候補1と−1のどちらも式1の解にならない。

よって、方程式1は有理数解を持たない。
(確認おわり)

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2017年05月21日(Sun)▲ページの先頭へ
指定された複数の解を持つ高次方程式
(2つの多項式の最大公約多項式を求める問題)

 次数の大きい方の多項式 f を、次数の小さい方の多項式 g で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 g を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

 この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題1】
 以下の多項式 f の方程式1が、式2の2つの解を持つように定数aとbの値を定めよ。

(解答の方針)
 式2の2つの解を持つ2次の多項式 g を作ると、多項式 f が多項式 g で割り切れる。それで、その様に割り切れる条件を求めれば解が得られる。

【解答1】
 先ず、式2の2つの解を持つ2次の多項式 g を作る。
 多項式 f を多項式 g で割り算して余りの多項式 h =0 になる条件を求める。
多項式 h =0 になる条件を求める。
(解答おわり)

【解答2】
 この問題は、式2の2つの値をそれぞれ式1に代入して2つの式を作り、その2つの式を連立して解くことができる。
(この計算方法の方が一般的な解き方であるため、この計算方法を先に書いた方が良かったかもしれません。)

(1) 先ず、第1の解を式1に代入して、計算して式6を作る。

(2) 次に、第2の解を式1に代入して、同様に計算して式7を作る。
 式6と式7を連立してaとbの値を求める。
 (解答おわり)

(補足)
 解答2の方が一般的な解き方ですが、解答1の方が楽に計算できました。
 この種の問題を解く場合は、解答1の解き方を、計算が楽になるのでお勧めします。

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2017年05月19日(Fri)▲ページの先頭へ
2つの多項式が共通因数を持つ問題
(2つの多項式の最大公約多項式を求める問題)

 次数の大きい方の多項式 f を、次数の小さい方の多項式 g で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 g を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

 この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題1】
以下の多項式 f の方程式1と多項式 g の方程式2が共通の根を1つ以上持つように定数aの値を定めよ。

(解答の方針)
 この問題で、多項式 f の方程式1と多項式 g の方程式2が共通の根を持つということは、多項式 f と多項式 g が共通因数(x−u)を持つことを意味する。
 共通因数を持つ2つの多項式にユークリッドの互除法を適用すると最終的に定数項になる余りが0になる。
(最後に式を割り切ってその余り0を得る原因の多項式が最大公約多項式です。)

【解答】
 先ず、多項式 f を多項式 g で割り算して余りの多項式 h を計算する。
次に、多項式 g を多項式 h で割り算して余りの定数項 k を計算する。
多項式 f と g が共通因数を持つ場合は、最後に計算した余りの定数項 k は0になる。
よって、以下の式が成り立つ。
(解答おわり)

(補足)
 この計算の式3であらわされる多項式 h が最大公約多項式です。
この最大公約多項式は、aの値に従って以下の式6になる。

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2017年05月14日(Sun)▲ページの先頭へ
高次方程式の解き方のパターン
高次方程式の解き方のパターンの研究
この研究結果がガロア理論だと考えます。

天才ガロアは、高次方程式を、以下のパターンで解いたと考えます。

(1)高次方程式がある。
(2)式の変換方法Aがある事を確認する。
 (3)その変換方法Aを発見する。
  (4)その変換方法Aで式を変換する。
(5)式の変換方法Bがある事を確認する。
 (6)その変換方法Bを発見する。
  (7)その変換方法Bで式を変換する。
以上を繰り返す。
(8)最終的に、解を与える式を導く。

ガロア理論は、式の変換方法があるか無いかを見通す方法だと思います。

方程式の解き方を極めたい高校生は、式の変換方法がある場合はその変換方法を発見できる程度に勉強した後は、次の段階としてガロア理論を学ぶのが望ましい。
 ただし、ガロア理論を学ぶということは、もはや高校生のレベルを超え、大学生として勉強をすることになります。

 ただし、天才ガロアは大学受験に失敗しました。ガロアの後を追う学生は、その失敗を教訓にして、大学受験の勉強のバランスに気を付けて、ガロアの失敗を繰り返さずに大学受験に成功して欲しいと思います。

 ガロアは天才ですが、多くの先人の数学を学んで自分の数学を作っていきました。 ガロアは、アーベルによる、5次方程式の解がベキ根を使って表せない(いわゆる、5次方程式の解の公式が無い)証明を改善した。

 ガロアの業績は、方程式の可解性を完全に理解できるようにする群論を提供したことにある。
 こうして、5次方程式には、ベキ根を使った解の公式は有り得ないことが証明された。
 更に、現代数学では、ガロアの群論の発展の成果として、5次方程式の解の公式を、楕円モジュラー関数というものを使って書き表すことができた。

参考:「アーベルの証明」ピーター・ペジック(著)山下純一(訳)日本評論社(2005年3月出版)

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2017年05月09日(Tue)▲ページの先頭へ
xの最高次の係数が1の整数係数方程式の有理数解は整数解になる
【問1】
 次の、最高次の係数が1である整数係数方程式1が有理数の根(r/p)を持つ場合、その根(r/p)は整数解 r になることを証明せよ。
(ただし、rとpは互いに素な整数とする。
また、a,a,aは整数とする。)

【解答】
 式1のxに(r/p)を代入する。
この式3をp倍する。
 この式4が成り立つためには、
P=1,  (5)
であることが必要である。
よって、(r/p)=整数 r である。
(証明おわり)

【問2】
 問1における、方程式1の整数の根 r は、整数aの約数になることを証明せよ。

【解答】
 式1に根の整数rを代入する。
 この式6を変形して式7を得る。
式7は、式8のように、整数rと整数sの積の形をしている式である。
よって、 根rは、整数aの約数である。
(証明おわり)

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2017年05月03日(Wed)▲ページの先頭へ
既約多項式が他の多項式と因数を共有しない不思議
(2つの多項式の最大公約多項式を求める問題)

 次数の大きい方の多項式 f を、次数の小さい方の多項式 g で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 g を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

 この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題1】
有理数係数では因数分解できない(既約)多項式 f と、それより次数の低い他の多項式 g との最大公約多項式を求めよ。

【解説】
 このfの式1は係数が有理数の式です。この式1は無理数を使わないと因数分解できません。
f の式は、有理数係数の式には因数分解できない多項式=(有理数係数における)既約多項式です。
f の式は無理数を使えば、以下の式に因数分解できます。
更に複素数も使えば、4つの1次式の積に因数分解できます。

g の式2も係数が有理数の式です。
ここで、gの式の係数が有理数で、かつ、fの式1より次数が低い式であるならば、
そのgの式は、決してfの式の因数を持ちません。

その理由は、(有理数係数の)既約多項式fと、それより次数の低い(有理数係数の)任意の多項式gとの間には以下の関係があるからです。

(関係3)
有理数係数のある多項式hと、ある多項式kを使って、
f・h+g・k=1 (3)
という恒等式を作ることができます。

この場合に、以下の仮定1をしてみます。
(仮定1)多項式fと式gは、複素数のαであらわした共通する因数m=(x−α)を持つと仮定する。

すると、式3は、以下の式に変形される。
m・f2・h+m・g2・k=1,
ここでf2とg2は、それぞれ、複素数係数の多項式。
m(f2・h+g2・k)=1,
(x−α)(f2・h+g2・k)=1, (4)
この式4の形をした恒等式は有り得ない。

このように、仮定1が矛盾を生むので、仮定1は成り立たちません。
よって、恒等式3が成り立つならば、
多項式fと式gは、複素数の範囲で因数分解して比較しても、共通する因数m=(x−α)を持つことができない。

 このように、(有理数の係数だけの式には因数分解できない)既約多項式fと、他の有理数係数の多項式gとの間には、複素数の因数も共有しないという不思議な関係があります。

【例題1の解答】
 式3を証明するのは、計算量が多すぎますので、
例題1の解答の最大公約多項式を計算します。
そして、その解答の計算を利用して、例題1の場合に式3が成り立つことを示します。

(解答開始)
ユークリッドの互除法で多項式fとgの次数をどんどん下げていきます。
こうして、最大公約多項式は、−11/8=定数であることが分かりました。
最大公約多項式=定数。
(解答おわり)

例題1の解答はこれでおわりですが、
次に、以上の計算を利用して、例題1の場合に式3が成り立つことを示します。
この式9が、例題1の場合における式3です。

 例題1の場合には、式3の恒等式(式9)が成り立つことがわかりました。
 この恒等式9(式3)は、(有理数の範囲での)既約多項式 f (式1)と多項式 f より次数の低い(有理数の範囲での)任意の多項式 g (式2)の間に、いつも成り立ちます。

 その理由は、(係数が有理数の)既約多項式 f というものは、 f より次数が低い(係数が有理数の)公約多項式が定数、すなわち0次の式になる多項式のことだからです。

 (係数が有理数の)既約多項式 f の(係数が有理数の)公約式が定数以外には有り得ないので、当然に、既約多項式 f が、多項式 f より次数の低い(係数が有理数の)任意の多項式 g との間で持つことができる(係数が有理数の)最大公約多項式は定数になる。

 それゆえ、(係数が有理数の範囲の)既約多項式 f と、多項式 f より次数が低い(係数が有理数の範囲の)任意の多項式 g の間で、いつも恒等式3が成り立ちます。

 恒等式3が成り立つ結果、先に示したように、
(有理数の係数だけの式には因数分解できない)既約多項式 f は、他の f より次数の低い任意の有理数係数の多項式gとは、複素数の因数も共有しない。

 また、別の視点から考えると、
既約多項式 f の複素数の範囲の因数の少なくとも1つを含む多項式であって、有理数係数の多項式 p がある場合、
その多項式 p は、 f によって割り切られる。
 それゆえ p は f の全ての因数を含む。
(この証明)
 (仮定)その有理数係数の多項式pが f の全ての因数を含まなかったと仮定すると、その多項式pと既約多項式fとにユークリッド互助法を適用すると、多項式pと既約多項式fの共通因数のみを含む式が有理数係数の多項式で抽出されることになる。
 そのようなことになると、その抽出された多項式で多項式fを割り切れることになり、多項式fが既約多項式であることに反する。そのため、仮定が成り立たない。
 よって、その多項式  p は f の全ての因数を含む。

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2017年04月17日(Mon)▲ページの先頭へ
高次式の因数分解
【問題】 以下の5つの高次多項式を因数分解した式がある。
それぞれの式について、その式が成り立つ事を示せ。
(式5の解き方については、ここをクリックした先のページに解答を書きました)

(コメント)この問題は、
「代数入門 (現代数学への入門) 」(上野 健爾(著)岩波書店)
から引用しました。

  「代数入門 (現代数学への入門) 」の本の前半は高校数学を教えていますので、前半は高校生が読めます。後半は大学生向けですが、高校生でも十分に数学を研究したい学生は大学入学を待たずに読んで良いと思います。
 後半の内容は、「群論」が説明されています。

(本ブログによるエピソード)

 1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。
ガロアが執筆した論文が不運によって2度も紛失した。 その後、ガロアは、デモ活動で逮捕され、禁固6ヵ月の刑を受けた。刑期の仮出所の間に、決闘によって死んだ。(21歳)
不良学生であったが、彼の代数学が、もっと正当に扱われていたら、結果は大分変っていたのではないかと悔やまれる若き天才だった。


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2017年04月16日(Sun)▲ページの先頭へ
平方根の式を多項式に変換する
【問題1】 以下の二次方定式1が成り立つとき、平方根の式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式1を変形する。
(解答おわり)

(コメント)
 この計算以外の方法では、以下の計算のように、
(1)式1を解いてαを求めて、
(2)その値を√αに代入することで二重根号の式を求め、
(3)その二重根号を外して答えを求めることもできる。
 それに対して、上の解答の式の計算では、
(1)途中の式3の左辺のαの係数の二乗根が二重根号にならないので、式4に二重根号が出てこない。
(2)この式4に式1で得たαを代入した値も、二重根号を使わないであらわすことができる。 
 すなわち、式4を求めてから、式1の解のαを式4に代入した値を求めることで、二重根号を外す計算をしないで答えが得られる。

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2017年04月11日(Tue)▲ページの先頭へ
平方根の式を多項式に変換する問題
【問題1】 以下の式1が成り立つとき、平方根の式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式4を計算する。
(B)次に、(α−2)を計算する。
 式1を(α−2)で割り算した式を作り、変形することで(α−2)をあらわす以下の式5を計算する。
式4と式5を式3に代入する。
以上の計算で根号を外すことができた。

次に、この分数式を普通の多項式に変換する。

(C)先ず、1/(α−1)を計算する。
 式1を(α−1)で割り算した式を作り、変形することで1/(α−1)をあらわす以下の式7を計算する。
(D)次に、1/(α+1)を計算する。
 式1を(α+1)で割り算した式を作り、変形することで1/(α+1)をあらわす以下の式8を計算する。
式7と式8を式6に代入する。
(解答おわり)

【解答のブラッシュアップ】
 先の解答は、計算の発想順が明確で良い解答だと思います。しかし、計算の手順に無駄がありました。
式4を導く計算部分を以下のように変えると、分数式を経由せずに解答することができます。
そのようにして、解答を書き直すと、
以下のように解答できます。

(解答はじめ)
問題の式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式10を計算する。
(B)次に、(α−2)を計算する。
 式1を(α−2)で割り算した式を作り、変形することで(α−2)をあらわす以下の式11を計算する。
 式10と式11を式3に代入する。

(解答おわり)

次に、この問題をより一般化した問題を解く。
【問題2】 以下の式1が成り立つとき、平方根の式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
問題の式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式4を計算する。
(B)次に、(α−2)を計算する。
 式1を(α−2)で割り算した式を作り、変形することで(α−2)をあらわす以下の式5を計算する。
式4と式5を式3に代入する。
 計算をここで終えた方が答えの式が簡易な式になる。
(解答おわり)

(補足)
上の計算で、式4から6までの計算を以下の式7から9までの計算に変えた方が、より簡単な式で答えをあらわすことができると考える。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
(B)次に、(α−2)を計算する。

式7と式8を式3に代入する。
(解答おわり)

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2017年04月10日(Mon)▲ページの先頭へ
分数式を多項式に変換する問題
【問題】 以下の式1が成り立つとき、分数式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式1を(α+1)で割り算した以下の式3を計算する。
この式3を使って、式2の分子の値1を(α+1)の倍数の式に置き換える。
(解答おわり) 
 
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2017年03月21日(Tue)▲ページの先頭へ
二項定理に関連する公式
二項定理は、例えば:
(x+1)
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

x=1とおけば、上の式1のように、2が組合わせの数の和であらわされます。
上のように式1が得られたので、この式1を覚えろと言われます。

しかし、数学のセンスのある学生ならば、ここで、何となくうさんくさく感じて、素直にはこの式1を覚える気にはならないと思います。
(そのうさんくささを感じる嗅覚が数学的センスです)
この公式がうさんくさいので、先ずは、具体的な場合を調べて、本当に式1が成り立つのかを具体的に調べます。
何と!全部成り立っているではないですか。

しかし、それでも納得いかないので、この式1が別の方法で証明できるならばこの式1を覚えても良いと考え、別の証明方法が無いか調べてみます。
(その調査をすることが数学を勉強するということだと考えます)

そのために、組合せの数の式の定義を使ってこの式1を証明する方法を探してみます。
先ず、 組合せの数の式の変形可能性を調べます。
上のように、組合せの数には、式2の関係があることを確認できました。
(この式2は覚えておきましょう)
この式2を使って、もう少し調べてみます。
この式3も成り立つことが分かりました。
この式3を使うことで、組合せの数を、そのパラメータnをどんどん減らした式に変換でき、下の図の関係があります。
(便利なので、この式3を覚えましょう)
下図では、各行の各が、式3に従って、その下の行の2つの項の和であらわされます。
上の図で、下方の行の各項が上方の行で2回使われています。そのため、上方の行の値は下方の行の値の2倍です。
それゆえ、式1が成り立ちます。
(式1の証明おわり)

こうしたやり方で、
「納得した後で初めて式1を覚えることにする。」
という勉強方法は間違っていないと私は考えます

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2017年03月20日(Mon)▲ページの先頭へ
二項定理
二項定理は、例えば:
(x+1)
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

の係数は、(x+1)の6つの項の積において掛け合わされる数の組み合わせが2個あるうちの、xを2つ選ぶ組合せの数=6*5/(2*1)になります。

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2017年03月10日(Fri)▲ページの先頭へ
ユークリッドの互除法で最大公約多項式を求める
(2つの多項式の最大公約多項式を求める問題)

 次数の大きい方の多項式 f を、次数の小さい方の多項式 g で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 g を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

 この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題1】
以下の多項式 f と g の最大公約多項式を求めよ。

【解答】
 この場合は、多項式 f が、多項式 g で割り切れましたので、多項式 g が最大公約多項式です。
(解答おわり) 

(補足)
 ユークリッドの互除法で、多項式を多項式で割り算していくと、最終的な余りが定数になります。
(1)その余り定数が0の場合は、その0を余りにするように、多項式を割り切った式が、最大公約多項式です。
(2)その余り定数が0で無い場合は、最大公約多項式は存在しない。あえて言えば、最大公約多項式は「定数」である。

【例題2】
以下の多項式 f と g の最大公約多項式を求めよ。

【解答】
多項式 f を、多項式 g で割り算して余りの式=2hを得ました。
次に、 多項式 g を、多項式 h で割り算します。
この場合は、多項式 g が、多項式 h で割り切れましたので、多項式 h が多項式 f と多項式 g の最大公約多項式です。
(解答おわり)

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2016年09月11日(Sun)▲ページの先頭へ
整式の除法(2)
私が提案した、融通がきく整式の除法の計算において:
割る式が複雑になった場合は、以下の様に計算すれば良いと考えます。
上の方に書いたsの定義の式(s≡2x−3x+1)を、計算の進行につれて、現在書いている式のなるべく近くに表示するために、時々は、sの定義の式を再度書いて見やすくした方が良いです。
こうして、元の式に少しずつ s を注入して計算します。

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2016年09月07日(Wed)▲ページの先頭へ
整式の除法
整式の除法は、以下の様に計算するように教わります。
 この様に計算するのは分かりやすいのですが、
以下の様に計算する方が、もっと計算に融通がきく優れた方法ではないでしょうか。
この式の様に計算を整理してみると、整式の除法の計算というものは、元の式に少しずつ s=x−1 を注入する計算方法だと分かります。

以下の様な式の除法の場合には、十分融通性を利かせることが必要で、こちらの計算方法を用いた方が良いと考えます。

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2016年04月29日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面を使うとベクトルの計算が楽になる
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html
複素数平面を使えばベクトルの計算が楽になります。
以下の難問を、複素数平面を利用して、ベクトルの内積を使って解きます。

【難問】三角形ABCにおいて
2cosA+cosB+cosC=2 (式1)
が成り立っていれば、
2sinA=sinB+sinC (式2)
が成り立つことを証明せよ。

(注意)この問題は、「加法定理」の例題として出されていましたが、
必ずしも加法定理を使って解くものとは限らない。
以下に説明する証明の計算で加法定理は使わないで証明する。
そして、三角形の正弦定理sinA/|a|=1/(2R)・・・を使うことが、解答のために本質的に重要。

【重要な注意】
式1のcosの式を、加法定理その他の三角関数の変換定理で変換しても、式2に至りません。そのように、三角関数の計算の自由度は低いです(加法定理などで変換できる式も少しはありますが)。
そのため、三角関数(特に三角形の角度の三角関数)問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やxy座標の式に変えて計算する必要があります。

(予備知識)
受験問題のときは、三角形の角度のsin、cos(三角関数)の式の証明問題は、三角関数の式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。ベクトルを利用して図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
2sinA=sinB+sinC (式2)
を直接証明しようとする前に、この式を、図形の問題として、わかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

三角形の正弦定理sinA/|a|=1/(2R)・・・を使うと、
2sinA=sinB+sinC (式2)
は、以下の式に書き直せます。
2(|a|/(2R))=(|b|/(2R))+(|c|/(2R))
2|a|−|b|−|c|=0 (式3)
問題がここまで易しくなります。
三角形の辺の長さの関係の式3を証明すれば良いです。

(式1の変形の方針)
正弦定理を使って、証明するべき式2のsinを消去して易しくしたように、複素数平面上でのベクトルの内積の式を使って、元の条件の、式1のcosを消去します。

この式を使って、式1を以下のように書き直します。
これにより、式1から式3が導けた。
(ただし、ベクトルbとベクトルcが同一方向を向いて∠A=0の場合も解になります。)
(解答おわり)

(コメント)
 以上の計算はベクトル記号を使って計算を記述して解答できます
 しかし、複素数平面上でベクトルを複素数で記述して計算する方が、(ベクトルの"→"記号を書く必要が無いので)式を書くのが楽になり、便利です。

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ベクトル記号を使った解答
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2016年04月17日(Sun)▲ページの先頭へ
(5)複素数平面での円と直線の交点の別解
http://schoolhmath.blogspot.jp/2013/07/blog-post_28.html

大学への数学(旧数B:複素数)の勉強 

【問1】
下図のように複素数平面に、原点を中心とする半径1の円がある。
そして、複素数平面に描いた直線上の点をあらわす複素数z=x+iyとあらわす(xとyは実数とする)とする場合に、直線上の点のxとyの関係がax+by=1であらわされるものとする。
その直線とその円との交点BとCの点をあらわす複素数を求めよ。

(地道な計算練習を心がけよう)
 直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
(1)方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。

(方程式を計算するコツ)
 記号xやyには[長さ]を単位にする記号を使いたい。

 方程式では、足し合わされる項は必ず単位の同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違っている式は誤りです。
 上の図の式において単位の食い違いを生まないためには、上の図の記号xとyには[長さ]の単位が与えられず、xとyは単位の無い無次元量とするしかありません。

 記号xやyを[長さ]を単位にする記号にするために、以下の図のように数式を定義して、記号xとyに[長さ]の単位を与えて問題を解くことにします。 

 この図のように記号を定義すると、
記号x,y,a,b,rに[長さ]の単位を与えることができます。
(なお、単位が無い無次元量の記号 t には目印を付けて分かりやすくします。)  

 こうして記号に[長さ]の単位を与えた方程式では、足し合わされる項は必ず単位が同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違った式は誤りです。
 この単位の食い違いをチェックすることで式の計算間違いを発見し易くなるので、こうするととても良いです。

(先ず、方程式を書きます)

式(2)に式(1)を代入して計算します。


 この最後の式の第1項が複雑なので、第1項を新たな記号の項に置き換えます。

 その置き換えに用いる新たな記号は、その記号の値の単位を最小単位の[長さ]にする方が良い。
 それは、式の記号を[長さ]の単位を持つ記号に揃えると、式の計算ミスによる単位の食い違いを発見し易くなり都合が良いからです。
 そのため、単位が[長さ]の記号Rを以下の様に定義して、その記号Rを使って第1項を簡単化します。
以下で、記号Rを使って第1項を簡単化します。

この式の右辺の分子=
この結果を使って上の式を簡単化します。
 
 次に、1−tも計算しておきます。
次に、tと(1−t)を使って、zをあらわします。
このように地道に計算して、交点AとBの座標が求められた。
(解答おわり)

 以上の、複素数平面における地道な計算は、複素数平面を使わないで従来の座標系で行なう地道な計算よりも楽になりました。
 そのため、複素数平面は高い価値を持つと考えます。

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高校数学の目次


2015年12月06日(Sun)▲ページの先頭へ
複素数平面の公式を覚える(つづき)
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数の計算を推進する以下の公式も覚えましょう。

 複素数平面の計算の公式は、出会った問題をエッセンスだけに単純化して本質を見え易くして見つけます。
 自分で公式を発見するのは、複雑な現象を単純化して本質を見えやすくする作業の結果です。

上の公式を覚えてください。

上の公式を覚えてください。

上の公式を覚えてください。

絶対値1の複素数αとβの複雑な式で表したuとwに関する上の公式を覚えてください。
 この公式の証明は、以上の図形的な意味を使って、w=iuであることを利用して図形を利用して証明するようにして下さい。
 その理由は、この公式を図形を使わないで証明しようとすると、一瞬で証明することができず、以下の証明のように手数がかかるからです。
 (証明終わり)

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2015年06月14日(Sun)▲ページの先頭へ
三角形の辺と角の等式を複素数平面で証明



「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題を複素数平面を利用して解きます。

【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)−b・cos(A))=a2−b2  (1)
  この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した以下の(式2)を考えます。
c(a・cos(B)−b・cos(A))−{a2−b2}=0 (2)

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。

以下では、この問題を以下の複素数平面の図を利用して証明します。
以下の図のa,b,cは複素数とし、上式のa,b,cは|a|,|b|,|c|に書き直して計算します。
 上の(式2)の左辺は、以下のようにあらわして計算できます。
証明おわり。

(補足)以上の計算は、途中から、以下のように計算する方が無理が無く計算できます。


 この問題は複素数平面(又はベクトル)を利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積をあらわす複素数平面のRe()の計算式を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学[三角比・図形]一覧
リンク:高校数学の目次



2015年06月12日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面の公式を使ってベクトルの難問を解く


ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと易しく解ける場合がよくある。

【ベクトルの難問】
 下図のように半径rの円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。

【解答】
 この問題は、ベクトルの難問ですが、

複素数平面の計算公式
を適用すると、以下の様に簡単に解けます。
上図において、
という関係があることに注目し、
複素数平面の計算公式を適用する。
 よって、式(1)が成り立つことが証明できた。
(解答おわり)


 以上のように、複素数平面の計算公式により、式(1)の関係を簡単に求めることができました。

 ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと簡単になる場合が多いです。

リンク:
ベクトルの難問の強力な解答手段
複素数計算の公式を覚える
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2015年06月05日(Fri)▲ページの先頭へ
複素数平面が、円の2つの接線の交点問題を簡単にする



複素数平面が、円の2つの点の接線の交点を求める問題を簡潔明瞭にする。

【問】
 複素数平面上の原点Oを中心にする半径1の円に対して、
その円上の点zから引いた接線と、
点zから引いた接線の交点の位置ベクトルを複素数であらわせ。

(接点の式)

 この問題は、上図のように複素数平面を使って、簡潔明瞭にあらわせます。
 2接線の交点Pの位置座標は、2接点の中点Mの位置によって定まる。
 しかも、その中点Mの位置ベクトルmと交点Pの位置ベクトルpは平行である。
 このように複素数平面であらわして考えると、2接線の交点を求める問題を、2接点の中点Mを求める簡単な問題に変換できます。

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複素数計算の公式を覚える
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数の計算を推進する以下の公式を覚えましょう。

 複素数平面の計算の公式を覚えると計算が推進されます。
以下の公式は、必ず覚えてください。
以下の公式も覚えてください。
以下の公式も覚えてください。

(この公式の証明は、ここをクリックした先にあります)

以下の公式も覚えて、計算を推進させてください。
また、以下の公式も成り立ちます。
 以上の公式は使う場合が多いと思いますので、覚えておいて、計算の中で必要に応じてすぐ使えるようにしておいてください。

 以下の公式も使う場合が多いと思います。
また、以下の式も大切です。

先の式から、以下の式が成り立ちます。
(上の式で、上から2行目の式と3行目の式は、|α|=|β|の場合には、右辺が第1項のみになります。それを利用して、以下の公式が使えます。)
 実数係数kを利用してβを下式のように絶対値がαと同じ複素数β’であらわします。

同様に、以下の公式も使えます。
ただし、kは、βを以下の関係のβ’に置き換える実数係数です。

 以上の式に対しては、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、以下の式の左辺が変化しないので、以下の式が成り立ちます。

 以下の公式も計算の推進の道具にしてください。
上の式に対しても、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、最初の式が変化しないからです。

 以下の公式は、使う場面が少ないので無理に覚える必要は無いと思いますが、このような形に式が変形できるように頭を柔らかくする発想の練習をしておきましょう。



 また、以下の「2複素数の非対称共役化」公式も、覚えるというよりは、スラスラ計算して導き出せるように練習しておくと便利だと思います。

(条件)複素数αとβの絶対値が等しい場合:
以下の公式が成り立つ。



これらの「2複素数の非対称共役化」公式は、以下の問題例の様に使うと良いと思います。
(問題例1)ベクトルの難問を解く
(問題例2)円周角の定理を示す

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2015年05月23日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数平面での正5角形の求め方



【問2】X=1の解を求めよ。
−1=0

この方程式の5つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、X−1=0
の5つの解です。

は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに2π/5ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に2π/5ラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

それらの解は、の累乗であらわせます。
=X
=X
=X
です。


ここで、一旦、この問2から離れて、
5次方程式の根と係数の関係の1つの以下の関係について考察します。


この関係を整理すると、以下の式になります。
このように定理が得られたのですが、この定理を証明せよと求められたら、証明のし方が以下の2つあります。
【解1】
 式@から式Aを導く。
(これは、既に示しました。)

【解2】
 以下のようにして、絶対値が1の複素数Xを基準にした式を使って証明できます。

この解き方をすることで以下の教訓が得られました。
「この問題は、絶対値が1の複素数Xを基準にして、全ての解をXの累乗に置き換えた式を使うときれいに解ける。」

更に、次の定理も証明しましょう。

【問3】 
【解】
先ず、以下の置き換えをします。
以下のように式を変形します。
この問題も、絶対値が1の複素数Xを基準にして、全ての解をXの累乗に置き換えた式を使うときれいに解けました。

次に、問2に戻って、5次方程式の解き方を考えます。
【問2】
このように因数分解できたので、以下の4次方程式Bを求める問題に変わりました。
この4次方程式Bを2つの2次方程式に因数分解して問題を解く方法があります。
それは力仕事の計算になると思います。

一方、今までに得た知識を使って、以下のように解くと、
2次方程式を解く計算になるので、
少し楽のように思います。
定理1(式A)を使うと、以下のように問題が解ける利点があります。

この式Aを、cos(2π/5)=tであらわした式Cに書き換えます。
(注意)
 ここで、式Aを、cos(4π/5)=tであらわした式に書き換えた場合も、
その場合に(2t−1)のあらわすcos(8π/5)がcos(2π/5)に等しいので、
式Aから作るその式も式Cと同じ式になります。

 それを理解しているならば、
すなわち、
「この式Cは、tの解が
cos(2π/5)とcos(4π/5)とを解に持つ式である」
ことを理解しているならば、
この式Cから、cos(2π/5)とcos(4π/5)との2つの解を得ることができます。

 以下では、それを理解していない場合の、
(それでも正しい解答ですが) 解答を書きます。
この式のtを与える2つの解のうちからcos(2π/5)をあらわす適切な解を選びます。
--(注意)-----------
ここで、二重根号が出て来たので、この二重根号は外すことができるか以下のチェックをします。
10−4×5=80⇒平方根が無理数になる、
ので、この二重根号は外せません。
-------------------

これで1つの解が得られました。
この解に式Aを使うと、
もう1つの解の実数成分cos(4π/5)が得られ、
その虚数成分も計算することでもう1つの解も得られます。

この2つの解の共役複素数が残りの2つの解になります。
こうして、全ての解が求められます。

この解き方の方が、4次方程式Bを因数分解して解くより少し楽なのではないかと思います。
(人により、どれが楽な解き方か個人差があるかもしれませんが)

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2015年05月19日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面のベクトル方程式



複素数の方程式は複素数平面のベクトル方程式になります。

【問】複素数αとβに関して以下の式が成り立つとき、複素数αとβそれぞれが複素数平面上で描く図形を求めよ。

この問題も、できるだけ解答を見ずに自力で解くよう努めて下さい。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。


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2015年05月15日(Fri)▲ページの先頭へ
自分だけの公式を覚える(3)
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

自分だけの公式を作って覚えましょう。

 複素数平面で直線の外の点Pから直線に下ろした垂線の足HまでのベクトルPHをあらわす問題を解いて、その答えを自分だけの公式にして覚えてしまいましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

 数学の勉強において、この自分だけの公式を覚える事は、計算ミスを避けるための計算のショートカットです。数学の勉強における重要性は少ないのですが、センター試験対策として計算ミスを減らす役には立ちます。

【自分だけの公式(3)】
この公式を覚えると、計算が速くなり計算ミスが少なくなります。

 この公式は、点Pから直線までの距離の公式を、直線に垂直な方向を持つベクトルで、その距離の長さを持つベクトルの公式に変換したものです。

(補足)
 数学の計算力をつけるには、この公式を覚えるよりは、この公式を導くための
「最初に式を書き始めるところの、式の形」
を覚える方が良いと思う。
 どのような形に式をまとめて、式を書き始めるか、そこが、数学的には意味が深いと思う。
 正しく数学を学ぶために、この、
「式の書き始め」
こそを覚えてほしいと思う。

(重要なアドバイス)
 数学の公式は、すぐには覚えられないことが多いです。
この改善策は、以下のようにすることで、ただちに公式を覚えたのと同じ状況に入れます。
(1)その公式が存在する事を覚えること。
(2)公式を導くための出だしの式を覚えること。
−−これは、すぐ覚えられますよね−−
(3)公式が必要になった時に、計算用紙を使って、公式を導く出だしの式から始めて、ただちに計算して公式を導き出すこと。

 おぼえようとする公式は、みな、このパターンを使って、ただちに公式を覚えたのと同じ状況に入ってください。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年05月10日(Sun)▲ページの先頭へ
放物線の極と極線の問題



放物線の極点と極線の関係を求める問題では、複素数平面は使わないこと。

【問1】
 放物線y=xの外側の点W(極)から放物線に引いた接線の接点をAとBとする。接点AとBを結ぶ直線(極線)の方程式を求めよ。

【解】
 この解は、以下のようにして解けます。
 この解き方を複素数平面を使って行うと計算が複雑になってしまいますので、複素数平面は使わないようにしましょう。
(注意)上で得られた式が点Aでの接線の公式であると教えられていますが、この結果を公式として覚えるよりは、上の赤枠で囲った、「接線の公式」を導出する過程の方をしっかり覚えて下さい。

 計算を続けます。
 これで、接点A,Bを結ぶ直線の方程式が得られました。

 こうして、極点Wに対する放物線の極線の方程式がスムーズに求められました。

 しかし、この計算を複素数平面で行なおうとすると、この計算の単純さが失われてしまいます。
 この問題を解くためには、複素数平面は適さないので複素数平面は使わないようにしましょう。

【問2】
 直線y=sx+tと放物線y=xの交点A,Bから放物線の接線を引いたとき、その2つの接線の交点W(極点)を求めよ。

【解】
 この問題は、以下のように解くと楽だと思います。
(複素数平面は使わないこと)
以上のようにして、スムーズに、
極点Wの座標が極線の式のパラメータであらわせました。

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2015年05月09日(Sat)▲ページの先頭へ
複素数平面で双曲線の特徴を表現する



複素数平面で見た双曲線の特徴も覚えておきましょう。

【双曲線の接線の方程式】
−y=1とあらわせる単純な双曲線の場合は、
以下のような面白い性質があります。

(1)この双曲線は、複素数zの式で、
Re(z)=1
とあらわせます。
(2)この双曲線上の点aで接する接線の式は、
Re(az)=1
とあらわせます。
その接線(z点の集合)は、aの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その接線の原点からの距離は、
|a|分の1です。

【極点に対する双曲線の極線の方程式】
(3)この双曲線の外の点zから引いた双曲線への接線の接点aとbを結ぶ線を、
極点zに対する双曲線の極線
と呼びます。

 この極点zと極線との間には、以下の図の関係があります。
極点zに対する極線(a)の式は、
Re(az)=1
とあらわせます。
その極線(a点の集合)は、zの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その極線の原点からの距離は、
|z|分の1です。

 なお、この極線の式は、極点zに関連するきれいな式であらわせますが、接点aとbの式は複雑な式になります。
 そのため、極線を求める問題に直面した場合は、接点の座標を直接に計算しない計算方法で、極線の式を求めるよう工夫してください。(このグラフの極線の式は上の式の通りですので、形が異なるグラフの場合も、この式を導出する方法と類似させた方法で極線を求めてください。) 


【関連する問題】
 −y=1であらわせる双曲線に以下の式であらわされる直線が交差している。
この直線と双曲線の交点2つのそれぞれから引いた双曲線への接線2つの交点(極)を求めよ。

 この問題の解答は書きませんので、自力で解答してください。

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2015年05月06日(Wed)▲ページの先頭へ
複素数平面のグラフの変換方法



【複素数平面のグラフの変換方法】
  以下の方法は、あらゆる形のグラフの変換に応用できる良い方法と考えます。
 この方法では、変換する元の複素数と変換した後の複素数の座標の対応関係も明確という利点があります。

 任意の円のグラフを変換する場合には、以下の様に計算します。
 任意の円のグラフは、このような形の円のグラフに変換できます。


ここでβ=1の場合は、以下の様に直線に変換されます。

β=-1の場合も、以下の様に直線に変換されます。 

 また、変換する元のグラフが直線の場合は、以下の様に円に変換します。

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2015年05月05日(Tue)▲ページの先頭へ
複素数平面のグラフの変換を逆変換で計算する方法



【問】実数の媒介変数(t)を−∞から∞まで変化させたとき、
z=1/(1+i・t) (式1)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

(解答)

【一番簡単な計算方法】
 一番簡単な方法は、先ず、従う条件が決まっている(it)単体をzの式であらわします。
そのzの式に(it)単体の従う条件の式をあてはめます。
それにより、zが従う方程式が求まります。
 この式は、点1からzまで引いたベクトル(z−1)と、原点からzまで引いたベクトル(z)の内積が0であること、すなわち、それらのベクトルが直交することをあらわしている。
 円周角が直角であるため、点zは、z=0とz=1を直径の両端とする円の上にある。
 その円は、点(1/2)を中心にする半径(1/2)の円である。

ただし、式の前提にz≠0があるので、z=0の点は除く。

(注意)tが全実数範囲を動くときzがこの円の全範囲(z=0の点は除く)を網羅することは、図形を解析して確認する必要があります。

(補足)
 図形的意味を考えて、ここで解答が決着していることに早めに気づくようにしてください。
 計算のみで円の式を導き出さなければならない場合は、以下のように計算を続けます。

【共役複素数を使ってグラフを解析する方法に関する本質的な問題点】
 共役複素数を使ってグラフを表現する方法では、以下の双曲線のグラフを変換した場合のグラフの形がどういう形になるかを解析することができません。
 要するに、グラフを複素数zとその共役な複素数で表した場合、そのグラフの形が理解できるのは、答えのグラフが、直線か円かの、よく知られた形のみに限定されます。
 自分の知らないグラフに対しては新しい情報を得ることができないという、有用性が限定された手法です。

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複素数平面のグラフの式を恐れないために



複素数平面のグラフの見慣れない式に出会って動揺しないため普段から見慣れておきましょう。

【双曲線の方程式】


【双曲線の方程式(2)】

(注意)この式の左辺は、
 
となるので、必ず虚数になります。


【放物線の方程式】

 【放物線の方程式(2)】

 【楕円の方程式】


 【共役複素数を併用したグラフ表現の本質的問題点】
 結論から先に言うと、グラフが円か直線、又は双曲線、である場合だけに有効な手法です。
 以下の例のように、双曲線を変換すると円や直線や双曲線ではないグラフが得られます。しかし、そのグラフをこの表現方法で表すことは有効ではありません。

 円や直線や双曲線ではないグラフをzとその共役複素数を用いて表した式からは、そのグラフがどいう形をしているのかを理解するのは、ほとんど不可能に近いです。

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カレンダ
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