高校数学(ベクトル)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年09月20日(Wed)▲ページの先頭へ
外接する平行四辺形の面積の公式
ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a−a
で計算する公式が知られています。
 この平行四辺形に外接する図のような平行四辺形CDEFの面積は、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積の2倍です。
(外接する平行四辺形の面積の公式)

この公式は上図から明らかですが、
以下で、この公式を、ベクトルの計算からも導き出してみます。

(外接する平行四辺形の面積の公式の導出)
先ず、ベクトルA,Bを反時計回りに90度回転したベクトルA,Bを考えます。
そして、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積SをベクトルAとBの外積であらわして、それをこれらのベクトルを使って内積であらわします。
ベクトルCDとCFとそれらのベクトルを反時計回りに90度回転させたベクトルを以下の式であらわします。
次に、ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積を以下の式で計算します。
ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積が、ベクトルAとBが張る平行四辺形の面積の2倍である、以下の公式が得られました。 
(公式の導出おわり)

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2017年09月19日(Tue)▲ページの先頭へ
ベクトルの切替の公式
以下の式のように大きさが等しいベクトルAとBがある場合:
以下の式のように、ベクトルの内積を切り替える「ベクトルの切替の公式」が成り立ちます。
 (公式おわり)

このベクトルの切替の公式を適用する例を以下に示す。
【問1】 
上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
 先ず、ベクトルbとcを、外心から引いたベクトルAとBとCであらわす。
この式を、大きさRが等しいベクトルAとBとCの内積であらわし、式を変換する。
ここでベクトル(B+C)は、以下の図の様に辺BCに垂直であり、長さが2mである。
(証明おわり)

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2017年09月17日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトルの合成の公式
【ベクトルの合成の公式】
以下のベクトルの合成の公式が成り立ちます。
直交する単位ベクトルsとtによって左辺の式で表されたベクトルは、左辺の内積に組み込まれているベクトルzに等しい。

【課題】
ベクトルzと、単位ベクトルaとbと、それらを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbを考える。
ベクトルzは、以下の、ベクトルの分解の公式によって、単位ベクトルaとbであらわせる。
このベクトルの分解の公式を導き出すことを課題として、その解の中で、ベクトルの合成の公式を使う。
 
(解答1)
 ここで、ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
以下の式でベクトルaとbであらわされる単位ベクトルsと、それに垂直な単位ベクトルtを考える。 
 この単位ベクトルsとtでベクトルzを分解する。
ここで、単位ベクトルsとtの各要素は以下の式で与えられる。
式4の中のベクトルの要素をこの式5から8で置き換える。
この式にベクトルの合成の公式を適用する。
こうして得られた式は、当初の公式とはちがうが、この式のベクトルaとbをベクトルaとbに互いに入れ替えた式も成り立つ。
 よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(解答1おわり)

(補足)
 ここで、直交するベクトルsとtを単位ベクトルaと単位ベクトルbであらわし、それらのベクトルでベクトルzを分解して計算すれば、最初に記載したベクトルの分解の公式が直接に求められる。

(1)ベクトルaとbであらわした単位ベクトルsとtで分解した式から求められる式が、
ベクトルzとベクトルaの積の項とベクトルzとベクトルbの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルsとベクトルtの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルaとベクトルbであらわしたベクトルの分解の公式になり、
(2)ベクトルaとベクトルbであらわした単位ベクトルsとtで分解した式から求められる式が、
ベクトルzとベクトルaの積の項とベクトルzとベクトルbの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルsとベクトルtの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルaとbであらわしたベクトルの分解の公式になった。

(解答2)
 回答1で定義した単位ベクトルsとtで、回答1と同様にベクトルzを分解し、次に、ベクトルaの項とベクトルbの項に分ける。
式9の中のベクトルの要素を式5から8で置き換える。
この式の中のベクトルsとtの式にベクトルの合成の公式を適用して1つのベクトルzの式に統合する。
よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(解答2おわり)

(補足2)
 この解答2の計算は、以下の計算をする場合には特に注意する必要がある。
(1)互いに直交する単位ベクトルsとtを以下の式で作る。
 (2)この単位ベクトルsとtでベクトルzを分解する。
この式10は以下の式11に変換できるが、この計算では、ベクトルの要素が所属するベクトルに関する情報が失われている式であるので、次の式11への変換を発想することが難しい。
式10を式11に変換できたら、以下の計算を進めることができる。
この式の中のベクトルsとtの式にベクトルの合成の公式を適用して1つのベクトルzの式に統合する。
これにより最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(補足2おわり)

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2017年09月15日(Fri)▲ページの先頭へ
ベクトルの分解の公式
【課題】以下のベクトルzと、
単位ベクトルaとbと、それらのベクトルを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbがあるとき:
ベクトルzをベクトルaとbであらわす公式を導き出す。

【解法その1】 
 ベクトルaとbを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbを加えて考えると、以下の図の関係がある。
上の図の関係から、ベクトルOZは、以下の式の関係で、ベクトルaとbであらわせる。
この式がベクトルの分解の公式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この公式は、単位ベクトルaとbとaとbそれぞれを、単独に定数倍した任意の長さのベクトルに置き換えても、それらの定数倍の係数が公式の分母と分子で打ち消し合うので、それらの任意の長さのベクトルに関しても成り立つ公式である。


(補足2)
 この公式が正しいか否かを調べるため、ベクトルzをこの公式で分解した式について、以下のように、ベクトルaとベクトルbの方向の成分を計算する。
その結果、それらの方向の成分は、それらの方向のベクトルzの成分に等しいので、この公式が正しいことがわかる。

【解法その2】 
 以下の、ベクトルの係数kとkが未知数であるベクトル方程式1を考える。
 この式1に、係数kを消去するベクトルを掛け算する。
 同様に式1に、係数kを消去するベクトルを掛け算する。
式3と式5で得られたベクトルの係数kとkを式1に代入する。
これにより、ベクトルの分解の公式がえられた。
(解答おわり)

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2017年09月13日(Wed)▲ページの先頭へ
連立方程式をベクトルの内積により計算する
以下の連立方程式を考える。
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積の式5と6であらわすことができる。
この連立方程式を以下のようにしてベクトルを使って解く。

(解答はじめ)
 先ず、式3が成り立つので、以下の式7が成り立つ。
すなわち、ベクトルaとcの和のベクトルと、ベクトルaとcの差のベクトルの内積が0になり、それらのベクトルが互いに垂直である。

 ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
ベクトルaとcの和のベクトルに平行な単位ベクトルsと、
ベクトルcとaの差のベクトルに平行な単位ベクトルtを考える。
ベクトルzを、単位ベクトルsとtに平行な要素に分解してあらわす。
 ここで得られた式8は、ベクトルzの解である。

 この式8をベクトルaの要素とベクトルcの要素で整理すると、もっと複雑な、扱いにくい式になる。
ベクトルは、この式8のように、互いに垂直なベクトル毎にまとめる方が単純な式になる。
この式8が、この計算結果によるzの解をあらわす一番単純な式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この式8が成り立つことは、以下のようにして確認できる。
問題の式5と式6は以下の式に変形できる。
式8が、この式を満足するので、式8が成り立っている。

(補足2)
 この問題のzの解は、以下の式9であらわすこともできる。
この式9は、以上とは異なる発想で解いた結果の式であり、式8と等しい式です。以下の計算によって、式8から式9が導かれます。
こうして、式8から式9が導けました。

 式8も式9も、どちらが優れている(単純な)解だと言うことが出来ない、対等な解です。
 式9は、ベクトルaに垂直なベクトルaと、ベクトルcに垂直なベクトルcを加えてあらわした、使うベクトルの数が多い式ですが、式8よりも計算がし易い式であるとも言えそうです。

この式9は、直ぐには導き出せないので、以下のように整理して公式として覚えておいてください。

【ベクトル方程式の公式1】
以下の連立ベクトル方程式の式a1とa2があるとき:
この連立ベクトル方程式の解は:
である。
なぜなら、式a1と式a2のベクトルzに式a3を代入すると、以下の通り、式a1とa2を満足するからである。
(公式おわり)

【ベクトル方程式の公式2】
以下のベクトルzとaとbがあるとき:
ベクトルaとbを反時計回りに90度回転したベクトルとベクトルbを利用して、以下の関係が成り立つ。
(公式おわり)
 
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2017年09月11日(Mon)▲ページの先頭へ
連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
以下の連立方程式を考える。
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積であらわすことができる。
この連立方程式を解くと以下の解が得られる。
ここで、以下のように、ベクトルaに垂直で長さがaに等しいベクトルaと、ベクトルbに垂直で長さがbに等しいベクトルbを考える。
このベクトルaと、ベクトルbを使って、式5と6の解をベクトルであらわす。
この式7が式3と式4を満足することは、以下の式の計算で確かめることができる。
このように、式7は、式3と4を満足する、連立方程式の解をあらわす。

(補足)
 ここで、以下の式8から10を満足する連立方程式を考える。
この連立方程式の解は式11になる。

 以下のようにしてこの式11を変換する。

先ず、式10が成り立つので、以下の式12が成り立つ。
すなわち、ベクトルaとbの和のベクトルと、ベクトルaとbの差のベクトルの内積が0になり、それらのベクトルが互いに垂直である。

 ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
 先ず、式11の第1項を、その両ベクトルの要素に分解してあらわす。
 次に、同様にして、式11の第2項を、両ベクトルの要素に分解してあらわす。
そして、その第1項と第2項の和でベクトルzをあらわす。
結局、ベクトルzがこの式13であらわされた。
(式の変換おわり)

 この式13は、以下のように考えると、納得できる。

(1)ベクトルaと、ベクトルbは、それぞれ、ベクトルaとbを反時計回りに90度回転させたベクトルとして定義されている。
(2)そのため、式11のベクトルzは、ベクトルbとベクトルaの差のベクトルに平行になり、

(3)それは、ベクトルbとベクトルaの差のベクトルに垂直である。
(4)そのベクトルbとaの差のベクトルは、ベクトルaとbの和のベクトルに垂直であり、
(5)結局、ベクトルzは、ベクトルaとベクトルbの和のベクトルに平行である。

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2017年09月10日(Sun)▲ページの先頭へ
単位ベクトルの要素の2乗の差の公式
単位ベクトルA(a,a)と単位ベクトルB(b,b)について、 以下の公式を証明せよ。

【問1】以下の公式を証明せよ。
− a =a−b


(証明開始)
− a
= a +(a−a) −a
=a(b+b) −(a+a)b
=a−b
=−a+b
(証明おわり)


【問2】以下の公式を証明せよ
− a =a−b

(証明開始)
− a
= a +(a−a) −a
=a(b+b) −(a+a)b
=a−b
=−a+b
 

(証明おわり) 

これらは、公式として覚えてください。
(これらの単位ベクトルの要素をsinとcosであらわして公式をあらわすこともできます。) 

 式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、すぐ、このように式を変形できるように式の変形のコツを覚えておいてください。

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2017年09月09日(Sat)▲ページの先頭へ
ベクトルの内積の公式
「ベクトルの内積の式の変形が思うようにできない」という人は、以下のベクトルの内積の公式をおぼえて、式の変形計算を自由にできるようになりましょう。
 

 この公式は、ベクトルの内積の式を、以下のように変形するために用います。
 ここで、ベクトルBAとベクトルCAの内積を変形します。
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さmをベクトルの内積で計算する定理が得られました。

(注意)このベクトルの内積の公式は、ベクトルの絶対値が等しい場合に限り成り立ちます。この条件が成り立つ場合はあまり多くは無いので、ベクトルの内積の式を自由自在に変形するためには、この公式だけでは不十分で、その他の公式も必要です。

(補足)
 ここで、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、三角形の性質から次の式が得られる。
RcosA=m
また、ベクトルの内積から以下の式が得られる。
この2つの式を、先に得た式に代入する。
これで得た式は、正弦定理を使うことで速やかに導かれる式である。
この式も、ベクトルを変換する公式として利用することで、ベクトルの式を変形する自由度が増すと考える。

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2017年09月06日(Wed)▲ページの先頭へ
長さの等しいベクトルの張る平行四辺形の面積の公式
ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a−a
で計算する公式が知られています。
 この公式は思い出すのに少し時間がかかるし、何となく使いにくい感じがして、今一つ使いにくい公式のように感じました。
 これに替わる、もっと楽に使えそうな公式がないかを考えました。 

 その結果、以下の、「長さの等しいベクトルAとBの張る平行四辺形の面積の公式」(後の式1から3)が導き出せました。
 このような公式もあることが分かったので、この公式も速やかに導き出すことができるように、以下の公式の導き出し方を覚えてしまいましょう。

上の図で、長さの等しいベクトルAとBの張る平行四辺形の面積Sは、以下の式で計算できる。
よって、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つ理由は、|A|=|B|の場合にベクトルCDとベクトルCFが直交するからです。
式1および式2は、Sの正負が反映されている公式です。
式3は、Sの絶対値をあらわす公式です。

(補足)
 以上の公式は、図から求めることができた。
それらの公式のうち、式2の公式を、以下では、式を展開することで証明する。

(証明おわり)

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2017年08月27日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で円の二接線の交点を求める
【問1】
 座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、
接点B(b,bから引いた接線と、接点C(c,cから引いた接線の交点A(a,aをあらわすベクトルを求めよ。
(参考)点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

【解答】
線分OAの長さをaとする。


点BとCの中点をEとする。
2角が等しいため、△ABO∽△BEO
∴OA/OB=OB/OE
a/1=1/OE
OE= 1/a
すなわち、ベクトルOEの長さは1/aで、OAの長さはaである。
そして、ベクトルOAはベクトルOEに平行なので、ベクトルOAは以下の式で計算できる。
(解答おわり)

(別解)
長さgのベクトルEB=βはベクトルOEに垂直である。
そのベクトルEBを90度回転したベクトルαはベクトルOEに平行なベクトルである。
以下では、そのベクトルαを使って、ベクトルOAをあらわす式を計算する。
(解答おわり)

(補足)
 ベクトルOAをあらわす解答の式は、式5と式7との、異なる2つの形の式であらわされた。
 この2つの形の異なる式は、同じ値をあらわし、両者とも、これ以上単純な式であらわすことができない同等な解である。
 この解は、ここをクリックした先のページで、複素数平面の助けを借りて統一された1つの単純な形で表現できる。

 また、この式5の形の解は、xy座標系であらわした接線の式の連立方程式の解では容易には導けない(連立方程式を解くと、通常は、式7の形の解が導かれる)という特徴がある。
 この式5は、以下のベクトルの公式を使うことで、式7に変換できる。
<大きさが同じベクトルbとcの要素の計算の公式>
 この式4の公式を使って、式5であらわしたベクトルOAの1つの成分を変換する。
こうして、式7であらわしたベクトルOAの成分が得られた。
式5であらわしたベクトルOAの残りの成分についても同様に計算すれば、式7であらわしたベクトルOAの成分が得られる。

 また、三角関数を使うと、この2つの式は以下の式に単純化される。

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2017年03月13日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く
・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
以下のようにベクトルAEを分解する道AOEを視線でたどります。

@は、視線がベクトルaを逆向きにたどったのでマイナス”−”
Aは、順向きなので”+”

 ベクトルAEのAからの道AOの向きがベクトルaと逆方向に進むことを確認してベクトルaにはマイナスを付けてベクトルAEの展開式を書くようにします。
 こうすることで、思い込みによりベクトルaの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。


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2016年12月20日(Tue)▲ページの先頭へ
外心の高さの式のベクトルでの証明


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】 
 上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

初めから与えられている式を証明する問題は、新しく式を見出す場合とは異なり、問題が易しくなります。


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2016年12月18日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトルによる円周角の定理の確認


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ABCと外接円の中心Dがある。この三角形の頂点Aが外接円上を移動しても頂角Aの角度が変わらないこと(円周角の定理)を確認せよ。
(注意)円周角の定理の方がベクトル計算の種々の定理の基礎になっていて、ベクトル計算は円周角の定理等の結果と考えます。そのため、ベクトル計算では、円周角の定理を確認できても、証明ではないと考えます。

【一番簡単な確認】
ベクトルの計算で外心の高さが式1で与えられる。
そして、
ベクトルの計算で外接円の半径Rは式2で与えられる。
式1と式2を使うと、


この式3により、頂点Aが移動しても右辺の値が変わらない。これは、式3の左辺に余弦であらわされている角度Aが変わらないことを意味する。
(確認おわり)

(補足)
 この式3の関係は、ベクトルだけを使って式1を導き出し、次に、ベクトルだけを使って式2を導き出したことでようやく導き出された関係です。しかし、式3は、高校1年で円周角の定理を図形で証明する過程で、図形の関係から容易に導き出されます。
 問題を楽に解くという観点では、高校1年での図形の証明による方法が一番楽です。そのため、ベクトルの係わる問題が出題されても、許される限りは、高校1年での図形の証明方法を使うようにしましょう。

【苦労する解き方】
 この円周角の定理を、準備無く解く苦労する解き方をした例を、ここをクリックした先に書きました。

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2015年03月28日(Sat)▲ページの先頭へ
初めて立体上の三角形の面積を計算するとき



立体上の三角形の面積と外積の関係

 ベクトルの外積が平行四辺形の面積の値を与えるという事を初めて学んだ時は、以下のようにして、その知識を自分のものにしましょう。
 初めて知った「外積の計算」は、それにはどれだけの実用的効用があるのか、自分で具体的に計算してみて、使ってみて、その計算をよく理解するようにしましょう。


【問】
 以下の3次元の立体上の三角形ABCの面積Sを計算するにはどうすれば良いか?
以下は、この問題の3通りの解き方の解説へのリンクです。
これらの解き方は、以下の題名からおおむね予測できますが、
そのヒントだけで、自力で3通りの解き方をできる人は自力で3通りのやり方で問題を解いてください。

 それが自力でできた人は、以下の解説をあえて読まなくても、自力で全てを知ることができると思うので、問題無いと考えます。

(1)ベクトル内積を利用して計算する:一番簡単な計算。
(2)3次元の立体上の三角形の面積を平面上の三角形の逆射影で計算する。
(3)ベクトルの外積を利用して立体上の三角形の面積を計算。

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2015年02月27日(Fri)▲ページの先頭へ
円の外の点Aから引いた円への接線の接点の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法
http://schoolhmath.blogspot.jp/2013/08/blog-post_25.html

【問】座標原点Oを中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。

(点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の点Aの様に、点の名前Aを引き継いだ記号a等に添え字を付けてa等とあらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです) 

  以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。

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2015年02月09日(Mon)▲ページの先頭へ
三角形の垂心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法


【問】三角形の垂心Oの位置ベクトルをもとめよ。

 以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。
(3)もっと込み入った解き方。
(4)問題を解くために使うベクトルをどれにしたら良いかの指針を得る方法。

(5)垂直線の方程式を使った解き方。
(6)相似な図形を使った解き方。

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2015年02月06日(Fri)▲ページの先頭へ
三角形の外接円の中心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法


【問】 三角形の外心(外接円の中心)Oの位置ベクトルをもとめよ。

 以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。
(3)もう少し込み入った解き方。

(4)垂直線の方程式を使う解き方が簡単。
(5)正弦定理を使う解き方 

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2013年09月23日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で空間図形の面と直線の交点を求める


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】以下の空間図形の線分OBと、三角形DEFが張る面βとの交点Gの位置ベクトルをもとめよ。
 なお、ベクトルOAをベクトルaとし、ベクトルOBをベクトルbとし、ベクトルOCをベクトルcとする。
 そして、点Dは線分OAを2:3に内分する点、点Eは線分ACを2:1に内分する点、点Fは線分BCを1;2に内分する点である。

【解答方針】
 ベクトル方程式の問題は、
「3次元空間の全てのベクトルは、3つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、3つの基本ベクトルを決めて、その3つのベクトルで全てのベクトルをあらわす。
 位置ベクトルの問題は、その基本ベクトルの係数を計算することに帰着させる。



【解答】
3点D、E、Fの位置ベクトルを以下の式1から3であらわす。

線分OBと面の交点Gの位置ベクトルは、以下のベクトル方程式であらわせる。
このベクトル方程式を解くと、以下の式(4)から式(6)が得られる。
この連立方程式を解いて、係数xを計算する。
(解答おわり)

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2013年09月08日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方


「大学への数学」(ベクトル編)

【余弦定理のベクトルによる導出】
上の三角形ABCにおいて、余弦定理が、ベクトルの内積で簡単に導けます。


上の式が三角形の余弦定理です。

 この、ベクトルを利用した余弦定理の導出の式を覚えておくと、余弦定理を簡単に思い出すことができます。


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2013年09月07日(Sat)▲ページの先頭へ
三角形の辺と外接円の半径の関係


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ABCと外接円の中心Dがある。外接円の中心Dの辺BC上の高さが式(1)で与えられることがわかっている。この外接円の半径Rを計算せよ。
(注意事項)ベクトルの各成分は関係する記号に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、成分の意味が連想し易くなるからです。

【解答方針】
(1)この問題を解くには、円周角の定理に関連する定理の、∠CDB/2=∠Aを思い出して、
R・cos(∠CDB/2)=p=R・cosAとして、
R=p/cosAとしてRを計算すると最も速く答えが出せます。
(2)しかし、その関係を思い出せなかった場合でも、ベクトルを成分に分解した地道な計算をすることで答えが得られます。
以下では、そのベクトルの地道な計算例を示します。

【解答】
外接円の半径Rの二乗を以下のように計算していく。


ここで、この括弧の中の一部の式を計算する。
この結果を使って計算を続ける。
 この計算の結果R=bc/(2h)という関係が導き出せた。
(解答おわり)

(補足)
この結果から、円周角の定理に関連する定理の、p=R・cos
(∠CDB/2)=cosAという関係も示された。

【研究問題】
この関係を使って、三角形の面積をあらわす。

上記のように三角形の正弦定理が導きだされた。

先の式(1)は三角形の外接円の中心位置をベクトル方程式で計算することで得られていた。
このように、正弦定理も、ベクトルの地道な計算によって導き出すことができました。


 しかしながら、式1よりも解答の式の方が単純です。
 解答の式から式1を導き出す方が自然な計算の流れと考えられます。
 この解答の式は、正弦定理を使うと容易に証明できます。

 一方、ベクトル計算によってこの解答の式を導き出すのは難しいと考えます。
 そのことから、ベクトル計算の基礎は主に余弦定理が支えていて、正弦定理で解き易い円周角に係わる問題はベクトル計算では解きにくかったのだろうと考えます。

 すなわち、余弦定理で解き易い問題はベクトル計算で解き易いが、 正弦定理で解き易い円周角に係わる問題は正弦定理を使って解く方が良いと考えます。

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2013年09月05日(Thu)▲ページの先頭へ
ベクトルの難問の強力な解答手段


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【難問】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。
(注意事項)ベクトルの各成分はベクトル名に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、a+a=Rという関係が成り立つaとaの関係が計算の際に難なく思い出して使うことができるようになるからです。

【解答の方針】
(0)この問題の式は正弦定理を使うと容易に証明できます(ベクトル解法のライバルは正弦定理)。
また、円周角の定理でも証明できます。

そのため、この問題は、「ベクトル計算には合わない問題をあえてベクトルで計算する」というひねくれた問題であることを認識して、以下の解答を見て下さい。

(1)この問題は、以下のように地道にベクトルの計算をします。
 ベクトルの計算にあたって、この問題のように難しい問題の場合は、ベクトルを互いに直交する2方向の成分に分解して成分の計算を行います。そうすれば、以下のように計算を進めることができ、問題が解けるようになります。

【解答】
式(1)の左辺の2乗を、べクトルを成分に分解して計算する。

この結果(2)は、式(1)の右辺の2乗である。
よって、式(1)が成り立つことが証明できた。
(解答おわり)


(別解)ここをクリックした先にも、同様に式1の左辺の2乗にかかわる計算による式1の証明がある。
(究極手法)ベクトルの複素数平面積を使う。

  【補足】
 なお、この式の関係を利用すると、以下の式(3)のように、三角形ABCの面積を計算する公式の1つが得られる。


(更に補足)
 この式(3)は、円周角の定理と三角形の正弦定理を用いても導ける。
一方、以上の式(2)のようにベクトルを成分に分解して行なう地道な計算でその公式を求めることができた。
 ベクトルを成分に分解して行なう計算は、ベクトルの内積の定義の適用と、点の座標成分の計算の整理の操作だけで簡単に行なえます。
 実は、この地道な計算によれば、ベクトルの演算公式の全てがこの計算で導き出せます。そのため、この方法によれば、ベクトルの演算公式のいくつかを忘れていても、問題なく答えが得られる、強力な解答手段です。


リンク:
複素数平面の公式を使ってベクトルの難問を解く
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2013年09月02日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する


大学への数学「ベクトル」編の勉強

(注意)この問題の解き方はややこしいものですが、複素数平面を使うと(ここをクリック)計算が大分楽になります。


(注意)以下の問1では三角関数と使った解き方を書きます。
問2では、三角関数を使わないでベクトルの内積だけを使って比較的楽に解きます。


【問1】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、∠BAC=βの余弦=cosβをベクトルの内積を利用して計算して、円周角の定理を再確認せよ。

【解答】
上図のベクトルa、b、cを以下の式(1)(2)(3)であらわす。

cosβは以下の式で計算できる。
この式の各項を以下で計算する。



cosβは以下の式になる。
この答えを場合分けすると以下の式になる。
また、点Aが点B又はC上にある場合は値が不定になる。
(解答おわり)

 この式は、円周角の余弦=cosβは、点Aが円周上の点Bか点Cの位置を横切ると、値の正負が逆になることをあらわしている。
 つまり、点Aの位置が円周上の第1の円弧の上にあると値がプラスで、それ以外の領域にあると、値がマイナスになる。また、点Aが点B又はC上にある場合は値が不定になる。
 このように、cosβは、点Aの位置によって値が変わるので、cosβの値は、一定の値になるというわけではない。


 

【問2】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。
ただし、この図における各ベクトルの間には以下の関係が成り立っている。
(注意事項)ベクトルの各成分はベクトル名に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、a+a=1という関係が成り立つaとaの関係が計算の際に難なく思い出して使うことができるようになるからです。

【解答の方針】
(1)この問題が出たら、これは円周角の問題だと気付くことがベスト。
各ベクトルの内積と円周角との関係を示して、円周角の定理が式(1)であらわされることを示すのが一番速い解答になります。
(2)円周角の問題であると気付かなかった場合は、この問題を(問1)のように、三角関数で解くのが2番目に速く解けます。
(3)以上の2つの視点に気付かなかった場合は、以下のように地道にベクトルの計算をします。
 ベクトルの計算にあたって、この問題のように難しい問題の場合は、ベクトルを互いに直交する2方向の成分に分解して成分の計算を行います。そうすれば、以下のように計算を進めることができ、問題が解けるようになります。

【解答】
式(1)の左辺を、べクトルを成分に分解して計算する。

次に、式(1)の右辺の各項を計算する。

この式(3)と(4)の結果を合わせて、式(1)の右辺を計算する。
この式(5)は、式(1)の左辺を計算した式(2)と等しい。
よって式(1)が成り立つ。
(解答おわり)

リンク:
ベクトルの角度を複素数平面で計算できることを初めて知ったら試してみよう
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2013年09月01日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の内心の位置ベクトルを求める


大学への数学「ベクトル」編の勉強


【問1】三角形OABの内心(内接円の中心)Dの位置ベクトルをもとめよ。
【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「2次元空間の全てのベクトルは、2つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、2つのベクトルを決めて、そのベクトルの係数を計算することで求める。



【解答】
2つの独立なベクトルとして、ベクトルOAとベクトルOBを用いることにする。
そして、求めるベクトルODを以下の式(1)であらわす。そして、ベクトルADを式(2)であらわす

ベクトルpとベクトルqの間には以下の式(3)の関係がある。式(3)に(1)と(2)を代入して式(4)が得られる。
式(4)から、以下の式(5)と(6)が得られる。
式(5)と(6)を連立して係数sとtを計算する。先ず、(6)から以下のsを与える式(7)が得られる。
式(7)を(5)に代入してtを計算する。
式(8)を(7)に代入してsを計算する。

(9)を(1)に代入してベクトルODをあらわす。
(解答おわり)

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2013年08月31日(Sat)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の垂心の位置ベクトルを求める
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。 

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】
 三角形OABCの垂心Dの位置ベクトルを、ベクトルOAと、それに垂直なベクトルhとであらわせ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、

点A(a,0)、点B(a,h)とする。
【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルbとqとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルbとqを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルbとqが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

しかし、以下では(1)の秘訣は使わずに問題を解いてみます。

【解答】
ベクトルOBを、ベクトルOA=aと、それに垂直なベクトルhとであらわす。

求める位置ベクトルODは、以下の式(2)であらわせ、更に、式(3)でベクトルaとhであらわせます。この式で係数kが未知数です。 
三角形の点AからDまでいたるベクトルqは、以下の式で計算できる。
三角形の一辺OBのベクトルbとそれに垂直なベクトルqの間には、以下の式(5)の関係がある。この式(5)に式(1)と(4)を代入して計算する。
式(6)を更に変形する。

式(7)で求めた未知数kを式(2)に代入して求める位置ベクトルdが得られた。
上の式(8)の形に留めた方が式がわかりやすい形に見えたが、式(9)の形にまで変形すると、垂心のベクトルa上の高さの公式が見えてきた。
 この式(9)の方が良い表わし方の式であることを理解するには、この問題を解く前に答えを予測する計算をする事が望ましい。
(解答おわり)


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2013年08月30日(Fri)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の外接円の中心の位置ベクトルを求める
大学への数学「ベクトル」編の勉強

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】三角形OABの外心(外接円の中心)Dの位置ベクトルをもとめよ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、点A(a,0)、点B(b,b)とする。

【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「2次元空間の全てのベクトルは、2つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、2つのベクトルを決めて、そのベクトルの係数を計算することで求める。


【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルbとqとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルbとqを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルbとqが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

しかし、以下では(1)の秘訣は使わずに問題を解いてみます。


【解答】
2つの独立なベクトルとして、ベクトルOAとベクトルOBを用いることにする。
そして、求めるベクトルODを以下の式(1)であらわす。

外接円の中心Dの位置ベクトルODは、線分ABの垂直二等分線と線分BCの垂直二等分線との交点であるので、以下の式(2)(3)(4)の関係がある。
式(3)に順次に式(2)と(1)を代入して計算する。
式(4)に順次に式(2)と(1)を代入して計算する。
式(5)と(6)を連立して係数sとtを計算する。
式(7)と(8)を式(1)に代入してベクトルODをあらわす。
(解答おわり)


【補足研究】
上の解答を、ベクトルaと、それに垂直なベクトルgとであらわしてみます。
ベクトルbは以下の式(10)であらわされます。式(10)を(9)に代入して計算します。

この式(11)のベクトルaとベクトルbの内積にベクトルの要素を代入して計算する。
式(12)で、ベクトルODが、ベクトルaと、それに垂直なベクトルgとであらわせました。

ベクトルgの係数が0になる場合は、三角形OABの∠Bが直角の場合です。
∠Bが90°より小さいと、ベクトルgの係数が0より大きくなり、
∠Bが90°より大きいと、ベクトルgの係数が0より小さくなります。

 上の研究の結果、式(12)であらわした方が、式(9)の解答よりも単純な式になりました。しかし、式(9)を変形して式(12)のように単純な式を得るには、ベクトル方程式の計算パターンだけではわかりません。
 式(12)を見出すには、ベクトルODをどのベクトルであらわそうとするかの、答えをどういう視点でとらえようとするかの、解答者の意思に依存します。
 以下の問題2では、そのような「意思」を定めた後の解き方を示します。

【問2】
 三角形OABの外心(外接円の中心)Dの位置ベクトルを、ベクトルOAと、それに垂直なベクトルgとであらわせ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、点A(a,0)、点B(b,b)とする。

求める位置ベクトルODは、以下の式(13)で、ベクトルaとgとであらわせます。この式で係数kが未知数です。 
三角形の一辺のベクトルOBは、以下の式(14)で、ベクトルaとgとであらわせる。
三角形の一辺OBの垂直二等分線でDまでいたるベクトルqは、以下の式で計算できる。
三角形の一辺OBのベクトルbとそれに垂直なベクトルqの間には、以下の式(16)の関係がある。この式(16)に式(15)と(14)を代入して計算する。
式(17)で求めた未知数kを更に変形する。
式(18)で求めた未知数kを式(13)に代入して求める位置ベクトルdが得られた。
(解答おわり)


リンク:
高校数学の目次



2013年08月28日(Wed)▲ページの先頭へ
極点から引いた円への接線の接点の位置ベクトル
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。 
 
「大学への数学」の勉強

【問2】座標原点Oを中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。
ただし、下図のベクトルOPは、べクトルOAに垂直で、その絶対値がベクトルOAと同じ値aであるものとする。

なお、接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。
また、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。
 そして、極線上の点Qと極Aのベクトルの間に、上図の式(4)が成り立つことがわかっているものとする。


【解答】
 以下の関係が成り立つ。

点Bが円の上にあることから、以下の関係が成り立つ。
式(7)に式(5)と(6)を代入する。
よって、接点BとCの位置ベクトルは以下の式であらわせる。
(解答おわり)


リンク:
点Pを極とする円の極線の作図サイト
高校数学の目次
複素数平面での円の極と極線



2013年08月26日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトルの直線と点との距離及び三角形の面積


「大学への数学」の勉強

【問】下図のように頂点の1つが原点Oにあり、他の2頂点が、A(a,a)とB(b,b)である三角形OABの点Bと辺OAとの距離hを求めよ。
上図から、点Bの距離hは、式(1)のように、ベクトルOAに垂直なベクトルOPとベクトルOBの内積から求めることができる。

そして、三角形OABの面積は、式(2)のように、ベクトルOPとベクトルOBの内積によって求められる。


△OAB=(a−a)/2 (式2’)
このクロス積の形をした式は、行列式とも呼ばれています。

リンク:
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
追加講 三角形の面積と行列式
高校数学の目次



2013年08月25日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式による極と極線


「大学への数学」の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCを結ぶ直線を、
その直線上の点Qをあらわすベクトルと点Aをあらわすベクトルを使ったベクトルの式であらわせ。

ここで、線分OAの長さをaとする。

なお、接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。

一方、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

【解答】



(予備知識)
平面ベクトルの問題では、
「平面上の全ての点が、2つの独立なベクトルを(係数を掛け算して)合成することであらわせる」
という原理を利用して問題を解きます。

この問題では、ベクトルOBとベクトルOCで直線BC上の任意の点Qの式を以下の式であらわします。

ベクトルであらわす直線の式はもう1つのあらわし方があり、
それは、直線の式(3)に、その直線に垂直なベクトルを(内積で)掛け算した式です。 そのため、試しに、多分BCに垂直と思われるベクトルOAを式(3)に掛け算して、どうなるかを調べてみます。

上の計算で、式(1)と(2)を代入して使いました。

式4は、任意の点Q(パラメータtの任意の値で)に対して成り立つ直線の式になりました。

式4を展開すると、以下の式4’になります。
そのため、この式4が求める直線をあらわすベクトルの式です。
(解答おわり)

なお、試しに掛け算したベクトルOAによって、直線の式(3)が、パラメータtがあらわれない直線の式(4)に変わったので、ベクトルOAがこの直線に垂直なベクトルであることも確かになりました。


【補足】
極A(a,a)が円上にある場合、式4で与えられる極線は、点Aで円に接する接線の式になる。


なお、極A(a,a)が円の中に入ってしまうと、点Aから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式4は、点A(a,b)が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えAが円の中でも、式1であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。


リンク:
点Pを極とする円の極線の作図サイト
高校数学の目次
複素数平面での円の極と極線



2013年08月22日(Thu)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式の直線の交点


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】
以下の図のようにベクトルであらわした2直線の交点のベクトルを求めよ。
ただし、単位ベクトルqに平行な直線1に垂直な単位ベクトルをqとし、単位ベクトルgに平行な直線2に垂直な単位ベクトルをgとする。



【解の方針】
 平面上の任意のベクトルは独立な2つのベクトルであらわせます。
この原理を利用して、
(1)先ず、求める交点をどの2つのベクトルであらわすかを決めて、
(2)次にその各ベクトルの係数をベクトル方程式で解くと
スムーズに解答を求めることができます。

【解答】
 以下の式(5)のように、直線1と直線2の交点を、2直線に平行な方向に係わる2つの独立な単位ベクトルqとgとであらわすことにする。


 この式(5)に、直線1に垂直な単位ベクトルqを掛け算した式をもとめる。

その結果、係数wが(6)であらわせた。

 式(5)に、直線2に垂直な単位ベクトルgを掛け算した式をもとめる。 

その結果、係数uが(7)であらわせた。
(6)(7)により、交点の位置ベクトルをあらわす式は、以下の式(8)になる。

(解答おわり)

この解の図形的な意味は、下の図のようにあらわせる。


リンク:

 高校数学の目次



2013年01月22日(Tue)▲ページの先頭へ
三角形の辺と角の等式をベクトルで証明


「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題をベクトルを利用して解きます。
【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)−b・cos(A))=a2−b2

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos(B)−b・cos(A))−{a2−b2}=0

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題をベクトルを利用して証明します。
証明おわり。

 この問題はベクトルを利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
二重根号のはずし方
三角形の面積を求める種々の式
(高校)三平方の定理
高校数学[三角比・図形]一覧
リンク:高校数学の目次



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