高校数学(ベクトル)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年03月13日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く
・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
以下のようにベクトルAEを分解する道AOEを視線でたどります。

@は、視線がベクトルaを逆向きにたどったのでマイナス”−”
Aは、順向きなので”+”

 ベクトルAEのAからの道AOの向きがベクトルaと逆方向に進むことを確認してベクトルaにはマイナスを付けてベクトルAEの展開式を書くようにします。
 こうすることで、思い込みによりベクトルaの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。


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2016年12月20日(Tue)▲ページの先頭へ
外心の高さの式のベクトルでの証明


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】 
 上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

初めから与えられている式を証明する問題は、新しく式を見出す場合とは異なり、問題が易しくなります。


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2016年12月18日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトルによる円周角の定理の確認


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ABCと外接円の中心Dがある。この三角形の頂点Aが外接円上を移動しても頂角Aの角度が変わらないこと(円周角の定理)を確認せよ。
(注意)円周角の定理の方がベクトル計算の種々の定理の基礎になっていて、ベクトル計算は円周角の定理等の結果と考えます。そのため、ベクトル計算では、円周角の定理を確認できても、証明ではないと考えます。

【一番簡単な確認】
ベクトルの計算で外心の高さが式1で与えられる。
そして、
ベクトルの計算で外接円の半径Rは式2で与えられる。
式1と式2を使うと、


この式3により、頂点Aが移動しても右辺の値が変わらない。これは、式3の左辺に余弦であらわされている角度Aが変わらないことを意味する。
(確認おわり)

(補足)
 この式3の関係は、ベクトルだけを使って式1を導き出し、次に、ベクトルだけを使って式2を導き出したことでようやく導き出された関係です。しかし、式3は、高校1年で円周角の定理を図形で証明する過程で、図形の関係から容易に導き出されます。
 問題を楽に解くという観点では、高校1年での図形の証明による方法が一番楽です。そのため、ベクトルの係わる問題が出題されても、許される限りは、高校1年での図形の証明方法を使うようにしましょう。

【苦労する解き方】
 この円周角の定理を、準備無く解く苦労する解き方をした例を、ここをクリックした先に書きました。

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2015年03月28日(Sat)▲ページの先頭へ
初めて立体上の三角形の面積を計算するとき



立体上の三角形の面積と外積の関係

 ベクトルの外積が平行四辺形の面積の値を与えるという事を初めて学んだ時は、以下のようにして、その知識を自分のものにしましょう。
 初めて知った「外積の計算」は、それにはどれだけの実用的効用があるのか、自分で具体的に計算してみて、使ってみて、その計算をよく理解するようにしましょう。


【問】
 以下の3次元の立体上の三角形ABCの面積Sを計算するにはどうすれば良いか?
以下は、この問題の3通りの解き方の解説へのリンクです。
これらの解き方は、以下の題名からおおむね予測できますが、
そのヒントだけで、自力で3通りの解き方をできる人は自力で3通りのやり方で問題を解いてください。

 それが自力でできた人は、以下の解説をあえて読まなくても、自力で全てを知ることができると思うので、問題無いと考えます。

(1)ベクトル内積を利用して計算する:一番簡単な計算。
(2)3次元の立体上の三角形の面積を平面上の三角形の逆射影で計算する。
(3)ベクトルの外積を利用して立体上の三角形の面積を計算。

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2015年02月27日(Fri)▲ページの先頭へ
円の外の点Aから引いた円への接線の接点の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法
http://schoolhmath.blogspot.jp/2013/08/blog-post_25.html

【問】座標原点Oを中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。

(点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の点Aの様に、点の名前Aを引き継いだ記号a等に添え字を付けてa等とあらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです) 

  以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。

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2015年02月09日(Mon)▲ページの先頭へ
三角形の垂心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法


【問】三角形の垂心Oの位置ベクトルをもとめよ。

 以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。
(3)もっと込み入った解き方。
(4)問題を解くために使うベクトルをどれにしたら良いかの指針を得る方法。

(5)垂直線の方程式を使った解き方。
(6)相似な図形を使った解き方。

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2015年02月06日(Fri)▲ページの先頭へ
三角形の外接円の中心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法


【問】 三角形の外心(外接円の中心)Oの位置ベクトルをもとめよ。

 以下で、この解の探し方を書きますが、できれば、以下の説明を見ずにこの問題を解いて見てください。時間はいくらかけても良いですから・・・。その方が絶対に楽しいと思います。

この問題の解き方は、以下をクリックした先のページに書きます。
(1)一番簡単な解き方。
(2)少し込み入った解き方。
(3)もう少し込み入った解き方。

(4)垂直線の方程式を使う解き方が簡単。
(5)正弦定理を使う解き方 

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2013年09月23日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で空間図形の面と直線の交点を求める


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】以下の空間図形の線分OBと、三角形DEFが張る面βとの交点Gの位置ベクトルをもとめよ。
 なお、ベクトルOAをベクトルaとし、ベクトルOBをベクトルbとし、ベクトルOCをベクトルcとする。
 そして、点Dは線分OAを2:3に内分する点、点Eは線分ACを2:1に内分する点、点Fは線分BCを1;2に内分する点である。

【解答方針】
 ベクトル方程式の問題は、
「3次元空間の全てのベクトルは、3つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、3つの基本ベクトルを決めて、その3つのベクトルで全てのベクトルをあらわす。
 位置ベクトルの問題は、その基本ベクトルの係数を計算することに帰着させる。



【解答】
3点D、E、Fの位置ベクトルを以下の式1から3であらわす。

線分OBと面の交点Gの位置ベクトルは、以下のベクトル方程式であらわせる。
このベクトル方程式を解くと、以下の式(4)から式(6)が得られる。
この連立方程式を解いて、係数xを計算する。
(解答おわり)

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2013年09月08日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方


「大学への数学」(ベクトル編)

【余弦定理のベクトルによる導出】
上の三角形ABCにおいて、余弦定理が、ベクトルの内積で簡単に導けます。


上の式が三角形の余弦定理です。

 この、ベクトルを利用した余弦定理の導出の式を覚えておくと、余弦定理を簡単に思い出すことができます。


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2013年09月07日(Sat)▲ページの先頭へ
三角形の辺と外接円の半径の関係


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ABCと外接円の中心Dがある。外接円の中心Dの辺BC上の高さが式(1)で与えられることがわかっている。この外接円の半径Rを計算せよ。
(注意事項)ベクトルの各成分は関係する記号に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、成分の意味が連想し易くなるからです。

【解答方針】
(1)この問題を解くには、円周角の定理に関連する定理の、∠CDB/2=∠Aを思い出して、
R・cos(∠CDB/2)=p=R・cosAとして、
R=p/cosAとしてRを計算すると最も速く答えが出せます。
(2)しかし、その関係を思い出せなかった場合でも、ベクトルを成分に分解した地道な計算をすることで答えが得られます。
以下では、そのベクトルの地道な計算例を示します。

【解答】
外接円の半径Rの二乗を以下のように計算していく。


ここで、この括弧の中の一部の式を計算する。
この結果を使って計算を続ける。
 この計算の結果R=bc/(2h)という関係が導き出せた。
(解答おわり)

(補足)
この結果から、円周角の定理に関連する定理の、p=R・cos
(∠CDB/2)=cosAという関係も示された。

【研究問題】
この関係を使って、三角形の面積をあらわす。

上記のように三角形の正弦定理が導きだされた。

先の式(1)は三角形の外接円の中心位置をベクトル方程式で計算することで得られていた。
このように、正弦定理も、ベクトルの地道な計算によって導き出すことができました。


 しかしながら、式1よりも解答の式の方が単純です。
 解答の式から式1を導き出す方が自然な計算の流れと考えられます。
 この解答の式は、正弦定理を使うと容易に証明できます。

 一方、ベクトル計算によってこの解答の式を導き出すのは難しいと考えます。
 そのことから、ベクトル計算の基礎は主に余弦定理が支えていて、正弦定理で解き易い円周角に係わる問題はベクトル計算では解きにくかったのだろうと考えます。

 すなわち、余弦定理で解き易い問題はベクトル計算で解き易いが、 正弦定理で解き易い円周角に係わる問題は正弦定理を使って解く方が良いと考えます。

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2013年09月05日(Thu)▲ページの先頭へ
ベクトルの難問の強力な解答手段


大学への数学「ベクトル」編の勉強

【難問】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。
(注意事項)ベクトルの各成分はベクトル名に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、a+a=Rという関係が成り立つaとaの関係が計算の際に難なく思い出して使うことができるようになるからです。

【解答の方針】
(0)この問題の式は正弦定理を使うと容易に証明できます。
そのため、この問題は、「ベクトル計算には合わない問題をあえてベクトルで計算する」というひねくれた問題であることを認識して、以下の解答を見て下さい。

(1)この問題は、以下のように地道にベクトルの計算をします。
 ベクトルの計算にあたって、この問題のように難しい問題の場合は、ベクトルを互いに直交する2方向の成分に分解して成分の計算を行います。そうすれば、以下のように計算を進めることができ、問題が解けるようになります。

【解答】
式(1)の左辺の2乗を、べクトルを成分に分解して計算する。

この結果(2)は、式(1)の右辺の2乗である。
よって、式(1)が成り立つことが証明できた。
(解答おわり)

【補足】
 なお、この式の関係を利用すると、以下の式(3)のように、三角形ABCの面積を計算する公式の1つが得られる。


(更に補足)
 この式(3)は、円周角の定理と三角形の正弦定理を用いても導ける。
一方、以上の式(2)のようにベクトルを成分に分解して行なう地道な計算でその公式を求めることができた。
 ベクトルを成分に分解して行なう計算は、ベクトルの内積の定義の適用と、点の座標成分の計算の整理の操作だけで簡単に行なえます。
 実は、この地道な計算によれば、ベクトルの演算公式の全てがこの計算で導き出せます。そのため、この方法によれば、ベクトルの演算公式のいくつかを忘れていても、問題なく答えが得られる、強力な解答手段です。


リンク:
複素数平面の公式を使ってベクトルの難問を解く
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2013年09月02日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する


大学への数学「ベクトル」編の勉強

(注意)この問題の解き方はややこしいものですが、複素数平面を使うと(ここをクリック)計算が大分楽になります。


(注意)以下の問1では三角関数と使った解き方を書きます。
問2では、三角関数を使わないでベクトルの内積だけを使って比較的楽に解きます。


【問1】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、∠BAC=βの余弦=cosβをベクトルの内積を利用して計算して、円周角の定理を再確認せよ。

【解答】
上図のベクトルa、b、cを以下の式(1)(2)(3)であらわす。

cosβは以下の式で計算できる。
この式の各項を以下で計算する。



cosβは以下の式になる。
この答えを場合分けすると以下の式になる。
また、点Aが点B又はC上にある場合は値が不定になる。
(解答おわり)

 この式は、円周角の余弦=cosβは、点Aが円周上の点Bか点Cの位置を横切ると、値の正負が逆になることをあらわしている。
 つまり、点Aの位置が円周上の第1の円弧の上にあると値がプラスで、それ以外の領域にあると、値がマイナスになる。また、点Aが点B又はC上にある場合は値が不定になる。
 このように、cosβは、点Aの位置によって値が変わるので、cosβの値は、一定の値になるというわけではない。


 

【問2】下図のように円周上に3点ABCがある。この場合に、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。
ただし、この図における各ベクトルの間には以下の関係が成り立っている。
(注意事項)ベクトルの各成分はベクトル名に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、a+a=1という関係が成り立つaとaの関係が計算の際に難なく思い出して使うことができるようになるからです。

【解答の方針】
(1)この問題が出たら、これは円周角の問題だと気付くことがベスト。
各ベクトルの内積と円周角との関係を示して、円周角の定理が式(1)であらわされることを示すのが一番速い解答になります。
(2)円周角の問題であると気付かなかった場合は、この問題を(問1)のように、三角関数で解くのが2番目に速く解けます。
(3)以上の2つの視点に気付かなかった場合は、以下のように地道にベクトルの計算をします。
 ベクトルの計算にあたって、この問題のように難しい問題の場合は、ベクトルを互いに直交する2方向の成分に分解して成分の計算を行います。そうすれば、以下のように計算を進めることができ、問題が解けるようになります。

【解答】
式(1)の左辺を、べクトルを成分に分解して計算する。

次に、式(1)の右辺の各項を計算する。

この式(3)と(4)の結果を合わせて、式(1)の右辺を計算する。
この式(5)は、式(1)の左辺を計算した式(2)と等しい。
よって式(1)が成り立つ。
(解答おわり)

リンク:
ベクトルの角度を複素数平面で計算できることを初めて知ったら試してみよう
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2013年09月01日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の内心の位置ベクトルを求める


大学への数学「ベクトル」編の勉強


【問1】三角形OABの内心(内接円の中心)Dの位置ベクトルをもとめよ。
【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「2次元空間の全てのベクトルは、2つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、2つのベクトルを決めて、そのベクトルの係数を計算することで求める。



【解答】
2つの独立なベクトルとして、ベクトルOAとベクトルOBを用いることにする。
そして、求めるベクトルODを以下の式(1)であらわす。そして、ベクトルADを式(2)であらわす

ベクトルpとベクトルqの間には以下の式(3)の関係がある。式(3)に(1)と(2)を代入して式(4)が得られる。
式(4)から、以下の式(5)と(6)が得られる。
式(5)と(6)を連立して係数sとtを計算する。先ず、(6)から以下のsを与える式(7)が得られる。
式(7)を(5)に代入してtを計算する。
式(8)を(7)に代入してsを計算する。

(9)を(1)に代入してベクトルODをあらわす。
(解答おわり)

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2013年08月31日(Sat)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の垂心の位置ベクトルを求める
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。 

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】
 三角形OABCの垂心Dの位置ベクトルを、ベクトルOAと、それに垂直なベクトルhとであらわせ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、

点A(a,0)、点B(a,h)とする。
【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルbとqとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルbとqを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルbとqが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

しかし、以下では(1)の秘訣は使わずに問題を解いてみます。

【解答】
ベクトルOBを、ベクトルOA=aと、それに垂直なベクトルhとであらわす。

求める位置ベクトルODは、以下の式(2)であらわせ、更に、式(3)でベクトルaとhであらわせます。この式で係数kが未知数です。 
三角形の点AからDまでいたるベクトルqは、以下の式で計算できる。
三角形の一辺OBのベクトルbとそれに垂直なベクトルqの間には、以下の式(5)の関係がある。この式(5)に式(1)と(4)を代入して計算する。
式(6)を更に変形する。

式(7)で求めた未知数kを式(2)に代入して求める位置ベクトルdが得られた。
上の式(8)の形に留めた方が式がわかりやすい形に見えたが、式(9)の形にまで変形すると、垂心のベクトルa上の高さの公式が見えてきた。
 この式(9)の方が良い表わし方の式であることを理解するには、この問題を解く前に答えを予測する計算をする事が望ましい。
(解答おわり)


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2013年08月30日(Fri)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で三角形の外接円の中心の位置ベクトルを求める
大学への数学「ベクトル」編の勉強

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】三角形OABの外心(外接円の中心)Dの位置ベクトルをもとめよ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、点A(a,0)、点B(b,b)とする。

【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「2次元空間の全てのベクトルは、2つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、2つのベクトルを決めて、そのベクトルの係数を計算することで求める。


【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルbとqとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルbとqを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルbとqが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

しかし、以下では(1)の秘訣は使わずに問題を解いてみます。


【解答】
2つの独立なベクトルとして、ベクトルOAとベクトルOBを用いることにする。
そして、求めるベクトルODを以下の式(1)であらわす。

外接円の中心Dの位置ベクトルODは、線分ABの垂直二等分線と線分BCの垂直二等分線との交点であるので、以下の式(2)(3)(4)の関係がある。
式(3)に順次に式(2)と(1)を代入して計算する。
式(4)に順次に式(2)と(1)を代入して計算する。
式(5)と(6)を連立して係数sとtを計算する。
式(7)と(8)を式(1)に代入してベクトルODをあらわす。
(解答おわり)


【補足研究】
上の解答を、ベクトルaと、それに垂直なベクトルgとであらわしてみます。
ベクトルbは以下の式(10)であらわされます。式(10)を(9)に代入して計算します。

この式(11)のベクトルaとベクトルbの内積にベクトルの要素を代入して計算する。
式(12)で、ベクトルODが、ベクトルaと、それに垂直なベクトルgとであらわせました。

ベクトルgの係数が0になる場合は、三角形OABの∠Bが直角の場合です。
∠Bが90°より小さいと、ベクトルgの係数が0より大きくなり、
∠Bが90°より大きいと、ベクトルgの係数が0より小さくなります。

 上の研究の結果、式(12)であらわした方が、式(9)の解答よりも単純な式になりました。しかし、式(9)を変形して式(12)のように単純な式を得るには、ベクトル方程式の計算パターンだけではわかりません。
 式(12)を見出すには、ベクトルODをどのベクトルであらわそうとするかの、答えをどういう視点でとらえようとするかの、解答者の意思に依存します。
 以下の問題2では、そのような「意思」を定めた後の解き方を示します。

【問2】
 三角形OABの外心(外接円の中心)Dの位置ベクトルを、ベクトルOAと、それに垂直なベクトルgとであらわせ。
なお、点Oは原点、頂点A,Bの座標は、点A(a,0)、点B(b,b)とする。

求める位置ベクトルODは、以下の式(13)で、ベクトルaとgとであらわせます。この式で係数kが未知数です。 
三角形の一辺のベクトルOBは、以下の式(14)で、ベクトルaとgとであらわせる。
三角形の一辺OBの垂直二等分線でDまでいたるベクトルqは、以下の式で計算できる。
三角形の一辺OBのベクトルbとそれに垂直なベクトルqの間には、以下の式(16)の関係がある。この式(16)に式(15)と(14)を代入して計算する。
式(17)で求めた未知数kを更に変形する。
式(18)で求めた未知数kを式(13)に代入して求める位置ベクトルdが得られた。
(解答おわり)


リンク:
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2013年08月28日(Wed)▲ページの先頭へ
極点から引いた円への接線の接点の位置ベクトル
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。 
 
「大学への数学」の勉強

【問2】座標原点Oを中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。
ただし、下図のベクトルOPは、べクトルOAに垂直で、その絶対値がベクトルOAと同じ値aであるものとする。

なお、接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。
また、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。
 そして、極線上の点Qと極Aのベクトルの間に、上図の式(4)が成り立つことがわかっているものとする。


【解答】
 以下の関係が成り立つ。

点Bが円の上にあることから、以下の関係が成り立つ。
式(7)に式(5)と(6)を代入する。
よって、接点BとCの位置ベクトルは以下の式であらわせる。
(解答おわり)


リンク:
点Pを極とする円の極線の作図サイト
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複素数平面での円の極と極線



2013年08月26日(Mon)▲ページの先頭へ
ベクトルの直線と点との距離及び三角形の面積


「大学への数学」の勉強

【問】下図のように頂点の1つが原点Oにあり、他の2頂点が、A(a,a)とB(b,b)である三角形OABの点Bと辺OAとの距離hを求めよ。
上図から、点Bの距離hは、式(1)のように、ベクトルOAに垂直なベクトルOPとベクトルOBの内積から求めることができる。

そして、三角形OABの面積は、式(2)のように、ベクトルOPとベクトルOBの内積によって求められる。


△OAB=(a−a)/2 (式2’)
このクロス積の形をした式は、行列式とも呼ばれています。

リンク:
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
追加講 三角形の面積と行列式
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2013年08月25日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式による極と極線


「大学への数学」の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCを結ぶ直線を、
その直線上の点Qをあらわすベクトルと点Aをあらわすベクトルを使ったベクトルの式であらわせ。

ここで、線分OAの長さをaとする。

なお、接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。

一方、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

【解答】



(予備知識)
平面ベクトルの問題では、
「平面上の全ての点が、2つの独立なベクトルを(係数を掛け算して)合成することであらわせる」
という原理を利用して問題を解きます。

この問題では、ベクトルOBとベクトルOCで直線BC上の任意の点Qの式を以下の式であらわします。

ベクトルであらわす直線の式はもう1つのあらわし方があり、
それは、直線の式(3)に、その直線に垂直なベクトルを(内積で)掛け算した式です。 そのため、試しに、多分BCに垂直と思われるベクトルOAを式(3)に掛け算して、どうなるかを調べてみます。

上の計算で、式(1)と(2)を代入して使いました。

式4は、任意の点Q(パラメータtの任意の値で)に対して成り立つ直線の式になりました。

式4を展開すると、以下の式4’になります。
そのため、この式4が求める直線をあらわすベクトルの式です。
(解答おわり)

なお、試しに掛け算したベクトルOAによって、直線の式(3)が、パラメータtがあらわれない直線の式(4)に変わったので、ベクトルOAがこの直線に垂直なベクトルであることも確かになりました。


【補足】
極A(a,a)が円上にある場合、式4で与えられる極線は、点Aで円に接する接線の式になる。


なお、極A(a,a)が円の中に入ってしまうと、点Aから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式4は、点A(a,b)が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えAが円の中でも、式1であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。


リンク:
点Pを極とする円の極線の作図サイト
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複素数平面での円の極と極線



2013年08月22日(Thu)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式の直線の交点


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】
以下の図のようにベクトルであらわした2直線の交点のベクトルを求めよ。
ただし、直線1に垂直な単位ベクトルをcとし、直線2に垂直な単位ベクトルをdとする。


【解の方針】
 平面上の任意のベクトルは独立な2つのベクトルであらわせます。
この原理を利用して、
(1)先ず、求める交点をどの2つのベクトルであらわすかを決めて、
(2)次にその各ベクトルの係数をベクトル方程式で解くと
スムーズに解答を求めることができます。

【解答】
 以下の式(5)のように、直線1と直線2の交点を、2つの独立なベクトルqとgとであらわすことにする。


 この式(5)に、直線1に垂直な単位ベクトルcを掛け算した式をもとめる。

その結果、係数wが(6)であらわせた。

 式(5)に、直線2に垂直な単位ベクトルdを掛け算した式をもとめる。 

その結果、係数uが(7)であらわせた。
(6)(7)により、交点の位置ベクトルをあらわす式は、以下の式(8)になる。

(解答おわり)

この解の図形的な意味は、下の図のようにあらわせる。


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2013年01月22日(Tue)▲ページの先頭へ
三角形の辺と角の等式をベクトルで証明


「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題をベクトルを利用して解きます。
【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)−b・cos(A))=a2−b2

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos(B)−b・cos(A))−{a2−b2}=0

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題をベクトルを利用して証明します。
証明おわり。

 この問題はベクトルを利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
二重根号のはずし方
三角形の面積を求める種々の式
(高校)三平方の定理
高校数学[三角比・図形]一覧
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2013年01月14日(Mon)▲ページの先頭へ
第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習4解答


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習4】 

式1を代入
この式は練習1の方法で0にできる。


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第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習3解答


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習3】 

式2を代入
式1を代入
 =−1+1
 =0




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第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習2解答


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習2】 

式2を代入
式1を代入
この式は練習1の方法で0にできる。
すなわち

式1を代入
式2を代入




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第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習1解答


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習1】 

式1を代入する
式2を代入する



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2013年01月13日(Sun)▲ページの先頭へ
第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習問題


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【練習問題】半径1の球の中心Oと球面上の点A,B,C,Dとを結ぶベクトルを

とする(それらのベクトルについて式1が成り立つ)。

 それらのベクトルについて式2の関係が成り立つ場合に、以下の関係が成り立つことを計算して確認してください。

これらの関係が成り立つことは、ベクトルの内積の和と積の公式を利用すると、わりと簡単な計算で確認できると思います。

以下の関係式を簡単に確認できたら、ベクトルの内積の和と積の公式を使いこなせるようになっていることが確認できると思います。

簡単に解けなかったら、ベクトルの内積の和と積の公式がまだ身についていないのだろうと思います。

【練習1】 


【練習2】

【練習3】

【練習4】



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第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

「ベクトルの内積の式の変形問題を解くのが気が重い」という人は、以下のベクトルの内積の公式をおぼえていないので、式の変形計算が不自由なところに原因があるように思います。

そのため以下の公式をおぼえましょう。

 ただし、以下の式は教科書では、特に公式として強調しては教えていないので、以下の式を使う場合は、その式を以下のように導き出して使うようにしてください。


(0)先ず、ピタゴラスの定理を拡張した公式です。以下の図のように、ベクトルaとbを、互いに直交する単位ベクトルxとyに平行な成分に分解した場合に、ベクトルの内積が以下の式の項に分解できます。
例えば、内積が以下の式の項に分解できます。

(1)次に、内積を数値の和に変える第1の公式は以下の公式です。
この公式は、この式だけで暗算で導き出せるようにおぼえて下さい。
この第1の公式は、上図の式1の公式です。これは、余弦定理(式2)をベクトルの内積の形であらわした公式です。
 余弦定理をまだ覚えていない人は、このベクトルの内積の公式をおぼえて、この公式を余弦定理の形に変換して使えるようになってください。
 また、余弦定理を使って証明する図形の問題は、ベクトルの内積を利用すれば簡単に証明できる場合が多いです。

(2)次に、内積を数値の和に変える第2の公式を以下のようにおぼえてください。


(3)次は、数値の和を内積に変える公式です。
この公式も、この式だけで暗算で導き出せるようにおぼえて下さい。



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2011年02月26日(Sat)▲ページの先頭へ
三角形の面積をベクトルで分解して計算する

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

以下の内容は、高校の検定教科書では教えないことになっています。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられているのかもしれません。
そのため、以下の内容は禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましいのではないかと考えます。

また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。
(なお、3Dゲームのソフトウェアを作るには、以下で説明する外積が必須知識だそうです。そのために外積を使うには、公式だけ覚えれば十分みたいですが。)

【課題】下図のように頂点の1つが原点Oにあり、他の2頂点が、A(a,a)とB(b,b)である三角形BOAの面積を計算する。
 三角形の辺を成すベクトルを分解して、その分解したベクトルで作った複数の三角形の面積を足し算することで、三角形の面積を計算する。
 上図のように、2つのベクトルの成す平行四辺形DBOAの面積をベクトルの掛け算(×)であらわします。
このベクトルの掛け算のことをベクトルの外積と呼びます。

(注意)
 ベクトルの外積の定義を厳密に言うと、
「2つのベクトルどちらにも垂直な方向(この図の場合は紙面に垂直な方向)のベクトルを計算すること。そのベクトルの長さは、平行四辺形DBOAの面積にする。」
です。
 平面(紙面)上のベクトルの外積を計算した結果は、いつでも紙面に垂直なベクトルで、その方向が変わることがありません。
そのため、以下の説明(計算)では、そのベクトルの長さをベクトルの外積であるものとして、ベクトルの外積を利用して計算をします。

三角形BOAの面積Sはこの平行四辺形DBOAの面積の2分の1です。

三角形BOAはベクトルOBとベクトルOAで作られる三角形です。

この三角形を作る2つのベクトルのうちの1つのベクトルOAを、下図のように、2つのベクトルに分解します。
すなわち、ベクトルOAを、ベクトルOM(単位ベクトルxのa倍)とベクトルMA(単位ベクトルyのa倍)に分解します。

上図のように、分解されたそれぞれのベクトルを使って2つの三角形を作ります。
1つ目の三角形は、ベクトルOM(単位ベクトルxのa倍)とベクトルOBで作られる三角形BOMです。
2つ目の三角形は、ベクトルMA(単位ベクトルyのa倍)とベクトルME(=ベクトルOB)で作られる三角形EMAです。
上図を見ると、その2つの三角形の面積の和が三角形BOAの面積になっていることがわかります。

ただし、ベクトルOMとベクトルOBで作られる三角形BOMは正の面積ですが、
ベクトルMAとベクトルME(=ベクトルOB)で作られる三角形EMAは負の面積を持つものとします。

この2つのベクトルで作られる三角形の面積が正であるか負であるかの区別は、三角形を作る2番目のベクトルが1番目のベクトルよりも左回りに回転した方向を向いていれば面積が正であり、右回りに回転した方向を向いていれば面積が負であるとして、区別します。

下図のように、それぞれの三角形を面積が同じ直角三角形に変形します。
三角形BOMは直角三角形NOMに変形し、
三角形AMEは直角三角形AMF変形します。
こうして、それぞれの三角形の面積を計算します。
以上のように、元の三角形を構成するベクトルを分解することで三角形を2つに分解して、その2つの三角形の面積の和で元の三角形の面積を計算することができることが確認できました。

なお、上図では、ベクトルOAをベクトルOMとベクトルMAに分解しましたが、ベクトルOAをその他のどんなベクトルの和に分解した場合でも、それらのベクトルが作る2つの三角形の面積の和は必ず三角形BOAの面積になります。

 以上の計算は、以下の式のように単純なルールに基づいて計算できます。
(1)ベクトルxと、(同じ)ベクトルxが作る平行四辺形は1本の線分につぶれていますので、その面積が0です。
(平行な2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は0です。)
(2)ベクトルの順番を入れ替えて外積を計算すると、そのべクトル同士の回転方向が逆回りになるので、面積の正と負が逆になります。

上のベクトルの外積の計算は、三角形BOAがどんな形の場合であっても計算結果が変わらず、
三角形の面積S=(a−a)/2 (式1)
となります。
すなわち、どんな三角形の場合でも成り立つ式(ただし、面積が負になる場合もありますが)です。
そのため、どんな三角形の場合でも上の式が成り立つことが証明できました。

上の式1でクロス積の形をした部分は、行列式とも呼ばれています。

【追加:以上の式から三角関数の加法定理を導き出せる】
以上の証明は数学的な厳密性があるので、この結果を利用して、以下のようにして、三角関数のsinの加法定理を導き出すことができます。

この三角形を下図のように、偏角αとβ(頂点の角度θ=β−α)と辺の長さsとtであらわす。
=s・cosα
=s・sinα
=t・cosβ
=t・sinβ
先に得られた式1は、以下の式に書き直せる。
△BOAの面積S
=s・t(cosα・sinβ−cosβ・sinα)/2 (式2)

一方、2辺と侠角θ=β−αで三角形の面積が計算でき、その面積は、以下の式であらわせる。
△BOA
=s・t・sinθ/2=s・t・sin(β−α)/2 (式3)
式2と式3から、以下の関係が成り立つ。
sin(β−α)=cosα・sinβ−cosβ・sinα (式4)
この式は、後に学ぶ、三角関数の加法定理です。
この、三角関数の加法定理を覚え易い形の式に直すと、以下の式になる。
sin(β+γ)=cosγ・sinβ+cosβ・sinγ

リンク:
第2講4節 点と直線の距離(三角形の面積)
追加講 三角形の面積と行列式
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2011年02月19日(Sat)▲ページの先頭へ
第4講 分点の位置ベクトル(ベクトル方程式の落とし穴)


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

平行なベクトルは、ベクトルに係数を掛けるだけで簡単に作れます。
垂直なベクトルは、ベクトルの成分のX座標とY座標を入れ替えて、1つの座標のみ、正負を逆にすることで作ります。

(注意)ベクトル方程式で、垂直なベクトルを使う場合、以下の注意が必要です。
 ベクトルAとベクトルBがある場合に、ベクトルAに垂直なベクトルCを作ってベクトル方程式を計算する場合に、最小限に独立なベクトルだけに絞り込んで計算します。

最小限に独立なベクトルだけにするために、ベクトルBをベクトルAに平行な成分と、それに垂直なベクトルCに平行な成分に分解して、ベクトルBを消去して計算します。

 この成分への分解が複雑な式になる場合があります。
その場合は、ベクトル方程式を書いて解くよりも、XY座標軸を使って、その座標軸での点の座標の成分を計算して解く方が、速く答えを求められる場合があります。

 その理由は、垂直なベクトルを計算するのに、ベクトルのXY座標成分を使う必要があるからです。そもそも、XY座標成分を考える必要があるなら、始めからXY座標軸だけを考えて計算した方が単純に解けるかもしれないと思います。

 すなわち、特に、垂直なベクトルを新しく計算してから問題を解く場合などでは、垂直なベクトルを扱う手間が余分にかかるので、ベクトル方程式の方が、XY座標軸を使って問題を解く場合よりも、手間がかかる、落とし穴があるので、注意が必要です。

 ただし、このように垂直なベクトルが簡単に作れないという問題は、ベクトルを複素数平面で記述すると一気に解決できます。複素数平面では、垂直なベクトルがとても簡単に作れるからです。

リンク:
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2011年02月17日(Thu)▲ページの先頭へ
第4講 分点の位置ベクトル(メネラウスの定理)


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】
 上の図のように三角形ABCとそれに交差する直線の位置を位置ベクトルであらわして、メネラウスの定理を、ベクトル方程式を用いて証明せよ。


【解の方針】
 2次元平面上の図形の問題をべクトルで解くときの重要な解答方針は、
「2次元平面上の全ての方向のベクトルが、2つの独立なベクトルに係数を掛けて足し合わせることであらわすことができる」
という重要な原理を利用します。
 つまり、全てのベクトルを2つの独立なベクトルの合成によってあらわし、その2つの独立なベクトルを使ったベクトル方程式を作って計算します。

 そのため、上図のようにして、点Aが原点Oにあるとして、直線BCとEFの交点Dを、2つのベクトルOEとOFと2つの変数 t,uを用いたベクトル方程式を用いて、求めます。そして、メネラウスの定理における線分の長さの比を計算します。

【証明開始】


(式3)と(式4)から、以下の式が得られる。
 
 

メネラウスの定理を、以下のように、uとbとcであらわして整理する。
メネラウススの定理は、uについては、(u+1)/uを計算する必要があるため、以下でu+1を計算して、それをuで割り算する。
(証明おわり)

このように、ベクトル方程式を解けば、自然にメネラウスの定理が証明できます。

ベクトル方程式によりメネラウスの定理が導けるので、メネラウスの定理の応用問題もベクトル方程式で解くことができます。

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2011年02月12日(Sat)▲ページの先頭へ
第4講 分点の位置ベクトル(三角形の重心の公式)


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】三角形の重心の位置をあらわす公式を、ベクトル方程式を用いて、三角形の辺の中点と頂点を結ぶ2つの線の交点の位置を計算することで導け。

 これは、その交点をGとして、以下の図のようにして、点Aが原点Oにあるとして、2つのベクトルOBとOCと2つの変数 t,uを用いたベクトル方程式を用いて、求めます。
(注意)この図では、ベクトルで頂点を表す必要から、ベクトルBの長さABを長さbとします。高校1年で頂点Bに対向する線分CAの長さをbと名付けていたことから変わっています。

先ず、重心Gに至る2つの経路について、ベクトルを足し合わせて重心Gの位置ベクトルを計算します。
次に、この2つの位置ベクトルGを等しいとしたベクトル方程式を立てて、計算します。
位置ベクトルB=OBと位置ベクトルC=OCとは異なる方向を向いているので、そのベクトルの和が0になるためには、各々のベクトルOBとOCの係数が0の場合に限られる。
そのため、以下の式がなりたつ。
 この式2を解くと式3が得られる。
 式3を式1に代入して計算する。
これで、重心の位置ベクトルGを表す式が得られた。

次に、点Aが原点Oで無い任意の位置にある場合を計算する。
これは、上で得られた公式を以下のように書き直して計算する。
以上のようにして、三角形の重心はその3頂点の位置ベクトルの和の3分の1になるという、重心の位置の公式が導きだせた。

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