高校数学(三角関数)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年06月01日(Thu)▲ページの先頭へ
3倍角の公式
3倍角の公式はおぼえにくい。
そのため、以下の式1のオイラーの公式を覚えて使って3倍角の公式(式3と式4)をすぐ導き出せるようになって、
3倍角の公式を覚えないで良くなってください。
 上の式3と式4が3倍角の公式です。

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2017年05月29日(Mon)▲ページの先頭へ
三角関数の和と積の公式の証明
三角関数の和と積の公式の以下の式を証明する。

(式1の証明)
以下の図を書いて、中点MのY座標を計算する。
(証明おわり)

(式2の証明)
以下の図を書いて、中点MのX座標を計算する。
(証明おわり)

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2017年05月28日(Sun)▲ページの先頭へ
三角関数の2倍角の加法定理
三角関数の2倍角の加法定理の以下の式を証明する。

(式1の証明)
以下の図を書いて、sin(2θ)を計算する。
(証明おわり)

(式2の証明)
以下の図を書いて、cos(2θ)を計算する。
(証明おわり)

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2017年05月27日(Sat)▲ページの先頭へ
三角関数の和と積の公式の応用問題
【問題1】
 以下の式1と式2が成り立っているとき、g ≡ cos(α+β)を定数aとbであらわせ。

 この問題を自力で解くよう努力してください。
自力で解けたら、解答も読んでください。参考になる別解の例が解答にありますので。
 
(この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります)

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三角関数の加法定理の応用問題
【問題1】
 以下の式1と式2が成り立っているとき、f ≡ cos(α−β)を定数aとbであらわせ。

 この問題を自力で解くよう努力してください。
自力で解けたら、解答も読んでください。参考になる別解の例が解答にありますので。

(この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります)

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2016年10月29日(Sat)▲ページの先頭へ
三角関数の難問
【問1】 
以下の図形のtanθを求めよ。
(注意)この問題は、ラングレーの問題と呼ばれている有名な問題で、難問です。

当ブログでは、三角関数を使って問題を解きます。数U以上を学んで、三角関数の加法定理等を学んだ後にこの問題を解いてください。

数U以上を学んだ学生は、この問題は難問ですが、解けるかどうかチャレンジしてください。

当ブログでは、三角関数の問題として解きましたので、
読者も三角関数で解いてみてください。
(ただし、数学の心に従い解き方は自由です。三角関数を使わないで解いて、後で三角関数の答えを計算して答えを書いてもかまいません。) 

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2011年05月03日(Tue)▲ページの先頭へ
第5講3節 和と積の公式 練習問題(7)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

(以下の問題は、「5講1節(2)覚えておく計算方法」の応用問題です。
【問1】sinA+sinB=2/3,cosAcosB=1/2のとき、
sinAsinBの値を求めよ。

【解答の心構え】 (1)先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
 今回は、求める式がsinAsinBという単純な式なので、求める式をこれ以上にはやさしくはできないと考える。

(2)次に考えることは、なるべく、加法定理関係の公式を使わないで、正弦定理や余弦定理や、「5講1節(2)覚えておく計算方法」を使った見通しが良い解答が無いかを考える。
その結果、以下に説明するように、加法定理も、和と積の公式も使わないで答えが得られるが、それが正解です。

(解答の方針)
この問題は、「5講1節(2)覚えておく計算方法」を使うと式が単純になることを思い出して、sinAsinB=xとあらわして、xの方程式を書いて、xを解く。

先ず、値がわかっているcosAcosB=1/2と、未知数sinAsinB=xとを、
5講1節(2)覚えておく計算方法」にあてはめて、以下の式を書く。
cosAcosB−sinAsin
=cosAcos
+(cosAsinB−cosAsinB)
−sinAsin
=cosA−sin
次に、値がわかっているsinA+sinB=2/3を式の中に組み込めるように式を変形する。
=1−sinA−sin
=1−(sinA+sinB)+2sinAsinB
以上の計算で、以下の方程式が書けた。
cosAcosB−sinAsinB=1−(sinA+sinB)+2sinAsinB
この方程式の各項を、定数あるいは未知数xに置き換えてxの方程式を書く。
(1/2)−x=1−(2/3)+2x
+2x+1−(2/3)−(1/2)=0
+2x+(36−16−9)/36=0
+2x+11/36=0
(x+(11/6))(x+1/6)=0
x=−11/6, 不適(|x|=|sinAsinB|≦1であるため)
or x=−1/6
∴ sinAsinB=x=−1/6
(答おわり)

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2011年05月01日(Sun)▲ページの先頭へ
第5講3節 和と積の公式 練習問題(6)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

(以下の問題は、「覚えておくべき三角形の公式」の応用問題です。
【問1】△ABCにおいて、次の等式がなりたつことを証明せよ。
【解答の心構え】
 先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。
(今回は図を省略するので、図は想像して描いてください)

(解答の方針)
この問題は、式1の右辺が3つの項の掛け算だから難しい。掛け算を解消するように問題を変換する。

式1の右辺をSとして、以下の式に変形する。
三角形の公式により式を変形する
これは、式1の左辺である。
(証明おわり)

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第5講3節 和と積の公式 覚えておくべき三角形の公式
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

以下の、三角形の角度の公式を覚えておくと便利です。

【問1】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
sin((A+B−C)/2)=cosC
sin((B+C−A)/2)=cosA
sin((C+A−B)/2)=cosB

cos((A+B−C)/2)=sinC
cos((B+C−A)/2)=sinA
cos((C+A−B)/2)=sinB

(証明開始)
sin((A+B−C)/2)=sin((A+B+C−2C)/2)
=sin((π/2)−C)=cosC
(証明おわり)
他の式の証明も同様である。

【問2】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
sin(A+B−C)=sin(2C)
sin(B+C−A)=sin(2A)
sin(C+A−B)=sin(2B)

(証明開始)
sin(A+B−C)=sin(A+B+C−2C)
=sin(π−2C)=sin(2C)
(証明おわり)
他の式の証明も同様である。

【問3】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
cos(A+B−C)=−cos(2C)
cos(B+C−A)=−cos(2A)
cos(C+A−B)=−cos(2B)

(証明開始)
cos(A+B−C)=cos(A+B+C−2C)
=cos(π−2C)=−cos(−2C)=−cos(2C)
(証明おわり)
他の式の証明も同様である。

上の公式を覚えておくと、三角形の三角関数の式の証明がやさしくなります。

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第5講3節 和と積の公式 練習問題(5)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて
2cosA+cosB+cosC=2 (式1)
が成り立っていれば、
2sinA=sinB+sinC (式2)
が成り立つことを証明せよ。
 
この問題は、「第4講2節 加法定理(等式の証明(1))」で解いた問題です。
 【重要な注意】
三角関数(特に三角形の角度の三角関数)の問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やxy座標の式に変えて計算する必要があります。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
「第4講2節 加法定理(等式の証明(1))」のように解くのが近道ですが、
以下では、どうしても、三角関数の和と積の公式を使ってこの問題を解きたい人のために、和と積の公式を使って遠回りして問題を解きます。

(解答の方針)
証明すべき対象の
2sinA=sinB+sinC (式2)
を直接証明しようとする前に、この式を、できる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

式2は、3つの項の関係式であるから難しい式になっています。そのため、この式を2つの項だけであらわされる、もっと単純な式に変換しておいてから、問題を解く方針で問題を解きます。

また、式1についても、式2同様に3つの項からなるので難しい式です。この式1も、式2と同様に、2つの項だけであらわされる単純な式に変換して、その上で、その単純な式同士を比較して問題を解きます。

(解答開始)
式2を、以下のように変形して、もっと単純な式に変換します。
ここで、∠Aが180°では無いものとする。
すなわち、
であるものとする。
上に式をこの0で無い項で割り算すると以下の式が得られる。

こうして、式2は、式3のように、2つの項の関係であらわせました。
次に、式1を、変形して2つの項の関係式に変換します。

ここで、
が成り立っているものとする。すなわち、∠A=0となるつぶれた三角形が無いものとする。
その場合は、この0で無い項で上の式を割り算して以下の式が得られる。
式1は、式4のように、2つの項の関係であらわせました。
この式4は、式3と同じ式です。
よって、式1と式2は同じ式3(=式4)に帰着することがわかりました。
(証明おわり)

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2011年04月30日(Sat)▲ページの先頭へ
第5講3節 和と積の公式 練習問題(4)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】以下の式を簡単な式に変換せよ。
cosθ・cos(2θ)・cos(4θ)・cos(8θ)

【解答の心構え】この問題は、いきなり出されても解答を思いつく人はまれだと思う。
(そもそも、以下の答えが「単純」であるかどうかについての異論もあると思う。)
以下の解答を見て、解き方を覚えておくこと。

(解答のコツ)
三角関数を分数に変換する公式を使うことが解答のポイントです。
(解答おわり)

なお、sin(16θ)=sinθとなるような特別な角度の場合には、この答え=(1/16)になる。
例えば、θ=π/17の場合などに、そうなる。

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第5講3節 和と積の公式 練習問題(3)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】頂角に以下の関係がある△ABCはどのような三角形か。
sinA=2cosBsinC

【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。

この問題は、上図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。

変数Aを消去することで問題をやさしくする。
sin(C+B)=2sinCcosB (式1)

三角関数の式を、式の2項を積の式同士に整合する(項の式の形を合わせる)。
そのために、式1の左辺を積の式に変換して右辺の式の形に合わせる。

sinCcosB+sinBcosC=2sinCcosB
sinBcosC=sinCcosB
tanB=tanC
よって、△ABCは、∠B=∠Cの二等辺三角形である。

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2011年04月29日(Fri)▲ページの先頭へ
第5講3節 和と積の公式 練習問題(2)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】頂角に以下の関係がある△ABCはどのような三角形か。
cosA−cosB=sinC

【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。

この問題は、以下の図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。
よって、△ABCは∠B=90度の直角三角形である。

この問題は、三角関数の和と積の公式の問題として出題されていました。その解き方の方は、遠回りになります。
しかし、どうしても解答方法を知りたい人のために、その遠回りな解き方を以下で説明します。

(解答)
 
よって、△ABCは∠B=90度の直角三角形である。

遠回りでしたが、かろうじて解答にたどりつけました。

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2011年04月28日(Thu)▲ページの先頭へ
第5講3節 和と積の公式 練習問題(1)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。

【問1】以下の三角関数の式を簡単にせよ。
f(θ)=cosθ+cos(2θ)+cos(3θ)+cos(4θ)+cos(5θ)

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。

分数式ですが項数が減ったので、式が簡単になった。
なお、ここで、sin(11θ/2)=0になるようなθの値であれば、この式は、定数(−1/2)になる。
例えば、θ=2π/11の場合などに、そうなる。


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第5講3節 和と積の公式
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数の和と積の公式は、加法定理の一種です。
先ず、積を和に変える公式は以下の公式です。

次は、和を積に変える公式です。
cosの和を積に変える公式は以下の公式です。

この公式を使う際には、この証明の最初の1行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。

sinの和を積に変える公式は以下の公式です。

この公式を使う際にも、この証明の最初の1行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。

教科書で教えている公式は以上ですが、
以下の公式も覚えておいた方が良いです。
三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)です。

この公式は、角度B=Aの場合には、以下の式になる。


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第5講1節 2倍角と半角の公式 練習問題(2)覚えておく計算方法
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】以下の公式を証明せよ
cosαcosβ−sinαsinβ=cosα−sinβ

(証明開始)
cosαcosβ−sinαsinβ
=cosαcosβ
+(cosαsinβ
−cosαsinβ)
−sinαsinβ
=cosα(cosβ+sinβ)
−(cosα+sinα)sinβ
=cosα−sinβ

【問2】以下の公式を証明せよ
sinαcosβ−cosαsinβ=sinα−sinβ

(証明開始)
sinαcosβ−cosαsinβ
=sinαcosβ
+(sinαsinβ
−sinαsinβ)
−cosαsinβ
=sinα(cosβ+sinβ)
−(sinα+cosα)sinβ
=sinα−sinβ

式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、以上の計算方法を覚えておいて、すぐ、このように式を変形できるようになっていてください。

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2011年04月27日(Wed)▲ページの先頭へ
第5講2節 a・sinθ+b・cosθの変形
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

の変形の公式は、加法定理の一種です。
とあらわせる。
そして、式1は以下の式に変形できる。
この式はsinの加法定理であるので、以下の式になる。
このように、a・sinθ+b・cosθは、1つのsinにまとめることができる。 

【問1】
xの関数f(x)の0≦x≦(2π)における最大値,最小値を求めよ。

【解答】
倍角の公式より
なお、
−π/4≦2x−(π/4)≦8π−(π/4)
−π/4≦2x−(π/4)≦7π+(3π/4)

この角度の範囲で、この三角関数が単位円を1回転以上回転できる。
∴ −2√2−1≦f(x)≦2√2−1

(解答おわり)

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2011年04月26日(Tue)▲ページの先頭へ
第5講1節 2倍角と半角の公式 練習問題(1)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて、
cosAcosBcosC≦(1/8) (式1)
を証明せよ。そして、△ABCが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。

この解答は、解答のページを参照。

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2011年04月25日(Mon)▲ページの先頭へ
第5講1節 2倍角と半角の公式
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

2倍角の公式は、加法定理の2つの角度が等しい場合の公式です。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
α=βの場合は
sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα
sin(2α)=2sinαcosα
これが、sinの2倍角の公式です。

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
α=βの場合は
cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα
cos(2α)=cosα−sinα
=cosα−sinα+cosα+sinα−1
=2cosα−1
=cosα−sinα−cosα−sinα+1
=1−2sinα
すなわち、
cos(2α)=cosα−sinα
=2cosα−1
=1−2sinα
これがcosの2倍角の公式です。

tan(2α)=2sinαcosα/(cosα−sinα)
分母と分子ともにcosαで割り算すると
tan(2α)=2tanα/(1−tanα)
これがtanの2倍角の公式です。

半角の公式は、以下の公式です。
cos(2α)=2cosα−1
この式を変形する
2cosα=1+cos(2α)
cosα=(1+cos(2α))/2
cos(γ/2)=(1+cos(γ))/2
これがcosの半角の公式です。

cos(2α)=1−2sinα
この式を変形する
2sinα=1−cos(2α)
sinα=(1−cos(2α))/2
sin(γ/2)=(1−cosγ)/2
これがsinの半角の公式です。

tan(γ/2)=(1−cosγ)/(1+cosγ)
これがtanの半角の公式です。

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2011年04月24日(Sun)▲ページの先頭へ
第4講2節 加法定理(等式の証明(4))正弦定理と余弦定理
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【蛇足問題】∠Aと∠Bと∠Cの間に、
∠A+∠B+∠C=π (式1)
の関係があり、
ある長さa,b,c,dとの間に、
sinA/a=sinB/b=sinC/c=1/d (式2)
の関係が成り立つ時、
+c−a=2bc・cosA (式3)
が成り立つことを証明せよ。ただし、余弦定理は証明に利用しないこと。

(注意1)数学の証明に「ある定理を使うな」というように、自由に思考させずに、思考過程に制限を加えるというのは、数学する心(自由に解く)に反する思想であるので、
こういう限定をして出題するというのは、問題がある。
そのため、この問題は、蛇足の問題です。

こういう問題が出題されたら、思考制限規定を無視して、解いても良いと思います。

(証明開始)
この問題の式2は三角形の正弦定理にあてはまります。そのような辺a,b,cと頂点の∠A,∠B,∠Cを持ち、直径dの円に内接する三角形が存在し、その三角形に対して式2の正弦定理が成り立ちます。
そして、その三角形については、式3の余弦定理が成り立ちます。よって、式3は成り立つ。
(証明おわり)
 と解答して良いと思います。

この問題は蛇足問題ではありますが、テストの出題というのでは無く、式の証明を研究するために、以下のように加法定理を利用して解いてみたいと思います。

(注意2)この問題は、たしかに解けますが、だからと言って、正弦定理と加法定理さえあれば余弦定理はいらないなどという誤解はしないで欲しい。
むしろ、その逆で、
加法定理を使って遠回りしてかろうじて問題を解く道があれば、必ず、「正弦定理と余弦定理を使って近道して問題を解く道がある」ということが示されていると解釈して欲しい。

それでは、遠回りした道を通る証明になりますが、
この問題を、出題の意図通りに、正弦定理と加法定理を使って、余弦定理を導く解答の道のりを以下で説明します。

(予備知識:問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
+c−a=2bc・cosA (式3)
を、式2を変換して式3を導出しようとはせずに、
先ずは、この式3を、わかる限り、問題をかみくだいてやさしい問題に変換します。

(解答開始)
式3の左辺を、式2を使って変換する。
式1を使って∠Aを消去する。
加法定理を使ってsin(B+C)を展開する。
(cosの加法定理を使って、sinBsinC−cosCcosB=−cos(B+C)にまとめる)
(式2を使って変換する)
=2bc{cos(A)}
∴ b+c−a=2bc・cosA
(証明おわり)

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第4講1節 加法定理の練習問題6
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のように、3つの平行線の上にそれぞれ点A,B,Cをとる正三角形△ABCがあり、点Bを置いた平行線と線分ACの交点をDとする。
図のように平行線の間の距離をそれぞれp,qとし、△ABCの一辺の長さをaとする。
∠ABD=αとし、∠CBD=βとするとき、sin(α)をp,qであらわせ。

【解答の方針】
α+β=π/3 (式1)
であることを利用して、角度α+βのsinかcosかを加法定理で展開する。
そして、
sinα=p/a (式2)
sinβ=q/a (式3)
から、角αとβのcosを計算して、展開式に代入して未知数を消す。
これにより、未知数aのみが式に残るので、先ずaが求められる。
あとは、そのaの値を式2に代入すれば、求めるsinαが得られる。

(解答開始)
式1を利用した以下の加法定理の式を考える。
cos(π/3)=1/2で値が簡単なので、cosの加法定理を使う。
cos(π/3)=cos(α+β)
=cosα・cosβ−sinα・sinβ,
1/2=cosα・cosβ−sinα・sinβ (式4)

(cosαを式2から求める)
(cosβを式3から求める)
式2、3、5、6を式4に代入する。
両辺を二乗する。
両辺の平方根を計算する。

式7を式2に代入する。
(解答おわり)

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2011年04月23日(Sat)▲ページの先頭へ
第4講1節 加法定理の練習問題5
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のような図形ABCDにおいて、∠B=90°、AB=3、BC=4、CD=6、DA=7とする。
ABの延長線とDCの延長線の交点をPとするとき、線分PCの長さを求めよ。

【解答の方針】
下図のように考える。

@線分ACの長さをbとして図に書きこむ。
角度αとβとγを図に書きこむ。
A角度γについては、余弦定理から求められる。
B長さxについては、αがわかれば、4/x=cosαを利用して計算できる。
この順に計算を進める、解答の方針を立てる。

(解答開始)
図から、
sinβ=3/5
cosβ=4/5
式2から、
これらと式2を式4に代入する。
(解答おわり)

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第4講1節 加法定理の練習問題4
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】三角形ABCの面積をS、辺BCの長さをaとするとき、
であるという。このとき△ABCはどんな三角形か。
ただし、∠Bは0度では無くaも0では無いものとする。

【解答の方針】
 三角形の問題は、先ず三角形を描いて、それから考えます。
 この問題は、何をして欲しいのか何も指定されていない問題です。解答がわからないので、問題の解き方の方向性がわからない問題です。

そのため、自分で、何を答えとするか、ばくぜんと見当をつけておいて、その答えが得られるかどうかを調べます。

特徴的な三角形といえば、直角三角形や二等辺三角形があります。
 三角形を特徴付ける角度と辺の関係を、簡単な式であらわせば、三角形の何らかの特徴があらわれてくるだろうと考えます。
そのため、先ずは、簡単な計算で、式1を簡単な式に変形してみる、方針で計算します。

(解答開始)
この三角形の面積Sは、以下の式でもあらわせます。
式1と式2を面積Sで結ぶ式を求め、式を簡単にしていく。
ここで、a ≠0,sinB≠0であるので、
a ,sinBで式を割り算しても、(a =0,sinB=0という)解の一部が失われることが無い。
そのため、a ,sinB式を割り算して式の計算を進める。
これだけ単純な式が求められた。この式が、どのような三角形をあらわしているかを、図を書いて考える。
上図の様に、式3は∠Aが直角の直角三角形をあらわしていることがわかる。
(解答おわり)

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2011年04月21日(Thu)▲ページの先頭へ
第4講2節 加法定理(等式の証明(3))
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】定数A,B,Cと変数θであらわされる等式
Asinθ+Bcosθ+C=0 (式1)
がすべてのθに対して成り立つための条件は、
A=B=C=0 (式2)
であることを示せ。

【注意】
この問題は、A,B,Cが定数であって、変数θといっしょには変化しないことが問題のポイントです。
もし、A,B,Cがθともに変化する変数でも良いなら、
例えば、A=cosθ, B=−sinθ, C=0でも、式1が成り立つ。
A,B,Cがθとともに変わらない定数という条件が付いているからこそ、式1が成り立つようなAとBとCは、式2のように、すべて0にならなければならないのです。

定数A,B,Cについて変数θの全ての値で式1が成り立つということは、式1が、x=xや1+x=x+1という式と同じような恒等式であるということを意味します。
式1のcosθを何倍しても、どんな定数Cを加えても、sinθになることは無いので、これが恒等的に成り立つには0=0という式、すなわち、A=B=C=0しか無いということがわかります。
一度これを学んだ人は、次回からは、こういう答えでも良いと思います。
(入学試験では、こういう答えで良いだろうと考えます。)
高校生は、最初は、この基礎知識を自分で確認して学ぶために、1回は、これを証明してみせなければなりません。
Ax+Bx+C=0が全てのxに対して成り立つ条件も、
A=B=C=0です。
これも、最初に学んだときに、自分で証明してみたのではないかと思います。

(証明開始)
式1に、θ=0を代入する。
0+B+C=0 (式3)
式1に、θ=π/2を代入する。
A+0+C=0 (式4)
式1に、θ=πを代入する。
0−B+C=0 (式5)
式3+式4を計算する。
2C=0
C=0 (式6)
式6を式3に代入する。
B=0
式6を式4に代入する。
A=0
∴ A=B=C=0
(証明おわり)

【問2】定数A,B,Cと変数θであらわされる等式
Asinθ+Bsin(θ+2π/3)+Csin(θ+4π/3)=0 (式7)
がすべてのθに対して成り立つための条件を求めよ。

0=Asinθ+Bsin(θ+2π/3)+Csin(θ+4π/3)
0=Asinθ+B{sinθcos(2π/3)+cosθsin(2π/3)}
+C{sinθcos(4π/3)+cosθsin(4π/3)}
0=Asinθ+B{sinθ(−1/2)+cosθ(√3/2)}
+C{sinθ(−1/2)+cosθ(−√3/2)}
0={A−(B/2)−(C/2)}sinθ
+{(√3B/2)−(√3C/2)}cosθ (式8)

式8に、θ=0を代入する。
0+{(√3B/2)−(√3C/2)}=0
B−C=0
B=C (式9)
式8に、θ=π/2を代入する。
A−(B/2)−(C/2)=0
A−(1/2)(B+C)=0 (式10)
式10に式9を代入する。
A−C=0
A=C
∴ A=B=C (式11)
(検算)
式11を式8に代入すると、
0=0
たしかに、式11が求める条件である。

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2011年04月17日(Sun)▲ページの先頭へ
第4講2節 加法定理(等式の証明(2))

【問1】三角形ABCにおいて、次の式が成り立つことを証明せよ。
(注意)cotAは
 
で定義されています。

(この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります)

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2011年04月16日(Sat)▲ページの先頭へ
第4講1節 加法定理の練習問題3
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】三角形ABCにおいて、頂点A、Bに対する辺の長さをそれぞれa,bとする。
b=2a (式1)
∠B=∠A+60° (式2)
なるとき、角A,B,Cの大きさを求めよ。

(予備知識)
加法定理を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。
そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の定理(例えば正弦定理)が解答のポイントの問題を解きます。

(解答)
(求める答えを、より易しい答えにできないかを考える)
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

「角A,B,Cの大きさを求めよ」という問題で、三角形の長さも与えられているので、長さと角度の関係を与える方程式が先ず必要と考える。先ずは、正弦定理を直ぐに思いだすことが必要。

正弦定理を使って角度と長さを結びつけた方程式を書けば、角度が長さであらわせ、そうすれば全ての角度が与えられるという、解答の見通しを立てます。

(方程式を書く)
(正弦定理)
式3に式1と式2を代入する。60°=π/3ラジアンと書き直す。
∠A=π/6 または 7π/6
式2に代入して、
∠B=3π/6=π/2 または 9π/6=3π/2
3π/2はπより大きい角度なので不適。
よって、
∠A=π/6
∠B=π/2
∠C=π−∠A−∠B=π−(4π/6)=2π/6=π/3
(解答おわり)

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2011年04月15日(Fri)▲ページの先頭へ
第4講1節 加法定理の練習問題2
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】x−(√3)x−2=0の2つの解を、tanα,tanβとするとき、

の値を求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。


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第4講1節 加法定理の練習問題1
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】
tanα,tanβが方程式x−4x+3=0の2つの解であるとき、tan(α+β)の値を求めよ。


(注意)
 佐藤の数学教科書では、「加法定理」に直接かかわる練習問題は、この(1節)「三角関数とは」に掲載されています。

 (2節)「等式の証明問題」になると、
「加法定理」を学んだ人は、初めて三角関数に関する知識が完全になったと判断され、一人前の基礎知識を持つに至った人と認定されたように見える。

 つまり、それまでは、三角関数の正弦定理の問題にしろ、余弦定理の問題にしろ、問題が難しくならないように、かなりの手加減をして問題を出していたのを、
加法定理以降は、一人前扱いをし、手加減がなくなり、
三角関数を使った問題が一気に難しくなるように見える。

 そのため、これからの三角関数の問題は、正弦定理や余弦定理の問題の難問が多くなり、
以前と比べ難しい問題が多くなる事を覚悟しておいた方が良いと思う。

【解答】
(求める答えを、より易しい答えにできないかを考える)
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

tanの加法定理を思い出して、次の式を考える。
この式1を見ると、(tanα+tanβ)と、tanαtanβが求められれば、tan(α+β)が求められることが見通せる。

tanα,tanβが
方程式 x−4x+3=0 (式2)
の2つの解であるとき、
(xの係数): −4=−(tanα+tanβ) (式3)
定数項:     3=tanαtanβ  (式4)
となる関係を使う。

式3と式4を式1に代入する。
(解答おわり)

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第4講2節 加法定理(等式の証明(1))
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて
2cosA+cosB+cosC=2 (式1)
が成り立っていれば、
2sinA=sinB+sinC (式2)
が成り立つことを証明せよ。

(注意)この問題は、「加法定理」の例題として出されていましたが、
必ずしも加法定理を使って解くものとは限らない。
以下に説明する証明の計算でも加法定理は使わないで証明する。
そして、三角形の正弦定理sinA/a=1/(2R)・・・を使うことが、解答のために本質的に重要。

【重要な注意】
式1のcosの式を、加法定理その他の三角関数の変換定理で変換しても、式2に至りません。そのように、三角関数の計算の自由度は低いです(加法定理などで変換できる式も少しはありますが)。
そのため、三角関数(特に三角形の角度の三角関数)問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やxy座標の式に変えて計算する必要があります。

(予備知識)
受験問題のときは、三角形の角度のsin、cos(三角関数)の式の証明問題は、三角関数の式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。ベクトルを利用して図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
2sinA=sinB+sinC (式2)
を直接証明しようとする前に、この式を、図形の問題として、わかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

三角形の正弦定理sinA/a=1/(2R)・・・を使うと、
2sinA=sinB+sinC (式2)
は、以下の式に書き直せます。
2(a/(2R))=(b/(2R))+(c/(2R))
2a−b−c=0 (式3)
問題がここまで易しくなります。
三角形の辺の長さの関係の式3を証明すれば良いです。

(式1の変形の方針)
正弦定理を使って、証明するべき式2のsinを消去して易しくしたように、ベクトルの内積の式を使って、元の条件の、式1のcosを消去します。

この式を使って、式1を以下のように書き直します。
又は、ベクトルMとNの内積=bc

ベクトルMとNの内積=bcの場合は∠A=0の場合である。
∠A=0の場合には、式3が成り立つとは限らない。

 ∠A>0の場合には、式3が成り立つ。

リンク:
複素数平面を使った解答
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2011年04月12日(Tue)▲ページの先頭へ
第4講1節 加法定理とは(2)
佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数の加法定理の公式は、下図のようにベクトルの内積で考える。
(ただし、ベクトルTはベクトルWに垂直なベクトルである)
(点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前WとSを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです) 

tanの加法定理は、sinの加法定理とcosの加法定理から、以下のようにtanの加法定理が導ける。

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