勉強しようNTTのBlog/一覧

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年09月20日(Wed)▲ページの先頭へ
外接する平行四辺形の面積の公式
ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a−a
で計算する公式が知られています。
 この平行四辺形に外接する図のような平行四辺形CDEFの面積は、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積の2倍です。
(外接する平行四辺形の面積の公式)

この公式は上図から明らかですが、
以下で、この公式を、ベクトルの計算からも導き出してみます。

(外接する平行四辺形の面積の公式の導出)
先ず、ベクトルA,Bを反時計回りに90度回転したベクトルA,Bを考えます。
そして、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積SをベクトルAとBの外積であらわして、それをこれらのベクトルを使って内積であらわします。
ベクトルCDとCFとそれらのベクトルを反時計回りに90度回転させたベクトルを以下の式であらわします。
次に、ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積を以下の式で計算します。
ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積が、ベクトルAとBが張る平行四辺形の面積の2倍である、以下の公式が得られました。 
(公式の導出おわり)

リンク:
高校数学の目次



2017年09月19日(Tue)▲ページの先頭へ
ベクトルの切替の公式
以下の式のように大きさが等しいベクトルAとBがある場合:
以下の式のように、ベクトルの内積を切り替える「ベクトルの切替の公式」が成り立ちます。
 (公式おわり)

このベクトルの切替の公式を適用する例を以下に示す。
【問1】 
上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
 先ず、ベクトルbとcを、外心から引いたベクトルAとBとCであらわす。
この式を、大きさRが等しいベクトルAとBとCの内積であらわし、式を変換する。
ここでベクトル(B+C)は、以下の図の様に辺BCに垂直であり、長さが2mである。
(証明おわり)

リンク:
高校数学の目次




2017年09月18日(Mon)▲ページの先頭へ
外接円の中心の高さmを三角形の2辺と高さから求める
【問1】 
三角形の外接円の半径Rに関するこの式が成り立つことを証明せよ。
【解答】
上の式のように正弦定理を使ってhを計算した。
(証明おわり)

円周角の定理のみでの証明は、ここをクリックした先にある。

また、この関係から、三角形の高さhが分かっている場合に、外接円の中心の高さmが以下の式で計算できる。

リンク:
高校数学の目次




2017年09月17日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトルの合成の公式
【ベクトルの合成の公式】
以下のベクトルの合成の公式が成り立ちます。
直交する単位ベクトルsとtによって左辺の式で表されたベクトルは、左辺の内積に組み込まれているベクトルzに等しい。

【課題】
ベクトルzと、単位ベクトルaとbと、それらを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbを考える。
ベクトルzは、以下の、ベクトルの分解の公式によって、単位ベクトルaとbであらわせる。
このベクトルの分解の公式を導き出すことを課題として、その解の中で、ベクトルの合成の公式を使う。
 
(解答1)
 ここで、ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
以下の式でベクトルaとbであらわされる単位ベクトルsと、それに垂直な単位ベクトルtを考える。 
 この単位ベクトルsとtでベクトルzを分解する。
ここで、単位ベクトルsとtの各要素は以下の式で与えられる。
式4の中のベクトルの要素をこの式5から8で置き換える。
この式にベクトルの合成の公式を適用する。
こうして得られた式は、当初の公式とはちがうが、この式のベクトルaとbをベクトルaとbに互いに入れ替えた式も成り立つ。
 よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(解答1おわり)

(補足)
 ここで、直交するベクトルsとtを単位ベクトルaと単位ベクトルbであらわし、それらのベクトルでベクトルzを分解して計算すれば、最初に記載したベクトルの分解の公式が直接に求められる。

(1)ベクトルaとbであらわした単位ベクトルsとtで分解した式から求められる式が、
ベクトルzとベクトルaの積の項とベクトルzとベクトルbの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルsとベクトルtの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルaとベクトルbであらわしたベクトルの分解の公式になり、
(2)ベクトルaとベクトルbであらわした単位ベクトルsとtで分解した式から求められる式が、
ベクトルzとベクトルaの積の項とベクトルzとベクトルbの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルsとベクトルtの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルaとbであらわしたベクトルの分解の公式になった。

(解答2)
 回答1で定義した単位ベクトルsとtで、回答1と同様にベクトルzを分解し、次に、ベクトルaの項とベクトルbの項に分ける。
式9の中のベクトルの要素を式5から8で置き換える。
この式の中のベクトルsとtの式にベクトルの合成の公式を適用して1つのベクトルzの式に統合する。
よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(解答2おわり)

(補足2)
 この解答2の計算は、以下の計算をする場合には特に注意する必要がある。
(1)互いに直交する単位ベクトルsとtを以下の式で作る。
 (2)この単位ベクトルsとtでベクトルzを分解する。
この式10は以下の式11に変換できるが、この計算では、ベクトルの要素が所属するベクトルに関する情報が失われている式であるので、次の式11への変換を発想することが難しい。
式10を式11に変換できたら、以下の計算を進めることができる。
この式の中のベクトルsとtの式にベクトルの合成の公式を適用して1つのベクトルzの式に統合する。
これにより最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(補足2おわり)

リンク:
高校数学の目次



2017年09月15日(Fri)▲ページの先頭へ
ベクトルの分解の公式
【課題】以下のベクトルzと、
単位ベクトルaとbと、それらのベクトルを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbがあるとき:
ベクトルzをベクトルaとbであらわす公式を導き出す。

【解法その1】 
 ベクトルaとbを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbを加えて考えると、以下の図の関係がある。
上の図の関係から、ベクトルOZは、以下の式の関係で、ベクトルaとbであらわせる。
この式がベクトルの分解の公式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この公式は、単位ベクトルaとbとaとbそれぞれを、単独に定数倍した任意の長さのベクトルに置き換えても、それらの定数倍の係数が公式の分母と分子で打ち消し合うので、それらの任意の長さのベクトルに関しても成り立つ公式である。


(補足2)
 この公式が正しいか否かを調べるため、ベクトルzをこの公式で分解した式について、以下のように、ベクトルaとベクトルbの方向の成分を計算する。
その結果、それらの方向の成分は、それらの方向のベクトルzの成分に等しいので、この公式が正しいことがわかる。

【解法その2】 
 以下の、ベクトルの係数kとkが未知数であるベクトル方程式1を考える。
 この式1に、係数kを消去するベクトルを掛け算する。
 同様に式1に、係数kを消去するベクトルを掛け算する。
式3と式5で得られたベクトルの係数kとkを式1に代入する。
これにより、ベクトルの分解の公式がえられた。
(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次



2017年09月13日(Wed)▲ページの先頭へ
連立方程式をベクトルの内積により計算する
以下の連立方程式を考える。
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積の式5と6であらわすことができる。
この連立方程式を以下のようにしてベクトルを使って解く。

(解答はじめ)
 先ず、式3が成り立つので、以下の式7が成り立つ。
すなわち、ベクトルaとcの和のベクトルと、ベクトルaとcの差のベクトルの内積が0になり、それらのベクトルが互いに垂直である。

 ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
ベクトルaとcの和のベクトルに平行な単位ベクトルsと、
ベクトルcとaの差のベクトルに平行な単位ベクトルtを考える。
ベクトルzを、単位ベクトルsとtに平行な要素に分解してあらわす。
 ここで得られた式8は、ベクトルzの解である。

 この式8をベクトルaの要素とベクトルcの要素で整理すると、もっと複雑な、扱いにくい式になる。
ベクトルは、この式8のように、互いに垂直なベクトル毎にまとめる方が単純な式になる。
この式8が、この計算結果によるzの解をあらわす一番単純な式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この式8が成り立つことは、以下のようにして確認できる。
問題の式5と式6は以下の式に変形できる。
式8が、この式を満足するので、式8が成り立っている。

(補足2)
 この問題のzの解は、以下の式9であらわすこともできる。
この式9は、以上とは異なる発想で解いた結果の式であり、式8と等しい式です。以下の計算によって、式8から式9が導かれます。
こうして、式8から式9が導けました。

 式8も式9も、どちらが優れている(単純な)解だと言うことが出来ない、対等な解です。
 式9は、ベクトルaに垂直なベクトルaと、ベクトルcに垂直なベクトルcを加えてあらわした、使うベクトルの数が多い式ですが、式8よりも計算がし易い式であるとも言えそうです。

この式9は、直ぐには導き出せないので、以下のように整理して公式として覚えておいてください。

【ベクトル方程式の公式1】
以下の連立ベクトル方程式の式a1とa2があるとき:
この連立ベクトル方程式の解は:
である。
なぜなら、式a1と式a2のベクトルzに式a3を代入すると、以下の通り、式a1とa2を満足するからである。
(公式おわり)

【ベクトル方程式の公式2】
以下のベクトルzとaとbがあるとき:
ベクトルaとbを反時計回りに90度回転したベクトルとベクトルbを利用して、以下の関係が成り立つ。
(公式おわり)
 
リンク:
高校数学の目次



2017年09月11日(Mon)▲ページの先頭へ
連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
以下の連立方程式を考える。
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積であらわすことができる。
この連立方程式を解くと以下の解が得られる。
ここで、以下のように、ベクトルaに垂直で長さがaに等しいベクトルaと、ベクトルbに垂直で長さがbに等しいベクトルbを考える。
このベクトルaと、ベクトルbを使って、式5と6の解をベクトルであらわす。
この式7が式3と式4を満足することは、以下の式の計算で確かめることができる。
このように、式7は、式3と4を満足する、連立方程式の解をあらわす。

(補足)
 ここで、以下の式8から10を満足する連立方程式を考える。
この連立方程式の解は式11になる。

 以下のようにしてこの式11を変換する。

先ず、式10が成り立つので、以下の式12が成り立つ。
すなわち、ベクトルaとbの和のベクトルと、ベクトルaとbの差のベクトルの内積が0になり、それらのベクトルが互いに垂直である。

 ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
 先ず、式11の第1項を、その両ベクトルの要素に分解してあらわす。
 次に、同様にして、式11の第2項を、両ベクトルの要素に分解してあらわす。
そして、その第1項と第2項の和でベクトルzをあらわす。
結局、ベクトルzがこの式13であらわされた。
(式の変換おわり)

 この式13は、以下のように考えると、納得できる。

(1)ベクトルaと、ベクトルbは、それぞれ、ベクトルaとbを反時計回りに90度回転させたベクトルとして定義されている。
(2)そのため、式11のベクトルzは、ベクトルbとベクトルaの差のベクトルに平行になり、

(3)それは、ベクトルbとベクトルaの差のベクトルに垂直である。
(4)そのベクトルbとaの差のベクトルは、ベクトルaとbの和のベクトルに垂直であり、
(5)結局、ベクトルzは、ベクトルaとベクトルbの和のベクトルに平行である。

リンク:
高校数学の目次



2017年09月10日(Sun)▲ページの先頭へ
単位ベクトルの要素の2乗の差の公式
単位ベクトルA(a,a)と単位ベクトルB(b,b)について、 以下の公式を証明せよ。

【問1】以下の公式を証明せよ。
− a =a−b


(証明開始)
− a
= a +(a−a) −a
=a(b+b) −(a+a)b
=a−b
=−a+b
(証明おわり)


【問2】以下の公式を証明せよ
− a =a−b

(証明開始)
− a
= a +(a−a) −a
=a(b+b) −(a+a)b
=a−b
=−a+b
 

(証明おわり) 

これらは、公式として覚えてください。
(これらの単位ベクトルの要素をsinとcosであらわして公式をあらわすこともできます。) 

 式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、すぐ、このように式を変形できるように式の変形のコツを覚えておいてください。

リンク:
高校数学の目次



2017年09月09日(Sat)▲ページの先頭へ
ベクトルの内積の公式
「ベクトルの内積の式の変形が思うようにできない」という人は、以下のベクトルの内積の公式をおぼえて、式の変形計算を自由にできるようになりましょう。
 

 この公式は、ベクトルの内積の式を、以下のように変形するために用います。
 ここで、ベクトルBAとベクトルCAの内積を変形します。
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さmをベクトルの内積で計算する定理が得られました。

(注意)このベクトルの内積の公式は、ベクトルの絶対値が等しい場合に限り成り立ちます。この条件が成り立つ場合はあまり多くは無いので、ベクトルの内積の式を自由自在に変形するためには、この公式だけでは不十分で、その他の公式も必要です。

(補足)
 ここで、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、三角形の性質から次の式が得られる。
RcosA=m
また、ベクトルの内積から以下の式が得られる。
この2つの式を、先に得た式に代入する。
これで得た式は、正弦定理を使うことで速やかに導かれる式である。
この式も、ベクトルを変換する公式として利用することで、ベクトルの式を変形する自由度が増すと考える。

リンク: 
高校数学の目次



2017年09月06日(Wed)▲ページの先頭へ
長さの等しいベクトルの張る平行四辺形の面積の公式
ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a−a
で計算する公式が知られています。
 この公式は思い出すのに少し時間がかかるし、何となく使いにくい感じがして、今一つ使いにくい公式のように感じました。
 これに替わる、もっと楽に使えそうな公式がないかを考えました。 

 その結果、以下の、「長さの等しいベクトルAとBの張る平行四辺形の面積の公式」(後の式1から3)が導き出せました。
 このような公式もあることが分かったので、この公式も速やかに導き出すことができるように、以下の公式の導き出し方を覚えてしまいましょう。

上の図で、長さの等しいベクトルAとBの張る平行四辺形の面積Sは、以下の式で計算できる。
よって、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つ理由は、|A|=|B|の場合にベクトルCDとベクトルCFが直交するからです。
式1および式2は、Sの正負が反映されている公式です。
式3は、Sの絶対値をあらわす公式です。

(補足)
 以上の公式は、図から求めることができた。
それらの公式のうち、式2の公式を、以下では、式を展開することで証明する。

(証明おわり)

リンク:
高校数学の目次



2017年09月05日(Tue)▲ページの先頭へ
外接円の半径Rを頂点Aの高さhと辺bとcから求める問題


双曲線の2点の座標の公式
【問1】
 双曲線(x−y=1)に対して、
接点a(a,a)から引いた接線と接点b(b,b)から引いた接線の交点p(p,p)を求めよ。
(参考)接点aと接点bから引いた2つの接線の交点pを、双曲線の極線abに対する極と呼びます。

【解答】
双曲線の式を、以下の式1のf(x,y)=0であらわす。
接点aとbとに、以下の式2と3が成り立つ。
双曲線の接線の公式により、接点aとbとの2つの接線は、以下の式4と5であらわせる。
式4と5を連立させて、2つの接線の交点p(p,p)=(x,y)を求める。
この接点の式を、以下の、双曲線の2点の座標の公式を使って更に変形する。
----<双曲線の2点の座標の公式>--------
式(2)−式(3):
「この式9の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
双曲線の2点の座標の公式です。

 ここで、もう1つの式10で与えられる、2点の座標の公式も覚えて使いましょう。(これは恒等式です)
この式10の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
この式10の公式は、以下の図の平行四辺形の面積をあらわすベクトルの外積の間の関係です。
--------双曲線の2点の座標の公式おわり-----------

問1の解答を再開します。
式6を変形する。
以上の式の変形において、2点の座標の公式10を導いて使いました。
この式11に、双曲線の2点の座標の公式9を代入する。

次に、式7を変形する。
この式13に公式10を代入する。
式12と式14をまとめる。
(解答おわり)

(補足)
 式15は、2つの接線の交点pの位置ベクトルは、点aと点bの中点mの位置ベクトルに平行であることを示している。
また、式15は、点aと点bの中点mの位置が双曲線に近づけば、点pが中点mに近づくことを示している。

リンク:
高校数学の目次



2017年09月01日(Fri)▲ページの先頭へ
円の2点の座標の公式
以下の問題で使われる「円の2点の座標の公式」を覚えましょう。
【問1】
 円(x+y=1)に対して、
接点A(a,a)から引いた接線と接点B(b,b)から引いた接線の交点P(x,y)を求めよ。
(参考)接点Aと接点Bから引いた2つの接線の交点Pを、円の極線ABに対する極と呼びます。

【解答】
円の式を、以下の式1のf(x,y)=0であらわす。
接点AとBとに、以下の式2と3が成り立つ。
円の接線の公式により、接点AとBとの2つの接線は、以下の式4と5であらわせる。

<円の2点の座標の公式>
 ここで、以下の式で与えられる「円の2点の座標の公式」を覚えて使いましょう。
式(2)−式(3):
「この式6の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
円の2点の座標の公式です。

 ここで、もう1つの式7で与えられる、2点の座標の公式も覚えて使いましょう。(これは恒等式です)
この式7の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
この式7の公式は、以下の図の平行四辺形の面積をあらわすベクトルの外積の間の関係です。
----円の2点の座標の公式おわり-----------

問1の解答を再開します。
式4と5を連立させて、2つの接線の交点P(x,y)を求める。
この接点の式を、円の2点の座標の公式を使って更に変形する。

式8に、式7(の逆)を代入して変形する。
この式11に、公式6を代入する。
次に、式9に、式7(の逆)を代入して変形する。
この式13に公式6を代入する。
式12と式14をまとめる。
(解答おわり)

(補足)
 式15は、2つの接線の交点Pの位置ベクトルOPは、点Aと点Bの中点Mの位置ベクトルOMに平行であることを示している。
また、式15は、点Aと点Bの中点Mの位置が円のグラフに近づけば、点Pが中点Mに近づくことを示している。

リンク:
高校数学の目次



2017年08月31日(Thu)▲ページの先頭へ
双曲線の二接線の交点を求める
【問1】
 双曲線(x−y=1)に対して、
接点a(a,a)から引いた接線と接点b(b,b)から引いた接線の交点p(p,p)を求めよ。
(参考)接点aと接点bから引いた2つの接線の交点pを、双曲線の極線abに対する極と呼びます。

【解答】
双曲線の式を、以下の式1のf(x,y)=0であらわす。
接点aとbとに、以下の式2と3が成り立つ。
双曲線の接線の公式により、接点aとbとの2つの接線は、以下の式4と5であらわせる。
式4と5を連立させて、2つの接線の交点p(p,p)=(x,y)を求める。
この接点の式を、以下の、双曲線の2点の座標の公式を使って更に変形する。
<双曲線の2点の座標の公式>
「この式10の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
双曲線の2点の座標の公式です。

式6を変形する。
この式11に、公式10を代入する。
次に、式7を変形する。
この式13に公式10を代入する。
式12と式14をまとめる。
(解答おわり)

(補足)
 式15は、2つの接線の交点pの位置ベクトルは、点aと点bの中点mの位置ベクトルに平行であることを示している。
また、式15は、点aと点bの中点mの位置が双曲線に近づけば、点pが中点mに近づくことを示している。

リンク:
高校数学の目次



2017年08月27日(Sun)▲ページの先頭へ
ベクトル方程式で円の二接線の交点を求める
【問1】
 座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、
接点B(b,bから引いた接線と、接点C(c,cから引いた接線の交点A(a,aをあらわすベクトルを求めよ。
(参考)点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

【解答】
線分OAの長さをaとする。


点BとCの中点をEとする。
2角が等しいため、△ABO∽△BEO
∴OA/OB=OB/OE
a/1=1/OE
OE= 1/a
すなわち、ベクトルOEの長さは1/aで、OAの長さはaである。
そして、ベクトルOAはベクトルOEに平行なので、ベクトルOAは以下の式で計算できる。
(解答おわり)

(別解)
長さgのベクトルEB=βはベクトルOEに垂直である。
そのベクトルEBを90度回転したベクトルαはベクトルOEに平行なベクトルである。
以下では、そのベクトルαを使って、ベクトルOAをあらわす式を計算する。
(解答おわり)

(補足)
 ベクトルOAをあらわす解答の式は、式5と式7との、異なる2つの形の式であらわされた。
 この2つの形の異なる式は、同じ値をあらわし、両者とも、これ以上単純な式であらわすことができない同等な解である。
 この解は、ここをクリックした先のページで、複素数平面の助けを借りて統一された1つの単純な形で表現できる。

 また、この式5の形の解は、xy座標系であらわした接線の式の連立方程式の解では容易には導けない(連立方程式を解くと、通常は、式7の形の解が導かれる)という特徴がある。
 この式5は、以下のベクトルの公式を使うことで、式7に変換できる。
<大きさが同じベクトルbとcの要素の計算の公式>
 この式4の公式を使って、式5であらわしたベクトルOAの1つの成分を変換する。
こうして、式7であらわしたベクトルOAの成分が得られた。
式5であらわしたベクトルOAの残りの成分についても同様に計算すれば、式7であらわしたベクトルOAの成分が得られる。

 また、三角関数を使うと、この2つの式は以下の式に単純化される。

リンク:
高校数学の目次



2017年08月25日(Fri)▲ページの先頭へ
困った時に使う部分積分法
「微分・積分」の勉強

(6)積分の知識:
 「部分積分法」
ここをクリックした先のページのpdfの110ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、部分積分法が書いてあります。

3.3 部分積分法(integration by parts)
置換積分法を用いて.かなりの積分が求められるようになりました.しかし,置換積分法でも手に負えないものがあります.

 ではどうすればいいのでしょうか.そこで,置換積分を用いても不定積分が求められないとき,最後の手段として用いるものに,部分積分法(integration by parts) があります.


定理3.5 (部分積分法)

f(x), g(x) が連続であるとき,次の式が成り立つ.
この式1が部分積分法の公式です。
この式1は、以下の式2の形にして使うことができます。

【例題】
 この積分を計算します。
(解答はじめ)
先ず、以下の媒介変数 f を導入します。
式2の部分積分の計算をします。
 こうして、積分ができました。
(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次



2017年08月18日(Fri)▲ページの先頭へ
高校2年生も覚えるべき置換積分法
「微分・積分」の勉強

(6)積分の知識:
 「置換積分法」
ここをクリックした先のページのpdfの108ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、置換積分法が書いてあります。

3.2 置換積分法(integration by substitution)
不定積分∫f(x)dx を求めるときに,

f(x)dx の x を媒介変数 t の関数g(t) に置き換えることにより,
f(x)dx を f(g(t))g’(t)dt という,積分し易い形に変形することを置換積分法(integration by substitution) と いいます.

定理3.4 (置換積分法)
f(x) が連続であるとき,

x = g(t) とおくと,g(t) が微分可能であれば,

が成り立つ.


(証明開始)
(1)先ず、xを媒介変数 t の関数g(t)で表す。
xはtが変化したときにどのくらい変化するか調べるため、x=g(t)をtで微分する。
x=g(t)がtで微分可能((Δx/Δt)の極限が有限の値になる)なら、
Δxが以下の式であらわされる。
(2)その場合に、以下の式が成り立つ。
ただし、xで積分するxの積分範囲がg(a)からg(b)までの場合に、
tで積分するtの積分範囲は、aからbまでにする。
(証明おわり)

(置換積分の例題)
下図の関数の積分を考えます。
この積分は、以下の様に変数xを変数tに変換する置換積分で計算することができます。
=2
です。
この変数変換をすると、A点からB点までの積分は、下図の関数の積分に変わりました。
そのため、積分が簡単になり、
積分結果が2になりました。
(例題おわり)

(補足)
この関数の積分は、A点からC点までの範囲までならばリーマン積分が可能です。
その積分可能範囲は、C点をB点に近付けた場合の積分結果の極限値をB点までの積分値であると、積分可能範囲の定義を拡張できます。

 一方で、この積分は、以下の様に変数xを変数tに変換する置換積分で計算できました。
この変数変換をすることで、A点からB点までの積分は、下図の関数の積分に変わりました。
上図の積分の場合、A点からB点までの範囲での関数の値が有限値なので、リーマン積分が可能です。
この変数tに変換した積分のA点からB点までの積分可能範囲が、変数xでの積分の、拡張した積分可能範囲と一致しました。

リンク:
高校数学の目次



2017年08月17日(Thu)▲ページの先頭へ
微分積分はどうすれば勉強できるか(2)
「微分・積分」の勉強
 高校2年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由(証明)がわからない」で数学の学習から脱落する高校2年生が多いらしい。
 その脱落の原因を考えます。

高校では、定積分を以下のように教えています。
【関数f(x)の定積分を以下のように定義する】
(1)微分したらf(x)になる関数F(x)を見つけること。
この関数F(x)を原始関数と呼ぶ。
この原始関数を使って、以下の計算で定積分する。


【問題点】
 数学センスを持つ人が知っている以下の常識があります。
「何かが存在するならば、それで何かができる」という定理であって、
その存在する「何か」の集合がどういうものであるかが示せない、
言い換えると、その定理がいつ使えて、いつ使えないかを示せない、
という定理には、定理としての価値が無い』と言う常識です。
例えば、
「関数f(x)にxを掛け算した関数をF(x)とする。このとき、F(x)の微分がf(x)となる関数F(x)が存在するならば、その関数F(x)がf(x)の積分である」
という「定理」には価値が無い。
f(x)=1の場合
F(x)=xとなり、たしかにこの「定理」が成り立っている。
f(x)=xの場合、
F(x)=xとなり、
F’(x)=2x≠f(x)なので、この定理が規定する存在条件を満足する関数F(x)が無い。
よって、この場合も、この定理には矛盾がない。

 しかし、この論理には大きな欠陥があります。
「言っていることが成り立つ場合に、その定理が使える」
という条件を加えた定理は、いつだって成り立ちます。なぜならば、成り立たない場合は、その定理の適用範囲外だと規定しているからです。
 この「定理」は、いつ使えるかを明確化した定理に書き換えることができ、その書き換えた定理は:
「関数f(x)にxを掛け算した関数をF(x)とする。関数f(x)が定数である場合に限り、その関数F(x)がf(x)の積分である」
というように、内容を明確化して書き換えることができます。
 このように、いつ使えるかを明確化してみると、元の「定理」は、いつ使えて、いつ使えないかを定義せずあいまいにしている「ごまかし」があっただけとわかります。定理は、このように明確化しなければなりません。
 そのため、いつ使えて、いつ使えないかを定義していない定理は、
解くべき問題(いつ使えて、いつ使えないかという問題)を解かずに、
問題をあいまいにしている「ごまかし」があるので、
定理としての価値がありません。

【関数f(x)の定積分を以下のように定義する】では、原始関数F(x)が存在すれば、という適用除外条件があり、しかも、その適用が除外されない、存在するF(x)とはいかなるものかということが定義されていないので、無価値な定義です。
 原始関数の正しい定義は、以下のように定義できます。
【原始関数の正しい定義】
 微分不可能な点が無限にある関数F(x)もあります。その微分不可能な点では、その関数F(x)は原始関数ではありません。
 ただし、変数xの定義域から、微分不可能な点の変数xの値を除外した定義域では、その関数F(x)が原始関数になります。
(原始関数の定義)
 関数F(x)をxで微分する。その場合に、変数xの値のある範囲で微分でき、微分係数が与える関数がf(x)となった場合、
関数F(x)を、そのxの範囲に係わる関数f(x)の原始関数と呼び、
関数f(x)を関数F(x)の導関数と呼びます。
【原始関数の作り方】
 以下の式で定積分(定積分とは何かは後で説明します)をあらわすことができる関数F(x)を求める計算を積分と呼ぶ。

ここで得た関数F(x)を不定積分と呼ぶ。
この関数F(x)が、変数xのある範囲で微分できた(微分可能な)場合に、すなわち、
が成り立つ場合に、
F(x)は、先の原始関数の定義に従って、
xのその範囲に係わるf(x)の原始関数です。
(定義おわり)

 “論証"・論証"とやかましくいっておきながら,微積のところへ来ると,とたんにいいかげんな議論でごまかしている。一ーまた高校ではごまかさざるを得ないだろう。高校数学の目的は生徒のあたまを混乱させることにあるのだろうか。

 現在の高等学校の教科書は,積分の概念の説明を回避している。



 1997年からは、日本の高校の数学IIで面積が無定義に用いられという、数学センスを否定する蛮行が行なわれた。そして、関数f(x)のグラフとx軸で囲まれる領域の面積を,x方向で微分するともとの関数f(x)になり、面積の微分がf(x)となるという本末転倒なことを教えるようになった。
 このような、数学センスに反する無価値な情報をおぼえることを強制された場合、それを覚えることを拒否して良いと考えます。
 一つの選択としては、理系に進むのを止めて文系に進むことがあります。
 しかし、数学が好きな学生には、それはできない、と考えます。
その学生のために、以下の様に微分積分を学ぶことを推薦します。

(微分積分の学び方)
 ヨーロッパやアメリカでは、「高校で微分積分を教えるのは、直観にうったえる内容に限られ、正確な微分積分を教えられない」という理由で、微分積分は大学生に教える科目になっています。
 日本の大学でも、その欧米の教育に合わせて、初めて学ぶ者に分かるように微分積分を改めて教育しているようです。
 大学で使う微分積分の参考書は、高校で教える微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれています。
 しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、日本の高校生向けの微分積分の参考書よりやさしく分かり易い。

 高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
 微分については、大学生向けの参考書で無料でダウンロードできる、
「微分積分学入門」(横田 壽)
を読んでみることをお勧めします。
(しかし、同じ著者の書いた高校生向けの参考書「確実に身につく微分積分(2012年)」の1版は、内容が劣化しているのでお勧めできません。大学生向けの本物の知識の参考書「微分積分学入門(2004年)」を読んでください。)

「微分積分学入門」(横田 壽)の読み方は、 66ページから始まる2章「微分法」の以前のページは斜め読みして、何が書いてあるらしいかを漠然と把握しておいて、
66ページ以降の2章「微分法」をお勧めします。
読んでいるうちに知らない関数や概念が出てきたら、66ページ以前に書いてありますので、探して、その部分を読んで理解するように勉強してください。

 積分については,ここをクリックした先のpdfファイルにある原教授の以下のコメントが大切です。
---(原教授のコメント開始)---------
 積分については高校でも習ってはいるが,その基礎を突き詰めていくといろいろと困ったことがでてくる.
特に 「積分は微分の逆演算」として定義すると,「ある関数 f の積分を求めよ」という問題や「この関数の積分は定義でき るか?」という問題でハタと困ってしまう.
(微分して f になるような関数がわからない場合,高校までの知識ではお手上げだ.)
この節では高校までの知識はいったん忘れて,「積分とは何か」「積分をどのように定義すべきか」か ら話を始める.

4.1 積分(定積分)の定義
 ということで,まずやるべきは「与えられた関数f(x) に対して,その積分を定義すること」である.
これから見ていくように,かなり広いクラスの関数に対してその積分(定積分)を定義することができる.
定積分を通して不定積分も定義できるので,高校までの知識とのつながりがつくことになる.
・・・
積分の最も素朴な定義はこれから紹介する「リーマン和」に基づくもので、、、
---(原教授のコメントおわり)------ 


「微分積分学入門」(横田 壽)は、積分の説明もわかり易いのでお勧めですが、先ずは124ページのリーマン積分を読んでから、次に、その前のページに書かれている積分の説明を読んで欲しい。
 
(積分の計算の基本) 以下のグラフのように、面積を分割して、分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が「定積分」です。
 この計算のための法則性を整理して覚えることが「積分」を勉強するということです。

(「リーマン積分可能」の定義)
「微分積分学入門」(横田 壽)の124ページから125ページに「リーマン積分可能」の定義が書いてあります:

 ここではドイツの数学者G.F.B. Riemann (1826-1917) によって示されたRiemann 積分につ いて学んでいきます.リーマン積分による「積分可能」の定義は、全ての種類の「積分可能」の定義の基礎になっています。
  f(x) は閉区間[a, b] で定義されているとします.この閉区間[a, b] を次のような点xi(i = 1, 2, . . . , n) でn 個の小区間に分割します.
(a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b)

 この分割をΔ で表わし, Δxi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n) のうちで最も大きい値を|Δ| で 表わします.
いま,それぞれの小区間[xi−1, xi] のなかに任意の点ξi をとり,Riemann 和 (Riemann sum) とよばれる次の和を考えます.

このとき、
となる実数S が存在するならば,このS をf(x) の定積分(definite integral) といい, f(x) は閉区間[a, b] で積分可能(integrable) であるといいます.また,このS を次のように表わします.
つまり関数f(x) が閉区間[a, b] で積分可能であるということは,分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まるということです.

 この定義に従い、関数の積分可能性を以下の様にして調べることができます。
先ず小さな閉区間[a, b] を定めて、
その閉区間の小区間への分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まる(積分可能)か否かを調べることができます。 

(積分可能な例1)
以下の図の関数f(x)のグラフを考えます。
この関数は、x=0の点での極限とx=2の点での極限が存在しません。
x=0の点とx=2の点で関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、
−1≦x≦3
の区間を細分した各小区間での関数の値の和が一通りに定まるので、その不連続点を中間に持つ区間でも積分可能です。
この関数f(x)を積分して、以下の図の関数F(x)を求めることができます。
この関数F(x)を微分して下図のグラフの関数を求めます。
x=0とx=2の点では、微分係数が存在しないので、その点では微分できません。
この(dF(x)/dx)のグラフは、x=0とx=2で関数値が存在しないという点で、関数f(x)と異なるグラフになるという特徴があります。
(関数f(x)の原始関数について)
変数xの、x≠0とx≠2の範囲に係わる関数f(x)の原始関数がF(x)であると言えます。

 この微分結果のグラフを再度積分したらどうなるでしょうか。
その積分結果は、再び同じ関数F(x)が得られると考えます。
x=0の点とX=2の点の有無で異なる2つのグラフを積分したら、同じ関数F(x)が得られました。
そのため、関数f(x)に積分結果の関数F(x)を対応させる写像変換は、
2個以上の関数f(x)に1つの関数F(x)を対応させる、
複数対1の写像であると考えられます。

 特に、積分では、被積分関数が連続関数である場合と、その連続関数の1点の関数値が存在しない(あるいは0等の値になる)不連続関数である場合とが区別できない。
(不連続関数f(x)の積分と、その微分の例)
 関数f(x)を:
変数xが整数の点では関数値が存在せず、
変数xが整数以外の点では値が1、
である不連続関数とします。
(上図において、x=整数の不連続点のxの値に対して、そのxの値における極限の値をf(x)の値に置き換えてf(x)=1とすれば関数が連続関数になります。そういう不連続点のことを、「除去可能な不連続点」と呼びます。)
 この不連続関数 f(x)のグラフを積分したら、
連続な関数 F(x)=xが得られます。
この連続関数F(x)=xを微分したら、
連続関数であるy=1が得られます。
(関数f(x)の原始関数について)
整数以外の変数xの範囲に係わる関数f(x)の原始関数がF(x)=xであると言えます。

 このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
 関数f(x)の変数xの一部の区間での積分結果がF(x)となる関数F(x)と元の関数f(x)との間の微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
(上図で、関数f(x)は、除去可能な不連続点を除去した関数です。関数F(x)は、変数xの値の範囲が、x1とx4を除いた範囲でf(x)の原始関数です。一方、関数F(x)は、変数xの値の範囲が、x1を除いた範囲で関数f(x)の原始関数でもあります
 このように、関数の不連続点がらみで、関数f(x)とF(x)の間に難しい関係があることが分かりました。

 微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
 そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、連続な「連続関数」 を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。

 微分積分学は、微分可能な関数と積分可能な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をします。「微分可能」と「積分可能」という制限条件を定め、その制限条件を満足する関数を扱うのが微分積分学だと認識することがとても大切です。

リンク: 
高校数学の目次



2017年08月16日(Wed)▲ページの先頭へ
連続関数の定義
 高校2年になり学ぶ微分積分は、あらゆる関数に対する微分積分を考えるととても難しくなります。
不連続関数が特に問題を難しくする元になっています。

 そのため、不連続関数を除外することで、微分積分の問題を易しくします。

 そのように、不連続関数を除外した残りである連続関数を正確に定義し、頭を整理しましょう。  

ここをクリックした先のページのpdfの39ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、連続関数の定義が書いてあります。

不連続関数を含めた関数の極限、

を考えるときには,
x0 での極限の有無にかかわらず、 x0 での関数f(x)の値f(x0)定義されている必要はありませんでした.
また,関数f(x)の値 f(x0) が存在しても、その値がx0 での極限値
と一致する必要もありませんでした.

そのように無制限な関数の条件に、新たに、
極限値とそこでの関数の値が等しいという条件を加えてみます。

そうすることは,以下で説明するように、
関数がある点で連続である
という条件を加えるという意味を持ちます.
【定義1.4 (連続関数) 】
 関数f(x) は区間(x0 − δ, x0 + δ) で定義されている.

が成り立つとき, f(x) はx = x0 で連続(continuous) であるという.

 この定義により,関数f(x) の定義域が区間(x0 − δ, x0 + δ) を含んでいるとき,関数f(x) は次 の2 つの不連続の場合を除外できて、x = x0 で連続になります.
(関数がx = x0 で不連続となる2つの場合)
   (場合1)      (場合2)
図1.13 不連続の例

(場合1)
 
が存在しない場合。

(場合2)
は存在するがその値はf(x0) と等しくない場合。

(場合1)では、x0 は真性不連続点(essential discontinuity) といい,
(場合2)では,x0 は除去可能な 不連続点(removable discontinuity) といいます.
 つまり,(場合2)では,f(x0) の値を新たに 定義することにより,x0 で関数を連続に修正することができます.


 ここで,関数を連続に修正できない(場合1)であるか否かを調べるのに便利なものがあります.

(左側極限値)(left-hand limit)
 x をx0 に近づけるとき,
特にx < x0 という制限があるときには, 
x はx0 より小さい値を とりながらx0 に近づくので,これを
x → x0 − 0 またはx → x0− 
と表わします.
(右側極限値)(right-hand limit)
 同様に,
xがx0 より大きい値をとりながら, x0 に近づくとき,これを
x → x0 + 0 またはx → x0+ 
と表わします.

 この左側極限値と右側極限値が一致すれば、極限値を持ち、
x0 において除去可能な不連続点を持つ、場合2の関数であるか、
又は、
x0 において連続な関数か、
のどちらかです。

そして、更に、その極限値をf(x0) と等しくすれば、
x0 において連続な関数になります。

リンク:
高校数学の目次



2017年08月12日(Sat)▲ページの先頭へ
積分可能の定義
「微分・積分」の勉強
 高校2年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由(証明)がわからない」で数学の学習から脱落する高校2年生が多いらしい。
 その脱落の原因は、高校2年の極限・微分・積分の授業では、数学のうたい文句から外れた教育がされるからではないかと考えます。

 “論証"・論証"とやかましくいっておきながら,微積のところへ来ると,とたんにいいかげんな議論でごまかしている。一ーまた高校ではごまかさざるを得ないだろう。高校数学の目的は生徒のあたまを混乱させることにあるのだろうか。
 
すなわち、今までは、
「数学は、公式を正しく証明した後にその公式を使う」
と言って来たが、
高校2年生の、極限・微分・積分の授業からは、
「数学は、計算結果さえ合えば良い、途中の経緯は問わない、公式の証明は間違っていても問題視しない」
という教育思想が入り込み、
その思想の行き過ぎを避けるため、
「便利すぎる公式は、それをつかって直ぐ答えが得られてしまうから教えない」
という思想が混ざり、
数学教育に大きな濁りが入り込むので「微分積分がつまらない」となる原因があるのではないかと考えます。

 その濁りに押し流され無いため、高校2年生も 公式を厳密に証明して納得してから使う、数学の心に従って極限・微分・積分の学習をして欲しいと考えます。

 先ず、積分とは何かを、積分可能のハッキリした定義を知ることで頭を整理しましょう。
 積分については,ここをクリックした先のpdfファイルにある原教授の以下のコメントが大切です。
---(原教授のコメント開始)---------
 積分については高校でも習ってはいるが,その基礎を突き詰めていくといろいろと困ったことがでてくる.
特に 「積分は微分の逆演算」として定義すると,「ある関数 f の積分を求めよ」という問題や「この関数の積分は定義できるか?」という問題でハタと困ってしまう.
(微分して f になるような関数がわからない場合,高校までの知識ではお手上げだ.)
この節では高校までの知識はいったん忘れて,「積分とは何か」「積分をどのように定義すべきか」か ら話を始める.

4.1 積分(定積分)の定義
 ということで,まずやるべきは「与えられた関数f(x) に対して,その積分を定義すること」である.
これから見ていくように,かなり広いクラスの関数に対してその積分(定積分)を定義することができる.
定積分を通して不定積分も定義できるので,高校までの知識とのつながりがつくことになる.
・・・
積分の最も素朴な定義はこれから紹介する「リーマン和」に基づくもので、、、
---(原教授のコメントおわり)------


(積分の計算の基本)
定義6.1(Riemann積分) 同志社大学 押目教授

閉区間[a, b]上において有界(有限な最大値と有限な最小値を持つ)な関数f(x)に対して、
以下の小区間への分割の仕方および小区間内の点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和Sが一通りに定まる時,
f(x)は閉区間[a, b]において(Riemann)積分可能という.


 以下のグラフのように、面積を分割して、分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が「積分」です。
 この計算のための法則性を整理して覚えることが「積分」を勉強するということです。

(「リーマン積分可能」の定義)
「微分積分学入門」(横田 壽)の124ページから125ページに「リーマン積分可能」の定義が書いてあります:

 ここではドイツの数学者G.F.B. Riemann (1826-1917) によって示されたRiemann 積分につ いて学んでいきます.リーマン積分による「積分可能」の定義は、全ての種類の「積分可能」の定義の基礎になっています。
f(x) は閉区間[a, b] で定義されているとします.この閉区間[a, b] を次のような点xi(i = 1, 2, . . . , n) でn 個の小区間に分割します.
(a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b)

 この分割をΔ で表わし, Δxi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n) のうちで最も大きい値を|Δ| で 表わします.
いま,それぞれの小区間[xi−1, xi] のなかに任意の点ξi をとり,Riemann 和 (Riemann sum) とよばれる次の和を考えます.

このとき、
となる実数S が存在するならば,このS をf(x) の定積分(definite integral) といい, f(x) は閉区間[a, b] で積分可能(integrable) であるといいます.また,このS を次のように表わします.
つまり関数f(x) が閉区間[a, b] で積分可能であるということは,小区間への分割の仕方および小区間内の点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まるということです.

 この定義に従い、関数の積分可能性を以下の様にして調べることができます。
先ず小さな閉区間[a, b] を定めて、
その閉区間の小区間への分割の仕方および小区間内の点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まる(積分可能)か否かを調べることができます。 

(積分可能な例1)
以下の図の関数f(x)のグラフを考えます。
この関数は、x=0の点での極限とx=2の点での極限が存在しません。
x=0の点とx=2の点で関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、
−1≦x≦3
の閉区間を小区間に細分した各小区間での関数の値の和が一通りに定まるので、その不連続点を中間に持つ区間でも積分可能です。
この関数f(x)を積分して、以下の図の関数F(x)を求めることができます。
この関数F(x)を微分して下図のグラフの関数を求めます。
x=0とx=2の点では、微分係数が存在しないので、その点では微分できません。
この(dF(x)/dx)のグラフは、x=0とx=2で関数値が存在しないという点で、関数f(x)と異なるグラフになるという特徴があります。
(関数f(x)の原始関数について)
変数xの、x≠0とx≠2の範囲に係わる関数f(x)の原始関数がF(x)であると言えます。

 この微分結果のグラフを再度積分したらどうなるでしょうか。
その積分結果は、再び同じ関数F(x)が得られると考えます。
x=0の点とX=2の点の有無で異なる2つのグラフを積分したら、同じ関数F(x)が得られました。
そのため、関数f(x)に積分結果の関数F(x)を対応させる写像変換は、
2個以上の関数f(x)に1つの関数F(x)を対応させる、
複数対1の写像であると考えられます。

 特に、積分では、被積分関数が連続関数である場合と、その連続関数の1点の関数値が存在しない(あるいは0等の値になる)不連続関数である場合とが区別できない。 

(不連続関数f(x)の積分と、その微分の例)
 関数f(x)を:
変数xが整数の点では関数値が存在せず、
変数xが整数以外の点では値が1、
である不連続関数とします。
(上図において、関数f(x)の不連続点である、変数x=整数での関数f(x)の極限値を、その変数xの位置での関数f(x)の値にして不連続点を除去すれば、関数f(x)=1となる連続関数になります。)
 この不連続関数 f(x)のグラフを積分したら、
連続な関数 F(x)=xが得られます。
この連続関数F(x)=xを微分したら、
連続関数であるf(x)=1が得られます。
(関数f(x)の原始関数について)
整数以外の変数xの範囲に係わる関数f(x)の原始関数がF(x)=xであると言えます。

(積分可能な例2)
上のグラフは、不連続な関数f(x)のグラフですが、積分可能なグラフの例を示しています。

 上の図の関数f(x)がリーマン積分可能なのは、変数xの全区間の部分区間毎です。
第1の部分区間:
ー∞<x<A
第2の部分区間:
A’<x≦C
(点Aで関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、
ー∞<x≦C
まで合わせた区間でも、関数の区間を細分した各小区間での関数の値の和が一通りに定まるので、その不連続点Aを中間に持つ区間でも積分可能です。)

(点Bでは、関数が無限大になるので積分ができません)
第3の部分:
D≦x<+∞

(注意1)
 リーマン積分では、点A’から点Dまで、関数f(x)の値が無限に大きくなる点Bを中間に持った区間で関数f(x)を積分することができません。
その理由は:
無限に関数値が大きくなる点Bを中間に持つと、その点Bを中間に持つxの小区間で、
細分の幅Δxがどれだけ小さな値であっても、
(1/Δx)≪f(ξ)
となる関数値f(ξ)を選ぶことができるからです。
そういう関数値f(ξ)を選んでしまうと、関数値の総和が定まらなくなってしまうからです。

(注意2)
 しかし、上図の関数f(x)は、B点の左側の区間で、X=A’からx=Cまでの積分の値の、Cを無限にBに近付けた極限の有限の値を持つものとします。
また、B点の右側の区間で、X=DからX=+∞までの積分の値の、Dを無限にBに近付けた極限の有限の値を持つものとします。
「そのように左側の区間のC点及び右側の区間のD点をB点に近付けた極限での積分の値が存在するならば、
B点の左側の区間の積分値と、B点の右側の区間の積分値の和を、点Bを中間に持つxの区間での積分とする」
と言うように、関数f(x)の「積分可能性」の定義を拡大することができます。 

(連続関数の積分)
 下図のグラフの関数は連続関数で、関数の極限が存在するが、でこぼこしていて、でこぼこがxのあらゆる有理数にまで在り、どの有理数のxの位置においても微分不可能な関数です。
 上図のグラフのよう微分不可能な位置(x=有理数の点)が無限にある関数であっても、積分はできます。
元の関数が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数を積分した関数は微分可能な関数になります。
こうして、極限が存在する関数を積分して関数群を作れば、その関数群は皆、微分可能な関数であることが保証されます。

(極限が存在しない点が無限にあり、積分不可能な関数)
 しかし、下のグラフの関数f(x)のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
 例えば、 
xが有理数の場合にf(x)=0であって、
xが無理数の場合のf(x)=1
という、極限が存在しない関数f(x)などです。
(f(x) ≡ 1−ディリクレ関数)
 そういう、極限が存在しない関数f(x)を積分して関数F(x)を得た場合(もし積分できた場合)、その積分により得られた関数F(x)は微分可能だろうか。
 そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数f(x)が積分できても、その積分した関数F(x)を微分した場合に、元の関数f(x)は(極限値が存在しないので)、微分によっては得られないと考えます。

 この関数f(x)の変数x=x1からx=x2までの変数xの閉区間をn等分した小区間を作り、その小区間毎にf(x)の値f(ξ)を求めて、その値の和で積分します。
(1)その際に、 変数x=ξが全て有理数なら、f(ξ)=0になり、積分結果は0になります。
(2)一方、変数x=ξが全て無理数√2の有理数倍なら、f(ξ)=1になり、積分結果は(x2−x1)になります。
(3)小区間内の点ξの取り方によってf(ξ)の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数f(x)は積分することができません。
(但し、無理数は有理数の可付番無限大倍よりも多く圧倒的に多い無理数を優先して計算するルベーグ積分という定義もあります。)

(極限が存在しない点が無限にあり、積分可能な関数)
上図のノコギリ関数g(x)を使って以下の関数を作ります。
この関数f(x)は、以下のx座標で極限が存在しない。
その他、
x=奇数/(整数×2)
の点では極限値が存在しない。

しかし、この関数f(x)は積分できて、連続関数G(x)が得られる。
積分結果の連続関数G(x)は微分できるxの値がある。
(関数G(x)は、元の関数f(x)の極限が存在しない有理数のxの値では、微分不可能です)
関数G(x)の微分結果は、以下の関数g2(x)を使ってあらわすことができる。
微分結果のグラフは、以下の(x)のグラフになります。
ただし、このf(x)のグラフは、関数f(x)の極限が存在しない有理数のxの値では、このグラフf(x)が不連続であり、かつ、グラフf(x)の関数値が存在しない。
この関数f(x)は、不連続点では関数値が存在しないが、関数f(x)は、不連続点でも関数値が存在します。
その点で、関数f(x)が、積分以前の関数f(x)と異なっています。
しかしながら、「微分可能」な変数xの値での関数f(x)の値は積分以前の関数f(x)の値と同じになります。
おもしろいことに、この関数f(x)のグラフは、
x=無理数の位置で「連続」です。
そのxの無理数の値から無限に小さい距離の近くにも有理数の値のxの不連続点があるにもかかわらずです。

 このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
 関数f(x)の変数xの一部の区間での積分結果がF(x)となる関数F(x)と元の関数f(x)との間の微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
(上図で、関数f(x)は、除去可能な不連続点を除去した関数です。関数F(x)は、変数xの値の範囲が、x1とx4を除いた範囲でf(x)の原始関数です。一方、関数F(x)は、変数xの値の範囲が、x1を除いた範囲で関数f(x)の原始関数でもあります
 このように、関数の不連続点がらみで、関数f(x)とF(x)の間に難しい関係があることが分かりました。

 微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
 そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、連続な「連続関数」 を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。 

 微分積分学は、微分可能な関数と積分可能な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をします。「微分可能」と「積分可能」という制限条件を定め、その制限条件を満足する関数を扱うのが微分積分学だと認識することがとても大切です。
 しかし、この一番大切な概念を高校2年には教えない。高校3年に至っても「積分可能」の概念を教えていないようです。 
 しかも、1997年からは、日本の高校の数学IIで面積が無定義に用いられという、数学センスを否定する蛮行が行なわれた。そして、関数f(x)のグラフとx軸で囲まれる領域の面積を,x方向で微分するともとの関数f(x)になり、面積の微分がf(x)となるという本末転倒なことを教えるようになった。

 現在の高等学校の教科書は,積分の概念の説明を回避している。

 “論証"・論証"とやかましくいっておきながら,微積のところへ来ると,とたんにいいかげんな議論でごまかしている。一ーまた高校ではごまかさざるを得ないだろう。高校数学の目的は生徒のあたまを混乱させることにあるのだろうか。

 このようなデタラメな教育では、高校生に微分積分が分からないのも無理無いと考えます。

注意 5.3 1969年の日本書院の高校の教科書の数学IIIで, 定積分は次のように定義されている.
関数 y = f(x) は閉区間 [a, b] で連続とする.

(関数が不連続な場合への積分の定義の拡大を排除していないので、定義にごまかしが無い)
この区間を図のように (n-1) 個の点
, x, … , xn−1
で n 個の小区間
[a,x], [x,x], … , [xn−1, b]
に分ける.それら小区間内にそれぞれ任意の点
, t, … , t …@
をとって,和

を作る.ただし、a=x0,b=xとする。
すべての小区間の長さが,いずれも 0 に近づくように n を限りなく大きくするとき, @の点のとり方にかかわらず, 和Sは一定の極限値に近づくことが知られている. この極限値を,関数 f(x) の区間 [a, b] における定積分といい

で表す. ■

 この定義は高校生のための定積分の定義として優れている. リーマン積分の理論と断絶していない。 

大学において、そこに開かれている. 「収束」の意味,区間和の上限,下限などを学習し,
連続関数なら、Sが収束することと、積分可能であること、
をつかんだら、
その段階で,高校での定義を再認識することができる.
高校教科書はこのようでなければならない.

リンク: 
高校数学の目次



2017年08月11日(Fri)▲ページの先頭へ
球の体積を積分で求める
「微分・積分」の勉強

(1)積分:
 以下の問題を考えます。
【問題】 
 なぜ、半径 r の球の体積Vは、
体積V=(4π/3) r
なのか。

 この問題は、以下の様に解くことができます。

先に、半径 r の球の表面積Sは、
表面積S=4π r
であることを求めておきます。

 次に、以下の図のように、球を玉ネギ状に、厚さΔrの皮の集合と考えます。
その1つの皮の体積を計算します。 
皮の厚さをΔrとします。
球の皮の厚さΔrあたりの皮の体積ΔVが求められました。
ΔV=4π rΔr
この皮の体積の総和が球の体積Vです。
V=4π((Δr)Δr+(2Δr)Δr+(3Δr)Δr+・・・)
= 4π(Δr)(1+2+3+4・・・+n  
= 4π(Δr)n(n+(1/2))(n+1)/3
→ 4π r/3
( r=n(Δr))
 (この計算で用いた2乗の数列の和の式はここをクリックした先のページにあります

 これから、半径 r の球の体積Vは、
体積V=(4π/3) r
になることがわかりました。

 この様に、要素に分割して総和を計算することが「積分」をするということです。

リンク: 
高校数学の目次



2017年08月04日(Fri)▲ページの先頭へ
合成関数の極限の裏切り
「微分・積分」の勉強

(4)極限:
 高校2年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由(証明)がわからない」で数学の学習から脱落する高校2年生が多いらしい。
 その脱落の原因は、高校2年の極限・微分・積分の授業では、数学のうたい文句から外れた教育がされるからではないかと考えます。
すなわち、今までは、
「数学は、公式を正しく証明した後にその公式を使う」
と言って来たが、
高校2年生の、極限・微分・積分の授業からは、
「数学は、計算結果さえ合えば良い、途中の経緯は問わない、公式の証明は間違っていても問題視しない」
という教育思想が入り込み、
その思想の行き過ぎを避けるため、
「便利すぎる公式は、それをつかって直ぐ答えが得られてしまうから教えない」
という思想が混ざり、
数学教育に大きな濁りが入り込むので「微分積分がつまらない」となる原因があるのではないかと考えます。

 その濁りに押し流され無いため、高校2年生も 公式を厳密に証明して納得してから使う、数学の心に従って極限・微分・積分の学習をして欲しいと考えます。

 先ず、
「数学は公式を覚えれば良く、公式は正しく証明しないでも良い」
という誤った思想に対する数学からの警告の1つの、合成関数の極限が直観を裏切る例を以下で見ます。

以下の2つの図の関数:
y=f(t)
t=g(x)
の合成関数を使って、
極限を求める直観の信頼性を調べてみます。
y=f(t):
(図1) 
この図1の関数f(t)はt=0で不連続です。
そのため、
t≠0の場合の
t→0 による、f(t)→0と、
t=0の場合の
f(0)=1とが異なります。

t=g(x):
(図2) 

この合成関数の形を下図に描きます。
y=f(g(x))=h(x):
(図3)

直観によると、以下の各関数の式1から3が成り立っているように見えます。
 
直観によると、式1と式2から、式3=0が導かれるように思えますが、
実際は、関数f(t)が不連続であるということと、
関数g(x)が有限の範囲で一定の値になることが重なって、
直観を裏切った式3が成り立っています。

ここをクリックした先のページのpdfの33ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、極限の定義が書いてあります。
 関数f(x) において, x をx0 に限りなく近づけていくとき,
f(x) がある定数l に限りなく近づくならば, l をx がx0 に近づくときのf(x) の極限値(limit) という。

x がx0 に限りなく近づくとは,
絶対値|x−x0| を限りなく小さくできるということと同じだと考えてもよいでしょう.
同様に, f(x) が定数 l に限りなく近づくということも
|f(x) − l | を限りなく小さくできることだと考えてもよいでしょう.

 そこで,限りなく小さくできるということで考えてみると,
どんな小さな正の数を比較の相手と選んでも,それよりも小さくできるならば,
限りなく小さくできるといえるのではないでしょうか.
 この考え方が数学でいうところの限りなく小さいということなのです.これを用いて関数の極限を厳密に定義します.

【定義1.3】
任意の正の数ε に対して,
0 < |x − x0| < δ のとき,

(すなわち、x ≠ x0 の場合に)
|f(x) − l | < ε が成り立つように
正の数δ が選べるならば,
 
である。

この定義のポイントは、
x→0を、
0 < |x − 0| < δ
(すなわち、x ≠ 0 の場合に)
として、
t=g(x)→0を、
|g(x) − 0 | < ε 
(すなわち、t=g(x) = 0 の場合を含む)
というふうに極限を定義していることです。
x→0でx ≠ 0の場合に、
t→0 (t = 0も含む)となる場合を
t=g(x)の極限が存在する」
という極限の意味を明確にしていることです。
すなわち、
x→0 (x ≠ 0)と、
t→0 (t = 0も含む)は、
異なっていることを明確にしています。    

この厳密な極限の定義によっても、
関数f(t)は、t=0での極限の値が0になり、式2が成り立っています。 

この問題の本質は、
x→0の場合に、
t=g(x)=0
となっていること
(t=g(x)=0は、 | t − 0 | < ε が成り立つので、式1が成り立つが)
と、
t→0の場合に
f(t)→0 (式2)
であるが、
t=0の場合に、
f(0)=1 ≠ 0
であること(f(t)が連続では無い)。
そのため、式3では、
x→0の場合に、
t=0であり、
f(0)=1 (式3)
となったことです。  

式1と式2が成り立っている場合に、直観の通りに、式3=0となるようにするには、極限の定義の後半の、
t→0 (t = 0も含む)に整合させて、
t→0 (t ≠ 0)におけるf(t)は
t=0におけるf(t)に等しい値を持つこと
「関数f(t)が連続である場合」
という前提条件を付け加える必要があります。

その場合は、直観通りに、式3=0となります。
しかし、関数g(x)が不連続なら合成関数 y = h(x)=f(g(x)) も不連続になるので気持ちは晴れません。
そのため、合成関数 y = h(x)=f(g(x)) を連続関数にするために、更に、
「関数g(x)が連続である」という条件も加えて、以下の定理を成り立たせます。
ここをクリックした先のページのpdfの42ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽) 
定理1.7 t = g(x) がx = x0 で連続で,y = f(t) がt = g(x0) で連続ならば,
合成関数 y = f(g(x)) も x = x0 で連続である.
 


(補足:日本の高校の極限と微分積分の教育)
 ヨーロッパやアメリカでは、「高校で微分積分及び極限を教えるのは、直観にうったえる内容に限られ、正確な微分積分を教えられない」という理由で、微分積分は大学生に教える科目になっています。
 日本の大学でも、その欧米の教育に合わせて、初めて学ぶ者に分かるように微分積分及び極限を改めて教育しているようです。
 大学で使う微分積分の参考書は、高校で教える微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれています。
 しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、日本の高校生向けの微分積分の参考書よりやさしく分かり易い。

 高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
 とりあえず、大学生向けの参考書で無料でダウンロードできる、
「微分積分学入門」(横田 壽)
を読んでみることをお勧めします。 
(しかし、同じ著者の書いた高校生向けの参考書「確実に身につく微分積分(2012年)」の1版は、内容が劣化しているのでお勧めできません。大学生向けの本物の知識の参考書「微分積分学入門(2004年)」を読んでください。) 

「微分積分学入門」(横田 壽)の読み方は、 66ページから始まる2章「微分法」の以前のページは斜め読みして、何が書いてあるらしいかを漠然と把握しておいて、2章「微分法」以降を精読することをお勧めします。読んでいるうちに知らない関数や概念が出てきたら、66ページ以前に書いてありますので、探して、その部分を読んで理解するように勉強してください。

リンク:
高校数学の目次



2017年08月03日(Thu)▲ページの先頭へ
xの実数乗の関数の微分の公式
「微分・積分」の勉強

【問題】
以下の式1であらわされた、xの実数α乗の関数をxで微分せよ。

【解答】
媒介変数tを用いて、xを以下の関数であらわす。ここで、定数Aには1以外の正の実数(具体的にはどれを使っても良い)を使う。
yは媒介変数tを用いて以下の関数であらわせる。
yのxによる微分を媒介変数tを使って計算する。
(解答おわり)
こうして、xの実数α乗の関数の微分の公式:
が得られました。

リンク: 
高校数学の目次



2017年08月02日(Wed)▲ページの先頭へ
xの有理数乗の関数の微分の公式
「微分・積分」の勉強

【問題】
整数pとrであらわした以下の関数をxで微分せよ。

【解答】
両辺をp乗する。
この式2をxで微分する。
この式3を、合成関数の微分の公式を使って展開する。
この式より、dy/dxを計算する。
(解答おわり)
こうして、
が得られました。

 有理数の極限で無理数が定義できるので、
この公式の極限の関数で、xの無理数乗を定義し、
xの無理数乗の関数の微分についても同様な公式が成り立つと考えられる。

リンク: 
高校数学の目次



2017年08月01日(Tue)▲ページの先頭へ
対数微分法
 高校2年の微分の授業で、対数微分を教えていない。
 そもそも、対数関数の微分を高校3年になってから数Vでようやく教えている。
 しかし、対数微分を教えないと微分の重要な公式を導き出す(証明する)こともできない。証明していない公式を覚えさせて使わせるという、数学教育の崩壊に近いことも行われているようです。
 そういう不健全状態を改善するために、高校2年生も、以下に説明する対数微分を覚えるべきと考えます。

【対数微分法】
「微分積分学入門」(横田 壽)77ページ
   両辺の対数をとって微分する方法を対数微分法(logarithmic differentiation) といいます.

y = xn のn が整数のときの導関数は,例題2.4 で求めました.
しかし, y = xα のα が実数 のときの導関数は例題2.4 で用いた方法では求められません(なぜでしょう?).
しかしもう大丈 夫です.なぜなら私たちには対数微分法があるからです.


 以下で、対数微分法の例を説明します。
【問題】 
 以下の式1は、(値が負になっても良い)実数αを使って表されている。ここで、
x>0,
である。 この式1を微分せよ。
【解答】
式1の両辺の対数をとる。
 この式2の両辺を微分する。
(対数関数の微分の公式を使う)

 こうして、求める微分の式5が得られました。
(解答おわり)

この解答から、以下の、 xの実数乗の式の微分の公式が得られました。
ただし、x>0,であり、
αは、値が負でも良い実数である。

リンク:
高校数学の目次



2017年07月31日(Mon)▲ページの先頭へ
微分可能の定義
「微分・積分」の勉強
 高校2年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由(証明)がわからない」で数学の学習から脱落する高校2年生が多いらしい。
 その脱落の原因は、高校2年の極限・微分・積分の授業では、数学のうたい文句から外れた教育がされるからではないかと考えます。
すなわち、今までは、
「数学は、公式を正しく証明した後にその公式を使う」
と言って来たが、
高校2年生の、極限・微分・積分の授業からは、
「数学は、計算結果さえ合えば良い、途中の経緯は問わない、公式の証明は間違っていても問題視しない」
という教育思想が入り込み、
その思想の行き過ぎを避けるため、
「便利すぎる公式は、それをつかって直ぐ答えが得られてしまうから教えない」
という思想が混ざり、
数学教育に大きな濁りが入り込むので「微分積分がつまらない」となる原因があるのではないかと考えます。

 その濁りに押し流され無いため、高校2年生も 公式を厳密に証明して納得してから使う、数学の心に従って極限・微分・積分の学習をして欲しいと考えます。

 先ず、微分とは何かを、微分可能のハッキリした定義を知ることで頭を整理しましょう。

関数f(x)であらわされるグラフの傾きは、以下のようにあらわされます。
この傾きは以下に説明する微分によって求めます。

---(定義2.1 「微分積分学入門」(横田 壽)67ページ---
関数f(x) がx0 を含むある区間で定義されているとき,極限値
(有限の傾きA)
が存在するならば,
関数f(x) は, x = x0 微分可能(differentiable) であるといいます.
また,この極限値A を点x0 における微分係数といい,

で表わします.
-----(定義おわり)--------------------------- 

f(x) がx0 で微分可能でなくても、
h<0について、
 
または、
h>0について、
 
が存在することがあります.
下の図のような場合です。
その場合,
最初の値を左側微分係数(left-hand derivative ) と いい,
で表わし,
後の値を右側微分係数(right-hand derivative) といい,

で表わします.
微分可能の定義より,

 が共に存在し,かつ両者が等しいとき に限りf(x) はx = x0 で微分可能となります

関数f(x)が微分可能の場合に、
関数f(x)が初等関数などの通常の関数の場合は、
Δyの誤差が以下の式であらわせます。
----ビッグオー O(Δx)の 定義--------
ここで、O(Δx)は、以下のように定義されます。

x=x0+Δxとする絶対値が十分小さいΔxに対して、
ある定数Mがあって、
|Δy−(df/dx)Δx| ≦ MΔxμ
が成り立つとき、 
|Δy−(df/dx)Δx|はオーダーμの無限小であると言い、
 Δy−(df/dx)Δx=OΔxμ)とあらわす。

つまり、OΔxは、MのΔx倍程度の誤差をあらわす誤差関数です。
Δxが0に近づくと、誤差O(Δx)は、Δxよりも更に急速にMのΔx倍のオーダー(概算値)で0に近づくということをあらわしています。
----(定義おわり)---------------

 全ての関数について厳密に成り立つ関係としては:
関数f(x)が微分可能であれば、Δxが小さくなればなる程、Δyの誤差が、MのΔx倍よりも急速に小さくなる誤差関数(スモールオー)で表した以下の式が成り立っています。
 スモールオー o(Δx)の定義は、上の極限の式であらわされ、Δxよりも急速に小さくなる誤差関数です。

 Δxが小さくなればなる程、Δyの誤差o(Δx)が、MのΔx倍よりも急速に小さくなるので、Δxが十分小さいと考えれば、誤差が十分小さくなり、以下の近似式がいっそう正確に成り立つようになります。
 そのため、Δyを上の式であらわして微分を計算して良いです。

(注意1)関数の変数を変換すると微分不可能な点が微分可能な点に変わることがある。
 下図のグラフの関数は、O点では傾きが無限大なのでxで微分不可能です。
しかし、変数xを以下のグラフの関係を持つ変数tに変換してみます。
 この変数tで元の関数をあらわすと以下のグラフになります。
このグラフはO点で、tで微分可能です。
このように関数の変数を変換する、変数xでは微分不可能だった関数の点が、変数tでは微分可能になる、ということが起こり得ます。 
という関係があります。
 有限の微分係数が存在する(微分可能)という状態は、変数を変換すると変わることがあります。
 それは、微分する変数に応じる「微分可能」という条件が、
いわば、
「式を0で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと似た意味を持つことを意味しています。

(注意2)関数の変数を変換すると微分不可能な点が微分可能な点に変わることがあるもう1つの例を考える。
 下図のグラフの関数は、O点では、左側微分係数と右側微分係数が異なるのでxで微分不可能です。
しかし、変数xを以下のグラフの関係を持つ変数tに変換してみます。
この変数tで元の関数をあらわすと以下のグラフになります。
このグラフはO点で、tで微分可能です。
このように関数の変数を変換する、変数xでは微分不可能だった関数の点が、変数tでは微分可能になる、ということが起こり得ます。

(注意3)関数の変数を変換すると、接する2つグラフが接さない2つのグラフに変換される例を考える。
 下の2つの関数のグラフは、O点で同じ微分係数=0を持ち、O点で接しています。
しかし、変数xを以下のグラフの関係を持つ変数tに変換してみます。
この変数tで元の2つの関数をあらわすと以下の2つのグラフになります。
元の2つのグラフの変数xを変数tに変換した2つのグラフは、O点で変数tで微分すると異なる微分係数を持ち、O点で接さず交差しています。
(変数を変換すると、このように、互いに接する2つのグラフが、接さない2つのグラフに変わってしまうことがあることに気をつけましょう)

【導関数】
 関数f(x) が,ある区間 I の各点で微分可能(有限の傾きを持つ)のとき
f(x) は区間 I で微分可能(differentiable on I) であるといいます.
この場合,区間 I の各点にそこでの微分係数を対応させることにより定まる関数を
f(x) の導関数(derivative) といい,

であらわします。

また,関数f(x) の導関数を求めることを微分する(differentiate) といいます.

また、xの関数f(x)=yの微分(導関数)を、y’とも書きます。


例題2.4 f(x) = xn (n 整数) を微分してみましょう.
となります。
(解答おわり)
が得られました。

次に、以下の微分も計算してみます。
この図形を直線y=xに関して折り返して考えます。
こうして、
が得られました。

(微分の式の前提条件:関数が存在すること)
微分をあらわす式: 
(dy/dx)は関数f(x)の導関数をあらわす式です。
そのため、
(dy/dx)=(df(x)/dx)
であり、変数yを微分で使う場合には、
y=f(x)とあらわす関数f(x)が必ず存在することが、変数yを使う前提条件にあります。
関数f(x)が必ず存在するということは、変数xに対して、必ず1つの値のy=f(x)が定まる関係(規則)が、変わらず、存在するということです。
微分の式は、定まった関数であらわされる関係が必ず存在する変数yとxその他の媒介変数の間の関係をあらわす式です。
微分の計算で使う全ての変数yやxやその他の媒介変数同士は、必ず、その変数を他の変数であらわす不変な関数で結ばれていることが前提にあります。
その関数はどの式であっても良いですが、計算の途中で変化することが無い、いつも変わらない関係式であることが微分の計算の前提になっています。

(微分可能な関数を選んで微分すること)
 下図のグラフの関数はでこぼこしていて、でこぼこがあらゆる細部にまで在り、どの有理数のxの位置においても微分不可能な関数の例です。
 この図の関数のように、関数が微分不可能な変数の値を判定して、変数の範囲(定義域)から除外するために、「微分」の定義を使って関数の変数を選別して、その変数の範囲の関数を微分計算の対象にします。
 実際は、微分不可能な関数は、警戒しなければならないほどに多く存在するわけでは無く。数学で学んで来た、ほとんど大部分の初等関数は微分可能な関数です。

 また、上のグラフのよう微分不可能な変数(有理数)が無限にある関数であっても、積分はできます。
元の関数が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数を積分した関数は微分可能な関数になります。こうして、極限が存在する関数を積分して関数群を作れば、その関数群は皆、微分可能な関数であることが保証されます。

(「リーマン積分可能」の定義)
「微分積分学入門」(横田 壽)の124ページから125ページに「リーマン積分可能」の定義が書いてあります:

 ここではドイツの数学者G.F.B. Riemann (1826-1917) によって示されたRiemann 積分につ いて学んでいきます.リーマン積分による「積分可能」の定義は、全ての種類の「積分可能」の定義の基礎になっています。
  f(x) は閉区間[a, b] で定義されているとします.この閉区間[a, b] を次のような点xi(i = 1, 2, . . . , n) でn 個の小区間に分割します.
(a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b)

 この分割をΔ で表わし, Δxi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n) のうちで最も大きい値を|Δ| で 表わします.
いま,それぞれの小区間[xi−1, xi] のなかに任意の点ξi をとり,Riemann 和 (Riemann sum) とよばれる次の和を考えます.

このとき、
となる実数S が存在するならば,このS をf(x) の定積分(definite integral) といい, f(x) は閉区間[a, b] で積分可能(integrable) であるといいます.また,このS を次のように表わします.
つまり関数f(x) が閉区間[a, b] で積分可能であるということは,分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まるということです.

 この定義に従い、関数の積分可能性を以下の様にして調べることができます。
先ず小さな閉区間[a, b] を定めて、
その区間の小区間への分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まる(積分可能)か否かを調べることができます。 

【積分が不可能な関数】
下のグラフの関数f(x)のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
 例えば、 
xが有理数の場合にf(x)=0であって、
xが無理数の場合のf(x)=1
という、極限が存在しない関数f(x)などです。
 そういう、極限が存在しない関数f(x)を積分して関数F(x)を得た場合(もし積分できた場合)、その積分により得られた関数F(x)は微分可能だろうか。
 そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数f(x)が積分できても、その積分した関数F(x)を微分した場合に、元の関数f(x)は(極限値が存在しないので)、微分によっては得られないと考えます。

 この関数f(x)の変数x=x1からx=x2までの変数xの閉区間をn等分した小区間を作り、その各小区間毎にf(x)の値f(ξ)を求めて、その値の和で積分します。
(1)その際に、 変数x=ξが全て有理数なら、f(ξ)=0になり、積分結果は0になります。
(2)一方、変数x=ξが全て無理数√2の有理数倍なら、f(ξ)=1になり、積分結果は(x2−x1)になります。
(3)小区間内の変数xの点ξの選び方によってf(ξ)の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数f(x)は積分することができません。

 このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
 微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
 そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、連続な「連続関数」 を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。

 このように、微分積分学は、微分可能な関数と積分可能な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をします。「微分可能」と「積分可能」という制限条件を定め、その制限条件を満足する関数を扱うのが微分積分学だと認識することがとても大切です。 
 しかし、この一番大切な概念を高校2年には教えない。高校3年に至っても「積分可能」の概念を教えていないようです。 
 しかも、1997年からは、日本の高校の数学IIで面積が無定義に用いられという、数学センスを否定する蛮行が行なわれた。そして、関数f(x)のグラフとx軸で囲まれる領域の面積を,x方向で微分するともとの関数f(x)になり、面積の微分がf(x)となるという本末転倒なことを教えるようになった。
 
  現在の高等学校の教科書は,積分の概念の説明を回避している。

 このようなデタラメな教育では、高校生に微分積分が分からないのも無理無いと考えます。

(微分積分の教育方針)
 ヨーロッパやアメリカでは、「高校で微分積分を教えるのは、直観にうったえる内容に限られ、正確な微分積分を教えられない」という理由で、微分積分は大学生に教える科目になっています。
 日本の大学でも、その欧米の教育に合わせて、初めて学ぶ者に分かるように微分積分を改めて教育しているようです。
 大学で使う微分積分の参考書は、高校で教える微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれています。
 しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、日本の高校生向けの微分積分の参考書よりやさしく分かり易い。

 高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
 とりあえず、大学生向けの参考書で無料でダウンロードできる、
「微分積分学入門」(横田 壽)
を読んでみることをお勧めします。 
(しかし、同じ著者の書いた高校生向けの参考書「確実に身につく微分積分(2012年)」の1版は、内容が劣化しているのでお勧めできません。大学生向けの本物の知識の参考書「微分積分学入門(2004年)」を読んでください。)

「微分積分学入門」(横田 壽)の読み方は、 66ページから始まる2章「微分法」の以前のページは斜め読みして、何が書いてあるらしいかを漠然と把握しておいて、2章「微分法」以降を精読することをお勧めします。読んでいるうちに知らない関数や概念が出てきたら、66ページ以前に書いてありますので、探して、その部分を読んで理解するように勉強してください。

リンク: 
高校数学の目次



2017年07月29日(Sat)▲ページの先頭へ
極限の定義
 高校2年になり学ぶ「極限」は、微分の計算をする上で必要になった計算技術です。
 そのため、微分の計算を先にして、計算に困ったときに「極限」を学ぶという勉強スタイルでも良いと考えます。

そういう計算の役に立つように、頭を整理することが、極限を学ぶということです。  

ここをクリックした先のページのpdfの33ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、極限の定義が書いてあります。

【定義1.2 (直感的極限値) 】

 関数f(x) において, x をx0 に限りなく近づけていくとき,
f(x) がある定数l に限りなく近づくならば, l をx がx0 に近づくときのf(x) の極限値
(limit) といい,

で表わします.

  さて,ここで限りなく近づくというのはどういうことでしょうか.
x がx0 に限りなく近づくとは,
絶対値|x−x0| を限りなく小さくできるということと同じだと考えてもよいでしょう.
同様に, f(x) が定数 l に限りなく近づくということも
|f(x) − l | を限りなく小さくできることだと考えてもよいでしょう.

 そこで,限りなく小さくできるということで考えてみると,
どんな小さな正の数を比較の相手と選んでも,それよりも小さくできるならば,
限りなく小さくできるといえるのではないでしょうか.
 この考え方が数学でいうところの限りなく小さいということなのです(納得しましたか?).
 これを用いて関数の極限をもう一度定義します.
この定義はδ − ε 論法と呼ばれる証明法のもとになっていて,
この章の定理の証明に用いますが,
難しく感じる人は,直感的極限値で十分です.

【定義1.3】

任意の正の数ε に対して,
0 < |x − x0| < δ のとき,

|f(x) − l | < ε が成り立つように
正の数δ が選べるならば,
 
である。

この定義のポイントは、例えば、
x→0を、
0 < |x − 0| < δ
(すなわち、x ≠ 0 の場合に)
として、
例えば、
f(x)→0を、
|f(x) − 0 | < ε 
(すなわち、f(x) = 0 の場合を含む)
というふうに極限を定義していることです。
x→0でx ≠ 0の場合に、
f(x)→0 (f = 0も含む)となる場合を
f(x)の極限が存在する」
という極限の意味を明確にしていることです。
すなわち、
x→0 (x ≠ 0)と、
f→0 (f = 0も含む)は、
異なっていることを明確にしています。

(極限値が存在しない点が有限個ある関数)
 以下の図の関数f(x)のグラフを考えます。
この関数は、x=0の点での極限とx=2の点での極限が存在しません。
x<0で、x→0とすると、f(x)→0になり(左側極限値)、
x>0で、x→0とすると、f(x)→1になります(右側極限値)
左側極限値と右側極限値が一致しない場合は、極限値が存在しません。

(極限値が存在しない点が無限にあり積分できない関数の例) 
 例えば、xが有理数の場合のf(x)の値とxが無理数の場合のf(x)の値が1以上異なるような関数には極限が存在しません。
どの位置においても関数の極限値が存在しない関数は、例えば下のグラフの関数のようになります。

(極限値が存在しない点が無限にあるが積分可能な関数)
上図のノコギリ関数g(x)を使って以下の関数を作ります。
この関数は、以下のx座標で極限が存在しない。
その他、
x=奇数/(整数×2)
の点では極限値が存在しない。

リンク:
高校数学の目次



2017年07月27日(Thu)▲ページの先頭へ
合成関数の微分の公式の信頼性
「微分・積分」の勉強

(5)微分の知識:
 以下の合成関数の微分の公式があります。
この合成関数の微分の公式は、関数f(t)とg(x)があり、
その関数の合成関数の、
y=f(g(x))=h(x)
という関数を作った場合に、
f’(t)=(dy/dt)と、
g’(x)=(dt/dx)との積が、
h’(x)=(dy/ dx)になる、
という公式です。

どの関数f(t)とg(x)についても、公式の成立条件が満足されれば、公式が成り立つ、という公式です。

この公式には一定の縛り(成立条件)があります。それは、「(dy/dt)=f’(t)の有限の微分係数が存在し、(dt/dx)=g’(x)の有限の値の微分係数が存在する(微分可能)」という前提条件です。

「関数が微分可能(有限の値の微分係数が存在する)」
という意味は、
「関数の変数の値の範囲が、その関数の微分係数が有限の値になる条件を満足する値に限られる」
という意味です。
「関数の微分係数を有限の値にしない変数の値を除外すれば良い」という意味です。

関数の微分が存在しない例として、以下の2つの図の関数:
y=f(t)
t=g(x)
の合成関数を使って、
合成関数の微分の公式の信頼性を調べてみます。
y=f(t):
(図1)

t=g(x):
(図2)

関数f(t)はt=0でtによる微分が存在しません。
そのため、t≠0の場合だけに、合成関数の微分の公式を適用します。

 ここで、この問題の意図が良く分かるようにするため、この合成関数の形を下図に描きます。
y=f(g(x))=h(x):
(図3)

この合成関数h(x)の、xがー1から1までの間の関数の値は良く分からないので、点線でごまかしました。

 このあいまいさが気持ち悪い人のために、関数f(x)を以下のグラフのように定義することができます。 
(図4)

 この場合に、関数t=g(x)は図2のままにすると、合成関数h(x)は、以下の図5になります。
(図5)

以下で、関数f(t)の微分で、有限の確定した微分係数が存在する変数 t の定義域である、
t≠0
の場合だけに合成関数の微分の公式を適用します。
先ず、t=g(x)≠0を満足する条件の1つの、
x<−1の場合を計算します。
次に、t=g(x)≠0を満足する残りの条件の、
 x>1の場合を計算します。
以上で得た結果をまとめると、
関数f(t)については、(dy/dt)=f’(t)の有限の微分係数が存在するtの範囲は、t≠0である範囲である。
関数g(x)については、xのどの値でも有限の微分係数が存在するので問題無い。
制限された範囲であるt≠0を満足するt=g(x)のxの範囲は、
x<−1 or x>1
である。
そのxの範囲内で、
合成関数の微分を計算すると、以下の結果が得られた。
(計算おわり)

(補足)
 ここで、合成関数h(x)が図5の形になる場合に、
−1<x<1の間で
h’(x)=0
になっています。
しかし、合成関数の微分の公式では、
−1<x<1の間で
h’(x)=0
となることを導き出すことができませんでした。
 このことから、
合成関数の微分の公式では、0を0で割り算することになる部分で、合成関数の一部の微分係数が計算できないことがある、
ということがわかりました。

(補足2)
 以上の調査の結果を見ると、
合成関数の微分の公式の縛り(成立条件)である
「f(t)の微分が存在し(確定した有限値になる)、
t(x)の微分が存在する(確定した有限値になる)」
という前提条件は、
「式を0で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと同じ様な意味を持っていることがわかります。

 すなわち、「微分可能」という前提条件は、
「0で割り算しない場合に限る」という前提条件 、
言いかえると、
「計算の違反が無い計算に限る」という前提条件、
を加えて微分の式を書くことだと考えます。

 そういう「万能の条件」を正しく組み込んで計算するならば、どの様な計算もできてしまいます。
(その条件を正しく組み込まないでその計算をまねした計算は計算違反がある誤った計算になります)
その通りに、どの様な計算もできるのが、合成関数の微分の公式やその他の公式が成り立つ根拠だと考えます。

リンク:
高校数学の目次



2017年07月25日(Tue)▲ページの先頭へ
逆関数や合成関数の概念
高校1年に2次関数を学びましたが、
高校2年になると、3次関数や4次関数や分数関数を学び、
三角関数も学びました。

そして、指数関数や対数関数も学びます。

高校2年では、このように多くの関数を学びますが、
以下の関数の概念も覚えましょう。

ここをクリックした先のページのpdfの18ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、関数の定義が書いてあります。

1.1 関数の定義(definition of function)
 2 つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます.ここでは,実数の集合を考えます.
Rを実数全体の集合とします.
ある実数の集合D に属する各数x に対して,実数y が1 つ定まるような規則f を、
D からR への1 価関数(single-valued function),

または単に関数といいます.

ここをクリックした先のページのpdfの(「微分積分学入門」著者:横田 壽)は、
とても明瞭に数学の関数・極限・微分・積分を説明してくれていますので、
高校数学でも、大学の数学でも、関数や微分・積分の何でも、わからないことがあったら、このpdfファイルをダウンロードして読めば、きっと、そのわからない問題が解決すると思います。

(1)逆関数:
逆関数という関数の概念があります。

ここをクリックした先のページのpdfの21ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、逆関数の定義があります。

逆関数(inverse functions)
関数f の定義域D(f) 内の任意の2 数x1, x2 に対して,
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
が成り立つとき, f は1 対1 の関数(one-to-one function) であるといいます.
(f は(写像として)単射である (injective) とも言います。)


ここで、
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) とは,
x1 とx2 が異なるならば, f(x1) とf(x2) は異なることを意味しています.
この場合,値域R(f) の各数y に対して, y = f(x) であるようなx を1 つ定めるような規則が考えられます(なぜでしょうか).
これをf の逆関数(inverse function)とよび,
f には逆関数が存在するといいます.


y=f(x)
という関数があれば、
関数の値が減少から増加に転ずる点がある場合は、
その点で関数を2つに分割する必要があります。
そうしないと、
その点の前後で複数のxに同じyが対応することになってしまうからです。
複数のxに同じyが対応してしまうと、その関数には、以下で説明する逆関数が作れなくなってしまうので都合が悪いからです。

そのようにて、1対1対応の関数として定義した関数には「逆関数」が存在します。
x=f -1(y)
という逆関数があります。

逆関数は、変数xとyの立場を入れ替えることで作れます。
その逆関数の形を以下の式3のグラフで描くことができます。
式3が逆関数の形をあらわしています。

「ある関数 f に対して逆関数 f−1 が存在する」という表現はくせものです。
なぜなら、ある関数 y=f(x) のグラフがあれば、そのグラフのxとyを入れ替えたグラフを考えて、その入れ替えたグラフから、以下のようにして、逆関数 f−1 のグラフを考え出すことができるからです。
(1)逆関数 f−1 のグラフが1つの変数に対して2つの値を持つ場合には、グラフを分割して、分割された逆関数 f−1グラフでは、1つの変数に対して1つの値しか持たないようにする。そして、その元の関数 y=f(x) のグラフもそれに対応して分割する。
(2) そうすれば、分割された元の関数 y=f(x) が、分割された逆関数 f−1 のグラフに対応する逆関数 f−1 を持つ。
(3)そうすれば、どの関数も逆関数を持つことにできるのではないか?
という疑問が生まれるうさんくささがあるからです。 

しかし、以下の事例のように、グラフを分割する操作では対応し切れず、本当に逆関数が存在し得ない場合もあります。 

下の図のグラフのように、xの値が少し変わっても t の値が同じ値になる関数の部分では、
複数のxに1つの t が対応します。

その関数の部分には逆関数が存在出来ません。
無理に逆関数のグラフを作ろうとすると、そのグラフは下の図のように、垂直に立つグラフになってしまい、1つの変数 t に対して複数の値が与えられることになってしまうからです。
1つの変数に1つの値を対応させる関数のグラフにすると下の図のように、形が変わってしまいます。
この場合には、絶対に逆関数が存在し得ないグラフの部分(関数の一部分)がありました。

 一方で、以下のグラフの不連続関数f(x)であっても逆関数を持ちます。
 以下のグラフの不連続関数f(x)も1つの一体の関数として逆関数を持ちます。
 以下のグラフABCDで表す不連続関数f(x)は、所定の点で2つの関数に分割することで、分割されたそれぞれの関数が逆関数を持つようにできます。
そのために関数を分割する点は、点Bで関数を分割しても良いし点Cで関数を分割しても良いです。

(2)合成関数:
 合成関数という関数の概念があります。

ここをクリックした先のページのpdfの21ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、合成関数の定義が書いてあります。 

合成関数(composite functions)
 関数どうしのつなぎ方として,
合成法則(composition) とよばれる方法について考えます.
まず, f(x) とg(x)2 つの関数を用意します.
次に任意のx に対して規則g を用いて1 つの実数g(x) を取り出します.
もしこのg(x) が関数f(x) の定義域に入っていれば,
規則f を用いて1 つの実数f(g(x)) を取り出すことができるでしょう.
ところで,この実数f(g(x)) は何なのでしょうか.
もしg(x) の値域がf(x) の定義域に含まれていれば,
g(x) の定義域内の各数x に対して, f(g(x)) を作ることができます.
これはg(x) の定義域内の各数x に対し,ただ1 つの実数f(g(x)) を定める規則と考えられます.
よってこの規則をf とg の合成関数(composite function) といい,
f ◦ g で表わすと(f ◦ g)(x) = f(g(x)) となります.


以下に合成関数の例をあげます。
 上の式はxの関数hを合成関数の形で表現しました。
関数hは、gというパラメータ関数を使って、式1と式2とであらわした、結局は式3の形のxの関数です。
hは、式1の形と式3の形との2つの形の式であらわすことができます。
 この関数hは、以下の形の合成関数の形であらわすこともできます。
 式3の形の関数hは、sというパラメータ関数を使って、式4と式5であらわすことができます。
hは、式4の形でもあらわせます。
パラメータ関数を自由に選ぶことで式3のxの関数hは、式1や式4の形やその他の形の無限に多くの形であらわすことができます。

【逆関数定理】
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
が成り立ち, f が1 対1 の関数(one-to-one function) であるとき、以下の図の1対1の写像の関係があります。

1対1の写像をする関数 f には逆関数が定義できます。
そこで、関数 f で1対1の写像をした後で、逆関数で定義される1対1の写像をする、合成関数の写像をすれば、以下の図の様に元に戻ります。
また、逆写像の変数yの定義域の変数yに対して逆写像で1対1の写像をした後で、関数 f で定義される1対1の写像をする、合成関数の写像をすれば、以下の図の様に元に戻ります。
これは、逆関数定理と呼ばれています。

リンク:
高校数学の目次



2017年07月24日(Mon)▲ページの先頭へ
高校2年生も覚えるべき合成関数の微分の公式
「微分・積分」の勉強

(5)微分の知識:
高校2年生から、極限・微分・積分の「意味がわからない」「つまらない」「教わる計算方法が正しいと言える理由(証明)がわからない」で数学の学習から脱落する高校2年生が多いらしい。
 その脱落の原因は、どうやら、合成関数の微分の公式らしい。

高校3年の教科書の合成関数の微分の公式の証明が間違っているのと、(高校2年に微分を教える際に合成関数の微分の公式を教えない教育が1955年ころから続いている)のが、「微分の意味がわからない」原因になっているのではないかと考えるので。
 その間違いを正すことで、数学の学習から脱落する者を減らすため、 合成関数の微分の公式を教科書よりも正確に証明します。

 合成関数の微分の公式は、以下の公式です。
以下の様に微分の計算を楽にするときに使う公式です。
(合成関数とは)
 そもそも、「合成関数」とは何なのか、という問題があります。

ここをクリックした先のページのpdfの21ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、合成関数の定義が書いてあります。 

合成関数(composite functions)
 関数どうしのつなぎ方として,
合成法則(composition) とよばれる方法について考えます.
まず, f(x) とg(x)2 つの関数を用意します.
次に任意のx に対して規則g を用いて1 つの実数g(x) を取り出します.
もしこのg(x) が関数f(x) の定義域に入っていれば,
規則f を用いて1 つの実数f(g(x)) を取り出すことができるでしょう.
ところで,この実数f(g(x)) は何なのでしょうか.
もしg(x) の値域がf(x) の定義域に含まれていれば,
g(x) の定義域内の各数x に対して, f(g(x)) を作ることができます.
これはg(x) の定義域内の各数x に対し,ただ1 つの実数f(g(x)) を定める規則と考えられます.
よってこの規則をf とg の合成関数(composite function) といい,
f ◦ g で表わすと(f ◦ g)(x) = f(g(x)) となります.


以下に合成関数の例をあげます。
 上の式はxの関数hを合成関数の形で表現しました。
関数hは、gというパラメータ関数を使って、式1と式2とであらわした、結局は式3の形のxの関数です。
hは、式1の形と式3の形との2つの形の式であらわすことができます。
 この関数hは、以下の形の合成関数の形であらわすこともできます。
 式3の形の関数hは、sというパラメータ関数を使って、式4と式5であらわすことができます。
hは、式3の形や式4の形であらわせました。
式3で表されるxの関数hは、パラメータ関数 g(x) や s(x) を自由に選ぶことで式1や式4の形やその他の形の無限に多くの形であらわすことができます。 

以下の合成関数の微分の公式:
は、関数f(g)とg(x)があり、その関数の合成関数の、
y=f(g(x))=h(x)
という関数を作った場合に、
f’(g)=(df/dg)と、
g’(x)=(dg/dx)との積が、
h’(x)=(dh/ dx)になる、
という公式です。

どの関数f(g)とg(x)についても、公式の成立条件が満足されれば、公式が成り立つ、という公式です。

この公式には一定の縛り(成立条件)があります。それは、「(dh/dg)=f’(g)の有限の値の確定した値の微分係数が存在し、(dg/dx)=g’(x)の有限の値の確定した値の微分係数が存在する(微分可能)」という前提条件です。

「関数が微分可能(有限の値の確定した値の微分係数が存在する)」
という意味は、
「関数の変数の定義域の範囲が、その関数の微分係数を確定した有限の値にする、変数の値の集合に限られる」
という意味です。
「関数の微分係数の値が確定しない、また、微分係数の値を有限の値にしない、変数の値を定義域から除外すれば良い」という意味です。

 合成関数の微分の公式が以下の式で表現されることがあります。
 こう書くと変数hとxとgの間の関係をあらわす式と誤解されやすいと思います。
 しかし、合成関数の微分の公式は、変数の間の関係式では無く、関数の微分の関係式です。
(dh/dg)は、hをgであらわす関数f(g)が存在し、しかも、その関数の微分(df(g)/dg)が有限の値の確定した値の微分係数を持たなければなりません。
また、(dg/dx)は、gをxであらわす関数g(x)が存在し、しかも、その関数の微分(dg(x)/dx)が有限の値の確定した値の微分係数を持たなければなりません。
 それらが成り立つことが、合成関数の微分の公式が成り立つ大前提です。 

 微分の計算で使う全ての変数yやxやその他の媒介変数g同士は、必ず、その変数を他の変数であらわす不変な関数で結ばれているという大前提があります。
その関数はどの式であっても良いですが、計算の途中で変化することが無い、いつも変わらない関係式であることが微分の計算の大前提です。

合成関数の微分の公式は、以下のように証明できます。

(証明開始) 
合成関数の微分の公式を以下の式で表すことにします。
この式で、h=f(g(x))という合成関数です。

(1)先ず、h=f(g)をgの関数と考え、hはgが変化したときにどのくらい変化するか調べるため、h=f(g)をgで微分する。
h=f(g)がgで微分可能((Δh/Δg)の極限が有限の値になる)なら、
Δhが以下の式であらわされる。
(2)その場合に、以下の式が成り立つ。
(証明おわり)

(別の証明)
 ここをクリックした先のページのpdfの75ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、もっと鮮やかな合成関数の微分の公式の証明を見つけました。それは、以下のようにする証明です。
(証明開始)
「h ≡ f(g)のgによる微分が存在し(確定した有限値になる)、
g(x)のxによる微分が存在する(確定した有限値になる)」場合:
 (証明おわり)

(補足1) 
 合成関数の微分の公式は、以下のように式の項を作っている関数のかたまりで微分して、後で、その関数のかたまりを微分するという計算を可能にします。
(検算)この答えが正しいか否かを、以下のグラフを思い描いて確認してください。
想像したグラフの傾きがマイナスであることと、微分計算結果の式がマイナスになることが一致しているので、この計算結果が正しそうだと確認できました。
(検算おわり)

 合成関数の微分の公式を使うことにより、微分の計算がだいぶ楽になる。合成関数の微分の公式は、微分の計算にとって、生物が必要とする空気のように必要な公式です。

(補足2)
 この合成関数の微分の公式には縛り(成立条件)があります。
それは、
「h ≡ f(g)のgによる微分が存在し(確定した有限値になる)、
g(x)のxによる微分が存在する(確定した有限値になる)」
という前提条件です。

---(定義2.1 「微分積分学入門」(横田 壽)67ページ---
関数f(x) がx0 を含むある区間で定義されているとき,極限値
が存在するならば,
関数f(x) は, x = x0 微分可能(differentiable) であるといいます.
また,この極限値A を点x0 における微分係数といい,

で表わします.
-----(定義おわり)---------------------------

この、有限の微分係数が存在する(微分可能)という前提条件は、いわば、
「式を0で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと同じ様な意味を持っています。

 すなわち、「微分可能」という前提条件は、
「0で割り算しない場合に限る」という前提条件 、
言いかえると、
「計算の違反が無い計算に限る」という前提条件、
を加えて微分の式を書くことです。

 そういう「万能の条件」を正しく組み込んで計算するならば、計算の自由度が高くなります。
 『合成関数を構成する2つの関数が何れも「微分可能=微分係数が有限の確定値になる」であるように関数の変数の定義域を定める』という前提条件付きで、パラメータ関数 g(x) や s(x) を自由に選ぶことができます。

その様に計算の自由度を高くするから合成関数の微分の公式が成り立つのだと考えます。

リンク:
高校数学の目次



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10    全300件




新着トラックバック/コメント


カレンダ
2017年9月
         
20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30

アーカイブ
2009年 (56)
2月 (1)
3月 (14)
4月 (30)
5月 (11)
2010年 (31)
7月 (1)
8月 (17)
9月 (4)
10月 (7)
11月 (1)
12月 (1)
2011年 (105)
1月 (10)
2月 (11)
3月 (16)
4月 (31)
5月 (4)
7月 (12)
8月 (12)
9月 (5)
11月 (3)
12月 (1)
2012年 (28)
1月 (3)
2月 (8)
3月 (6)
4月 (8)
5月 (1)
7月 (2)
2013年 (149)
1月 (12)
2月 (36)
7月 (5)
8月 (7)
9月 (22)
10月 (26)
11月 (25)
12月 (16)
2014年 (27)
1月 (13)
2月 (12)
3月 (2)
2015年 (47)
1月 (1)
2月 (6)
3月 (8)
4月 (16)
5月 (11)
6月 (4)
12月 (1)
2016年 (55)
4月 (4)
8月 (4)
9月 (6)
10月 (6)
11月 (22)
12月 (13)
2017年 (85)
1月 (10)
2月 (2)
3月 (5)
4月 (5)
5月 (10)
6月 (13)
7月 (15)
8月 (12)
9月 (13)

アクセスカウンタ
今日:1,938
昨日:3,509
累計:1,818,833