高校数学(整数・数列)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年02月07日(Tue)▲ページの先頭へ
整数解が無い不定方程式
【問1】(超難問)
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

(コメント)
 この問題はとても難しいので、理系最難関大学か医学部を受験する大学受験生も含め、大学の数学専門コース専攻者以外は、この問題を無視して良いと考えます。

【解答】
 この問題の解として、正の整数x=zとy=zを求める。以下で扱うx,yは全て正であるものとする。
 先ず、この問題の解が1つでもあれば、それ以外の解を1つ求めるための漸化式を以下の様にして求めます。
(その漸化式は、残りの解のうちの一部を導き出せるだけの漸化式が見つかれば、それで十分である。)
以下の式2の行列Mで定義される漸化式を求めます。
なお、問1の式1は、以下の式3(及び4)に一般化します。
 式3及び4は以下の式5で代表させる。
そして、式5に漸化式Mの行列を導入し易くするために、行列aを使って式5の左辺をあらわします。
式8に行列Mを導入して変形すると以下の式9が得られます。
ここで、行列Mが以下の式10を満足するものとします。そうすれば、この行列が漸化式をあらわす行列になります。
式10を成り立たせる行列Mであれば、以下の式11が成り立つからです。
式10が成り立てば、行列Mの行列式の絶対値が1になります。ここで、行列式の値が1とした式12も、行列Mを限定する条件に加えます。
式11が式13に変形でき、更に式14に変形できる。
式14を具体的に以下の式に書く。
 この式の左右の項を計算し以下の式15が得られる。
 この式を解き、変数cとdで表した以下の式16が得られる。
 ここで、行列式12によって、以下の式17が得られる。
 この式17はペル方程式である。
この式17の最小の解を探し、以下の解18を得た。
 この解を使って以下の式19の行列Mが得られ、漸化式20が得られる。
これで、解が1つ見つかれば、それ以外の解を計算できる漸化式が得られた。

 次に、この行列Mの逆行列が以下の式21で得られ、漸化式20の逆に、解の値を小さくしていく式22が得られた。
 この式22があらわす逆漸化式を使うことで、もし解があれば、その解を小さくしていくことが可能である。
 ただし、この逆漸化式22は、正の値のx=zとy=zに適用して、正の値のx=zと負の値のy=zを導き出すことが可能であるという特徴がある。
 また、そうして得た正の値のx=zと負の値のy=zにこの逆漸化式を適用する場合を考えると、xと(−y)に対する漸化式に書き直すと、式20になる。すなわち、xと(−y)の解の絶対値を大きくしていく漸化式であるとも言える。

(漸化式によって得られる解の大きさ)
 漸化式20のうちの1つは以下の式23である。
ここで、式1から、解のx=zとy=zとは以下の式24であらわされ、概ね比例する。
式23を変形して以下の式25が得られる。
 また、式18から、以下の式26が得られる。
 この式26を式25に代入して以下の式27が得られる。
 この式27の関係により、漸化式は、解のx=zとy=zの大きさを概ね89×2≒180倍に大きくする。
その逆に、行列Mの逆行列による逆漸化式は、解の大きさを概ね180分の1程度に小さくする。

例えば、この漸化式は、
(x,y)の、
(1,1)を(155,209)にし、
(1,2)を(221,298)にし、
(2,3)を(376,507)にする。

 もし式1に180以上の解があれば、その解は、その解から逆漸化式によって180分の1になる小さな正値の解にリンクしている。

逆漸化式22のうちの1つは、以下の式28である。
ここで、式1から、解のx=zはy=zで、以下の式29であらわされる。 
式29を式28に代入して計算する。
(この式30からも、yが逆漸化式によって180分の1以下に小さくなることが言える) 
なお、 x=zは、以下の式で与えられる。
式30は、y=zがある値よりも小さければ、逆漸化式22で得られるyの値は負の値になってしまうが、その値よりも大きければ正の値になることを示している。
これが、逆漸化式22によってより小さな正の解を導く限界を与える。
 この限界値以上のyの解は、逆漸化式22によって、より小さな正の値の解が導き出され、その小さな解に漸化式20を適用することで導き出すことができる解なので、調べる必要は無い。
 一方、その限界値未満の解は、逆漸化式22によってはより小さい正の解が得られないので、正の値の解に漸化式20を適用することでは得られない。 
 そのため、その限界値未満の解については、それが解であるかを直接に計算して調べる必要がある。

 以下で、解を調べるべき限界値を計算する。
式30が正になる条件がその限界の条件である。それは、以下の式で与えられる。
式32により、x=z≧20が、式30が正になる条件である。よって、xが20以上の範囲の解を除外した、xが20未満の解を調べるだけで、全ての解の存在の有無を確認することができる。
 その範囲内の全ての値のxが解にはなら無いことを計算して確認した。
 そのため、 式1には、どのように大きな解も存在し得ず、解が存在しないことがわかった。

【問2】(超難問)
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。


【解答】(途中まで)
 この問2は、更に難問ですが、以下の式に変形できるので、同様に「無限降下法」を使うことで、限定された値の範囲に解が存在しなければ、全く解が無いことが証明できる。
(その限定された値の範囲で解を発見できれば、漸化式を適用することで得られる無限個の解がある。)

この式2は、以下のように変形できる。
 この式4は、
解が無さそうであるが、
解が無いことが簡単には証明できない。
しかし、問1と同様に漸化式Mを求めて「無限降下法」を使うことで解が存在しないことを証明できると考える。
 そのためには、ある限定された値の範囲内で解が存在しないことを確認する。
(あるいは、その限定された値の範囲内で、1つ以上の解を発見するかもしれない)
その、有限の範囲内の確認を行なえば解が存在するかしないかの決着をつけられると考える。
・・・
(解答の途中)

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2017年02月03日(Fri)▲ページの先頭へ
不定方程式の解き方
【問1】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 以下の様に式を書いて、右辺の数値をユークリッドの互除法で引き算して行き、式の左辺の項を、右辺の数値の加減乗除にリンクして設定する。
この計算で式2が得られた。
次に、この式2に、以下の(整数)変数nを導入して、式3を得る。
式3を式1と対比させることで、

不定方程式1のxとyの全ての整数解を、整数変数nを使った式4と5であらわす。
(注意点)
 ここで式4と5に付け加える7nと5nの係数7と5が最小公倍数を持つ場合は、その最小公倍数で割り算した値にして式に加える必要がある。
(解答おわり)
 
【問2】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 uを予め与えられた整数と考えて問1と同様に解く。
 (解答おわり)

【問3】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 xの係数とyの係数の最大公約数=2を求めて解く。
 (解答おわり)

【問4】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
次に、この式2に、以下の(整数)変数n1からn3を導入する。

しかし、これで解答は終わりでは無く、2つの変数nとnの式の部分は、以下の様に1つの変数nの式にまとめられます。
(これは大学の数学専門課程レベルですので、この問題は大学入試には出題されないと考えます)

式1のxの係数4とyの係数(−6)の最大公約数をcとします。
c=2になります。
そして、式1の左辺から、以下の式10を作り、式1を満足するaとbを求めます。
 この係数a,b,cと変数n変数nを使って、以下の式でx,y,zがあらわせます。
(解答おわり)

(別解のコメント)
 ここで、式10を計算して変数nの式を求める方法以外に、以下のようにして変数の式を計算することもできる。
その計算は、式6,7,8の変数n変数変数nの式が独立では無いことを利用して、以下の様に解く方法である。

zを与える式8において、
(A)変数nの式の係数(−4)と数nの式の係数(2)の最大公約数(2)を求める。
(B)その最大公約数(2)を係数に持つ変数の項だけを式8に設定する。
この場合は、式8の右辺を2nだけにする。それは、数n=0とすることを意味する。
(C)変数n=0とした式6’,7’,8’が解である。
この解の変数nをn−nとすれば、先の解に一致する。

また、式6,7,8に対して:
yを与える式7において、
(A)変数nの式の係数(2)と数nの式の係数(1)の最大公約数(1)を求める。
(B)その最大公約数(1)を係数に持つ変数の項だけを式7に設定する。
この場合は、式7の右辺を−1+nだけにする。それは、数n=0とすることを意味する。
(C)変数n=0とした式6’’,7’’,8’’も解である。

【解答3】
 式1を、以下の様に、式12と式13との2つの式に変換して、それぞれの不定方程式を解いて、解を合わせれば良い。
この解答は省略する。

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2017年01月27日(Fri)▲ページの先頭へ
ペル方程式で解ける不定方程式
【問】(高校生の難問)
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
(コメント)この問題は、ペル方程式で解けます。
大学入試問題に出題されることもあるようですが、
高校生には難問ですので、理系難関大学や医学部を受験しようとしている高校3年生以外は、この問題をやらなくても良いと思います。
該当する高校生であっても、参考に見ておくだけで十分と思います。

【解1】

解のいくつかを求める。
もう1つの解を計算する。
この場合はx,yは自然数解を持たない。
もう1つの解を計算する。
これは自然数解を持つ。 

次に、1つの解を得た場合に他の解を求める漸化式を作る。
作成する漸化式は、以下の式を満たす漸化式にします。
1つの解uが得られた場合に他の解Uを与える漸化式8を、行列Mを使った式で定義します。
式3を扱い易くするために、式3の係数を以下の行列の要素aで定義します。
以下のようにして、行列Mの要素の満たす式を求める。
この式の左右の項の行列を計算する。
この式を満たす行列は以下の式で与えられる。cとdは選択の自由度を与える未知数である。
この式を満足するcとdの整数解を1つ、以下の様に求め、それを使って、行列Mを定める。
これで、1つの漸化式の行列Mが得られた。
ペル方程式の場合は、この漸化式だけで全ての解を計算できることが分かっている。
 すなわち、ペル方程式では、c+d√3の値を最小にする自然数解(c,d)=(2,1)を使って上の漸化式を作れば、その漸化式で作った解が全ての自然数解をあらわす。

(漸化式の他の導出方法)
 以下のようにこの漸化式を導出する方が簡単なようです。

 この漸化式を使って、解を順次に計算できるが、以下では、その計算を先回りして解をあらわす式を求める。
この式を変形して、係数zとmとを使った以下の形の式に変形する。

この式を解いてzとmを定める。

zとmが2組あることで以下の式が成り立つことを利用して解を計算する。

以下のようにk番目の解を計算する。

(注意)この解のx,yには、整数解以外の解が混在しているので、
解を選別して整数解だけを抽出する必要がある。 

((U1,k ,U2,k)の式を導き出す簡単な計算方法)
 以下の様にすると簡単に計算できます。
(漸化式の他の導出方法)の計算を続けて、以下の計算をします。
(注意)この解のx,yには、整数解以外の解が混在しているので、
解を選別して整数解だけを抽出する必要がある。
(解答おわり)

【解2】 
 解2では、解1によって計算するx,yの解には整数解以外の解が混在していたのを改善する。
 この式B1を式2に代入する。
 ここで、には正負の何れかであるかが決まっていない自由度がある。
6y+1=1(mod3)であるので、u=1(mod3)である=か、−u=1(mod3)である−を6y+1に等しいと計算する。
(後の計算で、 常に正のu=1(mod3)であることが分かる)

この式から、以下の漸化式が得られる。
この漸化式に従うと、 
順次に計算する正のuは常に、1(mod3)となることが分かる。
そのためyの整数解は、B3’のみで計算しなければならない。
一方でxの整数解は、正負のを使って、いずれの計算でも整数解が得られる。

この漸化式を使って、(x,y)の整数解をいくつか求めてみる。
 これらの計算において、計算した(x,y)は全て整数解になったので、整数解以外の解の混在を無くすことができたと考えられる。

 次に、漸化式の計算を繰り返す手順を飛び越えて、一般解をあらわす式を求める。
この一般解の式のx,yには、整数解以外の解が混在していないと考える。

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2016年11月18日(Fri)▲ページの先頭へ
(難問)ペル方程式の整数解の問題
【問1】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
(コメント)
この不定方程式は、ペル方程式
と呼ばれています。
大学入試問題にも出題されることがありますが、
高校の教育レベルを超える問題です。

そのため、以下の解き方は、参考に見ておくだけで十分です。

【解答】
ペル方程式は、
以下のように変形して解きます。
この因数分解で無理数√6が出てくるのがペル方程式の特徴です。
(無理数が出ないで因数分解できる場合は、通常の問題ですので、各項の整数が掛算されると右辺の数になる整数解を求めるやり方で問題を解いてください。)
先ず、以下の解を求めます。
ここで、右辺が1であるのがペル方程式の特徴です。右辺が1ですので、この式は何乗しても値が1のままで変わりません。
これがペル方程式の特徴です。
これがあるから問題が解けるのです。
(もし、ここで右辺が1でない場合は、整数解が無いこともある、難しい問題に変わります。)
(右辺に1があっても、左辺のxの2乗の項の様な係数が1の項が無い場合は、大学の研究室で研究するレベルの問題になります。) 
上のk乗した式の左辺のうちの第1項は、展開すると、
の形の式になります。
式を展開して計算するこの2つの係数、すなわち、√6に掛る係数と、それ以外の係数は、以下のように求められます。
元の式を、√6を(−√6)に置き換えた式に交換し、その式を展開したら、

という、√6を(−√6)に置き換えた式になります。
そのため、各係数は、以下の式で計算できます。
 そして以下の式が成り立ちます。
そのため、この2つの係数はペル方程式のαとβの解です。
1以上の自然数(k)毎に整数解がありますので、
整数解が、自然数の数と同じだけ無数にあります。

なお、このペル方程式の表すグラフと、そのグラフの漸近線と、整数解の格子点を以下の図に記載します。
(解答おわり)

(補足)このグラフの漸近線は、傾きが無理数であるので、格子点を周期的に避けることもできないので、この漸近線やその近くのグラフは、無限の遠くまで進む間に、どこかで格子点と交わってもおかしく無いと実感できると思います。

実際、上の式で計算した通り、このペル方程式の整数解が、上の式であらわせて無数にあります。

ここで、まだ証明しきれていないペル方程式の特徴として、
上の式であらわした整数解と、k=0の場合に対応する自明な解(1,0)とが、全ての解になるという特徴があります。
-----[ペル方程式の一般解の定理]--------------
 ペル方程式を満足する自然数x,yのうち、x+(√6)yの値を最小とするものを(p,r)とする。このとき、自然数kについて(p+(√6)r)=u+(√6)wで求まる(u,w)が自然数解のすべてである。


《 要するに、ペル方程式を満足するどの解(u,w)で作った(u+(√6)w)同士を掛算及び割り算して作った値(v+(√6)z)もペル方程式の解をあらわすことから、ペル方程式のどの解(u,w)で作った値も、すべて、(p+(√6)r)であらわせる。》
------(ここまで)------------------------------

(大学で学んでその証明まで含めてペル方程式を理解したら、上の解が全ての解であると言えるようになります) 

【問2】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

(コメント)この問題は、本質的には問1と同じ問題であり、
問1と同様に解けます。
問2では、問1の解き方の知識と、以下で用いる式の変形技術が求められています。
【解答】

この式が成り立つには、sが6の倍数である必要がある。
この式の左辺を以下の様に因数分解する。

次に、この式の自明な解と、もう1つの解を見つける。
この式により、αとβからs、tがあらあわせるようになった。
更にxとyをそのsとtであらあわす式を求める。
ここで注意すべき点は、
x,yが整数の場合に必ずsとtは整数になりますが、
sとtが整数であってもxとyが整数になるとは限らないことです。

以上で計算した式を使って、
自明な解(k=0の場合)と、kが1の場合と2の場合の整数解(x,y)を計算して以下の表の値を得た。
次に、漸近線を計算する。
この式の左辺の2つの項を考える。
x及びyが無限に大きくなると、EかFのいずれかが無限に大きくなり、それにバランスを取って他方が0に近くなることで上式が成り立つ。
その、0に近くなり得る項が漸近線をあらわす。
よって、以下の2つの式が漸近線をあらわす。
この漸近線の式を足場にして、問題の不定方程式のあらわすグラフを書くと、以下のグラフが得られる。
(解答おわり)

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2011年07月11日(Mon)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(4)sinの和は−cos
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。
【問1】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。
sinθ+sin(2θ)+sin(3θ)+・・・+sin(nθ)

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。
2sin(kθ)=(1/sin(θ/2)){−cos((θ/2)+kθ)+cos((θ/2)−kθ)}
=(1/sin(θ/2)){−cos((θ/2)+kθ)+cos(kθ−(θ/2))}
=(1/sin(θ/2)){cos(kθ−(θ/2))−cos((θ/2)+kθ)}

sinθ+sin(2θ)+sin(3θ)+・・・+sin(nθ)
=(1/(2sin(θ/2))){cos(θ/2)−cos(3θ/2)
+cos(3θ/2)−cos(5θ/2)+cos(5θ/2)−cos(7θ/2)
+・・・
+cos((n−(1/2))θ)−cos((n+(1/2))θ)}
=(1/(2sin(θ/2))){cos(θ/2)−cos((n+(1/2))θ)}
(解答おわり)

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2011年07月10日(Sun)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(3)cosの和はsin
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。
【問1】以下の三角関数の式の数列の和を与える式を求めよ。
cosθ+cos(2θ)+cos(3θ)+・・・+cos(nθ)

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。
2cos(kθ)=(1/sin(θ/2)){sin((θ/2)+kθ)+sin((θ/2)−kθ)}
=(1/sin(θ/2)){sin((θ/2)+kθ)−sin((−θ/2)+kθ)}
=(1/sin(θ/2)){−sin((k−(1/2))θ)+sin((k+(1/2))θ)}

cosθ+cos(2θ)+cos(3θ)+・・・+cos(nθ)
=(1/(2sin(θ/2))){−sin(θ/2)+sin(3θ/2)
−sin(3θ/2)+sin(5θ/2)−sin(5θ/2)+sin(7θ/2)
−・・・
−sin((n−(1/2))θ)+sin((n+(1/2))θ)}
=(1/(2sin(θ/2)))
{−sin(θ/2)+sin((n+(1/2))θ)}
=−(1/2)+sin((n+(1/2))θ)/(2sin(θ/2))
(解答おわり)

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2011年07月09日(Sat)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(2−2)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問2】1+2+3+・・・+n =G(n)とする公式を求めよ。

=kの和(k=1〜n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b−b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。
+a+a+a
=(b−b)+(b−b)+(b−b)+(b−b
=b−b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
=b−b(k+1)+f(k)
となって、f(k)という項が余っても、その項の和の公式がわかっていれば、それでも問題が解けます。

−(k−1)k+k(k+1)
を考える。
−(k−1)k+k(k+1)
=k{−(k−1)k+(k+1)
=k{3k+1}
となるから、
=(1/3){−(k−1)k+k(k+1)−k}
である。
つまり、
=kの場合において、
=b−b(k+1)−(k/3)
とあらわせる
=−(1/3)(k−1)k
という式が得られた。
−(k/3)という項が余っているが、この余った項の和を求める公式は既に知っている(kの和はn(n+1)/2)ので問題が解ける。

これを使って、以下の答えが得られる。
=kの和(k=1〜n)は、
−b(n+1)−(k/3)の和
=(1/3){−0×1}+(1/3){n(n+1)
−{n(n+1)/2}/3
=(1/3){n(n+1)−n(n+1)/2}
=(1/3)n(n+1){(n+1)−(1/2)}
=(1/3)n(n+1)(n+(1/2))
(解答おわり)

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2011年07月07日(Thu)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(2−1)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問1】1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2を証明せよ。

=kの和(k=1〜n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b−b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。
+a+a+a
=(b−b)+(b−b)+(b−b)+(b−b
=b−b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

−(k−1)k+k(k+1)
を考える。
−(k−1)k+k(k+1)
=k{−(k−1)+(k+1)}
=k{2}
となるから、
k=(1/2){−(k−1)k+k(k+1)}
である。
つまり、
=kの場合において、
=b−b(k+1)
とあらわせる
=−(1/2)(k−1)k
という式が得られた。
これを使って、以下の答えが得られる。
=kの和(k=1〜n)は、
−b(n+1)
=(1/2){−0×1+n(n+1)}
=(1/2)n(n+1)
(証明おわり)

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第3講1節 いろいろな数列の和(1)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問1】(1×2)+(2×3)+(3×4)+・・・+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)を証明せよ。
【問2】(1×2×3)+(2×3×4)+(3×4×5)+・・・+n(n+1)(n+2)=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)を証明せよ。
【問3】(1×2×3×4)+(2×3×4×5)+(3×4×5×6)+・・・+n(n+1)(n+2)(n+3)=(1/5)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)を証明せよ。

(解答)【問1】
=k(k+1)の和(k=1〜n)を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
=b−b(k+1)
とあらわせるbの式を考えて解きます。
+a+a+a
=(b−b)+(b−b)+(b−b)+(b−b
=b−b
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

−(k−1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)
を考える。
−(k−1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)
=k(k+1){−(k−1)+(k+2)}
=k(k+1){3}
となるから、
k(k+1)=(1/3){−(k−1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)}
である。
つまり、
=k(k+1)の場合において、
=b−b(k+1)
とあらわせる
=−(k−1)k(k+1)
という式が得られた。
これを使って、以下の答えが得られる。
=k(k+1)の和(k=1〜n)は、
(1/3){b−b(n+1)
=(1/3){−0×1×2+n(n+1)(n+2)}
=(1/3)n(n+1)(n+2)
(証明おわり)

問2以降も同様に証明できる。

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2011年07月05日(Tue)▲ページの先頭へ
第3講1節 いろいろな数列の和(2)
佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問1】1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2を証明せよ。
【問2】1+2+3+・・・+n=n(n+(1/2))(n+1)/3を証明せよ。
【問3】1+2+3+・・・+n=n(n+1)/4を証明せよ。
【問4】1+2+3+・・・+n
=n(n+(1/2))(n+1)(n+n−(1/3))/5を証明せよ。

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