高校数学(指数・対数関数)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年07月25日(Tue)▲ページの先頭へ
逆関数や合成関数の概念
高校1年に2次関数を学びましたが、
高校2年になると、3次関数や4次関数や分数関数を学び、
三角関数も学びました。

そして、指数関数や対数関数も学びます。

高校2年では、このように多くの関数を学びますが、
以下の関数の概念も覚えましょう。

ここをクリックした先のページのpdfの18ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、関数の定義が書いてあります。

1.1 関数の定義(definition of function)
 2 つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます.ここでは,実数の集合を考えます.
Rを実数全体の集合とします.
ある実数の集合D に属する各数x に対して,実数y が1 つ定まるような規則f を、
D からR への1 価関数(single-valued function),

または単に関数といいます.

ここをクリックした先のページのpdfの(「微分積分学入門」著者:横田 壽)は、
とても明瞭に数学の関数・極限・微分・積分を説明してくれていますので、
高校数学でも、大学の数学でも、関数や微分・積分の何でも、わからないことがあったら、このpdfファイルをダウンロードして読めば、きっと、そのわからない問題が解決すると思います。

(1)逆関数:
逆関数という関数の概念があります。

ここをクリックした先のページのpdfの21ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、逆関数の定義があります。

逆関数(inverse functions)
関数f の定義域D(f) 内の任意の2 数x1, x2 に対して,
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
が成り立つとき, f は1 対1 の関数(one-to-one function) であるといいます.
(f は(写像として)単射である (injective) とも言います。)


ここで、
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) とは,
x1 とx2 が異なるならば, f(x1) とf(x2) は異なることを意味しています.
この場合,値域R(f) の各数y に対して, y = f(x) であるようなx を1 つ定めるような規則が考えられます(なぜでしょうか).
これをf の逆関数(inverse function)とよび,
f には逆関数が存在するといいます.


y=f(x)
という関数があれば、
関数の値が減少から増加に転ずる点がある場合は、
その点で関数を2つに分割する必要があります。
そうしないと、
その点の前後で複数のxに同じyが対応することになってしまうからです。
複数のxに同じyが対応してしまうと、その関数には、以下で説明する逆関数が作れなくなってしまうので都合が悪いからです。

そのようにて、1対1対応の関数として定義した関数には「逆関数」が存在します。
x=f -1(y)
という逆関数があります。

逆関数は、変数xとyの立場を入れ替えることで作れます。
その逆関数の形を以下の式3のグラフで描くことができます。
式3が逆関数の形をあらわしています。

「ある関数 f に対して逆関数 f−1 が存在する」という表現はくせものです。
なぜなら、ある関数 y=f(x) のグラフがあれば、そのグラフのxとyを入れ替えたグラフを考えて、その入れ替えたグラフから、以下のようにして、逆関数 f−1 のグラフを考え出すことができるからです。
(1)逆関数 f−1 のグラフが1つの変数に対して2つの値を持つ場合には、グラフを分割して、分割された逆関数 f−1グラフでは、1つの変数に対して1つの値しか持たないようにする。そして、その元の関数 y=f(x) のグラフもそれに対応して分割する。
(2) そうすれば、分割された元の関数 y=f(x) が、分割された逆関数 f−1 のグラフに対応する逆関数 f−1 を持つ。
(3)そうすれば、どの関数も逆関数を持つことにできるのではないか?
という疑問が生まれるうさんくささがあるからです。 

しかし、以下の事例のように、グラフを分割する操作では対応し切れず、本当に逆関数が存在し得ない場合もあります。 

下の図のグラフのように、xの値が少し変わっても t の値が同じ値になる関数の部分では、
複数のxに1つの t が対応します。

その関数の部分には逆関数が存在出来ません。
無理に逆関数のグラフを作ろうとすると、そのグラフは下の図のように、垂直に立つグラフになってしまい、1つの変数 t に対して複数の値が与えられることになってしまうからです。
1つの変数に1つの値を対応させる関数のグラフにすると下の図のように、形が変わってしまいます。
この場合には、絶対に逆関数が存在し得ないグラフの部分(関数の一部分)がありました。

 一方で、以下のグラフの不連続関数f(x)であっても逆関数を持ちます。
 以下のグラフの不連続関数f(x)も1つの一体の関数として逆関数を持ちます。
 以下のグラフABCDで表す不連続関数f(x)は、所定の点で2つの関数に分割することで、分割されたそれぞれの関数が逆関数を持つようにできます。
そのために関数を分割する点は、点Bで関数を分割しても良いし点Cで関数を分割しても良いです。

(2)合成関数:
 合成関数という関数の概念があります。

ここをクリックした先のページのpdfの21ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、合成関数の定義が書いてあります。 

合成関数(composite functions)
 関数どうしのつなぎ方として,
合成法則(composition) とよばれる方法について考えます.
まず, f(x) とg(x)2 つの関数を用意します.
次に任意のx に対して規則g を用いて1 つの実数g(x) を取り出します.
もしこのg(x) が関数f(x) の定義域に入っていれば,
規則f を用いて1 つの実数f(g(x)) を取り出すことができるでしょう.
ところで,この実数f(g(x)) は何なのでしょうか.
もしg(x) の値域がf(x) の定義域に含まれていれば,
g(x) の定義域内の各数x に対して, f(g(x)) を作ることができます.
これはg(x) の定義域内の各数x に対し,ただ1 つの実数f(g(x)) を定める規則と考えられます.
よってこの規則をf とg の合成関数(composite function) といい,
f ◦ g で表わすと(f ◦ g)(x) = f(g(x)) となります.


以下に合成関数の例をあげます。
 上の式はxの関数hを合成関数の形で表現しました。
関数hは、gというパラメータ関数を使って、式1と式2とであらわした、結局は式3の形のxの関数です。
hは、式1の形と式3の形との2つの形の式であらわすことができます。
 この関数hは、以下の形の合成関数の形であらわすこともできます。
 式3の形の関数hは、sというパラメータ関数を使って、式4と式5であらわすことができます。
hは、式4の形でもあらわせます。
パラメータ関数を自由に選ぶことで式3のxの関数hは、式1や式4の形やその他の形の無限に多くの形であらわすことができます。

【逆関数定理】
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
が成り立ち, f が1 対1 の関数(one-to-one function) であるとき、以下の図の1対1の写像の関係があります。

1対1の写像をする関数 f には逆関数が定義できます。
そこで、関数 f で1対1の写像をした後で、逆関数で定義される1対1の写像をする、合成関数の写像をすれば、以下の図の様に元に戻ります。
また、逆写像の変数yの定義域の変数yに対して逆写像で1対1の写像をした後で、関数 f で定義される1対1の写像をする、合成関数の写像をすれば、以下の図の様に元に戻ります。
これは、逆関数定理と呼ばれています。

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2017年06月02日(Fri)▲ページの先頭へ
指数関数で一番大切なネイピア数e
 高校2年で、指数関数において最も大切なネイピア数 e を教えていない。
 ネイピア数 e は、高校3年の理系学生に、数Vの「微分法」でようやく教えているようです。
 しかし、指数関数を教える時に一番大切なことを教えないということは、数学教育の崩壊に近いのではないかと考えます。

 以下で、ネイピア数を簡単に紹介します。
ネイピア数 e は、以下の式1のnを無限に大きくした極限で得られる数です。
e=「船人、ヤツは一発梯子(ふなびと、やつはいっぱつはしご)」

 このネイピア数 e を底にした式2であらわす指数関数は、最も大切な指数関数です。
 この指数関数には、以下の微分の関係が成り立ちます。
そして、この指数関数は、以下の式3であらわすマクローリン展開という無限級数であらわすことができます。

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2011年07月19日(Tue)▲ページの先頭へ
指数関数と対数関数 第5講3節 log(3)4とlog(4)6
佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問2】log4とlog6の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
対数関数の大小は、以下の公式を(以下の数の範囲で)利用することで必ず解くことができる。
底について  1<a≦A
真数について 1<b≦B
である場合は、
0<logb≦log
が成り立つ。
この数値範囲では、等号が成り立つのは、a=Aかつb=Bの場合のみ。

この公式を、以下のように利用することで、大小関係を必ず解くことができる。
(1)底を1より大きくし真数も1より大きくした式に変換した上で、
(2)小さい方(と思われる)対数関数の底を、他の対数関数の底よりも大きくする。
(3)大きい方(と思われる)の対数関数がlogC≡Hであり、
小さい方(と思われる)の対数関数がlogD≡Lである場合、
対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。
それを、対数関数Lの真数Dと底Aを使って同じ形に作った真数D/Aと比べる。
このように真数を変換することは、
元の対数関数をm倍にした値からnを引き算することを意味する。
mH−n=log(C/a
mL−n=log(D/A

対数関数HがLより大きければ、
mとnを十分大きくして、1より大きな真数で、なるべく1に近い真数を作れば、
対数関数Hから作った真数は必ず、対数関数Lから(同様にして)作った真数よりも大きくなり、先の公式にあてはまるようになる。

(その理由は、大きなmで対数関数の大小関係が拡大されているので、対数関数HとLの真数の値は、対数の底の違い以上に大きさが異なるようになるためである。
なお、nを引き算する理由は、対数関数の値が同じなら、底が異なっても真数を同じにするためである。)

そのため、この方法を使えば、必ず、対数関数の大小関係を求めることができる。

(解答開始)
L≡log
H≡log
(1)この2つの対数関数の大小関係は、多分H>Lである。
そのため、対数関数Hの底を、Lの底=3より小さくする。
H≡log6=(1/2)log
2H=log
2L=2log4=log16

(2)真数を1に近づける(ただし1より大きくする)ために、対数関数から2を引き算する。
2H−2=log(6/4)=log(3/2)
2L−2=log(16/9)

(3−1)対数関数を更に2倍にする。
4H−4=log(9/4)
4L−4=log(256/81)

(3−2)真数を1に近付ける(ただし1より大きくする)ために、更に1を引く。
4H−5=log(9/8)
4L−5=log(256/243)
(4H−5)の真数B=9/8=1.1・・・
(4L−5)の真数b=254/243=1.05・・・
よって、B>b
一方、
(4H−5)の底a=2
(4L−5)の底A=3
すなわち、A>a
よって
(4H−5)=logB>logb=(4L−5)
∴ H>L
log6>log
(解答おわり)

【別解】
(解答の方針)
対数関数の逆数は、底と真数が入れ替わった式になることを利用する。
1/L=log
1/H=log

この関係を利用することで、先の計算方針の:
「(3)・・・対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。」
を補う以下の計算方針によって、対数の大小関係を求めることができます。
(3)’・・・対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のa/Cを作る。
(すなわち、 1より小さい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。)

(解答開始)
(1)この2つの対数関数の大小関係は、多分H>Lである。それは、(1/H)<(1/L)ということを意味する。
対数関数の大小関係を示す先の公式にあてはめるために、対数関数(1/L)の底=4は、(1/H)の底=6より小さくする必要があるが、既に、底の関係は、この関係を満足している。

(2)次に、1/Lの真数3のm乗を底4のn乗で割り算して、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数を作る。
/4=81/64が手ごろだと思う。
すなわち、
(4/L)−3=log(3/4)=log(81/64)=log(1.2・・・)
(4/H)−3=log(4/6)=log(2/(2×3)
=log(2/3)=log(32/27)=log(1.1・・・)

対数関数(4/L)−3の底は4で真数は1.2・・・であり、
対数関数(4/H)−3の底は6で真数は1.1・・・であるので、
公式にあてはまって、
対数関数(4/L)−3>(4/H)−3
よって、(1/L)>(1/H)
0<L, 0<H であるので、
∴ L<H
log4<log
(解答おわり)

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2011年07月17日(Sun)▲ページの先頭へ
指数関数と対数関数 第5講3節 log(3)4とlog(4)5
佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問1】log4とlog5の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
(1)対数関数の問題を考える場合は、対数の底をそろえて比較する。
(2)更に、対数の真数をそろえて比較する。
(3)主に、{(対数の真数)/(対数の底)}を比較の対象にする。

L≡log
H≡log
この2つの対数関数を比較するため、先ずLの対数の底(=3)をHの対数の底(=4)にそろえることを考える。
L≡log
=log(3・(4/3))
=log3+log(4/3)
=1+log(4/3)
L>M≡1+log(4/3)
(上の結論は、対数関数の真数をそろえて、底を変えて比較した結論です)
M≡1+log(4/3)
M>N≡1+log(5/4)
(上の結論は、対数関数の底をそろえて、真数を変えて比較した結論です)
N≡1+log(5/4)
=log4+log(5/4)
=log5=H

∴ log4>log
(解答おわり)

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相加平均と相乗平均の不等式
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カレンダ
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