高校数学(指数・対数関数)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2011年07月19日(Tue)▲ページの先頭へ
指数関数と対数関数 第5講3節 log(3)4とlog(4)6
佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問2】log4とlog6の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
対数関数の大小は、以下の公式を(以下の数の範囲で)利用することで必ず解くことができる。
底について  1<a≦A
真数について 1<b≦B
である場合は、
0<logb≦log
が成り立つ。
この数値範囲では、等号が成り立つのは、a=Aかつb=Bの場合のみ。

この公式を、以下のように利用することで、大小関係を必ず解くことができる。
(1)底を1より大きくし真数も1より大きくした式に変換した上で、
(2)小さい方(と思われる)対数関数の底を、他の対数関数の底よりも大きくする。
(3)大きい方(と思われる)の対数関数がlogC≡Hであり、
小さい方(と思われる)の対数関数がlogD≡Lである場合、
対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。
それを、対数関数Lの真数Dと底Aを使って同じ形に作った真数D/Aと比べる。
このように真数を変換することは、
元の対数関数をm倍にした値からnを引き算することを意味する。
mH−n=log(C/a
mL−n=log(D/A

対数関数HがLより大きければ、
mとnを十分大きくして、1より大きな真数で、なるべく1に近い真数を作れば、
対数関数Hから作った真数は必ず、対数関数Lから(同様にして)作った真数よりも大きくなり、先の公式にあてはまるようになる。

(その理由は、大きなmで対数関数の大小関係が拡大されているので、対数関数HとLの真数の値は、対数の底の違い以上に大きさが異なるようになるためである。
なお、nを引き算する理由は、対数関数の値が同じなら、底が異なっても真数を同じにするためである。)

そのため、この方法を使えば、必ず、対数関数の大小関係を求めることができる。

(解答開始)
L≡log
H≡log
(1)この2つの対数関数の大小関係は、多分H>Lである。
そのため、対数関数Hの底を、Lの底=3より小さくする。
H≡log6=(1/2)log
2H=log
2L=2log4=log16

(2)真数を1に近づける(ただし1より大きくする)ために、対数関数から2を引き算する。
2H−2=log(6/4)=log(3/2)
2L−2=log(16/9)

(3−1)対数関数を更に2倍にする。
4H−4=log(9/4)
4L−4=log(256/81)

(3−2)真数を1に近付ける(ただし1より大きくする)ために、更に1を引く。
4H−5=log(9/8)
4L−5=log(256/243)
(4H−5)の真数B=9/8=1.1・・・
(4L−5)の真数b=254/243=1.05・・・
よって、B>b
一方、
(4H−5)の底a=2
(4L−5)の底A=3
すなわち、A>a
よって
(4H−5)=logB>logb=(4L−5)
∴ H>L
log6>log
(解答おわり)

【別解】
(解答の方針)
対数関数の逆数は、底と真数が入れ替わった式になることを利用する。
1/L=log
1/H=log

この関係を利用することで、先の計算方針の:
「(3)・・・対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。」
を補う以下の計算方針によって、対数の大小関係を求めることができます。
(3)’・・・対数関数Hの真数Cと底aを使って、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数のa/Cを作る。
(すなわち、 1より小さい真数であって、なるべく1に近い真数のC/aを作る。)

(解答開始)
(1)この2つの対数関数の大小関係は、多分H>Lである。それは、(1/H)<(1/L)ということを意味する。
対数関数の大小関係を示す先の公式にあてはめるために、対数関数(1/L)の底=4は、(1/H)の底=6より小さくする必要があるが、既に、底の関係は、この関係を満足している。

(2)次に、1/Lの真数3のm乗を底4のn乗で割り算して、1より大きい真数であって、なるべく1に近い真数を作る。
/4=81/64が手ごろだと思う。
すなわち、
(4/L)−3=log(3/4)=log(81/64)=log(1.2・・・)
(4/H)−3=log(4/6)=log(2/(2×3)
=log(2/3)=log(32/27)=log(1.1・・・)

対数関数(4/L)−3の底は4で真数は1.2・・・であり、
対数関数(4/H)−3の底は6で真数は1.1・・・であるので、
公式にあてはまって、
対数関数(4/L)−3>(4/H)−3
よって、(1/L)>(1/H)
0<L, 0<H であるので、
∴ L<H
log4<log
(解答おわり)

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2011年07月17日(Sun)▲ページの先頭へ
指数関数と対数関数 第5講3節 log(3)4とlog(4)5
佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問1】log4とlog5の大小関係を求めよ。

(解答の方針)
(1)対数関数の問題を考える場合は、対数の底をそろえて比較する。
(2)更に、対数の真数をそろえて比較する。
(3)主に、{(対数の真数)/(対数の底)}を比較の対象にする。

L≡log
H≡log
この2つの対数関数を比較するため、先ずLの対数の底(=3)をHの対数の底(=4)にそろえることを考える。
L≡log
=log(3・(4/3))
=log3+log(4/3)
=1+log(4/3)
L>M≡1+log(4/3)
(上の結論は、対数関数の真数をそろえて、底を変えて比較した結論です)
M≡1+log(4/3)
M>N≡1+log(5/4)
(上の結論は、対数関数の底をそろえて、真数を変えて比較した結論です)
N≡1+log(5/4)
=log4+log(5/4)
=log5=H

∴ log4>log
(解答おわり)

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