放物面鏡での光の反射






2017年07月09日(Sun)
放物面鏡での光の反射
「微分・積分」の勉強

(2)微分:
 以下の問題を考えます。
【問題】 
 放物線鏡の中心面に垂直に入れた光(放物線の軸に平行な光)は反射してどこに行くか。
 この問題は、以下の様に解くことができます。

【解答】
先ず、放物線の軸に平行な光を点A(X,Y)に当てます(図ではX座標が1の場合を示す)。
光の反射方向を知るためにA点での鏡の傾きを近似的に計算します。
A点で反射した光は反射してY軸上のF点に達すると考えます。
A点近くの光と鏡面の関係を詳しくしらべます。
X座標の値がXである点Aでの放物線への接線がX軸と交わる点をCとします。またA点からX軸に垂直に下ろした点をBとします。
ここで、
なので、
三角形ACDの底辺CDの長さは近似的に、
と計算できます。 

線分ACに垂直な直線CBを考え、その直線を延長してY軸と交わる点をFとします。
∠ACB=∠R
です。
OC=X−CD=X/2
ですので、
OC=CD=X/2
です。
そのため
FC=BC
です。
二辺狭角が等しいので、
△AFC≡△ABC
です。
そのため
∠FAC=∠BAC
です。
よって、
直線FAは、
A点で反射した光線の通る道です。
FC=FB/2
です。
そのため、
OF=EF/2
です。
そして:
が得られます。
結局、光線は、どのX座標から入っても、
すべての光が点(0,1/4)に集光することがわかりました。
(解答おわり)

 この問題を解く過程で用いた、近似的な傾きを、「微分」という究極の傾きの式で表すことができます。

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カレンダ
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