微分するための極限の極意






2017年07月17日(Mon)
微分するための極限の極意
「微分・積分」の勉強

(3)微分から極限に:
 以下の微分の問題を考えると大きな壁に直面します。
 この問題で微分を求めようと計算を進めてみます。
この式2まで計算できますが、その先には進めなくなりました。
以下の式を求める方法が無ければ、先に進めません。
この式の計算をできる方法を知ることが「極限」を学ぶということです。

(極限を学ぶ)
以下の単位円の角度を考えます。
この図の三角形OAHの面積と扇形OBAの面積の大小関係からsinθとθの大小関係を考えます。
先ず、この式3の大小関係が分かります。
次に、扇形OBAの面積と三角形OBTの面積の大小関係から以下の大小関係も考えます。
この式4の大小関係と式3の大小関係を合わせて、sinθより小さいものと大きいものが考えられました。
それを整理すると以下の式5になります。

この大小関係の式5をθで割り算した式の極限を求めます。
その計算の際に、極限では、
f<g<h
が、
f≦g≦h
となり得るので、
式5の不等号には等号も加えて以下の計算をします。
この様に、sinθの式を間に挟み込む2つの式の極限を計算することで、
式6の様に挟みこまれたsinθの式の極限が計算できました。
これが「極限」の極意(奥義)です。

(注意)この計算は、厳密には、θ<0の場合も確認する必要があります。

 この式6を使うと、先に途中まで考えた微分の計算を進めることができ、以下の式7まで微分を計算することができました。

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カレンダ
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