対数微分法






2017年08月01日(Tue)
対数微分法
 高校2年の微分の授業で、対数微分を教えていない。
 そもそも、対数関数の微分を高校3年になってから数Vでようやく教えている。
 しかし、対数微分を教えないと微分の重要な公式を導き出す(証明する)こともできない。証明していない公式を覚えさせて使わせるという、数学教育の崩壊に近いことも行われているようです。
 そういう不健全状態を改善するために、高校2年生も、以下に説明する対数微分を覚えるべきと考えます。

【対数微分法】
「微分積分学入門」(横田 壽)77ページ
   両辺の対数をとって微分する方法を対数微分法(logarithmic differentiation) といいます.

y = xn のn が整数のときの導関数は,例題2.4 で求めました.
しかし, y = xα のα が実数 のときの導関数は例題2.4 で用いた方法では求められません(なぜでしょう?).
しかしもう大丈 夫です.なぜなら私たちには対数微分法があるからです.


 以下で、対数微分法の例を説明します。
【問題】 
 以下の式1は、(値が負になっても良い)実数αを使って表されている。ここで、
x>0,
である。 この式1を微分せよ。
【解答】
式1の両辺の対数をとる。
 この式2の両辺を微分する。
(対数関数の微分の公式を使う)

 こうして、求める微分の式5が得られました。
(解答おわり)

この解答から、以下の、 xの実数乗の式の微分の公式が得られました。
ただし、x>0,であり、
αは、値が負でも良い実数である。

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カレンダ
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