高校数学(微分・積分)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2017年05月09日(Tue)▲ページの先頭へ
既約多項式が重根を持たない不思議
(2つの多項式の最大公約多項式を求める問題)

 次数の大きい方の多項式 f を、次数の小さい方の多項式 g で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 g を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

 この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題1】(微分の応用)
 有理数係数では因数分解できない(既約)多項式 f が式1であらわされている。この多項式は複素数係数の範囲では式2に因数分解でき、根α,β,γを持つ。
ここで、根α,β,γは必ず異なる、すなわち、既約多項式1は重根を持たないことを証明せよ。


【解答】
(仮定1)既約多項式 f が式3であらわされ、重根αを持つと仮定する。
この式を微分する。
 ここで、f’の式は、係数が有理数で、かつ、fの式1より次数が低い式5に計算される。

  この式5の(因数分解しない元の)f’の式は、以下の式6になる。

この様に、式5のf’の式は、式6の様に、有理数係数を持つ式1のxの累乗の項の係数に有理数を掛け算した有理数の係数を持つ式になる。
しかも、式5(又は式6)は、3次式である式1より次数が低い2次の式である。
また、式5は、式1と共通する根αを持つ。

 この有理数係数の2次のf’の式6と有理数係数の3次のfの式1にユークリッドの互除法を適用すると、f’の式6より1つ次数が低い1次の余りの式が計算される。
その1次の余りの式は有理数係数を持つ

 その有理数係数の1次の余りの式は、この有理数係数の2次のf’の式と有理数係数の3次のfの式1の共通因数の式(x−α)の有理数倍の式になる。
そのため、(x−α)は有理数係数の式になる。

(x−α)が有理数係数の式なので、(x−α)で有理数係数の3次のfの式1を因数分解できることになってしまい、多項式fが既約多項式であることと矛盾する。

 そのため、仮定1は成り立たない。
 よって、有理数係数の範囲で因数分解できない既約多項式 f は、複素数係数の範囲でも重根を持たない。

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2017年04月20日(Thu)▲ページの先頭へ
楕円と双曲線と放物線の接線の式
「微分・積分」の勉強
【研究】
 高校3年で学ぶ楕円の接線の式を含めた、
楕円と双曲線と放物線の接線の式は、
以下の(大学で学ぶ)微分の計算によって導くことができる。

【楕円の接線】
楕円 x/a+y/b=1 (式1)です。

 楕円の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式6が楕円の接線の式です。

【双曲線の接線】
 双曲線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
 z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式5が双曲線の接線の式です。

【放物線の接線】
 放物線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
 z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式6が放物線の接線の式です。

 このようにして接線の式を導き出すことを覚えたら、このやりかたで直ぐ接線の公式を導き出すことができるようになるので、各図形の接線の公式を覚えないでも良くなり便利です。

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2011年09月20日(Tue)▲ページの先頭へ
3次方程式が重根を持つ条件
「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【難問】三次の方程式
+ax+b=0 (式1)
の根が重根を持つ場合に、パラメータaとbの間に成り立つ関係を求めよ。
(注意:どの3次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる)


(解答の方針)
この問題は、
方程式
f(x)=0 (式2)
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式2の重根の解x=αにおいて、
f’(α)=0 (式3)
が成り立つ。
すなわち、方程式2を微分した方程式の解も、その重根の解x=αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
(証明開始)
f(x)=(x−α)g(x)
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
f’(x)=2(x−α)g(x)+(x−α)g’(x)
=(x−α){2g(x)+(x−α)g’(x)}
よって、
f’(α)=0 (式3)
が成り立つ。
(証明終わり)

そのため、
f(x)=x+ax+b=0 (式1)
の根が重根を持つ場合に、
f’(x)=3x+a=0 (式4)
の根の1つが、式1の根と等しい。
そのため、
式1と式4を連立させて、両式がともに成り立つxの値が、式1の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【解答1】
(1)
f(x)=x+ax+b=0 (式1)
の根が重根を持つ場合に、
f’(x)=3x+a=0 (式4)
の根の1つが、式1の根と等しい。
そのため、
式1と式4を連立させて、両式がともに成り立つxの値が、式1の重根である。
(2)
3(式1)−(式4)xを計算する。
3x+3ax+3b−(3x+ax)=0
3ax+3b−ax=0
2ax+3b=0 (式5)
(3)
a≠0の場合は、
x=−3b/(2a) (式6)
このxの値が重根である。
(4)
a=0の場合は、
式5より、
b=0
すなわち、a=b=0の場合に、式1も式4もx=0を解に持つ。
(5)
式6のxの値を式4に代入する。
3(−3b/(2a))+a=0
(27/4)(b/a)+a=0
27b+4a=0 (式7)
式7は、a=b=0の場合も含んでいる。
(6)
式6のxの値を式1に代入する。
(−3b/(2a))+a(−3b/(2a))+b=0
−(27/8)(b/a)−(3/2)b+b=0
−(27/8)(b/a)−(1/2)b=0 
−27(b/a)−4b=0
27(b/a)+4b=0
27b+4ba=0
b(27b+4a)=0
b=0
or
27b+4a=0 (式7)
再び式7を得た。
(7)
よって、パラメータaとbの間に成り立つ関係は、 
27b+4a=0 (式7)
である。おぼえ易い式に変形すると、
(b/2)+(a/3)=0 (式7’) 
これが、式1が重根(3重根も重根の一種として)を持つ条件である。
(解答おわり)

【解答2】 
 式1が重根を持つ場合は、式fと、それを微分した式f’≡gが共通因数を持つ。
 共通因数を持つ式fと式gをユークリッドの互除法で余りを計算すると、余りの式は割り切れる結果、余りの定数項が0になる。
そのため、以下のように、ユークリッドの互除法で余りの定数項を計算する。
(1)先ず、f’≡gを計算する。
このfをgで割り算した余りの式hを計算する。
 次にgをhで割り算した余りの定数項の式kを計算する。
(ただし、a≠0とする)

fとgが共通因数hを持つので、式gはhで割り切れ、余りの定数項kは0になる。
よって、以下の式が成り立つ。
解答1で求めた解の式7と同じ式a−5が得られた。
(a=0の場合)
 重根を持つ条件は、b=0である。
これは、式a−5に当てはまっている。
その場合にx=0で3重根を持つ。
(解答おわり)

(コメント)
ここで、3次方程式1の判別式Dは、
D≡−(b/2)−(a/3)
であり、
D=0の場合に式1は重根を持ち、
D>0の場合に式1は3つの実数根を持つ。

この判別式Dは、以下の様にすると思い出し易い。
式1をyとして、
yの微分に−1を掛けた式8を考える。
そして、その式8のxに、
式1が重根を持つ場合には重根の絶対値をあらわす
を代入して式9を計算する。
その式9:
yの微分に−1を掛けた式≧0
が、式1の根が全て実数になる条件式であると覚える
と、判別式Dを思い出し易い。

この式9を展開すると以下の式10になります。
この式10を以下の様に変形することで判別式Dが導き出せます。
 こうして、式11の判別式Dが導き出せた。
(参考)
「3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根」

リンク:
三次方程式の判別式
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2011年09月18日(Sun)▲ページの先頭へ
円と放物線の接線(4)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問1】放物線
y=2−2x (式1)
とX軸で囲まれる範囲(x軸より上の範囲)にある円の半径の最大値を求めよ。


(解答の方針)
この問題で求める円は、式1の放物線とX軸とに接する円です。
その円は放物線と同じくY軸に関して対称(すなわち、Y軸上に中心がある)と考えられます。

その理由は、
もし、その円の中心がY軸上になければ、Y軸に関して全図形を左右に反転すれば、円の中心位置が左右に移動します。
放物線に接する円が左右に移動してしまったら、上図のように、円は放物線に接する位置から離れて、放物線に交わったり放物線から離れてしまったりします。
そのため、Yに関して全図形を左右に反転しても円が放物線に左右で接する形であるためには、円の中心はY軸上になければなりません。

求める円の中心がY軸上にあると考えると問題が大分簡単になります。
次に、考えることは、円と放物線が接する条件を求めることです。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書きます。

(解答)
(1)
放物線の式は
y=2−2x (式1)
であり、
X軸の式は
y=0 (式2)
である。
(2)
式1の放物線とX軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円は、式1の放物線と左右で接して、円の下がX軸に接する円と考えられる。
全図形をY軸に関して左右に反転しても、その円は放物線に左右で接する形であるが、
もし、左右に反転すると円の中心が左右に移動すると考えると円が放物線から離れたり放物線に交わったりして、放物線とX軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円である条件から外れてしまい矛盾する。
よって、全図形を左右に反転しても円の中心は左右に移動しない。すなわち、円の中心はY軸上にある。
よって、x軸に接する半径rの円の式は以下の式であらわされる。
(y−r)+x=r (式3)
(注意)
半径のつもりで、rというパラメータを導入しましたが、rというパラメータは、x軸より上の円では正になり、x軸より下の円では負になる。x軸に接する円がx軸の上か下かどちら側にあるかをあらわすパラメータであるという意味を持っていることに注意すべき。

(3)
求める円は、式1の放物線と接する円と考えられるので、
先ずは、円と放物線が接し得る接点を全て求める。

(4)
放物線と円の接点をA(a,h)とする。
式1から、
放物線 h=2−2a  (式4)
式3から、
円 (h−r)+a=r (式5)

(5)
式1の放物線の接点(a,h)における接線の傾きは、式1の関数をxで微分して計算し、
−4a

式3の円の接点(a,h)における接線の傾きは、
円の法線の傾き(h−r)/aの逆数に(−1)を掛け算したものであって、
−a/(h−r) 

この2つの接線の傾きが等しいので、
−4a=−a/(h−r)
a{−4+(1/(h−r))}=0 (式6)
この式6(接点の座標の式)を解くと、
a=0 (式7)
or
h−r=1/4
h=r+1/4 (式8)

(6)
(式7(a=0)があらわす接点の座標を求める)
式7を放物線の式4に代入する。
h=2 (式9)
よって、1つの接点(a,h)=(0,2)が得られた。
この接点は式1があらわす放物線の頂点である。
この接点に接する円の半径r=1である。

(7)
(式8があらわす接点の座標を求める)
そのために、式8と式4と式5を連立して、接点の座標を導く。
(8)
計算間違いを少なくするために、単純な式を早く作る。
そのために、先ず、式4と式5を整理して、aを消去して単純な式を得る。
式4から、
h−2+2a=0 (式4’)
式5から、
(h−r)+a−r=0 (式5’)
2×式5’−式4’を計算してaを消去する。
2(h−r)−2r−(h−2)=0
2h−4hr−h+2=0 (式9)
式9に代入すべき式8を変形する。
r=h−(1/4) (式8’)
式8’を式9に代入してrを消去する。
2h−4h(h−(1/4))−h+2=0
2h−4h+h−h+2=0
−2h+2=0
−1=0
(h−1)(h+1)=0
h=1
or
h=−1
h=−1は、x軸よりも下のy座標であるので、接点の座標として不適。
よって、
h=1 (式10)
のみが有効。
式10を式8’に代入する。
r=1−(1/4)=3/4
また、式10を式4’に代入する。
1−2+2a=0
2a=1
=1/2
a=±(√2)/2 (式11)
よって、半径r=3/4の円について、
2つの接点(a,h)=A(√2/2,1)とB(−√2/2,1)が得られた。

(9)
以上で得た、円が放物線と接し得る点を全て列挙すると、
放物線の頂点(0,2)が接点になるとき、円の半径r=1

A(√2/2,1)とB(−√2/2,1)
が接点になるとき、
円の半径r=3/4

半径r=3/4の円において既に放物線に接しているので、
円の半径が1になって放物線の頂点に円が接する場合には、円は、その他の点で放物線と交差していて、放物線の下には収まりきれていない。
よって、放物線の下に収まりきれる最大の円の半径は、
r=3/4
(解答おわり)

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2011年09月04日(Sun)▲ページの先頭へ
接線と放物線の交点
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【問1】放物線
y= x+1 (式1)
上の任意の点Pにおける接線が、放物線
y=x (式2)
と交わる点をQ,Rとするとき、次のことが成り立つことを示せ。
Pは線分QRの中点である。


(解答の方針)
式1の放物線上の点P(p,p+1)での接線の式をあらわし、
その接線点の式と式2とを連立させて、交点Q,Rの座標を計算する式を求めれば良い。
ただし、問題の解き方も工夫する。

(解答)
式1を微分して式1のグラフの傾きを求める。
y’= 2x
P(p,p+1)での傾きy’は、
y’= 2p (式3)
式1の放物線上の点P(p,p+1)での接線の式は以下の式になる。
y−(p+1)=y’(x−p)
y=y’(x−p)+(p+1)
この式に式3を代入して、y’を式3の右辺で置き換える。
y=2p(x−p)+(p+1) (式4)
式4と式2を連立して、接線と式2の放物線の交点Q,Rの座標を求める式を計算する。
=2p(x−p)+(p+1)
−2px+p−1=0 (式5)
ここで問題の解き方を工夫する。
根と係数の関係により、交点Q,Rのx座標をqとrとすると、式5のxの係数との間に以下の関係が成り立つ。
2p=q+r
p=(q+r)/2
これは、接線上の点Pのx座標が、点QとRの中点のx座標であることを意味する。
∴ Pは線分QRの中点である。
(解答おわり)

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2011年08月25日(Thu)▲ページの先頭へ
2つの放物線の共通接線
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【問1】2つの放物線
y= x (式1)
y=−(x−2) (式2)
の共通接線の方程式を求めよ。


(解答の方針)
式1の接点A(a,b)での接線の式をあらわし、
式2の接点C(c,d)での接線の式をあらわし、
それらの接線の式が等しいとする方程式を書いて、
その方程式を解けば良い。

ただし、その方程式を解く過程で計算間違いをすると正しい答えが出ない。
そのため、計算間違いを少なくする問題の解き方を工夫する。

(解答)
y= x (式1)
y=−(x−2) (式2)
(1)
式1を微分して式1のグラフの傾きを求める。
y’=2x (式3)
接点A(a,a)での式1の接線の式は
傾きy’=2a
だから、以下の式になる。
y−a=y’(x−a)
y−a=2a(x−a) (式4)

(2)
式2を微分して式2のグラフの傾きを求める。
y’=−2(x−2) (式5)
接点C(c,−(c−2))での式2の接線の式は
傾きy’=−2(c−2)
だから、以下の式になる。
y+(c−2)=y'(x−c)
y+(c−2)=−2(c−2)(x−c)
この式を、
c−2=e (式6)
とおいて、以下のように単純な式であらわす。
y+e=−2e(x−c) (式7)
このように単純な形に式をあらわすことで、計算が簡単になり、計算間違いを少なくすることができる。
式7に残っているcもeにおきかえる。
y+e=−2e(x−e−2) (式8)

(3)
接線の式8と4の傾きが等しい条件式を求める。
−2e=2a
e=−a (式9)
(4)
式4と式8のそれ以外の項も等しくなる条件式を求める。
+2e(−e−2)=−a+2a・a
−e−4e=a
式9を代入してeをaにおきかえる。
−a+4a=a
−2a+4a=0
a(a−2)=0
a=0 (式10)
or
a=2 (式11)

(5)式10の場合:
a=0 (式10)
式10を式4に代入。
y=0 (式12)

(6)式11の場合:
a=2 (式11)
式11を式4に代入。
y−4=4(x−2)
y=4x−4 (式13)

以上の結果、式1と2の放物線の共通接線の方程式は、
y=0 (式12)
と、
y=4x−4 (式13)
である。
(解答おわり)

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2011年08月24日(Wed)▲ページの先頭へ
3次関数の曲線の形
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【覚えておくべきこと】3次関数の曲線
y= x+ax+bx+c (式1)
の形は、中心点Aを中心にして点対象な形をしている。

その中心点Aのx座標は、式1を微分した式、
y= 3x+2ax+bx (式2)
の2次関数のグラフが左右対称になる対称軸の座標、
x=−a/3
である。

式1を微分した2次関数のグラフが、その対称軸の左右で対称であるので、
式1のあらわす3次関数のグラフは、中心点Aの左右で傾きが等しい。
そのため、式1のあらわす3次関数のグラフが、中心点Aを中心にして点対象な形になる。

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2011年08月22日(Mon)▲ページの先頭へ
放物線の極線
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】放物線
y= x (式1)
に、点P(a,b)を通る傾きm直線が交差する交点をQとRとするとき、
点Qでの放物線の接線と点Rでの放物線の接線との交点をSとするとき、
傾きmを変化させたとき、Sはある直線上にあることを示せ。


この問題は、以下の問題と同じ問題です。
【問題2】放物線
y= x (式1)
に、点P(a,b)を通る直線が交差する交点をQとRとするとき、
点Qでの放物線の接線と点Rでの放物線の接線との交点Sは、点Pから放物線に引いた2つの接線の接点を結んだ直線上にあることを示せ。

また、以下の問題とも同じです。
【問題3】放物線
y= x (式1)
に、点P(a,b)を通る傾きmの直線が交差する交点をQとRとするとき、
点Qでの放物線の接線と点Rでの放物線の接線との交点Sは、mの値に関係なく、ある直線上にあることを示せ。

(解答の方針)
この問題は、放物線外の一点Pから、放物線に弦を無数に引いたとき、弦の両端における2本の接線の交点を結んでできる直線(これは極線と呼ばれている。その極線を作る元になる点Pは「極」と呼ばれている)を求める、有名な問題です。
この問題は、何度でも解いて練習すべき問題として推薦します。

(解答)
(1)
点P(a,b)を通る傾きmの直線を以下の式で定義する。
y−b=m(x−a) (式2)
点Q(c,d)とR(e,f)との座標c及びeを求める式は、式1に式2を代入してyを消去することで求められる。
=m(x−a)+b
−mx+ma−b=0
−mx+ma−b=(x−c)(x−e) (式3)
(2)
点Q及び点Rでのx=t(t=c,e)の位置でも接線の傾きは式1を微分することで求められる。
y’=2x (式4)
式4から、x=tの位置での接線の傾きは2tである。
よって、x=tとなる放物線上の点の接線の式は、以下の式であらわせる。
y−t=2t(x−t)
この式をtについて整理する。
−2xt+y=0 (式5)
この式5は、
(x,y)が、点Qの接線とRの接線とで共通な値となるとき、
すなわち、両接線の交点S(x,y)の座標をあらわすとき、
tに、点Q(c,d)の座標値cを代入して成り立つ式であり、
かつ、R(e,f)の座標値eをtに代入して成り立つ式である。
よって、式5は、S(x,y)の座標に関する式で、t=c、t=eを根に持つ二次方程式である。
−2xt+y=(t−c)(t−e) (式6)
(3)
式3と式6を比べると、
−mx+ma−b=(x−c)(x−e) (式3)
−2xt+y=(t−c)(t−e) (式6)
式3と式6の根と係数の関係より、
−m=−(c+e)=−2x
m=2x (式7)
ma−b=ce=y
ma−b=y (式8)
式7と8よりmを消去すると、
2xa−b=y
y=2ax−b (式9)
点Sは、この直線9(極線)上にある。
(解答おわり)

【注意】
この問題を、点Sの軌跡を求める問題と考える場合は、点Sの軌跡は式9であらわされる直線のうち、式1の放物線で切り取られる弦の外側の部分を描くことに注意。

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2011年08月21日(Sun)▲ページの先頭へ
4次曲線の2点への接線
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】4次曲線
y= x−x+x (式1)
に、直線
y=ax+b (式2)
が相異なる2点で接するときa、bの値を求めよ。

(解答の方針)
問題の条件をあらわす方程式の形に従って、問題の解き方が決まってしまう。問題を解き易い形に問題の条件をあらわすには、問題の条件を可能な限り図形であらわして問題の条件をどういう図形であわらすかを工夫することが大切です。

この問題では、グラフを想像しながら方程式(のあらわすグラフ)を変形して問題を解くことが大切なポイントです。


4次曲線は、上の図のようにあらわせる。
式1に式2を代入すると、
−x+x=ax+b
−x+(1−a)x−b=0 (式3)
この式3が、接点のx座標x=αとx=βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根であることが、式2の直線が式1のグラフに2点で接する接線になる条件である。

ここで、そのような式3を求めるということは、
y=x−x+(1−a)x−b=0 (式4)
という4次曲線がx軸と2点で接する条件を求めることと同じである。

(1)4次曲線は、座標軸xを平行移動することで、3次の項が無い式になる(式1は既にそうなっている)。
(2)次に、その4次曲線はxの1次の項を無くせば、y軸に関して、x方向の左右で対称な形のグラフになる。そのグラフは、x軸に平行な直線に2点で接する。
  すなわち、式3のxの項の(1−a)=0にすれば、x軸に平行な線に接するグラフになる。
(3)そうすれば、y軸に関して、x軸方向で左右対称なグラフになるので、接点のx座標はαと−αとになる。
つまり、式4は、
y=((x−α)(x+α))+C
y=(x−α+C
というグラフになる。

このC=0とするように、値bを調整したグラフにすれば、そのグラフはx軸に2点で接する。
そのようにグラフを変形するように、aとbを定めれば良い。

【解答1】
(1)
式1に式2を代入すると、
−x+x=ax+b
−x+(1−a)x−b=0 (式3)
この式3が、接点のx座標x=αとx=βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式2の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、
y=x−x+(1−a)x−b=0 (式4)
という4次曲線がx軸と2点で接する条件を求めることと同じである。

(2)
先ず、
a=1 (式5)
とすると、
式4は、以下の式になる。
y=x−x−b=0 (式6)
この式6のグラフはx軸に平行な線に2点で接するグラフである。
この式6を変形する。
y=(x−(1/2))−(1/4)−b=0 (式7)
(3)
次に、
b=−1/4 (式8)
とすると、
式7は以下の式になる。
y=(x−(1/2))=0 (式9)
この式9はx軸と2点で接するグラフである。
その接点のx座標は、
−(1/2)=0
x=±√2/2

このように、式4で、a=1、b=−1/4としたら、x軸にx=±√2/2で接する式9のグラフになったので、求める直線のaとbは、
a=1 (式5)
b=−1/4 (式8)
である。
(解答おわり)

(補足)
 この問題は、図形を思い描かないで計算力だけで答えを得ようとすると落とし穴に落ちる難問です。
 なぜなら、この問題で、(重なることを許した)2点で接するという問題と考えて計算力だけで答えを計算しようとすると、答えは:
(1)下凸の異なる2点で接する。
(2)下凸の1点と上凸の1点との2点が1点に重なった点で接する。
という2種類の答えが出て来るからです。
その2種類の答えのうち、(1)の答えのみが、異なる2点で接しますので、計算力で求めた答えを選別してやっと答えにたどり着きますので、その回り道をする分だけ時間がかかってしまうという落とし穴に落ちます。
 その落とし穴に落ちないために、先ず、グラフの図形を思い描いて答えの条件を絞り込んだ上で答えを計算することが望ましいです。

【解答2】
 以下で、図形を思い描かないで計算力だけで行なった解答例を示します。

(1)
式1に式2を代入すると、
−x+x=ax+b
−x+(1−a)x−b=0 (式3)
この式3は、
y=x−x+(1−a)x−b=0 (式4)
という4次曲線がx軸と2点で接する条件を求めることと同じである。
この式3が、接点のx座標x=αとx=βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式2の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、式9であらわされる。
この式9の形をしている式 f を微分した式gを計算する。
この式 g と式 f の最大公約多項式 h が式12になる。
「グラフが直線に相異なる2点で接する」という条件を、上の式13であらわす。
(2)
 次に、ユークリッドの互除法を利用して式 f を式 g で割り算した余り h が式 f と g の最大公約多項式になる条件を導き出す。
ここで、この余りの式 h =式12に関する式13の条件は、以下の式15であらわせる。
余りの式 h が式 f と g の最大公約多項式になる条件は、この式 h で式 g を割り算した余り k が0になることである。
この式16であらわされる余りの多項式 k が0になる。
そのため、以下の式17と18が成り立つ。

(3)
この式17と18を連立して解を求め、その解のうち、式15を満足する解を選別する。
式18から式19が得られる。
この解は式15を満足した。
次に、b=1/12の場合の解を調べる。
この解は式15を満足しない。
よって、求める解は、
a=1,
b=−1/4,
である。
(解答おわり)

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2011年08月20日(Sat)▲ページの先頭へ
放物線の直交接線の交点の軌跡
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】放物線
y= x (式1)
について、互いに直交する2つの接線の交点は定直線上にあることを証明せよ。


(解答の方針)
放物線の接線の傾きy’は微分で求められる。
y’=2x (式2)
1つの接点をA(a,b)とすると、
接線の式は、
y−b=2a(x−a)
y−a=2a(x−a) (式3)
もう1つの接点をB(c、d)とすると、
接線の式は、
y−d=2c(x−c)
y−c=2c(x−c) (式4)
式3の接線と式4の接線が直交する条件は、
(2a)(2c)=−1 (式5)

また、式3の接線と式4の接線の交点をQ(x,y)とすると、
式3と式4の連立方程式が得られる。
y−a=2a(x−a) (式3)
y−c=2c(x−c) (式4)
この連立方程式と、接点の交差をあらわす式5とで全ての条件があらわされる。
(2a)(2c)=−1 (式5)

これらの式3〜5は3つの式であるから、未知数を2つ消去した1つの式を作ることができる。
未知数aとcを消去すれば、残るのはxとyだけにかかわる式であり、
その式は曲線か直線のグラフをあらわす。
その式は、aとcがどう変化してもいつも変わらず成りたつ、xとyの関係である。
そのため、式3の接線と式4の接線の交点(x,y)は、その式があらわすグラフ上の点である。

実際に、そのグラフの計算方法を考える。

【注意点】
式3はaに関する二次関数であり、式4もcに関する二次関数であり複雑な式である。このまま計算すれば、計算が複雑になると予測される。
そのため、工夫する必要がある。
【工夫点】
式3はaに関する式であるが、それは、cを求めるための式(解t=a,c)でもあると解釈する。
y−t=2t(x−t)
−2tx+y=0
−2tx+y=(t−a)(t−c)=0 (式6)
そして、式3のtの解のaとcとの間には、式5の関係があると考える。
すなわち、式6の2つの解aとcの積は、式5から
ac=−1/4
式6の根と係数の関係から、
y=ac=−1/4 (式7)

よって、式6は、
−2tx−1/4=0
−1/4=2tx
t−1/(4t)=2x
x=(1/4){2t−1/(2t)}
x=(1/4){2c−1/(2c)} (式8)

よって、式7から、直交接線の交点Q(x,y)は、式7であらわされる直線上にあり、そのx座標は式8であらわされる。
このように、解答の方針を考えているうちに解答が出来上がってしまった。
そのため、以上を、解答とする。
(解答おわり)

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2011年08月17日(Wed)▲ページの先頭へ
2つの放物線の接線が直交する
佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。)

【難問】2つの放物線
y= x−2x+2 (式1)
y=−x+ax+b (式2)
は、それらの交点の1つPで、接線が互いに直交しているものとする。
 このとき、放物線(式2)は、a、bの値に無関係な一定の点Qを通ることを証明し、Qの座標を求めよ。


(解答の方針)
「一定の点Qを通る」というような耳慣れない性質を求める問題が出て来ても、あわてずに、
先ず、与えられた全ての条件を数式で表わす。
 そうする理由は、その数式の解き方のパターンは限られていて、
この問題は、どの解き方のパターンで解けば良いかが数式から分かるからです。

交点P(c,d)とする。
交点Pのdが式1と式2とであらわされるから、交点P(c,d)を代入した式1=式2が成り立つ
−2c+2=−c+ac+b (式3)

式1の放物線の接線の傾きは、
y’=2x−2 (式4)
式2の放物線の接線の傾きは、
y’=−2x+a (式5)
点Pでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
(2c−2)(−2c+a)=−1 (式6)
点Q(x,y)は放物線(式2)上にあるので、
y=−x+ax+b (式2)
である。

結局、以下の式の群が得られた。
−2c+2=−c+ac+b (式3)
(2c−2)(−2c+a)=−1 (式6)
y=−x+ax+b (式2)

これら3つの式を使って問題を解くのは、未知数を順次に減らす計算パターンしか無い。
未知数は、a、b、c、x、yである。
式が3つあるので、未知数を2つ消去できる。
そのように未知数を消去する計算をすると、未知数群(a,b,c)のうちで残った1つの未知数と(x,y)とを含む1つの式が得られる。
そのため、この問題は、その1つの式から(x,y)を求める問題であることがわかる。

すなわち、この問題は、
「1つの未知数に関する1つの式から、未知数の値に無関係な一定の点Q(x,y)の値を求める」
という問題である。
問題を言いかえると、
「(1つの)未知数の値が変化しても一定の値の(x,y)によって式が満足される、そういう値(x,y)を求める」
という問題である。
更に問題を言いかえると、
「(1つの)未知数の値がどのように変化しても式がいつも成り立つようにする(x,y)を求める」
という問題である。
ここまで言いかえると、この問題は、
「(1つの)未知数に関する式を恒等式にする条件を満足する(x,y)を求める」
という問題であることがわかる。
それで、この問題を解くめどが立った。

このように、数式を書けば、その数式の解き方のパターンの数が限られているので、どういう問題であるかの、問題の意味が見えて来る。

(解答)
(1)
交点P(c,d)とする。
交点Pのdが式1と式2とであらわされるから、交点P(c,d)を代入した式1=式2が成り立つ
−2c+2=−c+ac+b (式3)
2c−(2+a)c+2−b=0 (式7)
(2)
式1の放物線の接線の傾きは、
y’=2x−2 (式4)
式2の放物線の接線の傾きは、
y’=−2x+a (式5)
点Pでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
(2c−2)(−2c+a)=−1 (式6)
−4c+2ca+4c−2a=−1
−4c+2ca+4c−2a+1=0
4c−2ca−4c+2a−1=0
4c−(2a+4)c+2a−1=0 (式8)
(3)
点Q(x,y)は放物線(式2)上にあるので、
y=−x+ax+b (式2)
である。

(4)
これらの式を整理して並べると、
2c−(2+a)c+2−b=0 (式7)
4c−(2a+4)c+2a−1=0 (式8)
y=−x+ax+b (式2)

この3つの式から未知数a,b,cのうちの2つの未知数を消去し、残った未知数の式が恒等式になるように(x,y)の値を定める。
ここで、式7と式8から、複雑な式を成す未知数cが消去できることがわかる。
(式7)×2−(式8)を計算する。
4−2b−(2aー1)=0
4−2b−2a+1=0 (式9)

(5)
式2から、
b=y+x−ax (式2’)
この(式2’)を式9に代入してbを消去する。
4−2(y+x−ax)−2a+1=0
この式を未知数aに関して整理する。
a(2x−2)+4−2y−2x+1=0
この式が未知数aに関して恒等式になる条件は、
2x−2=0 (式10)
4−2y−2x+1=0 (式11)

(5−1)
式10から、
2x=2
x=1 (式12)
(5−2)
式12を式11に代入する。
4−2y−2+1=0
3=2y
y=3/2
よって、
Q(x,y)=(1,3/2)
(解答おわり)

【注意】この問題を解くのに、最初に未知数cを消去したが、他の未知数を消去して最後まで未知数cを残しても、同様に、解くことができる。

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2011年08月13日(Sat)▲ページの先頭へ
円の接線の公式を微分で導く
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(ある直線と曲線の交点を求める式が重根を持つときその直線が必ず接線であるとは言えない。下図の曲線にO点で交わる直線と曲線の交点を求める式は重根を持つ。しかし、ABを通る直線のような方向を向いた直線でもO点で重根を持って曲線と交わる。)

【研究問題】円の接線の公式は既に学習していると思いますが、
接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、
改めて、円の接線の公式を微分により導いてみます。

円 x+y=1 (式1)
この円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式 (f・g)’=f’・g+f・g’
を使います。

x’・x+x・x’+y’・y+y・y’=1’ 
x’=1で、1’=0だから、
2x+2y・y’=0 (式2)
接点(x,y)での接線の傾きy’は、
(yが0で無い場合は)
式2を変形した以下の式であらわせます。
y’=−x/y (式3)
 接点を(a,b)とすると、式3は以下の式になります。
y’=−a/b

接線の式は、
y−b=y’(x−a)
y−b=(−a/b)(x−a)
b(y−b)=−a(x−a)
b(y−b)+a(x−a)=0
by+ax=a+b
点(a,b)は式1を満足するので、
+b=1
∴ by+ax=1
この、円の接線の公式は既に学んでいる接線の式です。

【研究問題その2】
楕円の式は高校3年の数学VCで学びますが、高校2年でも、その式だけは覚えていても良いと思います。
楕円 x/a+y/b=1 (式1)
です。

この楕円の接線の公式は、微分により導けます。

この楕円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式 (f・g)’=f’・g+f・g’
を使います。
(x’・x+x・x’)/a+(y’・y+y・y’)/b=1’
x’=1で、1’=0だから、
2x/a+2y・y’/b=0 (式2)
接点(x,y)での接線の傾きy’は、
(yが0で無い場合は)
式2を変形した以下の式であらわせます。
y’=−x・b/(y・a) (式3)
接点を(α,β)とすると、式3は以下の式になります。
y’=−α・b/(β・a
接線の式は、
y−β=y’(x−α)
y−β=(−α・b/(β・a))(x−α)
β(y−β)/b=−α(x−α)/a
β(y−β)/b+α(x−α)/a=0
βy/b+αx/a=(α/a)+(β/b)
点(α,β)は式1を満足するので、
(α/a)+(β/b)=1
∴ βy/b+αx/a=1
こうして、楕円の接線の公式が得られました。

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微分の基本公式
「微分・積分」の勉強

微分の基礎的公式に以下の公式があります。

yの微分を、y’と書きます。
(基本公式)
(f・g)’=f’・g+f・g’
この基本公式から、以下のことが言えます。

x’=1ですが、
(x)’=(x・x)’=x’・x+x・x’=2x
(x)’=(x・x・x)’=x’・(x・x)+x・x’・x+(x・x)・x’=3x

同様にして
(x)’=4x
(x)’=5x

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2011年08月11日(Thu)▲ページの先頭へ
円と放物線の接線(3)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【研究問題】以下の問題は高校の数学では解けません。入学試験にも出ない問題です。
しかし、研究のために、この問題を解いてみます。

【問1】
hの値を変えたとき、
放物線 y=(x+1)+h (式1)
と、円 x+y=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(a,b)の値を求めよ。

(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(a,b)において、
式1から、
放物線 b=(a+1)+h  (式3)
式2から、
円 a+b=1 (式4)

(2)
式1の放物線の接点(a,b)における接線の傾きは、式1の関数をxで微分して計算し、
2(a+1)
(3)
式2の円の接点(a,b)における接線の傾きは、
法線の傾きb/aの逆数に(−1)を掛け算したものであって、
−a/b

(4)
この2つの接線の傾きの値が等しいので、
2(a+1)=−a/b
b=−a/(2(a+1)) (式5)

(5)
この式5を式4に代入すると、
+(a/(2(a+1)))=1
(a−1)(a+1)+a/4=0
+2a+a/4−2aー1=0 (式6)
この式6の四次方程式の正確な解は見つかりません。
そのため、この式6の左辺の4次関数のグラフを、a=xとするxy座標に書いて、4次方程式の答えをグラフで求めます。

そのために、EXCELを使ってグラフを書きます。
この際、 そのグラフの描き方を勉強しておいてください。
その結果、以下のグラフが得られました。

グラフから、y=0となるx=aは、
a≒0.97 (式7)
or
a≒−0.61 (式8)

(5−1)
a≒0.97の場合、
式5を計算すると、
b≒−0.25
式3からhを計算すると、
h≒−4.13

(5−2)
a≒−0.61の場合、
式5を計算すると、
b≒0.78
式3からhを計算すると、
h≒0.63
(解答おわり)

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2011年08月10日(Wed)▲ページの先頭へ
円と放物線の接線(2)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問1】hの値を変えたとき、
放物線 y=x+h (式1)
と、円 x+(y−1)=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(a,b)の値を求めよ。



(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(a,b)において、
式1から、
放物線 b=a+h  (式3)
式2から、
円 a+(b−1)=1 (式4)

(2)
式1の放物線の接点(a,b)における接線の傾きは、式1の関数をxで微分して計算し、
2a
(3)
式2の円の接点(a,b)における接線の傾きは、
法線の傾き(b−1)/aの逆数に(−1)を掛け算したものであって、
−a/(b−1)

(4)
この2つの接線の傾きが等しいので、
2a=−a/(b−1)
a{2+(1/(b−1))}=0 (式5)
この式5を解くと、
a=0 (式6)
or
b−1=−1/2
b=1/2 (式7)

(5)
(式6の場合の接点を求める)
式6を式4に代入する。
(b−1)=1
(b−1)=±1
b=2
or
b=0
接点は、
(a,b)=(0,0) (式8)
or
(a,b)=(0,2) (式9)
(5−1)
式8の場合に、式8を式3に代入する。
h=0
(5−2)
式9の場合に、式9を式3に代入する。
h=2
(5−3)
よって
接点=(0,0)でh=0
or
接点=(0,2)でh=2
(以上が、第1の種類の接点)

(6)
(式7の場合の接点を求める)
式7(b=1/2)を式4に代入する。
+(1/4)=1
=3/4
a=±√(3)/2
b=1/2
式3より
b=a+h
1/2=3/4+h
h=−1/4
接点は、
(a,b)=(±√(3)/2,1/2)
このとき、
h=−1/4
(以上が第2の種類の接点)
(解答おわり)

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2011年08月09日(Tue)▲ページの先頭へ
円と放物線の接線(1)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問1】hの値を変えたとき、
放物線 y=x/4+h (式1)
と、円 x+(y−1)=1 (式2)
とが接する場合に、その接点(a,b)の値を求めよ。



(解答の方針)
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

(解答)
(1)
接点(a,b)において、
式1から、
放物線 b=(a/4)+h  (式3)
式2から、
円 a+(b−1)=1 (式4)

(2)
式1の放物線の接点(a,b)における接線の傾きは、式1の関数をxで微分して計算し、
2a/4=a/2
(3)
式2の円の接点(a,b)における接線の傾きは、
法線の傾き(b−1)/aの逆数に(−1)を掛け算したものであって、
−a/(b−1)

(4)
この2つの接線の傾きが等しいので、
a/2=−a/(b−1)
a{(1/2)+(1/(b−1))}=0 (式5)
この式5を解くと、
a=0 (式6)
or
b−1=−2 (式7)
式4から −1≦b−1≦1
であるので、式7は不適。
よって、式6のみが解である。
(5)
式6を式4に代入する。
(b−1)=1
(b−1)=±1
b=2
or
b=0
接点は、
(a,b)=(0,0) (式8)
or
(a,b)=(0,2) (式9)
式8の場合に、式8を式3に代入する。
h=0
式9の場合に、式9を式3に代入する。
h=2
よって
接点=(0,0)でh=0
or
接点=(0,2)でh=2
(解答おわり)

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2011年07月30日(Sat)▲ページの先頭へ
曲線の接線とは(接線は微分で定義される)
「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。

【問1】放物線y=x/4と円x+(y−1)=1は接するか?


【問2】円x+(y+1)=1と円x+(y−1)=1は接するか?


以下で、この2つの問題を考えてみる。

【問1】放物線y=x/4と円x+(y−1)=1は接するか?



(方程式が重根を持つかで解析する方法)
放物線 y=x/4  (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
この2つの図形は、(0,0)で接することが図から明らかである。
そして、接線は、
接線 y=0 (式3)
であることが明らかである。
 

実際に、式1の放物線と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
0=x/4
xは0となる重根を持ち、式1の放物線は式3の接線と(0,0)で接する。
 

次に、式2の円と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
+(0−1)=1
=0
xは0となる重根を持ち、式2の円は式3の接線と(0,0)で接する。
 

【この問題で注意する点】
以下では、式3の接線の式が分からないで、この問題1を解こうとすると、問題を解くのがとても難しいことを示す。
 

式1の放物線と式2の円の方程式を連立させる。
放物線 y=x/4  (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
式1から、
=4y (式4)
式4を式2に代入してxを消去する。
4y+(y−1)=1
+2y=0
y(y+2)=0 (式5)
 

ここで、『この式は重根を持たないので、式1の曲線と式2の曲線は接さない?』
と考えるのは、明らかに間違っている。
 

「式を連立させて重根ができるから接する」と言えるのは、
直線の式とその他の曲線の式とを連立させて解く場合のみに限って言えることである。
 

それ以外の場合、すなわち、曲線の式と曲線の式を連立させて方程式を解く場合には、
「式を連立させて重根ができるから接する」と言う判定条件は通用しないように思われた。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。

なお、上で得られた式5 y(y+2)=0 のグラフは、y=−2の解もあるので、式1の放物線のグラフと共通な点を持つかどうかも不明である。

式5と式1を連立させて交差する点があれば式1と式2が交差することがわかるというだけの式であって、式5は、式1と式2の交点をあらわす式でもない。


(問題を解くポイント)
 上の接線を求める計算においては、接線の式が多重根の解を持つという判定条件を、y座標の値の解だけで判断したため間違ったのです。
 接点(x,y)が多重の解を持つかどうかはx座標も確認しないといけないのです。
 上の計算で得た式5に式4を代入して、x座標であらわした以下の式6に書き直す。
(x/4)/4+2)=0 (式6)
(x+8)=0 (式7)
+8)≠0 なので、
=0 (式8)
が得られる。
式8から、xの値が重根の値0を持つことがわかり、 
「多重根ができるから接する」と判定することができる。 

【問2】円x+(y+1)=1と円x+(y−1)=1は接するか?



(方程式が重根を持つかで解析する方法)
円 x+(y+1)=1 (式1)
円 x+(y−1)=1 (式2)
式1の円と式2の円の方程式を連立させる。
式1から式2を引き算する。
4y=0
y=0 (式3)
この式3はまだ接線とは限らない。

この式3も重根を持っていないことに注意すること。

--(接点(x,y)が重解を持つ判定の注意)--
 座標xの解を求める式は、式3を式1又は式2に代入することで得られ、その式は以下の式になる。
=0 
この式は、xが重解の値0になることを示す。
そのため、接点(x,y)が重解を持つことが言える。
----------------------------------------------

この式3の直線と式1の円が接すれば、この式3の直線は式2の円とも接し、
式1の円と式2の円が同じ式3の直線との接点で接することになる。

式1の円と式3の直線を連立させて、方程式からyを消去すると、
+(0+1)=1
=0
xは0となる重根を持ち、式1の円は式3の直線と(0,0)で接する。

同様にして、式2の円も式3の直線と(0,0)で接する。
(解答おわり)


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三次関数の曲線の接線の残りの交点
「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問2】三次関数の曲線y=xの(x=1)となる点の接線が再びその曲線に交わる残りの交点を求めよ。

(解答の方針)
f(x)を微分可能な関数として、曲線y=f(x)のx=aにおける接線の方程式は、
y=f’(a)(x−a)+f(a)
である。

この公式を用いて、接線の方程式を求めて、それから、その接線と曲線の交点を求める解答方法が、
最初に勉強すべき解答方法です。

(解答開始)
f(x)=x
微分の公式により
f’(x)=3・x
f(1)=1=1
f’(1)=3・1=3
接線の方程式は、
y=3(x−1)+1
この接線と曲線の方程式の交点のx座標を求める方程式は、以下の式になる。
=3(x−1)+1
−3x+2=0
(x−1)(x+2)=0
接線のx=1に関する式(x−1)が二乗になって重根になり、それ以外の交点に関する式(x+2)が1つできて、それらの積に方程式が因数分解できる。
接線が再び曲線に交差する残りの交点は、
x=−2
y=(−2)=−8
よって、残りの交点の座標は、
(−2,−8)
(解答おわり)

【別解】
この問題を上の解き方で解いた結果、もう少し楽に解答を得る方法がわかってきます。
その楽な解答方法とは、以下のようにしてわかります。

接線の方程式をy=mx+nとだけ書いて、その接線と曲線の式y=xとの残りの交点(a,b)を与える式を書くと、以下の式で与えられます。
=mx+n
−mx−n=0
この式は、
(x−1)(x−a)=0
になります。
すなわち、
−mx−n=(x−1)(x−a)
の係数だけを書くと、
0=−2−a
∴ a=−2
接線の式のmとnの値がわからなくても、交点のx座標a=−2がわかりました。
b=(−2)=−8
よって、残りの交点の座標は、
(−2,−8)
(解答おわり)
このように、楽に答えが解けました。

この楽な解き方は、どの三次関数の曲線の接線の残りの交点を求めるときでも、使えます。

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曲線の接線(基本公式)
「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問1】y=xの曲線の(x=1)となる点の接線を求めよ。

(解答の方針)
f(x)を微分可能な関数として、曲線y=f(x)のx=aにおける接線の方程式は、
y=f’(a)(x−a)+f(a)
である。
この式で、f’(a)とは、関数f(x)を微分した結果の関数f’(x)のx=aにおける値である。

この公式が成り立つ理由は、関数f(x)を微分した結果の関数f’(x)は曲線の傾きをあらわすからです。

(解答開始)
f(x)=x
微分の公式により
f’(x)=2・x
f(1)=1=1
f’(1)=2・1=2
接線の方程式は、
y=2(x−1)+1
(解答おわり)

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カレンダ
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