高校数学(VC)

算数の問題と解答とを考えていきます。




2016年10月09日(Sun)▲ページの先頭へ
入試問題:図形の長さの比の問題
大学への数学V&Cの勉強

【問い】
以下の図の原点OとA(1,0)とB(0,1)に対して点Pが、以下の関係の位置にある。
OP:AP:BP=1:a:b
とする。 ここで、a≧0,b≧0,である。

このとき、P点が任意の位置に動くとき、aとbの取りうる値(a,b)の範囲をa,b 座標平面であらわせ。

【解答の方針】
 この問題は、上図のようにP点の座標をP(Px,Py)として、その点Pの座標をa,bであらわす方程式を立てて計算します。


【解答】
(1)

OP:OA=1:aの方程式:
@’にAを代入して変形する。
この式BでPxをaとOP=pであらわせる。
(2)
OP:OB=1:bの方程式:
同様にして、
この式DでPyをaとpであらわせる。
(3)
式Aに式Bと式Dを代入してPxとPyを消去する。
式Eからpの解をaとbの関数であらわすことができる。
pの実数解があれば、PxとPyも式BとDから求められる。
(4)
式Eがpの実数解を持つ条件は、以下の判別式を満足することである。
この判別式のaとbの条件を(a,b)座標平面内の範囲であらわすと、以下の図の斜線の範囲になる。
上の図で、aとbが正の領域が解の条件(a≧0,b≧0)の範囲です。
(5)
 問題となる点は、この範囲内の(a,b)であれば必ずP(Px,Py)が存在するかということです。
 その問題に対しては、この(a,b)の範囲内ならば、式Eで実数のpの解が求められる。その実数解pを使えば、式BとDでPxとPyが求められるので、必ずP(Px,Py)が存在する。
(解答おわり)

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2015年02月14日(Sat)▲ページの先頭へ
原点の回りに回転した楕円の方程式を初めて学ぶ方法



【解説】
直線を座標原点を中心に回転させた場合の楕円の方程式を考える。
 先ず、回転する前の楕円の方程式は以下の図のようにあらわせます。
この楕円を、以下の図のように、原点の回りに角度θ回転させます。
 ここで、楕円の軸方向のベクトルgとhを考えます。
この軸ベクトルgとhを使って楕円上の点Pの位置ベクトルをあらわすことにすると、以下の式が成り立つ。
そして、楕円の式を変形して、楕円の式の意味を考える。
 回転した楕円の方程式を、楕円上の点Pの位置ベクトルPに対するべクトルの関数Fを使って、そのベクトルFと位置ベクトルPとの内積が1になる方程式であると解釈します。
 そのベクトル関数Fは、以下の式のように、楕円の2つの軸方向の各ベクトルを、それぞれ異なる倍率1/aと1/b倍のベクトルに拡大するベクトル関数であると解釈できます。 
楕円をあらわすベクトル方程式のベクトル関数FがXY座標方向の単位ベクトルxとyに対してはどのように作用するかを調べてみます。


 上の式のように、単位ベクトルxに関するベクトルFと単位ベクトルyとの内積は、単位べクトルyに関するベクトルFと単位ベクトルxとの内積に等しい関係があります。

 次に、下の図のように、ベクトルPを、単位ベクトルxのX倍のベクトルと、単位ベクトルyのY倍のベクトルの和であらわします。

そのベクトルPに関する楕円の方程式を以下のように計算します。


すなわち、回転した楕円の方程式を、位置ベクトルに対するべクトルの関数Fを使って、以下の式であらわした。
 
このように、系数A,B,Cを使ったX座標とY座標の関数で楕円があらわされる。

【問】
 このような形で原点の回りに回転した楕円の方程式が与えられたとき、その楕円の回転軸の方向を計算する公式を求めよ。

 この問題を解くために、ベクトル関数Fは、X座標の方向の単位ベクトルxと、Y座標の方向の単位ベクトルyを、系数A,B,Cを使った以下の式で新たなベクトルに変換する関数であると考える。
 ここで、このべクトル関数Fは、単位ベクトルxに関するベクトルFと単位ベクトルyとの内積は、単位べクトルyに関するベクトルFと単位ベクトルxとの内積に等しい関係があるので、その関係を満足するように関数の形を確定しました。

 こうしてベクトル関数Fの形が定められた。
 次に、このベクトル関数Fによってベクトルの方向が変えられないベクトルgとhを求める。
 そのベクトルgとhが楕円の軸方向のベクトルであり、以下の図であらわすように、回転した楕円の軸方向のベクトルを表わしている。
 その軸方向のベクトルgとhの、x座標軸と成す角度θのタンジェントtanθを求めよ。

 できれば、この問題を自力で解いて欲しい。 その方が、楽しく数学を学べると思いますので。

この問題の解答はここをクリックした先のページに書きました。

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2014年02月23日(Sun)▲ページの先頭へ
美しい数学:美しい問題の種
大学への数学V&Cの勉強

【美しい計算方法の例】
以下の式の因数分解の計算方法は解き方が美しいです。
そのため、この解き方で式を計算すると簡単に解けるように仕組んだ問題を作成しようとする出題者が出るかもしれませ3ん。


【別解】
上の式は、多くの人は以下のようにして計算するのではないかと思います。
しかし、以下の計算方法はとても苦労し、美しくありません。







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2014年02月20日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学:平方完成の検算
大学への数学V&Cの勉強

【検算の参考例】
以下の式を平方完成して、その検算の1例を示します。

上の式は、以下のように検算できます。
この検算方法が優れている点は以下の点にあります。
2つの式の検算で結果が合わなかったときに考えられること。
(1)検算の計算が間違っている。
(2)検算された対象の式の計算が間違っていた。
このどちらなのかを決定しなければなりません。
  しかし、元の式の計算の誤り箇所がなかなか発見できず、(1)の可能性が疑われる場合があります。
その場合は、以下のように代入する数値を変えて、もう1度検算すると良いです。そうすると検算の誤りも検算することができます。


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2014年02月19日(Wed)▲ページの先頭へ
微分を利用して平方完成する公式
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
以下の式の平方完成の計算は、微分を利用すると楽になります。

上の式が、微分を利用した平方完成の公式です。

(例題1)
以下の式を平方完成します。

 この解の方針に従って、以下のように計算します。

(第2の場合)
 xの2乗の項が2つ以上ある場合は、以下のように計算します。

 このように計算すると、平方完成の計算を、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。

(普通の平方完成の計算の方が速い場合)
 しかしながら、以下の式の場合のように、既に式がきれいな式に展開済みの場合は、
普通の平方完成の計算の方が速く答えを計算できます。

文字係数kが混ざっている式の場合は、通常の平方完成の計算の方が楽です。

 どの計算方法が最も速く答えを出せるか、状況に応じて使い分けてください。

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2014年02月17日(Mon)▲ページの先頭へ
美しい数学:放物線と直線の交点
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 上図の式の放物線と直線の交点を、計算ミスが少なく計算する方法を示しますので、覚えて使ってください。

【交点の座標xの計算方法】
 先ず、以下のように、その直線と同じ傾きを持つ放物線のx座標sを計算します。

 次に、そのx=sの位置での放物線のy座標と直線のy座標とを計算します。
(放物線の係数)(x−s)=(直線のy座標)−(放物線のy座標)
の式により、交点の座標Xが求められます。

 この式は、直線と放物線の式を連立させて解くことで得られる式と同じ式です。
方程式を解くよりも以上のやり方で計算する方が、速く、計算ミスが少なく、解を得ることができます。


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2014年02月16日(Sun)▲ページの先頭へ
美しい数学:ベクトルの内積の式の解の存在条件
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 上図で、ベクトルの内積の値は所定の範囲に限られることを強く意識してください。
 ベクトルの内積を用いた方程式の解の存在条件がこの式になります。

【問題】
 固定ベクトルaに対して、任意のベクトルpに対して以下の方程式を成り立たせるベクトルbの解が必ず存在するものとする。
 この条件を満足するベクトルaの範囲を求めよ。


【解答】 

 
 この式の解が存在するためのベクトルaの範囲は上の式で与えられる半径1以下の円内の点です。
(解答おわり)

 この問題の出題意図は、以下のように考えられます。
 ベクトルの問題に限らず、数学の複雑な問題はコンピュータを利用して解きます。
 そのとき、コンピュータを使用する人間に求められる大切な能力は、
(1)コンピュータが正しく答えを出せるような、コンピュータが解ける問題をコンピュータに与えているかどうかの判断力。
(2)コンピュータの出した答えが間違っていないか、その答えの概要を予測する能力。
です。
 この問題は、その「答えの予測力」を問う問題です。
 出題者の意図通りに、「答えの予測力」を示した解答を書くようにしましょう。

 ベクトルaが半径1の円の外にある場合における「答えの予測」も、以下のように予測できるようになりましょう。

ベクトルaが半径1の円の外にある場合は、上の式のように、解を与えるベクトルpが制限されます。この条件が満足されないベクトルpに対してはベクトルbをどのように選んでも方程式を満足させることができず、解が存在しません。

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2014年02月15日(Sat)▲ページの先頭へ
美しい数学:計算のメリハリ
大学への数学V&Cの勉強

(計算で注意する点)
 普段は解ける問題が、試験会場では以下に示す計算のメリハリを忘れて、問題が解けなくなる人がいます。
 試験の場で、計算のメリハリを忘れることのないように、普段から計算のメリハリを意識するようにしましょう。

【問1】

 上図で、Y軸上の点Aを中心にする円が左右の双曲線に点Bと点Cで接しています。
この場合に、三角形ABCが正三角形になるような円の中心のY座標aが存在する条件を求めよ。

【解答】
 以下のように計算していきますが、以下に示すように、言われなくても常に、方程式の解が存在する条件に注意して計算にメリハリを付けるように心がけましょう。

 この式の解が存在するための条件は上の式ですが、
メリハリの無い計算をしていると、この上の式があらわれたときに、その解の存在条件を考えずに、この式が解のカギであるという式の意味を見落としてしまうことがあります。
 この意味を見落として、この式を素通りして、他の式の計算に迷い込んで答えが得られない泥沼に陥る恐れが出てきます。
 そのため、メリハリのある計算で、常に解の存在条件を(言われなくても)意識して計算するようにしましょう。

ただし、b≠0

これで、三角形ABCを正三角形にできる条件が得られました。
(解答おわり)


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2014年02月13日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学:解が存在する条件の計算
大学への数学V&Cの勉強

【解が存在する条件の計算】
(注意点)
 数学の方程式の解が存在するための条件を求める問題は、以下の形の式に変形して解きます。

 この式の解が存在するための条件は:
です。
 ここで、露わに2乗の形であらわした式は正又は0であることがわかるので扱いやすいです。
 しかし、露わにはわからないが、恒等的に正又は0である式があります。そういう式を早期に発見する注意が必要です。そういう式は限られていますので、どの式がその条件を満足しているか覚えてしまいましょう。
 以下で、g(x,y,z)が正又は0である式の場合を示します。

 g(x,y,z)が恒等的に正又は0であることがわかれば、問題を解く主な注意を残りの項h(x,y,z)に向け、その項を因数分解することで、方程式の解の存在条件の式を求めます。
 上の式の項h(x,y,z)は、h(a,b,c)による三角形の面積の二乗の式(にマイナスを掛け算した式)が変形された式ですので、その場合の公式として覚えていた因数分解のパターンを思い出して書くことで瞬時に因数分解できました。
 以下に、より具体的に変形された式h(x,y)の場合の因数分解の例を示します。

 こうして、式g(x,y)が恒等的に正又は0である式であることに早期に気付いて、問題を解く注意を式h(x,y)を因数分解する方に向けます。そして、h(x,y)を因数分解して、方程式の解が存在する条件を求める計算を進めます。

(参考)
 以下に、h(x,y,z)の因数分解の計算を示します。 

この因数分解は、x,y,zを入れ替えた形の他の2つの解もあります。
 上の式でx,y,zの値がマイナスの場合には、その値の平方根は複素数になります。


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2014年02月11日(Tue)▲ページの先頭へ
美しい数学:三角形の面積の式の因数分解
大学への数学V&Cの勉強

【覚えてください】
 以下の図の三角形の面積Sの二乗を三角形の複数の辺であらわす式と同じ形の式が問題の中に隠れてあちこちで出現します。
 そのため、この形の式を変換した式をみな覚えてしまってください。
 そうすれば、それらの式を変形計算しなければならない問題に直面したときに、計算間違いを正して正しい答えにたどりつくことができるようになります。

 この面積Sの2乗に(−1)を掛け算した式が以下のように変形できます。
 最初の因数分解された形の式が、この式@の形の式になることを覚えてください。

 更に式を変形すると以下の式になります。 

 最初の因数分解された形の式が、この式Aの形の式になることを覚えてください。

【式@の応用】
 以下のように、三角形の面積を求めるとき、式@の形で三角形の面積の2乗を与える定理が利用できます。



【式Aの形の式を因数分解する計算】
 この式Aを因数分解する場合は、以下のように計算することで、式Bが得られることを覚えてください。
 そうすれば、この式Aを因数分解する問題に直面したときに、計算間違いをせずに正しく因数分解して式Bを得ることができるようになります。

 この式Bのパラメータa,b,cを入れ替えた式も、式Bに等しい式です。

 この式Bは更に因数分解できて以下の式Cになることを覚えてください。 


【変形した形の式Aを因数分解する問題】
 式Aの形が以下のように変形された形であらわれた場合も因数分解できるようになってください。


【変形した形の式Aを因数分解する問題(その2)】
 以下のように変形された形の式も因数分解できるようになってください。 

 ここで、式Dの形の式が、以下の式Eと同じ式であることが意識できるように、式Dと同じ式のバラエティ(式Bのパラメータa,b,cを置き換えた式が全部同じこと)を覚えてください。

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2014年02月08日(Sat)▲ページの先頭へ
美しい数学:2変数の式の因数分解が解のかなめ
大学への数学V&Cの勉強

【問い】
以下の図の原点OとA(1,0)とB(0,1)に対して点Pが、以下の関係の位置にある。
OP:AP:BP=1:a:b
とする。 ここで、a≧0,b≧0,である。

このとき、点Pが存在するためのa,bに対する条件を求め、ab平面に図示せよ。

【解答の方針】
 この問題は、以下のようにOPをベクトルで与え、その点Pの座標をa,bであらわす方程式を立てることで計算できます。
 そうすれば、ウェブサイトなどの通常の解答例で紹介されている、aを一定にしてP点の描く円とbを一定にしてP点の描く円との交差を判定して解を得るという煩雑な計算を避けることができます。

【解答】
 以下のように、P点の座標PxとPyとaとbとの関係をあらわす方程式を設定します。
ここで、計算の見通しを良くするため、aやbの少し複雑な式はただちにαやβで置き換えて、方程式を極力単純な形であらわします。
αやβであらわせる式は、aとbであらわせる式です。
(これをしないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります)

次に、PxとPyをあらわすパラメータsを導入して、方程式@とAを同じ1つの式Bであらわします。そして、PxとPyを式CとDのようにsであらわします。
(このように単純化していかないと、計算の見通しが悪くなり、答えにたどりつくのがとても難しくなります)

そして、sであらわしたPxとPyを式Bに代入することでsの2次方程式が得られます。

(例外条件での解の計算)
 割り算して式Bを得た割り算した項α=(a−1)とβ=(b−1)とは、0で無いことが前提になっています。その項α=(a−1)とβ=(b−1)が0であった場合の例外条件の解は以下のように計算できます。
(1)ここで、αやβの一方が0で他方が0で無いときは、他方のパラメータに関してはBが成立しますので、以項の計算でパラメータの条件が得られて解が得られます。
(2)また、αとβの両方が0の場合、それは、a=1,b=1を意味し、
そして、式CとDから得られるPx=1/2,Py=1/2という解が存在します。

 更に式をパラメータγを使って単純化します。
αやβやγであらわせる式は、aとbであらわせる式です。

そして、sの2次方程式のsの解の式を平方完成により計算します。

こうして平方完成することで、sをα、β、γから求める解の式ができあがりました。このsの解を式CとDに代入すると点Pの座標PxとPyをα、β、γであらわす式が得られます。

 sが実数解を持つとき、PxとPyが実数であらわせます。点Pの座標が実数になる必要十分条件はsが実数解を持つことです。そして、sが実数解を持つための必要十分条件はq≧0です。
その、q≧0となる条件を以下で計算します。
 以下の計算は技巧的ですが、この技巧が無ければこの問題は解けません。
この計算技術を必ずおぼえてください。
 この計算のポイントは、
(1)(α+1)(β+1)の項ができるように、αβの項を残して割り当てること。
(2)α+1がaであり、β+1がbであることを良く意識すること。

これで、qを因数分解する準備が整いました。
以下で、これを因数分解して、aとbに必要な条件を求めます。


上の図で、aとbが正の領域が解の条件(a≧0,b≧0)の範囲です。
この範囲には、例外条件で得た解の、(a,b)=(1,1)という解も包含されています。
(解答おわり)

(補足)
 ここで、qの式はαとβであらわしてあったので比較的に因数分解がしやすくなっていました。この式をaとbだけであらわして因数分解する場合は、以下の式になります。この場合の解き方のコツは、(a+b)の関数で大部分の項をあらわすようにすると、解けます。

(補足2)
 qの式をaとbだけであらわして因数分解する場合は、以下のようにしてaの2次式に形を整理して解くこともできました。


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2014年02月06日(Thu)▲ページの先頭へ
美しい数学の関係:三角形のベクトル計算で外心を原点にする
大学への数学V&Cの勉強

【問い】
三角形の重心をGとすると、以下の辺の関係が成り立つことを証明せよ。



【解答の方針】
 この問題をベクトルの計算で解く際に、以下のように、外心を原点にしたベクトルで計算します。
 そうすれば比較的に解きやすくなります。

【解答】

(証明)
(証明おわり)

【別解】
以下のように計算しても解くことができます。
ただし、この計算はかなり技巧的になります。

(証明おわり)

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2014年02月05日(Wed)▲ページの先頭へ
美しい数学の関係:外心から垂心までのベクトル
大学への数学V&Cの勉強

以下のように、外心から垂心までのベクトルは美しい式であらわせます。
そのため、この関係が入学試験の種になるかもしれません。


(既に出題済みの有名問題ですので、出題されるときは、形が変えられる)

(証明)
 このベクトルOHが垂心の位置のベクトルになることは、以下のようにして証明できます。


CHがABに垂直で、かつ、AHがBCに垂直なので、Hは三角形ABCの垂心である。
(証明おわり)


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2014年02月01日(Sat)▲ページの先頭へ
3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根
大学への数学V&Cの勉強

以下の3次方程式の1つの根がわかっているときに
残りの2つの根を計算する問題があります。
 この問題を自分で解く計算を間違えないために、その計算の答えを覚えておいて、その答えと照合して検算できるようになりましょう。
以下に、その答えを整理して書きましたので覚えてください。


【問題】
y=x−ax と、 y=h との1つの交点のX座標の値がγである場合、他の交点のX座標の値αとβを求めよ。

 この解の式は、yの微分(y’)を使ってあらわせます。
 この解を求める計算には微分の計算はしていませんでしたが、2根の中点のyの微分が0になる場合は、その中点で重根を持つ(3次曲線がx軸に平行な直線と接する)関係をあらわすという意味を持っています。
 この式は、そういう美しい数学の関係をあらわしていて興味深いです。
 (こういう美しい数学の関係ばかりを入学試験に出す大学もあるようです。そういう大学の入学試験対策は、数学の美しい部分を探して覚える勉強が有効だと思います。)

以下に、正式に計算します。この計算結果を検算するために上の式を利用してください。 



3乗の項にcが掛かっている3次方程式の答えは以下のようになります。

次に、以下の3次方程式の、1つの根がわかっている場合の残りの根を計算します。


以下に、正式に計算します。この計算結果を検算するために上の式を利用してください。



3乗の項にcが掛かっている3次方程式の答えは以下のようになります。
一般的な3次方程式の解は以下の式であらわせます。
以下で、微分の計算により、解に微分の式が用いられることを証明します。
以下では、c=1の場合を計算します。 

(証明おわり)

(解の続き)
以上の計算の結果、平方根の式を使って、γ以外の2根を与える式が以下の式で得られた。
しかし、これで解答は終わらず、この式から根号を外すことができる。
 根号を外す方法を以下の式の場合を例にして示す。
この式3の根の1つをγとする。
それ以外の根のαとβは以下の計算で得られていた。
この式の平方根の式は以下の式である。
この根号は、
「平方根の式を多項式に変換する問題」
のページの計算をすることで外すことができる。
その結論は、以下の式であらわされる。
(解答おわり)

【別解】
 上の解以外に、3次方程式の1つの根を用いて他の根をあらわすることができます。
以下の式1の根の1つがαである場合、そのαを使って、他の根を以下ようにあらわせました。
 ここで、αを以下の式4のkに置き換えてあらわす。
なぜこの式のkに置き換えるかという根拠は、全くの偶然で、そうすれば良いことが分かったからです。
 この式6は、kを以下の式sに置き換えると、式1と同じ式8になります。そのためsは式1の根の1つ(それをβとする)をあらわします。
これで2つの根が求められたので、残りの根γは、式1の根と係数の関係を使って、以下の式で計算できます。
 このように1つの根αが分かれば、式1の他の根が式10と式12で計算できました。

(解答の続き)
 以上で求めた式β,γは、以上の分数式10,12に限らず、式3を使うことで、普通の多項式に変換できます。

(γの分数式の変換)
 (βの分数式の変換)
結果を整理し以下の解が得られた。
(解答おわり) 
 
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2014年01月31日(Fri)▲ページの先頭へ
4乗すると負の単位行列になる行列
大学への数学V&Cの勉強

4乗すると負の単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、4乗すると負の単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

以下で、この行列Mの2乗から4乗まで順に計算していきます。

この4乗の結果が負の単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、係数が実数の解だけを求めます。
この式@とAが求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。




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2014年01月28日(Tue)▲ページの先頭へ
3乗すると単位行列になる行列
大学への数学V&Cの勉強

3乗すると単位行列になる行列が使われる場合がありますので、以下で、3乗すると単位行列になる行列を求めてみます。

その行列を、以下の行列要素の性質を利用して求めます。

3乗すると単位行列になる行列Mを、これらの行列要素の和に分解して考えます。
 
この3乗の結果が単位行列になる条件は、以下の式であらわせます。
以下で、この式を解きます。
(注意)以下の計算で、gのパラメータが複素数になる解もあります。その解も正しい解ですが、とりあえず、係数gが実数の場合の行列だけを求めることにします。
また、Hが0行列であってMがもともと単位行列であったという自明な解を省きます。

この式@とAが求める行列の条件をあらわしています。
この条件を満足する行列は無限に多くあります。


以下では、その中のいくつかをピックアップして、いくつかの具体的な行列を計算します。






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行列の積の素早い計算方法
大学への数学V&Cの勉強

以下の行列の掛け算の計算方法が、通常の計算方法の数倍ぐらい速いので、覚えておきましょう。

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2014年01月27日(Mon)▲ページの先頭へ
行列の便利な要素の関係式
大学への数学V&Cの勉強

以下の行列の要素の関係が便利なので、覚えておきましょう。
(以下の式で、I,A,B,Cは行列を示し、a,b,cは定数を示します)


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2014年01月26日(Sun)▲ページの先頭へ
複数回繰り返すと0になる操作
大学への数学V&Cの勉強

以下のように、1回目の操作では値が0にならないが、2回以上繰り返すと結果を0にする操作があります。

【例1】

【例2】


(この操作を利用した問題)
 このように演算を複数回繰り返すと値が0になる演算を利用すると、数列の問題を作ることができます。つまり、これらの演算を施して順番に次の関数や行列を作るという数列の問題を作ることができます。

 その数列の問題は、一見難しそうに見えますが、演算を2回以上繰り返すと値が0になるということが理解できると、問題がやさしく解けます。



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2014年01月24日(Fri)▲ページの先頭へ
三角関数の3倍角の公式の問題
大学への数学V&Cの勉強
いろいろな曲線

【問題】
以下の式であらわされる曲線の問題を解きます。
(問題おわり)

 この問題は、以下のようにして解くことができます。

(解答はじめ)
 三角関数は、積の形よりも和の形であらわす方が単純な形であると心得て、これから、三角関数が和の形であらわされるまで計算を続けます。
 
(解答おわり)

(この問題を解いてみてわかった知恵)
 解答を正しく導くためにおぼえるべき3倍角の公式は、以下の公式を覚える方が、解答の助けになる。



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ミラーページへのリンク
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2014年01月23日(Thu)▲ページの先頭へ
ループで囲まれた図形の面積の計算
大学への数学V&Cの勉強
積分の応用

【解説】
ループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積を計算するときには、以下のようにして計算すると計算ミスも少なく答えが得られますので覚えておきましょう。
上図のようなおむすび形の境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を一周するものとします。

この場合に、上図の図形のx方向の幅が細い微小面積であってその先端が図形の境界位置でy座標が大きい側にある微小面積を考え、それをx方向の正方向に積分することで面積を加算します。


次に、上のような、図形のy座標が小さい側の境界を先端にするx方向の幅が細い微小面積をx方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、y座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、上の式であらわされるように、パラメータθを用いた1つの単純な積分計算に帰着します。
上のような、図形のx座標が大きい側の境界を先端にすろy方向の幅が細い微小面積をy方向の負方向に積分した値にマイナス1を掛け算することで面積を加算します。 
次に、上のような、図形のx座標が小さい側の境界を先端にするy方向の幅が細い微小面積をy方向の正の方向に積分した値にマイナス1を掛け算することで、負の面積を加算します。すなわち、x座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。
上図のような曲線の境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を1方向に移動するものとします。

この場合に、その曲線とx軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、以下のように計算します。

先ず、上のような、図形のy座標が大きい側の境界を先端にする微小面積をx方向の正方向に積分することで面積を加算します。

次に、上のような、図形のy座標が小さい側の境界を先端にするx方向の幅が細い微小面積をx方向の負の方向に積分することで、負の面積を加算します。すなわち、y座標が小さい側の境界を先端にする、余分に加算された面積を引き算します。
これにより全面積の加減算を行うことで、求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。
上図のようなy座標が負である曲線の境界線とx軸とで周囲を囲まれた図形の面積を計算するには、上の式で計算します。
求める面積は、パラメータθを用いて、上の式であらわされるように、1つの単純な積分計算に帰着します。


【問題】
以下の式のように、 境界線の(x,y)座標がパラメータθの関数であらわされていて、パラメータθを増すと、(x,y)点が領域の境界線を一周する場合に、このループ状の曲線で全周囲を囲まれた図形の面積Sを計算せよ。
(問題おわり)

 この問題は、上で説明したようにパラメータθで単純な積分計算をすることで解けます。
試験問題で上の積分計算を利用して解答を書く場合は、(時間に余裕があったら)上の説明を簡単に解答に書いて、その計算の正当性を説明するようにしてください。


(解答はじめ)
  (解答おわり)

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2012年07月10日(Tue)▲ページの先頭へ
バウムクーヘン積分と2重積分
大学への数学V&Cの勉強
積分の応用

【解説】
 バウムクーヘン積分により、立体の体積を計算する積分技術が教えられています。
 しかし、インターネットで検索すると、その手法で問題を解くと減点されると注意がされているようです。

例えば、以下のようにバウムクーヘン積分の式が与えられることを示す問題が東大の入試問題に出されたことがあるので、バウムクーヘン積分を当たり前の式として使ってはいけないと言う意見がありました。

【問題】
f(x)=πxsin(πx)とする。
y=f(x)のグラフの0≦x≦1の部分とx軸とで囲まれた図形をy軸のまわりに回転させてできる立体の体積Vは
で与えられることを示し、この値を求めよ。
(問題おわり)

 バウムクーヘン積分に言及して問題を解いても、そのバウムクーヘン積分を表現する数学の言葉記述されないので、バウムクーヘン積分の概念を用いた解答が軽視されることもあるらしいです。
 バウムクーヘン積分をあらわす数学の言葉(タブー?)は、
「2重積分」です。

 2重積分は大学生以上では常識なので、それほど強いタブー(禁じ手)では無く、高校生が一旦2重積分を覚えてしまえば、それを高校の試験問題で使っても、また、大学の入学試験で使っても、合格点をもらえると思います。
 そのため、以下では、バウムクーヘン積分の計算を、大学生以上では常識になっている数学の言葉「2重積分」を使って計算する解答例(このように書けば合格点をもらえると思う)を示します。
 先に例示した東大の入試問題の前半部分に、2重積分を使って解答してみます。

(解答はじめ) 
  求める立体の断面を上図に示す。y=f(x)のグラフの0≦x≦1の部分とx軸とで囲まれた領域を、縦方向と横方向の細かい格子に分割する。その格子で分割された1単位を微小領域@とする。
 求める立体は、微小領域@をy軸のまわりに1回転して得られる細いドーナツ状の立体ΔVを集合させた立体である。
細いドーナツ状の立体ΔVの体積をΔVとすると、
ΔV=(2π・x)(ΔxΔy)
である。
 微小領域@を断面に持つ細いドーナツ状の立体ΔVを縦方向と横方向につないで、その断面がy=f(x)のグラフの0≦x≦1の部分とx軸とで囲まれた領域を埋めるように集合させる。
その集合の体積Vは、
以下の式のように、細いドーナツ状の立体ΔVの体積を、 一定のxについてy方向に積分した上で、
更にx方向に積分する2重積分で計算できる。
  (解答おわり)

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2012年07月08日(Sun)▲ページの先頭へ
傘形積分と2重積分
大学への数学V&Cの勉強
積分の応用


【解説】
 傘形積分により、軸の回りに平面図形を回転させた立体の体積を計算する高度な積分技術が教えられています。
 しかし、インターネットで検索すると、その手法で問題を解くと減点されると注意がされているようです。

 傘形積分を勉強することはほめられるべきことと考えますが、現実には、その知識が試験問題の解答ではマイナス?になってしまうようです。
 傘形積分に言及して問題を解いても、その傘形積分を表現する数学の言葉が教えられず。傘形積分の手法が数学の言葉で記述されないので、傘形積分の概念を用いた解答が理解されないというのがこのマイナス問題の原因のようです。
 傘形積分をあらわす数学の言葉は、高校生には教えないことにしているタブーの一種と考えられます。
 傘形積分を表現する数学の言葉(タブー?)は、「2重積分」です。

 2重積分は大学生以上では常識なので、それほど強いタブー(禁じ手)では無く、高校生が一旦2重積分を覚えてしまえば、それを高校の試験問題で使っても、また、大学の入学試験で使っても、合格点をもらえると思います。
 そのため、以下では、傘形積分の計算を、大学生以上では常識になっている数学の言葉「2重積分」を使って計算する解答例(このように書けば合格点をもらえると思う)を示します。

【例題】
 放物線y=xと直線y=xとで囲まれた図形を、直線y=xのまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

(解答はじめ)

 求める立体の断面を上図に示す。放物線y=xと直線y=xとで囲まれた領域を、縦方向と横方向の細かい格子に分割する。その格子で分割された1単位を微小領域@とする。
 求める立体は、微小領域@を直線y=xのまわりに1回転して得られる細いドーナツ状の立体(下図)を集合させた立体である。

 微小領域@を断面に持つ細いドーナツ状の立体を縦方向と横方向につないで、その断面が放物線y=xと直線y=xとで囲まれた領域を埋めるように集合させる。その集合の体積Vは、以下の式のように縦方向に積分した結果を更に横方向に積分する式(2重積分の式)であらわせる。

(2重積分とは)
 2重積分とは、1回目の積分変数で計算した後に2回目の積分変数で計算する積分です。すなわち、1回目の積分計算の結果が2回目の積分計算で使われます(以下の最初の式のような形であらわされます)。2重積分では、1回目の積分で幅dxのy方向の細長い範囲を積分し、その積分範囲を2回目の積分で変数xの微小量のdxだけずらしつつ積分することで全領域を過不足無く網羅して積分するようにします。そのために、1回目の変数yによる積分計算では、2回目の積分変数xを一定値に保って計算します。いわば、以下の最初の式では、括弧の右側の外に付けたdxが、括弧の中の式をxを変えないように金縛りにかけています。

(積分の下限と上限については、高校生の間は、問題を難しくしないために、xもyも、小さい値から大きい値まで積分する場合だけを考える)
次に、括弧の中のyによる積分を 、r による積分に変換する。
その変換の際に、微小量dyをdrに変換する際に掛け算するべき係数を求める必要がある。
 その括弧中でのyによる積分では、xの値を一定の値に固定して積分計算している。そのため、rによる積分に変換する場合でも、xの値を一定に保ちつつ r で積分する。
 よって、以下で、xを一定に保つ条件を守ってyが微小量dy変化する場合の、xを一定に保つ条件を守って半径 r が変化する微小量drを計算する。
|r|=|ax+ay|
であるので、
|dr|=|(ax+a(y+dy))−(ax+ay)|
    = |a・dy|
になる。それゆえ、
|dy|=|dr/a
の関係がある。よって、
 |dy|は|dr/a
に置き換えて積分することができる。
 (高校生の間は、問題を難しくしないために、rについての積分についても、rが小さい値から大きい値まで積分する場合だけを考える。この積分では、yが増すとrが減るので、rの積分範囲は、yが最大になった場合のrの値=0からrまでrで積分する。)

さらに計算を続けます。
   
(この計算の意味の説明)
 (以下の説明文と図とは解答用紙に書かないでも良いです)
 ここまでの計算は、微小領域@を回転させた立体をy方向に積み重ねた立体の体積を計算しています。すなわち、以下のような形の薄い傘の体積を計算しています。


(傘を軸を中心にバウムクーヘン積分すると、円板の体積になる)

 ここで、2重積分のパラメータ変換によって、
|dy|=|dr/a
という関係があり、yによる積分を r による積分に変える、積分のパラメータを変換する場合に出てくる係数(1/a)が得られます。この係数を用いて、厚さdxの傘の体積が、厚さ dx・|1/a|の円板に等しくなる、という関係があります。
このパラメータを変換する際に現れる係数(1/a)は傘形積分において非常に重要です。
 2重積分の計算において、この係数を間違えたら、計算手順の点数がもらえないと思います。傘形積分の概念だけを用いて計算する際にも、この係数を間違えたら、計算手順の点数がもらえないと思います。


さらに、計算を続けます。


 (解答おわり)

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2012年05月25日(Fri)▲ページの先頭へ
行列の交換子の2乗は単位行列に比例


大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】 
行列Awuukと行列Bwuukとは等しくない場合が多いですが、
行列Aの行列式が0では無い場合は、

−1km(Amuus)=Bks=(Bkmmu)A−1us
が成り立ちます。
このようにある行列CとDが、
行列式が0では無い行列Pを介して、
PC=DP
という関係がある場合は、
行列CとDとは同じ固有値を持ち、行列Pによって互いに変換されます。
PCP−1=D
−1DP=C
そのため、 行列Awuukと行列Bwuukとは同じ固有値を持ち、行列A−1kmによって互いに変換されます。

また 、行列Awuukと行列Bwuukは同じ固有値を持つので、固有値の和をあらわす行列の対角成分の和も同じになります。
つまり、
tr(AB)=tr(BA)
です。
この関係は、アインシュタインの縮約記法であらわすと簡単に証明できます。
tr(AB)=muumummutr(BA)
です。

更に、行列AやBの行列式が0になる場合でも、
以下のようにして、
行列AB≡Fと、BA≡Gの固有値が等しいといえます。
行列Fの固有値λを求める式は、
det(F−λE)=0
(F11−λ) (F22−λ)−2112=0
λ−tr(F)λ+det(F)=0
ここで、
tr(F)=tr(AB)=tr(BA)=tr(G)
det(F)=det(AB)=det(A)det(B)=det(BA)=det(G)
λ−tr(G)λ+det(G)=0
だから、行列FとGは、固有値を求める式が同じになるから固有値が同じです。

この関係があるため、
交換子(AB−BA)≡Cの対角成分の和は0になります。
tr(AB−BA)=tr(AB)−tr(BA)=0
tr(C)=0
このため、2行2列の行列の交換子(AB−BA)≡Cの場合は、
2行2列の行列のケイリー・ハミルトンの定理によって、 
wuuk+det(C)wk=tr(C)wk
の関係に、 tr(C)=0を代入すると、
wuuk+det(C)wkwk
wuuk=−det(C)wk
すなわち、 行列の交換子(AB−BA)≡Cを2乗した行列は単位行列に比例し、詳しくは−det(C)倍になります。

【問題】
2行2列の行列AとBが
AB−BA=A
をみたすとき、
wuuk=Owk
が成立することを示せ。

「入試数学伝説の良門100」 
の問題96の、308ページ「別解」

(解答はじめ)
tr(A)=tr(AB−BA)=tr(AB)−tr(BA)=0 (1)
2行2列のケイリー・ハミルトンの定理によって、
wuuk+det(A)Ewk=tr(A)Awk
(1)を代入する。
wuuk=−det(A)Ewk   (2)
A(AB−BA)=A(A)
(AB−BA)A=(A)A
(AB−ABA)+(ABA−BA)=2A
B−BA=2A
(2)を代入する。
−det(A)B+det(A)B=2A
−det(A)(B−B)=2A
wk=2Awuuk
∴ Awuuk=Owk
(解答おわり)


(別解:地道に計算する方法)
行列の要素を添え字を付けてあらわすと、式がスラスラかける。


(解答はじめ)
(AB−BA)wk=Awk
wuuk−Bwuuk=Awk 

111111122111111221
1112211221  (1)
222112222221122222
2221122112  (2)
121112122211121222 (3)
212111222121112221 (4)
(1)と(2)より、
1112211221−A22  (5)
(5)を(3)に代入して22を消去する。
12111212221112+B1211 (6)
12(1−B2211)=2A1112  (7)
(5)を(4)に代入して22を消去する。
212111112121112221 (8)
21(1−1122)=2A1121 (9)
(7)×21+(9)×12
21122A11(A2112−A1221) (10)
(10)に(5)を代入する
2112−2A1111
2112−A1111  (11)

次に、Awuukの要素を順次に計算する。
1uu111111221
(11)を代入して
1uu1=0  (12)

2uu221122222
(11)と(5)を代入して
2uu2=0  (13)


1uu211121222121122
(5)を代入して
1uu2=0  (14)

2uu121112221211122
(5)を代入して
2uu1=0  (15)

∴ (12)(13)(14)(15)から
wuukwk
(解答おわり)





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追加講:三角形の面積と行列式
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2012年04月29日(Sun)▲ページの先頭へ
2つの行列の2つの積から元の行列を逆算する


大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】
(1)対角行列Tと行列の積が交換可能な行列は対角行列です。
(2)行列Aと行列Bの積ABとBAとは、同じ固有値を共有する行列です。

(3)また、行列式が0では無い行列で、その固有値の値が重解を持たない行列Aは、その固有値毎に固有ベクトルを計算して、
 その固有ベクトルを並べた行列Ptkを用いて以下の式で計算することで、対角化した行列Cukに変換できます。
−1ussttk=Cuk   ←Asttk=Psuuk
また、行列Pを用いてそのようにお互いに変換できる行列同士は、同じ固有値を持ちます。
これらの原理を利用して、以下の問題を解くことができます。

【問題】
行列Aと行列Bがあるとき、
行列の積AB=CとBA=Dとが与えられた場合に、元の行列AとBを求める問題を考えます。
この問題では、行列は全て2行2列の行列であるものとします。

(条件1)この行列AとBは、その行列式が0では無く逆行列が存在するものとします。

 この行列の積AB=CとBA=Dは以下のように、行列A(あるいは行列B)を用いて互いに変換できます。
行列AB=Cと行列BA=Dは、行列Aを用いて互いに変換できるので、同じ固有値を持ちます。
 行列AB=Cと行列BA=Dは固有値が共通であるので、この行列AB=Cと行列BA=Dのバラエティを記述するパラメータの数は、行列Aの4つのパラメータと行列Bの4つのパラメータの合計の8よりも2つパラメータが減って、6つのパラメータでCとDとのあらゆる場合が記述できます。
 パラメータが減ってしまっているので、行列CとDだけでは情報が不足しているので、それだけでは、行列AとBを完全に再現することはできません。行列CとDのみからでは、行列AとBがパラメータの自由度2で不定になります。
 以下では、その不定性があっても良いものとして、行列AとBを可能な限り逆算してみます。


以下の行列式を計算することで、行列AB=Cと行列BA=Dとが共有する固有値と、その固有値を持つ対角行列Tを計算することができます。
そして、以下のように、その固有値を持つ対角行列Tを行列Cに変換する行列Pを計算、対角行列Tを行列Dに変換する行列Qを計算します。






以下で、式4から行列Aを与える式6を計算し、式5から行列Aを与える式7を計算し、式6と式7を連立して行列Aを消去する計算をします。
ここで、行列Q−1BP=Vとします。
この行列Vと対角行列Tとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Tと積が交換可能な行列Vは対角行列になります。
 上式8のように、行列Bが対角行列Vを用いてあらわせます。

同様にして、 式4から行列Bを与える式9を計算し、式5から行列Bを与える式10を計算し、式9と式10を連立して行列Bを消去する計算をします。
ここで、行列P−1AQ=Wとします。
この行列Wと対角行列Tとは、その積が交換可能な関係があります。
対角行列Tと積が交換可能な行列Wは対角行列になります。
そして、以下の式11のように、行列Aが対角行列Wを用いてあらわせます。
 この式8と式11を用いて行列の積AB=Cを計算すると、以下の関係式12を得ます。
すなわち、式12のように、対角行列Tは対角行列WとVの積です。また、対角行列同士の積は交換可能です。
ここで、行列の積BA=Dを計算すると、式5の関係が満足されています。
 対角行列VとWには、それ以上の制限条件がありません。
すなわち、任意の対角行列Vを自由に定めて、式12を満足するように対角行列Wを定めれば、それだけで、AB=Cを与える式4と、BA=Dを与える式5が満足されます。

(解答)任意な対角行列Vと、式12を満足する対角行列Wを用いて、式11で行列Aが与えられ、式8で行列Bが与えられる。

【検算】
 任意の対角行列Vを用いて行列AとBが与えられるということが、本当に間違いなく成り立っているかを確かめるために、以下の検算をします。

検算のために、行列AとBが以下の場合を考える。
 この場合に、行列AB=CとBA=Dの固有値を以下の様に計算すると、行列CとDの固有値が同じであることが確認できます。
これで対角行列Tが定まりました。

次に、行列AB=Cを対角行列Tに変換する行列Pを計算します。
次に、行列BA=Dを対角行列Tに変換する行列Qを計算します。
次に、対角行列WとVを自由に変えて(ただし式12を満足させて)、それにより定まるAとBが、どれも同じ行列AB=CとBA=Dを与えるかどうかを確認します。

(第1の場合)
先ず、対角行列WとVを以下のように定めて行列AとBを計算します。
 この行列AとBは、元の行列AとBとは異なる。
次に、この行列AとBの積AB=CとBA=Dを計算する。
 行列AB=CとBA=Dは元どおりになった。


(第2の場合)
次に、対角行列WとVを以下のように定めて行列AとBを計算します。
 この行列AとBは元の行列と同じ行列が得られた。

(第3の場合)
次に、対角行列WとVを以下のように定めて行列AとBを計算します。
 この行列AとBは、元の行列AとBとは異なる。
次に、この行列AとBの積AB=CとBA=Dを計算する。
 行列AB=CとBA=Dは元どおりになった。

以上で、両者の積が対角行列Tになる任意の対角行列VとWを設定することで、異なる行列AとBの組が得られ、そのいずれの行列AとBの組も、同じ行列の積AB=CとBA=Dを与えることが確かめられた。




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2012年04月25日(Wed)▲ページの先頭へ
2つの対角行列とある行列の積の交換の定理
 
 
大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式


以下のように、1つ目の対角行列Bと、ある行列Aの積の行列と、積が交換された、その行列Aと2つ目の対角行列Cの積の行列が等しいという条件が与えられているとする。
この式を計算すると以下の式になる。
この場合に、これらの行列の要素が以下の様に特定の値に制限される。
この関係を、仮に、
「2つの対角行列とある行列の積の交換の定理」
と名づける。
 行列の問題を解く際に、この定理の条件を与える式が得られたら、その式の解は、以下のように解けることを覚えておくと便利だと思う。

(解の解説)
上の行列の方程式から、以下の関係が得られる。
この解1以外の解については、以下のように、式1から式4により変数が等しくされる関係を図に書いて考える。

(解8)行列Aが0行列であって、対角行列BとCは任意の行列であるという自明な解もある。

 この問題では、以上のように、8個の場合分けされた解が得られる。
 これらの解の特徴は、行列Aが自由に設定できる場合は(解1)の場合だけで、その条件は、行列B=C=単位行列の定数倍のときである。
 行列B=C=単位行列の定数倍という条件が無い場合には、行列Aの少なくとも2つの要素が0になる。

(補足)
この問題の一部として、以下の場合が重要です。
すなわち、以下のように、単位行列の定数倍以外の対角行列Tと交換可能な行列Aを考える。
TA=AT

この行列の解は、上の解7であって、次の式のように行列Aも対角行列になります。
 このように、単位行列の倍数以外の対角行列と積が交換可能な行列は、対角行列のみです。
 このことは、積が交換可能な行列は、その固有ベクトル(の方向)が同じであるという原理に結びついています。単位行列の倍数以外の対角行列の固有ベクトルは(1,0)と(0,1)だからです。
 ちなみに、2行2列の行列に限っては、行列Tと交換可能な行列は、単位行列Eを用いて、cT+dEであらわせます。Tが対角行列の場合、cT+dEは対角行列になるから、対角行列Tと交換可能な行列は対角行列であると言えます。しかし、その話は2行2列の行列に限って成り立つ話です。一方、交換可能な行列は固有ベクトルが同じという原理は、n行n列の行列全てで成り立ちます。

 
 



2012年04月22日(Sun)▲ページの先頭へ
対角行列と回転行列の積の交換の定理


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行列と連立1次方程式

以下のように、対角行列と回転行列の積の行列と、積が交換された、回転行列と対角行列の積の行列が等しいという条件が与えられているとする。
この式を計算すると以下の式になる。
この場合に、これらの行列の要素が以下の様に特定の値に制限される。
この関係を、仮に、
「対角行列と回転行列の積の交換の定理」
と名づける。
 行列の問題を解く際に、この定理の条件を与える式が得られたら、その式の解は、以下のように解けることを覚えておくと便利だと思う。
 あるいは、この形の問題は以下の様に多くの解(選択肢)を持つという知識だけでも有用と思う。
 上の行列の方程式から、以下の関係が得られる。








(解7)回転行列以外の行列が0行列であって、回転行列は任意の行列であるという自明な解もある。
 この問題では、以上のように、13個の場合分けされた解が得られる。


(補足)
 この解のうちで、解1−1は、α=θであって、
(回転行列θ)(単位行列Eの定数倍)=(単位行列Eの定数倍)(回転行列θ)
の形をしています。

 実は、 回転行列と積が交換される行列Aについては、すなわち、
(回転行列θ)(行列A)=(行列A)(回転行列θ)
を満足する行列Aは、
(単位行列を含む)回転行列(の定数倍)だけです。
 後に学ぶことですが、積が交換可能な行列は、「固有ベクトル」を共有する行列のみであり、回転行列は共通する固有ベクトルを持つからです。




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2012年04月10日(Tue)▲ページの先頭へ
円は円に変換し特定の直線は無限遠に移動させる変換

大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】
双曲線を円に変換するのと同様にして、
円を円に変換し特定の直線は無限遠に移動させる変換を考える。
そして、その変換を利用して、下図で示す、
「点A(極)に対する極線PQ上の点Bを極にした極線RSは、点Aを通る。」
という定理を証明する。

(証明開始)
上の図の円は円のままに変換し、

直線 X=2 は、無限遠に移動させる変換を考える。
この円の式を以下のように、直線の式(X−2)=0の左辺を分母にする式に変形する。
 上の式のように、あるパラメータkとaを用いて式を変形し、
次に、その式の変形が恒等式になるようにパラメータkとaを定める。
 上の計算により、
パラメータ a=−1/2に定まり、
 パラメータ k=2/3に定まった。
このパラメータを代入して、式の変形を続ける。


上の計算で得られたX’とY’とに変換する場合は、
半径1の円は同じ半径1の円に変換される。
一方、
直線 X=2
の上の全ての点は、無限遠に移動させられる。
それ以外の直線は、以下の計算でわかるように、直線は、折り曲げられずに、直線に変換される。


その計算をする準備として、座標XおよびYを、X’とY’であらわす以下の式を計算する。
先ず、座標Xは以下のように計算する。

次に、座標Yは、以下のように計算する。

この座標XとYであらわした直線は、以下のように計算すると、
座標X’とY’でも、直線になる。

 上の結果が示すように座標X’と座標Y’でも直線になる。
すなわち、最初に示した円と直線とであらわされた図形は、以下の図形に変換される。

この図形で成り立つ円と直線の関係は、最初の図形でも成り立つ。
この図形では、直線mと直線nが無限遠点A’で交わる。
(「平行線は無限遠点で交差する」という、射影幾何学の公理系に従う)


すなわち、無限遠点A’を通り円に接する接線mとnは互いに平行な線である。

次に、直線R’S’も無限遠点A’を通ることを証明するために、
直線R’S’が接線m及びnと平行であることを証明する。
接線mと円との接点をP’とし、
接線nと円との接点をQ’とする。
その点P’とQ’とを結んだ直線は、円の中心点Oを通り、直線m及び直線nに垂直な直線である。
直線P’Q’上の点B’から円に2本の接線を引き、それぞれの接線と円との接点をR’とS’とする。
そうすると、
直角三角形△B’OR’と△B’OS’とでは、
斜辺B’Oが 共通であり、
1辺OR’=OS’であるので、
△B’OR’≡△B’OS’
∴ ∠B’OR’=∠B’OS’
つまり、直線P’Q’=直線OTは、
二等辺三角形△OR’S’の頂角∠Oを二等分する。
また、△OR’S’の
∠R’=∠S’
であり、
∠R’+∠S’+∠O=π
であるので、
△OR’Tの
∠T=π−∠R’−(∠O/2)
=π−∠R’−(π−2∠R’)/2
=π/2
∴直線OT=直線P’Q’は直線R’S’に垂直である。
そのため直線R’S’は直線m及び直線nに平行である。

そのため、直線R’S’は直線m及び直線nと無限遠点A’で交わる。
(ここで、「平行な直線の束は同じ無限遠点1つで交わる」という射影幾何学の公理系に従って考えた)


無限遠点A’は、最初の円の図形の点Aを移動した位置である。
よって、
最初の図形においても、
直線RSは、点Aを通る。
(証明おわり)

(補足)
なお、射影幾何学は、通常の点(X,Y)をあらわす射影座標(kX,kY,k)と、
無限遠点をあらわす射影座標(α,β,0)とを用いて、
それらの点の間の変換を研究する幾何学です。
射影幾何学では、上の計算で、方程式の分母に置いた式は射影座標の3番目の座標に置いて計算します。
そうすると、上の座標変換の式が以下の行列であらわせます。

詳しくは射影幾何学の専門書を参照してください。


射影幾何学と数学者の夢について良い記事のブログがあったので紹介します。
「算数オリンピックの長尾賞」(小島寛之先生)
 若き天才数学者の人生と、「その若者に射影幾何学を教えた回顧」の話が感動的です。 
癌に侵された死の宣告を受けつつ数学の世界に慰めを見出して充実した生を全うし31歳で亡くなった数学者の物語です。



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ミラーサイト
極と極線の関係の定理の証明
放物線における極と極線の関係
追加講:三角形の面積と行列式
高校数学の目次



2012年04月09日(Mon)▲ページの先頭へ
双曲線を円にする変換(その2)


大学への数学V&Cの勉強
行列と連立1次方程式

【解説】
双曲線は以下のようにして円に変換できます。
(これは、1次変換ではありませんが、便利な変換です。)

このように(X,Y)座標を(X’,Y’)座標に変換すると、双曲線が円に変換されて、(X’,Y’)は円を描きます。
この座標変換の性質を以下のように調べると、以下のように、この座標変換は、直線は曲げずに直線のままに変換することがわかります。
このように、この変換は双曲線を円に変換し、直線は直線のままにします。
また、この変換の逆変換は、円を双曲線に戻すとともに、直線は直線のままに変換します。
そのため、円で成り立っていた以下の図の定理が、
円が双曲線に変換されるので、
双曲線でも成り立つことがわかります。
上の図の定理とは、
「点A(極)に対する極線PQ上の点Bを極にした極線RBは、点Aを通る。」
という定理です。
点A(極)に対する極線とは、点Aから円に引いた2つの接線による接点を結ぶ直線のことを極線と呼びます。
(この定理の証明は、ここをクリックしてジャンプする)




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2012年04月08日(Sun)▲ページの先頭へ
変換するベクトルを指定した場合の変換行列


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行列と連立1次方程式

【解説】
変換するベクトルを以下のように指定した場合を考える。
このように、任意の2つのベクトルを他の任意の2つのベクトルに変換する変換が定められた場合に、その変換をあらわす変換行列を計算する。
変換の元になるベクトルを一旦、基本的な単位ベクトルに変換する。
次に、その基本ベクトルを変換先のベクトルに変換する。
ここで、変換の元になるベクトルを基本ベクトルに変換する変換行列は、
その変換の元になるベクトルが基本ベクトルから変換されることをあらわす行列(その行列は以下のようにすぐわかる)の逆行f列を計算することで計算できる。
逆行列は余因子行列を計算することで計算できる。
こうして得た逆行列に、以下のように、基本ベクトルを変換先のベクトルに変換する行列を掛け算する。こうして、任意の変換元のベクトルを任意の変換先のベクトルに変換する場合の、その変換をあらわす変換行列が計算できる。






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